复数代数形式的加减运算及其几何意义 ppt课件
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7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(课件)
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类 项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右 依次进行计算．
数学应用
例2. 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分 别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求点B所对应的复数；
解:由已知得 OA (3, 2),OC (2, 4)
(a bi) (2a 3bi) 3i (a 2a) [b (3b) 3]i a (4b 3)i
练习1.计算：(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
解：原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
数学应用
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部 相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部 与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
OB OA OC (1,6)
∴点B对应的复数为：
z0 1 6i
数学应用
练习2. 若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点 在第四象限，则实数a的取值范围是__________.
解：z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0， ∴a<1.
数学小结
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角 形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用 加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复 数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复 数减去起点 对应的复数)．
回顾小结
1.复数加减的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数 那么(1)z1＋z2＝_____________； (2)z1－z2＝__________ ; 2.加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝___________； (2)(z1＋z2)＋z3＝______________.
数学应用
例2. 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分 别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求点B所对应的复数；
解:由已知得 OA (3, 2),OC (2, 4)
(a bi) (2a 3bi) 3i (a 2a) [b (3b) 3]i a (4b 3)i
练习1.计算：(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
解：原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
数学应用
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部 相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部 与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
OB OA OC (1,6)
∴点B对应的复数为：
z0 1 6i
数学应用
练习2. 若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点 在第四象限，则实数a的取值范围是__________.
解：z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0， ∴a<1.
数学小结
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角 形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用 加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复 数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复 数减去起点 对应的复数)．
回顾小结
1.复数加减的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数 那么(1)z1＋z2＝_____________； (2)z1－z2＝__________ ; 2.加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝___________； (2)(z1＋z2)＋z3＝______________.
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学课件
y
Z2(c,d)
O
Z
Z1(a,b)
x
因此，复数的加
法可以按照向量的加 法来进行，这就是复 数加法的几何意义.
3、复数的减法法则 复数是否有减法？如
何理解复数的减法？
思考
类比实数集中减法的意义，我 们规定，复数的减法是加法的逆 运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫 做复数a+bi减去复数c+di的差， 记作(a+bi)-(c+di).
实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加, 类似于实数运算中的合并同类项
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
复证数：的设Z加1=法a1+满b1足i，交Z2换=a律2+b、2i，结Z合3=律a3+，b3即i (a对1，任a2， 意a3Z，1b∈1，Cb，2，Zb23∈∈CR，) Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
∴2b＋＋a1＝＝00，， 得ab＝＝－－21，. ∴a＋bi＝－2－i.
例 2 . (1) 设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 5 3i, z2 1 4i 对应,计算 z1 z2 ,并在 复平面内作出 OZ1 OZ2 ,
(2) 设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 1 3i, z2 2 i 对应,计算 z1+z2 ,并在复平 面内作出 OZ1 OZ2 .
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》优质课件PPT
问题2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满 足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复 数a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
减法法则：（a+bi） -（c+di）= (a -c)+(b - d)i
问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？为什么？
2.复数减法Z1-Z2运算的几何意义?
复数z1－z2
y
向量Z2Z1
Z1(c,d)
o
Z2(-a,-b)
Z2(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
• 2、如图的向量OZ对应的复数是z，试作出 下列运算结果对应的向量：
•
（1） z+1 （2） z-i （3） z+(2-i)
∴O→Z1与O→Z2不共线． 又|z1|＝|z2|＝|z1－z2|. ∴△OZ1Z2 为等边三角形，
∴∠Z1OZ2＝60°.
设 z1＋z2 对应向量O→Z，则∠OZ1Z＝120°， ∴在△OZ1Z 中，由余弦定理得： |O→Z|＝ 12＋12－2×1×1×cos120°
＝ 1＋1－2×1×－12＝ 3.
总结反思 1．复数加减法法则 (1)复数的实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的 合并同类项。 2．根据复数加减运算的几何意义可以运用“数 形结合”解决有关问题。
作业 • 课本习题A组1、2、3
学习目标： 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运 算法则． 2．理解复数加减法的几何意义，能够 利用“数形结合”的思想解题．
减法法则：（a+bi） -（c+di）= (a -c)+(b - d)i
问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？为什么？
2.复数减法Z1-Z2运算的几何意义?
复数z1－z2
y
向量Z2Z1
Z1(c,d)
o
Z2(-a,-b)
Z2(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
• 2、如图的向量OZ对应的复数是z，试作出 下列运算结果对应的向量：
•
（1） z+1 （2） z-i （3） z+(2-i)
∴O→Z1与O→Z2不共线． 又|z1|＝|z2|＝|z1－z2|. ∴△OZ1Z2 为等边三角形，
∴∠Z1OZ2＝60°.
设 z1＋z2 对应向量O→Z，则∠OZ1Z＝120°， ∴在△OZ1Z 中，由余弦定理得： |O→Z|＝ 12＋12－2×1×1×cos120°
＝ 1＋1－2×1×－12＝ 3.
总结反思 1．复数加减法法则 (1)复数的实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的 合并同类项。 2．根据复数加减运算的几何意义可以运用“数 形结合”解决有关问题。
作业 • 课本习题A组1、2、3
学习目标： 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运 算法则． 2．理解复数加减法的几何意义，能够 利用“数形结合”的思想解题．
复数加减法的几何意义 PPT
3.2.1 复数代数形式的加、减运算 及其几何意义
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即： 对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即： 对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义课件人教新课标
复数的减法法则：
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
1. 复数的加法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2=(a＋bi)+(c＋di )=__(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)_i___， 口诀：虚实各相加 说明：复数加法的结果还是一个复数，类似多项式相加
2.复数的加法交换律、结合律
对任意设z1, z2, z2∈C，有
我们规定：复数的减法是加法的逆运算，把满足(c di) (x yi) a bi 的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di的差，记作：(a bi) (c di)
说明：复数减法的结果还是一个复数，类似多项式相减
应用举例
例1 计算 (5－6i)+(－2－i)－ (3+4i).
∵|z+i|+|z-i|=2, ∴点Z到Z1、Z2的距离之和等于2. 又∵|Z1Z2|=2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动, 求|ZZ3|的最小值,
y Z2(0,1)
Z
Ox
∵Z1Z3⊥Z1Z2 ∴ |z+i+1|min=|Z1Z3|=1.
Z3(-1,-数模的最值问题）
1.如果复数z满足 z i z i 2 ,那么 z i 1 的最小值是
.
2.若复数z满足 z 3 i 1,求 z 的最大值和最小值.
y
3
O
x
M
B
1
A
复数加法及 其几何意义
梳理总结
复数加法 运算律
复数减法及 其几何意义
复数减法的模 的几何意义
再见
Z1(a,b)
x
5. 复数的减法几何意义 复数的减法还可以按照向量的减法来进行.
应用举例
复数的加、减运算及其几何意义(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
Z(a,b)
B(a+1,
b)
y
Z(a,b)
B(0,1)
C(-2,1)
O
A(1,0)
x
OB OZ OA z 1；
O
x
BZ OZ OB z i；
O
x
OD OZ OC z ( 2 i).
3. 证明复数的加法满足交换律、结合律.
证明：设z1 a1 b1i,z2 a2 b2 i,z3 a3 b3 i,其中a1 ,b1 ,a2 ,b2 ,a3 ,b3 R.
点Z为终点的向量具
有一一对应关系.
题③ ——复数的模的几何意义有关的应用
设 1, 2 ∈ ，已知 1 = 2 , 1 + 2 = 2 ，求 1 − 2 .
【解】设 1 = + , 2 = + (, , , ∈ ).
2 + 2 = 1,
2 + 2 = 1,
（1）计算： 4 − 5 + −1 − 2 − 3 + 4 ;
（2）设：1 = + 2, 2 = 3 − , ∈ , 且 1 + 2 = 5 − 6, 求 1 − 2.
【解】(1) 4 − 5 + −1 − 2 − 3 + 4 = 4 − 1 − 3 + −5 − 2 − 4 = −11
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.可以看出，
两个复数相减，类似于两个多项式相减.
问题2：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
复数1 − 2 是从向量2 的终点指向
向量1 的终点的向量2 1所对应的
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3 及|z－z1|＝|z－ z2|＝|z－z3|可知点 Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由 三角形外心的定义可知，点 Z 即为△ABC 的外心． 答案：A
2．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义． 若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z所 对应的复数． (2)复数减法的几何意义． 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向O→Z1 的终点的向量所对应的复数．
归纳升华 1．复数运算可类比实数运算，若有括号，则括号优 先；若无括号，则可从左到右依次进行． 2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，然 后将实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
[变式训练] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝________． (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝________． (3)a，b∈R，(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝_____________. 解析：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
答案：C
归纳升华 若用 d 表示平面内点 Z1 和 Z2 之间的距离，则 d＝|Z→1Z2 |＝|z1－z2|，其中 z1，z2 是复平面内的两点 Z1，Z2 对应的 复数，这就是复平面内两点间的距离公式．
[变式训练] △ABC 的三个顶点所对应的复数分别 为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则 z 对 应的点是△ABC 的( )
A．一条直线
B．两条直线
2．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义． 若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z所 对应的复数． (2)复数减法的几何意义． 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向O→Z1 的终点的向量所对应的复数．
归纳升华 1．复数运算可类比实数运算，若有括号，则括号优 先；若无括号，则可从左到右依次进行． 2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，然 后将实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
[变式训练] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝________． (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝________． (3)a，b∈R，(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝_____________. 解析：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
答案：C
归纳升华 若用 d 表示平面内点 Z1 和 Z2 之间的距离，则 d＝|Z→1Z2 |＝|z1－z2|，其中 z1，z2 是复平面内的两点 Z1，Z2 对应的 复数，这就是复平面内两点间的距离公式．
[变式训练] △ABC 的三个顶点所对应的复数分别 为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则 z 对 应的点是△ABC 的( )
A．一条直线
B．两条直线
复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
命题方向1 ⇨复数的代数形式的加减运算
数 a＝( ) A．－2 C．－1
(1)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则实 C B．2 D．1
[解析] ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)， ∴z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i， ∵z1＋z2 所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0， ∴a＝－1.故选 C．
(2)计算：①(－2＋3i)＋(5－i)； ②(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； ③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)． [思路分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算． [解析] ①(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. ②(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. ③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 『规律总结』 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将 两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
[辨析] 四个点 A、B、C、D 构成平行四边形，并不仅有□ABCD 一种情况， 应该还有□ABDC 和□ACBD 两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z. 图①中点D对应的复数为3＋7i， 图②中点D对应的复数为－11＋3i. 故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
(2)复数加法的运算律
①
交
换
律
：
z
＋
1
z
2
＝
z
＋
2
z
；
1
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》ppt课件
第2课时
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解复数代数形式的加减运算规律.
2.复数的加减与向量的加减的关系.
.. 导. 学 固思
实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运 算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对
于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应
.. 导. 学 固思
复数代数形式的加减法运算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求 z1+z2,z1-z2; (2)计算:( + i)+(2-i)-( - i);
3 2 3 2 1 1 4 3
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(2012+2013i)+(2013-2014i).
【解析】(1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. (2)因为CA =OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(2+4i)=5-2i. (3)因为OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(2+4i)=1+6i.
.. 导. 学 固思
已知实数 a∈R,复数 z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若 z1+z2 为纯 虚数,求 a 的值.
.. 导. 学 固思
复数代数形式加减运算的几何意义
在复平面内,A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的3-z1, AB对应复数 z2-z1, AD对应复数 z4-z1.
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解复数代数形式的加减运算规律.
2.复数的加减与向量的加减的关系.
.. 导. 学 固思
实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运 算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对
于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应
.. 导. 学 固思
复数代数形式的加减法运算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求 z1+z2,z1-z2; (2)计算:( + i)+(2-i)-( - i);
3 2 3 2 1 1 4 3
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(2012+2013i)+(2013-2014i).
【解析】(1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. (2)因为CA =OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(2+4i)=5-2i. (3)因为OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(2+4i)=1+6i.
.. 导. 学 固思
已知实数 a∈R,复数 z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若 z1+z2 为纯 虚数,求 a 的值.
.. 导. 学 固思
复数代数形式加减运算的几何意义
在复平面内,A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的3-z1, AB对应复数 z2-z1, AD对应复数 z4-z1.
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3、复数加减法的几何意义应 用1、|z1|= |z2|
平行四边形OABC是 菱形
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
C
z2 z2-z1
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 正方形
z1+z2
B
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练习:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2, 求|z2-z1|
答案 : 2
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复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
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复数绝对值的几何意义
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
| z | = |OZ| a2 b2
(复数z的模)
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时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
练习. 根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化 为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ； -5= -5+0i ；0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
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1.复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
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3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注：1) a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C,有
z +z =z +z , 1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) p=pt课件(a±c) + (b±d)i 9
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
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练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
x
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2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
符合向量
y
减法的三
角形法则.
Z2(c,d)
向量Z1Z2
Z1(a,b)
x o
|z1-z2|表示什么? 表示ppt课复件 平面上两点Z1 ,Z2的距离13
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
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我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
abba
ab ba
(a b) c a (b c)
(ab)c a(bc)
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎 样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定： i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
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2
对虚数单位i 的规定 （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
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(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
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练习:已知复数m=2－3i,若复数z 满足不等式|z－m|=1,则z所对应
的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
求实数a、b的值。
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复
数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的
加法是否具有一致性呢？
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1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
o
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Z1(a,b)
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1.复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 其中 称为虚数单位。
实部 虚部
2.复数的分类：
实数 b 0
复数z a bi (a,b R)
虚数
纯虚数 a 0，b 0 b0
非纯虚数 a 0，b 0