计算流体力学

① 本质(第一类或Dirichlet)边界条件，在 边界G1上的势函数或流函数是给定的
us
0 或 0
un
②自然(第二类或Neumann)边界条件，
在边界G2上给定势函数或流函数的方向导数
n un
或
n
us
G1
求解域
G2
③第三类边界条件 a b u 或 a b u
n
n
5、势函数和流函数定解
三角形单元面积
1 A 11
2
x1 x2
y1 y3
1 x3 y3
11
3
2
①
3
2 4
②
1
25
(e) N
(Ne)i i
N局部编号，i整体编号
1 4
① 节2点.5 整②体和5局2 ⑥部⑤⑨16编⑦⑧号1370 1
③
⑩
1
④
8
x
9
表 6-1 节点的整体编号与局部编号的对照表
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 1 1 4 4 4 2 2 6 6 5 5
系数矩阵A为n×n阶正定的稀疏矩阵 u为待求的n阶未知列矢量
B对内部节点为0，对边界节点则由边界节点式 计算的已知项所组成的列矢量
9、总结 Summary【第一讲结束】
§3.3 有限差分解
• 建立数学模型（偏微分方程形式的控制方程和边界条件） • 求解域划分为网格 • 在网格结点上用差分方程来近似微分方程
续—有限元积分式的建立
(e)
N
e i
d
0
或
(e) ed 0
(e) i
Ni(e)
Nψe
e
2
x 2
2
y 2
N i
d
0
e
ψ
eT
N
T
2
x 2
2
y 2
d
0
分部积分公式 格林公式
N N x
N M x
N N y
N M y
d
M
G
x
nx
y
ny
N N
dG
或
NT x
N NT x y
ub
O( )
边界条件误差影响
• 具体问题特点 • 边界类型
d
a
b
p
边界
c
§3.3 有限差分解
7、数值例子 Numerical Example
• 计算域划分成差分网格
• 内部节点差分格式
ui, j
1 4
(ui1,
j
ui1, j
ui, j1
ui, j1 )
4
• 第一类边界节点差分格式 3
up
t 2
Return
§3.3 有限差分解 Finite Difference Solution
PDE Solution Solution of Laplace Equation
Specific Boundary Condition
1、势流的定解问题
y
3.5
3.5
g
u0 1
b
a
r=1
c O·
d e
h
Reference Textbook
姜春波、张永良 《计算流体力学》 周雪漪《计算水力学》清华大学出版社
§3.1 前言 (Preface) 不可压缩
连续方程 (u j ) 0
Continuity Equation t
x j
ui 0 xi
粘性项
运动方程 ui
（N-S方程）t
uj
ui x j
1
3、有限差分方程
§3.3 有限差分解
Laplace方程 2u 2u 2u 0 划分矩形网格
x2 y 2
ui1, j 2ui, j ui1, j ui, j1 2ui, j ui, j1 0
h2
l2
五点差 分格式
hl
ui, j
1 4
(ui1,
j
ui1, j
ui, j1
ui, j1 )
（通过有限差分法将偏微分方程-Laplace方程-离散为代数方 程，同时也离散边界条件并进行处理）
• 求解离散化后的代数方程组
• 讨论了圆柱绕流的势问题
有限差分法具有直观、计算简便的特点。
RETURN
§3.4 FEM Solution
控制方程
10b
20 30 40 50 60
70 80 90 100
Incompressible, Inviscid Fluid Flow
§3.1 前言 Preface §3.2 控制方程 Governing Equation §3.3 有限差分解 Finite Difference Solution §3.4 有限元解 Finite Element Solution §3.5 势流方法比较 Comparison of Methods §3.6 具有自由面流动的有限元解
y (i 1, j)
(i, j 1) (i, j) (i 1, j)
h、l: x、y方向的空间步长
(i, j 1)
x
4、有限差分网格
y10 b
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
c
9 8
7
6
5
4
3 2
EXIT 1a 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 118
§3.3 有限差分解
2
2
x 2
G1 0 ,
2
y 2
n G2
0 us
近似解
(e)
(e) i
N (e) i
或 (e) Nψ(e)
(e) : 残量 N N : 插值函数 N : 单元节点N
的待求函数 i : 单元节点数
(e) 2
内积
(e
)
,
N
(e i
)
0
即
(e) Nied 0
加权余量法（Weighted Residual Method，WRM）
2 4 5 9 8 6 5 7 10 10 9 3 2 2 5 9 3 6 3 7 6 10
3、单元分析
§6.4 有限元解
2
2
x 2
2
y 2
0
G1 0 ,
n G2 us
分步积分 格林公式
n
N (e) (e) ii
Nψ e
i 1
K eψe Be （单元有限元方程）
（K单e 元特e 征NxT 矩Nx阵 或Ny刚T 度Ny 矩d 阵）（单Be元 荷G N载T q列dG阵）
ub
ud ua uc 2
y
2
• 第二类边界节点差分格式 1
2
8 17
2
16
7
15
11
14
6
10 13
0
5
9
12 n
3
0
u p
1 4
(u a
uc
ud )
1 4
Li u i
1 2
lq
i 1
续
1/(2h hb hd )
4 3
y
2
1
2
8 17
2
16
7
15
11
14
6
10
110
c
9
8
7
6 5
有限差分法
4
求解
d
有限元法
3
2
1a
11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 118
e
130
数值方法的比较
§3.4 有限元解 Finite Element Solution
1、建立有限元积分表达式
2、单元划分
3、单元分析
4、边界条件
5、总体合成
6、边界条件代入 7、求解有关物理量
单元刚度矩阵计算
K e
NT x
N NT
x y
N y
d
N N x
bN
bi
1
p xi
什么条件会影响上述方程组的解？ 初始条件 t t0 ui ui0 边界条件 un 0 un :物体表面的法向速度
2、势函数(Potential Function)方程
Laplace方程
连续方程
(u)
0
不可压
t
§3.2 控制方程
u 0
无旋，存在速度势
u
速度势满足拉普拉 斯方程
u
2
0
Lagrange积分式
运动方程 （欧拉方程）
u t
(u
)u
(
p
gz)
§3.2 控制方程
u2 2
(
u)
u
(u
)u
无旋
t
u2 2
p
gz 0
取 f (t) pa
u2 p pa gz 0
t 2
u2 p
gz f (t)
t 2
3、流函数(Streamline Function)方程
第二类边界
d
a p
q
l b 边界
b
c
e
边界上差分格式的选取
§3.3 有限差分解
边界上差分格式与内点的差分格式精度应匹配
（Consistency）
（Talyor series expansion）
直接转 移法
u p (x p , y p ) ub (xb
, y p ) ub
u
n b
N y
d
ψ
e
NT q dG
G
Keψe Be
2、单元的划分
§6.4 有限元解
• 物理问题的特点和求解域形状
• 单元和节点编号
• 域内求解函数的变化情况
y
3.5
3.5
g
u0 1
b
r=1
c O·
h
2
u0 1
d
a
e
2
f x
圆柱绕流有限元网格
单元和节点按固定方向编号，相邻节点号差小
y Kij 带宽小
§3.2 控制方程
ui 0 xi
ui t
uj
Baidu Nhomakorabea
ui x j
bi
1
p xi
+ Boundary Condition
选 哪
速度势方程的定解
2
2
x 2
2
y 2
0
G1 0 ,
n G2 un
一 个 ？
流函数方程的定解
2
2
x 2
G1
0,
2
y 2
n G2
0 us
拉格朗日积分式定解 u2 p pa gz 0
8、平面圆柱绕流精确解
9、势函数求解与流函数求解是否相同？
FEM：求解域划分成适当形状的许多微小单元、于各 单元构造插值函数、根据极值原理将微分方程 化为控制所有单元的有限元方程、将局部单元 总体合成形成嵌入边界条件的代数方程组。
加权余量法 Weighted Residual Method，WRM
13
0
5
9
12 n
0
1
1 4
1 4
0
0 u6
1 4
(u
2
u5 )
1 4
1 4
0
1 0
hb
0 1
hd
1 4
1 4
1
0
1 4
0
uuu11701
1 4
u3
1 4
u9
h(u15
u16
)
0 0
1 0 1 u13
q
续
4
3
y
1 0 0 0 u1 1 2
0
1
1
0 0
bi
p xi
2ui
• 忽略粘性作用的流体：非粘性或理想流体
• 很难获得精确解，通常可得数值解
• 数值解法：有限差分、有限元、边界元、
有限体积
RETURN
§3.2 控制方程 Governing Equation
1、不可压缩非粘性流体流动基本方程
连续方程 运动方程
ui 0 xi
ui t
uj
ui x j
微分方程 L(u) f
x
uG g xG
近似解
n
uˆ aii
i1
误差（剩余） (x) L(uˆ) f
Residual
近似解
真解 u0
ai 待定系数
i 线性独立基 函数序列
wi 权函数
内积 , wi 0 即 (x)wi (x)d 0
1、有限元积分表达式的建立
§6.4 有限元解
Laplace方程
x xi ih
i 1,2,, I
d
y y j jl
j 1,2,, J
e
130
x
计算区域的边界cd与差分网格节点不全吻合
5、第一类边界条件处理
§3.3 有限差分解
up
(hub
hud hbua hd uc ) 2h hb hd
hb / h
hd / h
up
ub
ud ua uc 2
计算流体力学 Computational Fluid Dynamics 第一部分 不可压缩非粘性流体流动
Incompressible, Inviscid Fluid Flow
第二部分 不可压缩粘性流体流动
Incompressible, Viscous Fluid Flow
计算流体力学的重要性
第一部分 不可压缩非粘性流体流动
2
u0 1
2
f
x
Exit
2、边界条件
y 3.5
§3.3 有限差分解
3.5
b a
u0 1
r=1
c·
d e
2
2
u0 1 x
采用势函数公式时边界条件 采用流函数公式时边界条件
边界处理
0
n
b
c
1.0
n
a
2 0
0
n
d
c
e
0
n
0
n
或 y
2
b
c
2 0
a
0
边界处理
2
d 0 e n
无旋条件
u 0
§3.2 控制方程
ux
y
u y x
u
2
2
2
0
x2 y 2
流函数满足 Laplace方程
§3.2 控制方程
4、边界条件 (Boundary Condition)
Laplace方程是椭圆方程(Elliptic Equation)，线性方程 求解域是封闭的空间域，边界值问题（BVP）
1b
7
①
②
13 19 25 31 37 44 50 56 62c68
69
2
70
③
④
71
3
72
⑤
73
⑥
d
4
⑦
5
⑨
6a
⑧
⑩
12
43
42 111个单元
e
x
18 24 30 36
网格划分示例说明
2.5 1
① ②
4
③ ④
8 u0 1
1
2
3
⑤
⑥
6
⑦ ⑧7 1
5
⑨
10
⑩
1
x
9
单元①②的局部和整体节点编号
节点局部编号按逆时针向编
第一类边界
d
hd
a
b
p hb
边界
c
6、第二类边界条件处理
§3.3 有限差分解
up
1 4
(u
a
ub
uc
ud )
0
3
ub
Li ui
i 1
ub 2lq ub
ub ub q 2l
up
1 4
(u a
uc
ud )
3
1 4
Li ui
1 2
lq
i 1
u i:三个角点节点函数 cpe
Li : b点对三角形无因次的三 个面积坐标
0 0
u2
2
1
0
0
1
0
u16
2
0 0 0 1u17 2
§3.3 有限差分解
2
8 17 16 2
7
15
11
14
6
10
13
0
5
9
12 n
0
Au B
8、势流的有限差分法解
§3.3 有限差分解
1、计算域划分成差分网格 2、给出n个网格节点的差分格式 3、n阶代数方程组 Au B