拓扑学基础试卷1

拓扑学基础（数学教育本科）试卷

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是

A 、)()()(

B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A =

2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则

A 、]1,0[=A

B 、)1,0(=A

C 、)1,0[=A

D 、]1,0(=A

3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么

A 、X 是T 0空间，非T 1空间

B 、X 是T 1空间

C 、X 是正则空间

D 、X 是正规空间

4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间

A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、

B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立

B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立

C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集

D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A

5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则

A 、R 是道路连通空间

B 、X 是道路连通空间

C 、R 是不连通空间

D 、X 是连通空间

6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间

A 、实数空间

B 、平庸空间

C 、包含着不可数多个点的离散空间

D 、满足第二可数性公理的空间

7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是

A 、正规?正则

B 、正则?正规

C 、正则?T 2

D 、完全正则?正则

8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质

A 、第一可数性

B 、连通性

C 、紧致性

D 、可分性

9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立

A 、可数紧致?紧致

B 、紧致?可数紧致

C 、列紧?紧致

D 、局部紧致?紧致

10、下列命题错误的是

A 、A 是闭集?A A =

B 、A 是闭集A A d ??)(

C 、A 是闭集?A '是开集

D 、A 是闭集?A A =

二、填空题（每空2分，共20分）

11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个。

12、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果存在一个同胚f ：X →Y ，则称拓扑空间X 与拓扑空间

Y 是。

13、设X 是一个拓扑空间，X A ?，则A 是一个闭集当且仅当。

14、设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，如果B 是拓扑空间X 的一个基，则是

子空间Y 的一个基。

15、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数稠密子集，则称X 是一个空间。

16、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有个极限点。

17、X y x ∈,属于X 的同一个连通分支当且仅当。

18、设X 和Y 是两个拓扑空间，其中满足第一可数性公理，X x ∈，则映射

f ：X →Y ，在点X x ∈处连续的充分必要条件是：如果X 中的序列{}i x 收敛于x ，则Y 中的序列)}({i x f 收敛于。

19、设X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y ，如果，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射。

三、名词解释题（每小题4分，共20分）

20、拓扑空间

21、同胚映射

22、满足第二可数性公理的空间（即A2空间）

23、正则空间

24、可数紧致空间

四、判断题（每小题2分，共12分）

（）25、任何可数集的任一个子集都是一个可数集。

（）26、任何一个集合都有选择函数。

（）27、每一个离散空间都是可度量化的。

（）28、有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个连通空间。（）29、每一个满足第一可数性公理的空间都满足第二可数性公理。（）30、实数空间R是一个紧致空间。

五、解答与证明题（每小题7分，共28分）

31、设},,,,{e d c b a X =，试问X 的下列子集族是否为X 的拓扑？并简要说明理由。

（1）1{,,{},{,},{,}}X a a b b d φ=T

（2）2{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a a b a c d a b c d φ=T

32、设X 是一个拓扑空间，A 、X B ∈，试证：B A B A ?

33、试证：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。

x∈和x的任何一个开邻域U，存在X的一个34、设X是一个拓扑空间，若对于任何点X

V?，试证X是一个正则空间。

开邻域V使得U

系统工程复习试题及答案解析.docx

《系统工程》复习题及答案第一章一、名词解释 1.系统：系统是由两个以上有机联系、相互作用的要素所构成，具有特定功能、结构和环境的整体。 2.系统工程：用定量与定性相结合的系统思想和方法处理大型复杂系统的问题，无论是系统的设计或组织的建立，还是系统的经营管理，都可以统一的看成是一类工程实践，统称为系统工程。 3.自然系统：自然系统主要指由自然物（动物、植物、矿物、水资源等）所自然形成的系统，像海洋系统、矿藏系统等。 4.人造系统：人造系统是根据特定的目标，通过人的主观努力所建成的系统，如生产系统、管理系统等。 5.实体系统：凡是以矿物、生物、机械和人群等实体为基本要素所组成的系统称之为实体系统。 6.概念系统：凡是由概念、原理、原则、方法、制度、程序等概念性的非物质要素所构成的系统称为概念系统。三、简答 1.为什么说系统工程时一门新兴的交叉学科？答：系统工程是以研究大规模复杂系统为对象的一门交叉学科。它是把自然科学和社会科学的某些思想、理论、方法、策略和手段等根据总体协调的需要，有机地联系起来，把人们的生产、科研或经济活动有效地组织起来，应用定量分析和定性分析相结合的方法和电子计算机等技术工具，对系统的构成要素、组织结构、信息交换和反馈控制等功能进行分析、设计、制造和服务，从而达到最优设计、最优控制和最优管理的目的，以便最充分填发挥人力、物力的潜力，通过各种组织管理技术，使局部和整体之间的关系协调配合，以实现系统的综合最优化。系统工程在自然科学与社会科学之间架设了一座沟通的桥梁。现代数学方法和计算机技术，通过系统工程，为社会科学研究增加了极为有用的定量方法、模型方法、模拟实验方法和优化方法。系统工程为从事自然科学的工程技术人员和从事社会科学的研究人员的相互合作开辟了广阔的道路。 2.简述系统的一般属性答：（ 1）整体性：整体性是系统最基本、最核心的特征，是系统性最集中的体现；（ 2）关联性：构成系统的要素是相互联系、相互作用的；同时，所有要素均隶属于系统整体，并具有互动关系。关联性表明这些联系或关系的特性，并且形成了系统结构问题的基础；（3）环境适应性：任何一个系统都处于一定的环境之中，并与环境之间产生物质、能量和信息的交流。环境的变化必然会引起系统功能及结构的变化。除此之外，很多系统还具有目的性、层次性等特征。 3.系统工程方法有哪些特点？答： 1. 系统工程是一般采用先决定整体框架，后进入部详细设计的程序 2. 系统工程试图通过将构成事物要素的程序加以适当配置来提高整体功能，主可采

点集拓扑学

点集拓扑学注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。集合的表示方式: 1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。又比如：

拓扑学习题

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B = ； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1．为it (e -1) e λ。2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3． 1 λ 4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33?????? 。 6．(n)n P P =。 7．(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8．6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

拓扑学性质及在建筑形态中应用论文

拓扑学的性质及在建筑形态中的应用摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 abstract：this article focuses on the nature of the topology, in particular, is described mobius strip and klein due to bottle the two surfaces in architectural design. look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶中图分类号：o189.3文献标识码：a文章编号： keywords： topologyarchitectural formmobius ringklein bottle 正文：在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态

数据库系统工程师练习题及答案第三套

数据库系统工程师练习题（三）试题某工厂的信息管理数据库的部分关系模式如下所示：职工(职工号，姓名，年龄，月工资，部门号，电话，办公室) 部门(部门号，部门名，负责人代码，任职时间) 问题1] 解答(a)PRIMARY KEY(b)FOREIGN KEY ( 负责人代码) REFERENCES 职工 (c)FOREIGN KEY ( 部门号) REFERENCES 部门(d) 月工资＞=500 AND ＜月工资=5000 ，或月工资BETWEEN 500 AND 5000(e)count(*) ，Sum (月工资)，Avg ( 月工资)(f)GrOup by 部门号 [ 问题2] 解答 (1) 该行不能插入“职工”关系，它违反了实体完整性中主码必须惟一区分关系中的每一个属性。 (2) 该行可以插入“职工”关系，尽管部门号、电话和办公室为空，但是它表示该雇员没有分配到某个部门。(3)该行不能插入“职32'’关系，它违反了参照完整性。因为 6 在关系“部门”中不存在。 [ 问题3] 解答(1)和(2) 都不能更新，因为使用分组合聚集函数定义的视图是不可更新的。(3) 不一定，视子查询的返回值而定，(4)和(5) 允许查询。 [ 问题4] 解答(1)对于外层的职工关系 E 中的每一个元组，都要对内层的整个职工关系M 进行检索，因此查询效率不高。(2)Select 职工号from 职工，(Select Max ( 月工资) as 最高工资，部门号Group by 部门号)as depMax where 月工资=最高工资and 职工．部门号=depMax ．部门号 [ 问题5] 解答Select 姓名，年龄，月工资from 职工where 年龄＞45； Union Select 姓名，年龄，月工资from 职工where 年龄月工资＜1000；试题某仓储超市采用POS(Point of Sale) 收银机负责前台的销售收款，为及时掌握销售信息，并依此指导进货，拟建立商品进、销、存数据库管理系统。该系统的需求分析已经基本完成，下面将进入概念模型的设计。试题解答 [ 问题1] 解答 [ 问题2] 解答商品( 商品编号，商品名称，供应商，单价)直销商品(商品编号，生产批号，消费期限) 库存商品(商品编号，折扣率) [ 问题3] 解答销售详单(销售流水号，商品编码，数量，金额，收银员，时间) 销售日汇总(日期，商品编码，数量) 存货表(商品编码，数量) 进货表(送货号码，商品编码，数量，日期) 商品(商品编号，商品名称，供应商，单价) 直销商品(商品编号，生产批号，消费期限) 库存商品(直显组号，折扣率) [ 问题4] 解答 1. 采用商品信息集中存储在中心数据库中，则在销售前台的每笔计费中，都必须从中心数据库提取商品名称和单价，增加网络的负载，在业务繁忙时直接影响到前台的销售效率；同时，如果发生网络故障，则该POS 机不能工作。采用这种方式，对商品库的更新，如引入新的商品和修改商品价格，会及时体现在前台的销售业务中。2．采用商品信息存储在中心数据库中，各POS 机存储商品表的备份，POS 机直接从本地读取商品信息，减少了网络的负载，可以提高交易的效率；同时即使有短时间的网络故障，也不影响该POS 机的正常使用，只有当存在商品信息变更时才需要与中心数据库同步。采用这种方式，必须在每次商品信息变更时同步各POS 机的数据。 [ 问题5] 解答1．对销售详单关系模式做如下的修改，增加积分卡号属性。销售详单(销售流水号，商品编

答案-拓扑学基础a

东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。（注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为无穷。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。（4分）答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<；外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=；闭包 A A =。 3．在上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。答：αβ在13处的值是4 9 。装订线装订线内不要答题学号姓名班级

拓扑学在建筑中的应用

拓扑学在建筑中的应用数学与系统科学学院蒋玉莹 09304011

空间组织的清晰性 “对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004） “通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005）妹岛和西泽是我接触建筑拓扑学首先出现在我眼前的两位建筑师。因为是首次接触到建筑拓扑学，所以评论家的观点对我有着非常重要的影响。评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，在我看来还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。” 妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。群集与分区的非层级性特征 “在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。 “在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。 “我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。

系统工程原理期末试题及详细答案

系统工程原理模拟试题考生注意：1.答案必须写在统一配发的答题纸上,可不抄题！ 2.考试时间为15：00—17：30，共150分钟。 3.试卷满分为100分。一、判断（10分） 1、系统工程属于系统科学体系的基础理论层次。（X ） 2、尽管系统的所有组成要素都是最优的，系统的整体功能也不一定最优。（√） 3、在系统解析结构模型中，可假定所涉及的关系不具有传递性。（X） 4、应用层次分析法时，要求判断矩阵必须具有完全一致性。（X ） 5、指数平滑预测法中，平滑系数越大表明越重视新信息的影响。（×） 6、在用趋势外推法进行预测时，必须假设预测对象的增减趋势不发生改变。（×） 7、在风险决策中，只要能获得更多的情报，就应该进行调查、试验等工作。（×） 8、评价指标综合时，加权平均法的加法规则主要用于各项指标的得分可以线性地互相补偿的场合。（） 9、中途作业兼有顺序作业和并行作业的特点。（√） 10、系统网络技术的网络图中，一对结点间只能有一条箭线或一条虚箭线（√）二、填空（10分） 1、一般系统具有（整体性）、（层次性）、（相关性）、（目的性）、（适应性）等五种特性。 2、霍尔的系统工程三维结构由（时间维）、（逻辑维）、（知识维）组成。 3、系统建模的主要方法有（推理法）、（实验法）、（统计分析法）、（混合法）、（类似法）等五种。 4、层次分析法把影响问题的因素，一般分为三个层次，即（目标层）、（准则层）和（方案层）。 5、对n阶判断矩阵A而言，如果关系（ /(,,1,2,...,) ij ik jk a a a i j k n == ）完全成立，则称判断矩阵具有完全一致性。 6、与专家会议法相比，Delphi预测方法采用（匿名）方式消除了心理因素对专家的影响。 7、时间序列的特征主要表现为（趋势性）、（季节性）、（周期性）、（不规则性）等四个方面。 8、效用实际上代表决策者对于（风险）的态度。 9、决策树法是风险型决策中常用的方法，它可以处理决策表和决策矩阵无法表达的（多阶段）决策问题。 10、网络图中，某作业（i,j）的总时差R(i,j)=（0 ）时，称该作业为“关键作业”。三、简答（20分） 1、什么叫系统，系统有哪些基本特征？答：系统的定义（钱学森）：系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合的具有特定功能的有机整体。系统有如下基本特征：（1）整体性：系统是由两个或两个以上的能够相互区别的要素组成的集合体，但它又是一个不可分割的有机整体。（2）层次性：任何一个系统都可以分解为一系列的不同层次的子系统，而它本身又是它所从属的一个更大系统的子系统。（3）相关性：组成系统的要素(或子系统)是相互联系、相互作用的，相关性说明这些联系之间的特定关系和演变规律。（4）目的性：通常系统都具有某种目的。为达到既定目的，系统都具有一定功能，这是区别各种系统的标志。系统的目的一般用更具体的目标来体现，复杂系统往往需要用一个目标体系来描述系统的目标。（5）适应性：任何一个系统都存在于一定的环境之中，因此它必然要与外界环境产生物质、能量和信息的交换，外界环境的变化必然会引起系统内部各要素的变化。不能适应环境变化的系统是没有生命力的，只有能够经常与外界环境保持最优适应状态的系统，才是具有不断发展势头的理想系统。 2、什么叫综合集成？答：综合集成是一种从定性到定量的方法，其实质是专家经验、统计数据和信息资料、计算机技术的有机结合，从而构成一个以人为主的高度智能化的人-机结合系统，发挥其整体优势，去解决复杂的决策问题。 3、回归分析预测的统计检验中，F-检验和t-检验有何异同？答：两者的相同之处在于，它们都是为了检验回归方程中，因变量与自变量的相关关系是否显著，从而检验预测模型的合理性。不同之处在于，F-检验主要用于检验一定显著性水平下，假设a i=0(i=0,1,…,k)是否成立，它是对回归方程总体即所有回归系数的检验，其结果说明了整个回归方程描述的统计关系是否有意义；而t-检验则用于对因变量与单个自变量的相关关系进行显著性检验，即对任意j∈{0,1,…,k}，检验假设a j=0在一定显著性水平下是否成立。4、简述系统评价的一般步骤。答：（1）简要说明各方案，明确系统方案的目标体系和约束条件；（2）确定由所有单项和大类指标组成的评价指标体系；（3）确定各大类及单项评价指标的权重；（4）进行单项评价，查明各项评价指标的实现程度；（5）进行综合评价，综合各大类指标的价值和总价值；（6）给出评价结论，包括对方案的优劣分析、排序，对评价结论的分析意见等。 5、构成决策问题的条件有哪些？根据人们对自然状态规律的认识和掌握程度，决策问题通常可分为哪几种？答：1）构成一个决策问题必须具备以下几个条件：一是存在试图达到的明确目标；二是存在不以决策者主观意志为转移的两种以上的自然状态；

基础拓扑学讲义11的习题答案

习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

拓扑学发展史

拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology 原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图

形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十

系统工程试卷及答案2006B

国防科技大学二〇〇六年春季课程期末考试科目：系统工程原理试题（B卷）（可不抄题）考生注意：1.答案必须写在统一配发的答题纸上,可不抄题！ 2.考试时间为19：30—22：00，共150分钟。 3.试卷满分为100分。一、判断（10分） 1、现实世界中没有完全意义上的封闭系统。（） 2、系统工程属于系统科学体系的技术科学层次。（） 3、切克兰德的“调查学习”模式主要适用于研究良结构的硬系统。（） 4、系统建模时应该把研究问题的一切细节、一切因素都包罗进去。（） 5、在系统解析结构模型中，总是假定所涉及的关系具有传递性。（） 6、正规马尔可夫链通过若干步转移，最终会达到某种稳定状态。（） 7、评价指标综合的“理想系数法”实际上是加权平均法加法规则的应用。（） 8、在风险决策中，只要能获得更多的情报，就应该进行调查、试验等工作。（） 9、结构化决策是指问题的影响变量之间的相互关系可以用数学形式表达。（） 10、网络图的关键路线就是路长最长的线路。（）二、填空（20分） 1、钱学森主张将一般系统论、耗散结构、协同学等广泛学科成就进行全面总结后，建立系统科学的基础理论，叫作（）。 2、霍尔的系统工程三维结构由（）、（）、（）组成。 3、指数平滑预测法中，平滑系数越（），表明越重视新信息的影响。 4、层次分析法把影响问题的因素，一般分为三个层次，即（）、（）和（）。 5、若系统组成元素为N{n j,j=1,2,…,n}，且其可达矩阵M=[m ij](i,j=1,…,n)，则元素n i 的可达集定义为R(n i)=（），先行集定义为A(n i)=（），底层单元集定义为B=（）。 6、如果在经济系统中，最终产量Y=(y1,y2,…,y n)T已经确定，且已知直接消耗系数矩阵为A，则总产量X=(x1,x2,…,x n)T=（）。 7、回归预测是一种统计方法，其预测结果有一定波动范围，这个波动范围叫做（）。 8、在柯布-道格拉斯生产函数模型Y=ALαKβ中，若α+β=1，称扩大再生产方式为（）型；若α+β〉1，称扩大再生产方式为（）型。 9、在决策树中，由决策结点引出的分支称为（），由自然状态结点引出的分支称为（）。 10、网络图中，某作业（i,j）的总时差R(i,j)=（）时，称该作业为“关键作业”。三、简答（10分） 1、系统评价工作主要存在哪些方面的困难？解决的办法是什么？ 2、构成决策问题的条件有哪些？根据人们对自然状态规律的认识和掌握程度，决策问题通常可分为哪几种？四、（20分）设某学校对学生思想品德的考核因素集U={u1,u2,u3,u4}={思想修养，集体观念，劳动观念，遵守纪律}，评语集V={v1,v2,v3,v4}={很好，较好，一般，不好}。设各考核因素

【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下：年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机

随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数；解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???

拓扑学教案1

《点集拓扑学》教案(40学时) 第一章序言与分析学初步 §1-1 拓扑学的几何与分析两大背景拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。后来，集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。一、以几何学研究作为发展背景被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736年，欧拉在彼得堡担任教授时，解决了一个 “七桥问题”，并认为是拓扑学产生的萌芽。当时普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？” 图1 七桥问题欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。 “七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关，仅与连接方式有关。几何学的其他例子 ① 欧拉的多面体公式与曲面的分类欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体），其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有 2=+-f e v 的关系。由此可证明正多面体只有五种。对于非凸多面体（如图2呈框形，则不管框的形状如何），总有 0=+-f e v 这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。 D