高一数学讲义-集合及其应用

D.8
解析：显然 A, B 都是坐标平面内的点集，抛物线 y x2 1 与圆 x2 y 2 1有三个交点， 即集合 A B 有３个元素，∴ A B 有 8 个子集.
答案：D
【例 3】若 A, B, C 为三个集合， A ∪ B ＝ B ∩ C ，则一定有 （ ）
A. A ⊆ C
B. C ⊆ A
C.2011∈（∁UA）∩（∁UB）
D.2011∈（∁UA）∪（∁UB）
8.设 P 和 Q 是两个集合，又集合 P－Q＝{x|x∈P，且 xQ}，如果 P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那
A.0
B.1
C.2
D.多个
错解分析：根据 M 为直线 y x 1 上的点集， N 为单位圆 x2 y 2 1上的点集， ∴ M N 中元素的个数是 2，选 C.
解析：根据 M y y x 1 ，得 M R ，为数集，
N (x, y) x 2 y 2 1 为单位圆 x2 y 2 1上的点集，
5. n 个元素的集合所有子集个数为 2 n ，所有真子集个数为 2 n －1.
三、典型例题精讲
【例 1】若集合 A {1,2, x,4}， B {x2 ,1}， A ∩ B ＝{1，4}，则满足条件的实数 x 的值为 （ ）
A.4
B.2 或－2
C.－2
D.2
解析：根据 B {x2 ,1}，得 x 2 4 ， x 2 ，
m≠0 即
，∴m＜1且 m≠0.
4－12m>0
3
四、课后训练
1.已知集合 P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|mx＝1}，若 Q P，则实数 m 的数值为（ ）
A.1
B.－1
C.1 或－1
D.0，1 或－1
2.已知 U＝{2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5，7}，N＝{2，4，5，6}，则 （ ）
第一讲 集合及其应用
2020 年 5 月
一、知识梳理
1.元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成
的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号：自然数集 N ，正整数集 N
或 N * ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A B，则 有 A ＝ 或 A ≠ 两种可能，此时应分类讨论.
3.数集的运算往往用数轴法.
4.用 Card（ A ）表示有限集 A 的元素个数，则由 A B ，可得 Card（ A ）≤Card（ B ）；由 A ＝ B ， 可得 Card（ A ）＝Card（ B ）；Card（ ）＝0.
A.{y|－2≤y≤0}
B.{y|0≤y≤2}
C.{y|y≥－2}
D.{y|y≤0}
解析：由题意易得：B＝（0，＋∞），∁RB＝（－∞，0]，所以 A∩∁RB＝{y|－2≤y≤0}.
4
答案：A 【例 7】已知集合 A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|（x－a）（x－3a）＜0}.
（1）若 A B，求 a 的取值范围；
C. A ≠ C
D. A ＝
解析：∵ A ⊆（ A ∪ B ），（ B ∩ C ）⊆ C ，又∵ A ∪ B ＝ B ∩ C ，∴ A ⊆ C ，故选 A.
答案：A
技巧提示：理解集合的运算性质是解答本题的关键. A ⊆（ A ∪ B ），（ B ∩ C ）⊆ C 就是交运算和并
运算的重要性质.本题也可利用 Venn 图直接得出结论.
交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作： A ∩ B ， 读作： A 交 B .
并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作： A ∪ B ， 读作： A 并 B .
补集：对于一个集合 A ，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫做集合 A 在全集U 中 的补集，记作：∁U A ，读作： A 在U 中的补集.
6.设集合 A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则 A∪B＝ （ ） 2
A.{x|－1≤x＜2}
B.{x|－1＜x≤1} 2
C.{x|x＜2}
D.{x|1≤x＜2}
7.设全集为 U，且 2011∈U，与 2011（A∪B）意义相同的是 （ ）
A.2011∈A∪B
B.2011A 或 2011B
解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B， 将－3 代入方程：x2＋ax－12＝0 中，得 a＝－1，从而 A＝{－3，4}. 将－3 代入方程 x2＋bx＋c＝0，得 3b－c＝9.
∵A∪B＝{－3，4}，∴A∪B＝A，∴B A.
∵A≠B，∴B A，∴B＝{－3}.
∴方程 x2＋bx＋c＝0 的判别式△＝b2－4c＝0，
1
二、方法归纳
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出
的集合 x p(x) ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 p(x) ；在读懂集合的基础上尽可
能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
D.S1 （ ∁I S2∪∁I S3）
4.设集合 A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数 a＝_____
5.已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有 n 个元素.若 A∩B 非空，则 A∩B 的元素个数为
A.mn
B.m＋n
C.n－m
D.m－n
A.M∩N＝{4，6}
B.M∪N＝U
C.（∁UN）∪M＝U
D.（∁UM）∩N＝N
3.设 I 为全集，S1，S2，S3 是 I 的三个非空子集，且 S1∪S2∪S3＝I，则下面论断正确的是
A.∁I S1∩（S2∪S3）＝
B.S1 （ ∁I S2∩∁I S3）
C.∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝
但 A {1,2, x,4}，由元素的互异性 x 2 .∴ x 2 .
答案：C 技巧提示：牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性.
又例：若 3{1， a ， a 2 }，求实数 a 的范围.
答案：a≠0，±1，3，± 3
【例 2】已知 M y y x 1 ， N (x, y) x 2 y 2 1 ，则集合 M N 中元素的个数是 （ ）
答案：A
【例 6】已知全集 U＝R，集合 A＝{x|log2（3－x）≤2}，集合 B＝{x| 5 ≥1}. x＋2
（1）求 A、B；
（2）求（∁UA）∩B.
3－x≤4
解析：（1）由已知得：log2（3－x）≤log24，∴
，解得－1≤x＜3，∴A＝{x|－1≤x＜3}.
3－x>0
由 5 ≥1，得（x＋2）（x－3）≤0，且 x＋2≠0，解得－2＜x≤3. x＋2
注：集合中元素的三个特性：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性.
2.集合与元素的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A ，记作 a ∈ A ；如果 a 不是集合 A
的元素，就说 a 不属于集合 A ，记作 a A .
3.集合表示法： 列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.
B＝{y|y＝2x2}，则 A×B 等于
（）
A.（2，＋∞）
B.[0,1]∪[2，＋∞）
C.[0,1）∪（2，＋∞）
D.[0,1]∪（2，＋∞）
解析：A＝{x|y＝ 2x－x2}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝2x2}＝{y|y≥0}，
∴A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝[0,2] ，因此 A×B＝（2，＋∞），故选 A.
真子集：如果集合 A B ，但存在元素 x∈ B ，且 x A ，我们称集合 A 为集合 B 的真子集，记作
A B. 集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合 A 与集合 B 是
相等的，记作 A ＝ B .
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算：
3 （3）要满足 A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然 a＞0 且 a＝3 时成立，
∵此时 B＝{x|3＜x＜9}，而 A∩B＝{x|3＜x＜4}， 故所求 a 的值为 3. 技巧提示：（1）本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两 个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质. （2）本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出 a 与 3a 的大小，进而将集合 B 表示出来. 又例:已知集合 A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}. （1）若 A 是空集，求 m 的取值范围； （2）若 A 中只有一个元素，求 m 的值； （3）若 A 中含有两个元素，求 m 的取值范围. 解析：集合 A 是方程 mx2－2x＋3＝0 在实数范围内的解集. （1）∵A 是空集，∴方程 mx2－2x＋3＝0 无解.∴△＝4－12m＜0，即 m＞1.
3b0
②
由①得 c＝3b－9，代入②整理得：（b－6）2＝0，∴b＝6，c＝9.
故 a＝－1，b＝6，c＝9.
技巧提示：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的
含义进行思考.
【例 5】设集合 A、B 是非空集合，定义 A×B＝{x|x∈A∪B 且 xA∩B}，已知 A＝{x|y＝ 2x－x2}，
描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合. x I p(x) 表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p(x)