高一【数学(人教A版)】幂函数-课后练习

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高中数学新课标人教A版必修1：2.1.1.2 指数幂及运算课后练习(教师版) Word版含答案]

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．化简[3(－5)2]34的结果为( ) A ．5B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析： [3(－5)2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5. 答案： B2．下列结论中，正确的个数是( )①若a ∈R ，则(a 2－2a ＋1)0＝1；②若a >b >0，则(a ＋b )n (a －b )n (a 2－b 2)n＝1成立； ③⎝⎛⎭⎫b a －n ＝⎝⎛⎭⎫a b n (ab >0)；④a －1＋b －1a －1－b －1＝ab (a －1＋b －1)ab (a －1－b －1)＝b ＋a b －a(a ≠b ，ab ≠0)． A ．1 B ．2C ．3D ．4解析： ①中，当a ＝1时，a 2－2a ＋1＝0，(a 2－2a ＋1)0无意义，故错；②③正确运用了幂的运算性质，正确；④先变形又利用了幂的运算性质，正确．故选C.答案： C 3．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析：将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2. 答案： C4．化简：(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)的结果是( ) A.12 (1－2－132)－1 B ．(1－2132)－1 C ．1－2－132 D.12(1－2－132) 解析： (1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－116)(1＋2－116)·(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．计算(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________. 解析：原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380. 答案： 14380 6．化简：a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)＝________. 解析：原式＝(a 3b 2a 13b 23)12a ·b 2·a －13·b 13＝a 103×12b 83×12a 23b 2＋13＝a 53b 43a 23b 73＝a 53－23b 43－73＝a b . 答案： a b三、解答题(每小题10分，共20分)7．化简(a 23b 12)·(－3a 12·b 13)÷(13a 16b 56)．解析：原式＝－3·a 76·b 56÷⎝⎛⎭⎫13·a 16b 56 ＝－9·a 1·b 0＝－9a .8．计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. 解析： (1)原式＝1＋14·23－110＝1615； (2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解析： (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＝[(e x －e －x )＋(e x ＋e －x )][(e x －e －x )－(e x －e －x )]＝2e x ·(－2e －x )＝－4.(2)∵f (x )·f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y －e x －y －e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x )·g (y )＝(e x ＋e －x )(e y ＋e －y )＝e x ＋y ＋e x －y ＋e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x ＋y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )，g (x －y )＝e x －y ＋e －(x －y )＝e x －y ＋e y －x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )－g (x －y )＝f (x )·f (y )＝4，g (x ＋y )＋g (x －y )＝g (x )·g (y )＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.。

3.3幂函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课后练习

3.3幂函数课后练习一、单选题1．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >> 2．已知函数()()2211m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上为增函数，若,,a b R ∈且0,0,a b ab +><则()()f a f b +的值（）A ．恒等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断 3．已知函数()253()1m f x m m x--=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0 4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3 5．函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b ∈R ，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的是A ．0,0a b ab +>>C ．0,0a b ab +<<D ．以上都可能6．已知幂函数f(x)满足f 13⎛⎫⎪⎝⎭=9,则f(x)的图象所分布的象限是 ( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第一象限7．已知()2x xe ef x --=，则下列正确的是（（A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 8．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为 A ． B ． C ． D ．二、填空题9．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____． 10．若函数()3ax f x -=在区间(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 11．函数276y x x =+-的定义域是_____.12．已知2510x x x -+=><，，ααα，则x x --=αα________．三、解答题13.已知幂函数 y =f(x) 的图象经过点 (2,√2) .（1）求 f(x) 解析式（2）根据单调性定义，证明 f(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增.14.已知幂函数 f(x)=(−3m 2−2m +2)x 1+3m 在 (0,+∞) 上为增函数．（1）求 f(x) 解析式；（2）若函数 g(x)=f(x)−(2a +1)x +a 2−1 在区间 (a,2a −1) 上单调递减，求实数 a 的取值范围．15.已知幂函数 f(x)=(m 2−m −1)x m2−2m−1 （1）求 f(x) 的解析式；（2）①若 f(x) 图像不经过坐标原点，直接写出函数 f(x) 的单调区间. ②若 f(x) 图像经过坐标原点，解不等式 f(2−x)>f(x) .16.比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）43434232..，；（2）(√2)−32 ， (√3)−32 ；（3）()5656..-350310，。

高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

【金版学案】2015-2016高中数学幂函数的图像、性质与应用练习新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断．基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增递减 (3)奇函数偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。

高中数学人教A版(2019)必修一第三章第三节幂函数的性质及图像

高中数学人教A版（2019）必修一第三章第三节幂函数的性质及图像一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）幂函数y=x23的大致图像是（）A．B．C．D．2．（5分）如图是幂函数y=x n的部分图像，已知n取12,2,−2,−12这四个值，则于曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为（）A．2,12,−12,−2B．−2,−12,12,2C．−12,−2,2,12D．2,12,−2,−123．（5分）若幂函数f(x)=(m2+m−5)x m2−2m−3的图像不经过原点，则m的值为（）A．2B．-3C．3D．-3或24．（5分）如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图像.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．2，12，−12，−2B．2，12，−2，−12C．−12，−2，2，12D．−2，−12，12，25．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）A．①y=x13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−16．（5分）函数y=x53的图象大致是()A．B．C．D．7．（5分）在下列四个图形中，y＝x−12的图像大致是()A．B．C．D．8．（5分）幂函数y=f(x)的图象经过点(8,2√2)，则f(x)的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f(x)=x−12的大致图象是()A．B．C．D．10．（5分）函数y=x23的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 二、多选题(共2题；共10分)12．（5分）若函数f(x)=(3m2−10m+4)x m是幂函数，则f(x)一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈(−∞，0)上单调递减D．在x∈(−∞，0)上单调递增13．（5分）已知幂函数y=xα的图像如图所示，则a值可能为（）A．13B．12C．15D．3三、填空题(共6题；共35分)14．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−2在(0，+∞)为减函数，则f(2)=. 15．（5分）若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= .16．（5分）已知幂函数f(x)=mx n的图像过点(14，116)，则mn=.17．（5分）函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m=.18．（5分）已知幂函数f(x)=(m2+m−1)x m的图像如图所示，那么实数m的值是.19．（10分）已知幂函数y=x n的图像过点(3，19)，则n=，由此，请比较下列两个数的大小：(x2−2x+5)n(−3)n.四、解答题(共1题；共10分)20．（10分）已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,4).（1）（5分）求函数f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=2f(x)−kx−1在[−1,1]是单调函数，求实数k的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A，C，D，故答案为：B．【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。

2022秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-3幂函数课后提能训练新人教A版必修第一册

第三章　3.3A级——基础过关练1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x.其中幂函数的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B　【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．2．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0【答案】A　【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m.3．(2020年郑州月考)已知幂函数f(x)＝2kx m的图象过点(，4)，则k＋m＝( )A．4 B． C．5 D．【答案】B　【解析】因为幂函数f(x)＝2kx m，所以2k＝1，解得k＝.又因为图象过点(，4)，所以( )m＝4，m＝4，则k＋m＝.故选B．4．函数y＝x－的图象大致是( )A BC D【答案】D　【解析】由幂函数的性质知函数y＝x－在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．5．(2021年沈阳期末)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)【答案】B　【解析】当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y ＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．故选B．6．(2020年朔州高一期中)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．【答案】　【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过，所以f＝，所以＝⇒2－＝⇒α＝，所以f(3)＝3＝.7．已知幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则α＝________，函数y＝f(x2)－2f(x)的最小值等于________．【答案】　－1　【解析】幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则2α＝，解得α＝.所以f(x)＝x，所以函数y＝f(x2)－2f(x)＝(x2)－2x＝x－2＝(－1)2－1.当x＝1时，函数y的最小值为－1.8．(2020年武汉高一期中)已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．【答案】2　【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m ＝1，且n＝1，3，5，….因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1.则m＋n＝1＋1＝2.9．比较下列各组数的大小．(1)3－和3.2－；(2)4.1和3.8－.解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．又3＜3.2，所以3－＞3.2－.(2)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－.B级——能力提升练10．(2020年武汉高一期中)若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)x m2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )A．2B．－3C．3D．－3或2【答案】A　【解析】由幂函数定义得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3，显然不过原点，符合条件．故选A．11．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )A．－1B．－2C．－3D．－4【答案】C　【解析】由已知得2α＝，解得α＝－1，所以g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C．12．(多选)(2021年德州期末)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列式子可能成立的是( )A．0<b<a<1B．－1<a<b<0C．1<a1，则1<a<b.从图象知，可能成立的是ACD．13．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．【答案】(－∞，0)　【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.14．(2021年南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤3的解集是________．【答案】{x|－9≤x≤9}　【解析】由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤3，即|x|≤9，故－9≤x≤9.15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3.当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，所以f(x)＝x－4，所以f＝＝16.(2)由f(x)＝x－4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.C级——探究创新练16．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－时a的取值范围．解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.因为m∈N*，所以m＝1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以(a＋1)－＜(3－2a)－.又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.故a的取值范围是.。

【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.3 幂函数 Word版含答案[ 高考]

2．3幂函数[学习目标] 1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点)．一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．二、幂函数的图象与性质1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3＋2是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．( )(3)指数函数y ＝a x 的定义域为R ，与底数a 无关，幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数也无关．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2【解析】由幂函数定义知y ＝2x 不是幂函数，而是指数函数．【答案】 A3．函数y ＝x 3的图象关于________对称．【解析】函数y ＝x 3为奇函数，其图象关于原点对称．【答案】原点4．若幂函数过(2，2)点，则此函数的解析式为________．【解析】设幂函数为f (x )＝x α，则2＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.【答案】 f (x )＝x 12预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(2)(2014·宿迁高一检测)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________．(3)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)∵y ＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数， ∴m 2－4m －4＝1，解得m ＝－1或m ＝5. (2)由题意22＝2α，即2－12＝2α，∴α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.(3)根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.【答案】 (1)－1或5 (2)12(3)f (x )＝x 3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－12(2)若点A (2，2)在幂函数f (x )的图象，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上， ①求f (x )、g (x )的解析式；②求当x 为何值时：(ⅰ)f (x )＞g (x )；(ⅱ)f (x )＝g (x )；(ⅲ)f (x )＜g (x )．【思路探究】 (1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f (x )＝x a 、g (x )＝x b ，把A ，B 两点的坐标分别代入求得a ，b 即可．画出相应的函数图象，数形结合求得x 的范围．【解析】 (1)由幂函数的图象与性质，n ＜0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 B(2)①设f (x )＝x a ，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)a ＝2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x b，因为点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，所以(－2)b ＝14，所以b ＝－2，即g (x )＝x －2.②令f (x )＝g (x )，解得x ＝±1.在同一坐标系下画出函数f (x )和g (x )的图象，如图：由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(1，1)和(－1，1)．所以(i)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (ⅱ)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (ⅲ)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．1．幂函数的图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． 2．幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y ＝x －1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y ＝x 12画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y ＝x 2画出．本例(2)中若定义h (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）＞g （x ），求函数h (x )的最大值及单调区间．【解】由题意h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＜－1或x ＞1，x 2，－1≤x ＜0或0＜x ≤1，根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(－∞，－1]，(0，1]，单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)．(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.【思路探究】比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(3)可找中间量进行比较．【解】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0，所以(－1.9)－35<3.8－23<4.125.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．比较大小，说明理由． (1)0.9513与0.9613；(2)0.95－35与0.95－23.【解】 (1)∵函数y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且0.95＜0.96，∴0.9513＜0.9613.(2)∵函数y ＝0.95x 在R 上是减函数，且－35＞－23，∴0.95－35＜0.95－23.1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．(1)当α＞1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x2；(2)当0＜α＜1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x 12；(3)当α＜0时，图象过点(1，1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－12等．4．比较大小．(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【思路探究】以a －1，3－2a 是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解．【满分样板】考查幂函数y ＝x －13，类比y ＝x －1的单调性，可得：若x －13＜y －13，则有x ＜0＜y ，y ＜x ＜0或0＜y ＜x 三种情况．因此，若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则有如下三种可能：⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＜0，a －1＞3－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，3－2a ＞0，a －1＞3－2a ，解得a ＜1或43＜a ＜32.故实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32.【答案】C1．欲利用幂函数y ＝x －13的性质求参数的值，可类比幂函数y ＝x －1的性质，y ＝x －1有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)，又当x ＜0时，y ＜0；当x ＞0时，y ＞0.2．本题以a －1，3－2a 是否在幂函数y ＝x －13的同一单调区间为标准分类，可分为两类，而在同一单调区间时，又分两种情况，从而做到不重不漏．——[类题尝试]—————————————————(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ，y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数．又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。

高中数学课后作业23 幂函数新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

课后作业(二十三)复习巩固一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )[解析] y ＝x 23 ＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． [答案] D2．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 34 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 34，c ＝()212 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a c >a[解析] 构造幂函数y ＝x 34，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝2 12>1，知a <c .故c >a >b .[答案] B3．函数y ＝x 53的图象大致是图中的( )[解析] ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且α＝53>1，∴函数在R 上单调递增．故选B.[答案] B4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1[解析] 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．[答案] A5．下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数[解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.[答案] C 二、填空题6．若y ＝ax a 2－12是幂函数，则该函数的值域是________．[解析] 由已知y ＝ax a 2－12 是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．[答案] [0，＋∞)7．函数y ＝3x α－2的图象过定点________．[解析] 依据幂函数y ＝x α性质，x ＝1时，y ＝1恒成立，所以函数y ＝3x α－2中，x ＝1时，y ＝1恒成立，即过定点(1,1)．[答案] (1,1)8．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的上方，则α的取值X围是________．[解析] 由幂函数的图象特征知α>1. [答案] (1，＋∞) 三、解答题9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，试求出此函数的解析式，判断奇偶性． [解] 设y ＝x α(α∈R )，∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22， ∴2α＝22，α＝－12，∴f (x )＝x －12 .∵函数y ＝x －12 ＝1x，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．10．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数； ②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解] 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件①、②都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．综合运用11．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5<0(m ∈N )，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1，故选B.[答案] B12．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )[解析] 当a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a>0，y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，∴A 、D 项均不正确．对于B 、C 项，若a >0则y ＝ax －1a是增函数，B 项错，C 项正确，故选C.[答案] C13.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0[解析] 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m>2n，所以n <m <0.[答案] A14．已知函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.[解析] 取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x－13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．[答案] 315．已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a ＋1)－m 3 <(3－2a )－m3的a 的取值X 围．[解] ∵函数y ＝x3m －9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数．故m ＝1. ∴有(a ＋1)－13 <(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32∪(－∞，－1)．。

第12讲幂函数的图象和性质(人教A版2019必修第一册)(解析版)初升高暑假预习讲义

第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》课后强化作业及解析

幂函数课后强化作业（1）一、选择题1．幂函数y ＝(m 2＋m －5)xm 2－32m －13的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为( ) A ．2或－3 B ．2 C ．－3D ．0[答案] B[解析] 由m 2＋m －5＝1得m ＝2或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，∴m ＝2.2．函数y ＝x n在第一象限内的图象如下图所示，已知：n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 图中c 1的指数n >1，c 2的指数0<n <1，因而排除A 、C 选项，取x ＝2，\ 由2－12>2－2知B 正确．评述：幂函数在第一象限内当x >1时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规律与a (或α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减．3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－3|x |B ．y ＝x 12 C ．y ＝log 3x 2D ．y ＝x －x 2[答案] A4．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象应是( )[答案] B[解析] 首先若a >0，y ＝ax ＋1a ，应为增函数，只能是A 或C ，应有纵截距1a>0因而排除A 、C ；故a <0，幂函数的图象应不过原点，排除D ，故选B.5．设a 、b 满足0<a a b，排除A. ∵y ＝b x 单调减，a b b，排除B.∵y ＝x a 与y ＝x b 在(0,1)上都是增函数，a 0.5a >5a 即5－a >0.5a >5a.7．(2010·安徽文，7)设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)35 <(25)25，即b <c .对a 和c ，∵幂函数．y ＝x 25在(0，＋∞)上单调递增， ∴(35)25>(25)25，即a >c ，∴a >c >b ，故选A.8．当0<a (1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b>(1－a )b 2D ．(1－a )a>(1－b )b[答案] D[解析] ∵0<a (1－a )b①又∵1－a >1－b >0，∴(1－a )b >(1－b )b②由①②得(1－a )a>(1－b )b.∴选D.9．幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定[答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， ∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.10．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )[答案] C[解析] 由A ，B 图可知幂函数y ＝x a在第一象限递减，∴a <0，所以直线y ＝ax －1a的图象经过第二、四象限，且在y 轴上的截距为正，故A 、B 都不对；由C 、D 图可知幂指数a >0，直线的图象过第一、三象限，且在y 轴上的截距为负，故选C.二、填空题11．函数f (x )＝(x ＋3)－2的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．[答案] {x |x ∈R 且x ≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞) [解析] ∵y ＝(x ＋3)－2＝1(x ＋3)2， ∴x ＋3≠0，即x ≠－3，定义域为{x |x ∈R 且x ≠－3}，y ＝x －2＝1x 2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x －2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)．12．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________．[答案] y ＝x 1213．若(a ＋1)13<(2a －2)13，则实数a 的取值范围是________． [答案] (3，＋∞)[解析] ∵y ＝x 13在R 上为增函数，(a ＋1)13<(2a －2)13. ∴a ＋1<2a －2，∴a >3. 三、解答题14．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1＋132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.15．已知函数y ＝xn 2－2n －3(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．[解析] 因为图象与y 轴无公共点，所以n 2－2n －3≤0，又图象关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数，由n 2－2n －3≤0得，－1≤n ≤3，又n ∈Z .∴n ＝0，±1,2,3当n ＝0或n ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．当n ＝－1或n ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图A.当n ＝1时，y ＝x －4，其图象如图B. ∴n 的取值集合为{－1,1,3}．16．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x为何值时，有①f (x )>g (x ); ②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．[解析] 设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2，再设g (x )＝x β，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2，在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象．如下图所示．由图象可知：①当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．17．运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式(2x －1)－12>(2x －1)2成立的x 的取值范围．[解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数y ＝x －12与y ＝x 2的图象，观察图象可见，当0<x <1时，x －12>x 2，∴0<2x －1<1，∴12<x <1.解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．∵2x －1>0且2x －1≠1，又y ＝a x 当a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数，(2x －1)－12>(2x －1)2.∴0<2x －1<1.∴12<x <1.幂函数课后强化作业（2）一、选择题1．若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 2[答案] A[解析] 将两点(－1,0)和(0,1)代入y ＝log a (x ＋b )得log a (b －1)＝0且log a b ＝1，则b －1＝1且a ＝b ，所以a ＝b ＝2.2．(湖南醴陵二校2009～2010高一期末)已知偶函数f (x )在[0,2]上单调递减，若a ＝f (－1)，b ＝f (log 1214)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．b >c >a[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴a ＝f (－1)＝f (1)，b ＝f (log 1214)＝f (2)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∵1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (2)，∴a >c >b ，故选C. 3．下列各函数中在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝log 12(x ＋1)B ．y ＝log 2x 2－1 C ．y ＝log 31xD ．y ＝log 13(x 2－4x ＋5)[答案] D4．(09·天津文)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c[答案] B[解析] ∵a＝log132＝－log32∈(－1,0)，b＝log1213＝log23∈(1，＋∞)，c＝(12)0.3∈(0,1)，∴b＞c＞a.故选B.5．若m>n>1,0<x<1，则下列各式中正确的是( )A．m x<n x B．x m>x nC．log x m<log x n D．log m x<log n x[答案] C[解析] 将m x与n x看作函数y＝X x(x为常数，X为自变量)，当X＝m、n时的两个函数值，∵常数x>0，∴此函数在第一象限内为增函数，又m>n>1，∴m x>n x，故A错；同理将x m 与x n看作指数函数y＝x X(x为常数，X为自变量)的两个函数值，∵0<x<1，∴此函数为减函数，又m>n，∴x m<x n，故B错；又对数函数y＝log x X(x为常数，X为自变量)，当0<x<1时为减函数，m>n>1，∴log x m<log x n，C正确，在同一坐标系中作出对数函数y＝log m x与y＝log n x的图象，如图，当0<x<1时，显见有log m x>log n x，故D错．[点评] 可用特值检验，也可用单调性和图象法求解．6．已知函数f(x)＝－(x－a)(x－b)的图象如图所示(其中a>b)，则g(x)＝a x－b的图象可能是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象知a >1，－11，故选A.7．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4[答案] B[解析] a >1时，f (x )在[0,1]上是增函数，0<a <1时，f (x )在[0,1]上是减函数，由题设可知，f (0)＋f (1)＝a ，∴1＋a ＋log a 2＝a ，∴a ＝12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 由y ＝(3－a )x －4a 在(－∞，1)上单调递增知，3－a >0，∴a <3；由y ＝log a x 在[1，＋∞)上递增知a >1，∴1<a <3，排除A 、B 、C ，选D. 二、填空题9．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. [答案] 1[解析] 原式＝(lg5)2＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.10．已知a >b >0，ab ＝105，a lg b＝106，则a b＝________. [答案] 10[解析] ∵ab ＝105∴lg a ＋lg b ＝5∵a lg b＝106∴lg a ·lg b ＝6，又a >b ∴lg a ＝3，lg b ＝2 ∴lg a b ＝lg a －lg b ＝1，∴a b＝10. 11．lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6＝________.[答案] 1[解析] 原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6 ＝3＋3lg2－3lg2－3lg 22＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝1.12．(09·北京理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1][解析] f (x )的图像如图． |f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13或1x≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0 ∴解集为{x |－3≤x ≤1}．三、解答题13．将下列各数按从小到大顺序排列起来：[分析] 从宏观考虑，宜先将各数分类，再逐类比较大小．一般先区分正、负数，再看哪些大于1，哪些小于1(负数看绝对值)，同底的幂用y ＝a x的单调性，同指数的幂可借助图象、底数与指数都不同时，可转化为同底或同指数再比较．[解析] (56)0＝1，先将其余的数分成三类．①负数：(－2)314．在同一坐标系中画出函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝－x ＋1的图象，观察图象，分析指出，当x 取何范围内的值时，有f (x )<g (x )成立．[解析] 画出函数f (x )与g (x )的图象如下图，易知当x ＝1和x ＝2时，都有f (x )＝g (x )．当0<x <1和x >2时，都有f (x )>g (x )．当1<x <2时，有f (x )<g (x )．15．解下列方程：(1)(12)x 82x ＝4； (2)log 7(log 3x )＝－1；(3)2log x 25－3log 25x ＝1.[解析] (1)化为25x ＝22，∴5x ＝2，∴x ＝25；(2)log 3x ＝17，∴x ＝317； (3)令log 25x ＝t ，则原方程化为：2t－3t ＝1. 即3t 2＋t －2＝0，∴t ＝－1或23，∴x ＝125或543. 16．求函数f (x )＝log a (x 2－2x )(a >0且a ≠1)的定义域和单调增区间．[解析] 由x 2－2x >0得，x <0或x >2，∴定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．∵函数u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的对称轴为x ＝1，∴函数u ＝x 2－2x 在(－∞，0)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，∴当a >1时，函数f (x )的单调增区间为(2，＋∞)，当0<a <1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)．17．已知幂函数f (x )＝x α的图象过(8，14)点，试指出该函数的定义域、奇偶性、单调区间．[解析] ∵f (x )＝x α过⎝ ⎛⎭⎪⎫8，14点，∴14＝8α，即2－2＝23α，∴α＝－23.∴f (x )＝x －23，即f (x )＝13x 2. (1)欲使f (x )有意义，须x 2>0，∴x ≠0，∴定义域为{x ∈R |x ≠0}．(2)对任意x ∈R 且x ≠0，有f (－x )＝13(－x )2 ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)∵α<0，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，故单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．。

高一数学幂函数习题及答案

高一数学幂函数习题及答案高一数学幂函数习题及答案在高一数学课程中，幂函数是一个非常重要的概念。

幂函数是指形如f(x) =ax^b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。

在本文中，我们将探讨一些关于幂函数的习题，并提供相应的答案。

1. 习题一：已知函数f(x) = 2x^3，求f(2)的值。

解答：将x替换为2，得到f(2) = 2(2)^3 = 2(8) = 16。

因此，f(2)的值为16。

2. 习题二：已知函数g(x) = 4x^2，求g(0)的值。

解答：将x替换为0，得到g(0) = 4(0)^2 = 4(0) = 0。

因此，g(0)的值为0。

3. 习题三：已知函数h(x) = 5x^-2，求h(1)的值。

解答：将x替换为1，得到h(1) = 5(1)^-2 = 5(1/1^2) = 5(1/1) = 5。

因此，h(1)的值为5。

4. 习题四：已知函数k(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 1，求k(-1)的值。

解答：将x替换为-1，得到k(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 2 - 3 - 1 - 1 = -5。

因此，k(-1)的值为-5。

5. 习题五：已知函数m(x) = (1/2)x^2 - 3x + 2，求m(3)的值。

解答：将x替换为3，得到m(3) = (1/2)(3)^2 - 3(3) + 2 = (1/2)(9) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5。

因此，m(3)的值为-2.5。

通过以上习题，我们可以看到幂函数的计算方法。

对于给定的函数，我们只需将自变量替换为相应的值，然后按照幂函数的定义进行计算即可。

在实际应用中，幂函数常常用于描述各种变化规律，如物体的增长、衰减等。

除了计算习题，我们还可以通过绘制幂函数的图像来更好地理解其特点。

下面是几个常见的幂函数图像：1. 当b>0时，函数f(x) = ax^b的图像呈现出从左下方向右上方递增的趋势。

2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数同步刷题课件新人教A版必修第一

3.3 幂函数
刷能力
1．[四川蓉城名校联盟2019高一期末]若幂函数的图像过点(2，8)，则它的单调递增区间是( D )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析
∵幂函数y＝xa的图像过点(2，8)，∴2a＝8，解得a＝3，∴y＝x3，它的单调递增区间是(－∞，＋∞)．故选D.
3.3 幂函数
刷基础
1 3．[山东曲阜一中2019高一月考]函数y＝(m2＋2m－2)x m－1 是幂函数，则m＝( B)
A．1
B．－3
C．－3或1
D．2
解析
由题意，得
m2＋2m－2＝1， m－1≠0，
解得m＝－3.
3.3 幂函数
刷基础
4．[湖北重点中学协作体2019高一期中]已知幂函数f(x)＝kxα的图像过点则k＋α等于( A )
所以满足不等式f(a－3)＞f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
3.3 幂函数
刷基础
17．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)的图像关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递
减．求满足
a
1
m 3
3
2a
m 3
的实数a的取值范围．
解
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－3<0，解得m<3.
是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( B )
A．①
B. ②
C. ③
D. ④
解析
①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上
1
是增函数；④f(x)＝x 3 只满足在(－∞，0)上是增函数；②f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y|y>0}．故选B.

高一数学必修一幂函数(习题课)

数学·必修1(人教A 版)2.3.2 幂函数(习题课)►基础达标1．设函数y ＝x |x |，x ∈R ，则此函数( )A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数解析：∵y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0. 答案：C答案：B3．函数y ＝x ＋1的递增区间是__________ .答案：[－1，＋∞)4．函数y ＝1x 2的定义域是________，在区间________上是减函数．答案：{x |x ∈R ，x ≠0} (0，＋∞)5．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则这个函数的解析式为________．答案：6．若函数f (x )＝(t ＋2)x t －1是幂函数，则这个函数的解析式为__________．解析：t ＋2＝1，∴t ＝－1，∴f (x )＝x －2.答案：f (x )＝x －27．用描点法作出幂函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象，并说明函数的定义域和单调性．分析：首先作出函数的图象，根据图象研究其性质．解析：五个幂函数的图象如下图所示．(1)y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减．(2)y ＝x 定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．(4)y ＝x 2的定义域为R ，在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(5)y ＝x 3的定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．点评：►巩固提高点评：①②③④⑤9．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －1的递减区间是________．(1)指出函数的定义域和值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)指出函数的递增区间和递减区间．答案：(1)定义域是R ，值域是[0，＋∞)(2)偶函数(3)[0，＋∞)是递增区间，(－∞，0]是递减区间。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

高一数学人教A版必修1课后训练：2.3 幂函数 Word版含解析

课后训练基础巩固1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定2．下列函数是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．13y x =B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．已知幂函数f (x )满足f =⎝⎭f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x －3B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝3x4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝15．幂函数的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)6．函数43y x =的图象是( )7．23112T ⎛⎫=⎪⎝⎭，23215T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13312T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 38．若249y x αα--=是偶函数，并且在(0，＋∞)上是减函数，则整数α＝__________． 9．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是__________．10．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．11．求下列函数的定义域： (1)1132(32)(23) y x x -=-+-；(2)1212x y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭． 12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，(1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数； (4)f (x )是幂函数．能力提升13．如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，12±四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，12-，12，2 B ．2，12，12-，－2C ．12-，－2,2，12D ．2，12，－2，12-14．三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log 30.7的大小顺序为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a15．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x＞12x ＞lg x B ．2x＞lg x ＞12x C ．12x ＞2x ＞lg x D ．lg x ＞12x ＞2x 16．(压轴题)已知f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+．(1)求证：f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．错题记录参考答案1．A 点拨：当α＞0时，幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数． 2．B 点拨：∵y ＝x 2是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．也可以画图观察，可知选B ．3．A 点拨：设f (x )＝x α，∵由题意知α=⎝⎭132233α-=，∴α＝－3．∴f (x )＝x －3．4．B 点拨：由已知2233120m m m m ⎧-+=⎪⎨--≤⎪⎩，，得m ＝1或m ＝2．5．C 点拨：设幂函数f (x )＝x α，将12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入得α＝－2，所以f (x )＝21x ，易知其单调增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：f (－x )＝4433()x x -===＝f (x )，又函数的定义域为R ，故f (x )为偶函数．又43＞1，所以当x ∈(1，＋∞)时，x ＜43x ． 7．D 点拨：构造函数23y x =，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则223311>25⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 2＜T 1；构造函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭，此函数在R 上是减函数，则213311<22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 1＜T 3．故T 2＜T 1＜T 3．8．－1,5,3,1点拨：由函数249y x αα－－＝的图象关于y 轴对称，即f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，可得α2－4α－9＝2k (k 为负整数)．当k ＝－2时，解得α＝5或α＝－1；当k ＝－6时，解得α＝3或α＝1．故α的值为－1,5,3,1．9．[0，＋∞)点拨：∵幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，∴8α＝4，则23α=． ∴23y x ==∴函数y ＝x α的值域是[0，＋∞)． 10．18-点拨：∵函数y ＝x －3＝31x 在(－∞，0)上单调递减，∴当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝311(2)8=--． 11．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足320230.x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x >，即所求函数的定义域为2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭． (2)要使函数有意义，x 的取值需满足12x +-＞0，解得x ＜－1，即所求函数的定义域为(－∞，－1)．12．解：(1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得45m =-，此时m 2－m －1≠0，故45m =-． (2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得25m =-，此时m 2－m －1≠0，故25m =-．(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，解得m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1．(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．13．B 点拨：随着α的增大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为曲线C 1，C 2，C 3，C 4，所以对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，12-，－2． 14．C 点拨：由于a ，b ＞0，c ＜0，故c 最小．又30.7＞0.70.7＞0.73，所以a ＞b ．故a ＞b ＞c ．15．A 点拨：易知当x ∈(0,1)时，2x和12x 的值都大于0，lg x 的值小于0，得lg x 最小．在同一坐标系中作出函数y ＝2x与y ＝12x 的图象，如下图所示，由图可知2x＞12x ，故选A ．16．解：(1)证明：函数f (x )的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵f (－x )＝11113333()()55x x x x ------=-＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝11113333112211()()55x x x x -----＝11331211331211()15x x x x ⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝1111111111 3333333333 4422224444555555-------+---⋅⋅=-＝0．同理f(9)－5f(3)g(3)＝0．猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0．证明：∵f(x2)－5f(x)g(x)＝2211112222 3333333333555555x x x x x x x x x x -------+---⋅⋅=-＝0(x≠0)，∴f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．。

高中数学的概念与性质3-3幂函数课时作业新人教A版必修第一册

3．3 幂函数必备知识基础练1．[2022·河北沧州高一期末]下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝x 3D ．y ＝2x2．幂函数y ＝x 23的大致图象是( )3．下列幂函数中，其图象关于y 轴对称且过点(0，0)、(1，1)的是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 134．[2022·河北石家庄高一期末]若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (3)＝( )A ．13 B ． 3 C ．3 D ．95．(多选)下列说法正确的是( ) A ．当α＝0时，y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C ．幂函数的图象不可能出现在第四象限D ．若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，则α<06．[2022·北京五中高一期末]已知幂函数f (x )＝x α过点(2，8)，若f (x 0)＝－5，则x 0＝________．7．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，14)，则该函数的图象关于________对称．关键能力综合练1．已知幂函数y 1＝x a，y 2＝x b，y 3＝x c，y 4＝x d在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a >b >c >dB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >b >d >a 2．已知幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a ＋1为偶函数，则实数a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．1或23．幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x m －2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－34．已知幂函数f (x )＝(3m 2－2m )x 12－m满足f (2)>f (3)，则m ＝( ) A ．23 B ．－13C ．1D ．－1 5．[2022·河北沧州高一月考]已知函数f (x )＝x n的图象经过点(3，13)，则f (x )在区间[14，4]上的最小值是( ) A ．4 B ．14 C ．2 D ．126．[2022·辽宁高一期末](多选)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(12，2)，则( )A ．f (x )的图象经过点(2，4)B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点(116，14)，则m －2n ＋3k ＝________．8．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 的图象不经过原点，则实数m 的值为________．9．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．10．已知幂函数f (x )＝x 2m2－m －6(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是减函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性和单调性．核心素养升级练1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y |y ∈R 且y ≠0}；③在(－∞，0)上是减函数．则以下幂函数符合这三个性质的有( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝xC ．f (x )＝x －1D ．f (x )＝x －132．[2022·辽宁丹东高一期末]写出一个具有性质①②③的函数f (x )＝________． ①f (x )定义域为{x |x ≠0}； ②f (x )在(－∞，0)单调递增； ③f (ab )＝f (a )·f (b ).3．[2022·北京房山高一期末]已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )满足条件f (2－a )>f (a －1) ，试求实数a 的取值范围．3．3 幂函数必备知识基础练1．答案：C解析：形如y ＝x α的函数为幂函数，则y ＝x 3为幂函数． 2．答案：B解析：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D.3．答案：B解析：由于函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，所以函数y ＝x 12图象不关于y 轴对称，故A 错误；由于函数y ＝f (x )＝x 4的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )4＝f (x )，所以函数y ＝x 4关于y 轴对称，且经过了点(0，0)、(1，1)，故B 正确；由于y ＝x －2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数y ＝x －2不过点(0，0)，故C 错误；由于y ＝f (x )＝x 13的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )13＝－x 13＝－f (x )，所以y ＝x 13图象关于原点中心对称，故D 错误．4．答案：B解析：设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象经过点(2，2)， ∴2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝x 12＝x ，∴f (3)＝ 3. 5．答案：CD解析：对于选项A ，当α＝0时，y ＝x α的定义域为：{x |x ≠0，x ∈R }，所以函数的图象不是一条直线，故A 不正确；对于选项B ，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过(1，1)，但不一定经过(0，0)，如y ＝x －1，故B 不正确；对于选项C ，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C 正确；对于选项D ，若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，此时α<0，满足幂函数的性质，故D 正确．6．答案：－35解析：因为幂函数f (x )＝x α过点(2，8)，所以2α＝8，得α＝3，所以f (x )＝x 3，因为f (x 0)＝－5，所以x 30 ＝－5，得x 0＝－35. 7．答案：y 轴解析：设y ＝f (x )＝x α，由题意可得，2α＝14，解得α＝－2，所以f (x )＝x －2，函数为偶函数，故该函数的图象关于y 轴对称．关键能力综合练1．答案：B解析：根据幂函数y 1＝x a ，y 2＝x b ，y 3＝x c ，y 4＝x d在第一象限的图象知，b >c >1>d >0>a ，即b >c >d >a .2．答案：C解析：∵幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)xa ＋1为偶函数，∴a 2－3a ＋3＝1，且a ＋1为偶数，则实数a ＝1. 3．答案：A解析：因为f (x )＝(m 2－2m －2)xm －2是幂函数，故m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或－1，又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递减，所以需要m －2<0，则m ＝－1. 4．答案：C解析：由幂函数的定义可知，3m 2－2m ＝1，即3m 2－2m －1＝0，解得：m ＝1或m ＝－13，当m ＝1时，f (x )＝x －12在(0，＋∞)上单调递减，满足f (2)>f (3)；当m ＝－13时，f (x )＝x 56在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (2)>f (3)，综上：m ＝1.5．答案：B解析：由题意知13＝3n，∴n ＝－1.∴f (x )＝x －1在[14，4]上是减函数．∴f (x )＝x －1在[14，4]上的最小值是14.6．答案：BD解析：将点(12，2)代入f (x )＝x α，可得α＝－1，则f (x )＝1x ，因为f (2)＝12，故f (x )的图象不经过点(2，4)，A 错误；根据反比例函数的图象与性质可得：f (x )的图象关于原点对称， f (x )单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)，故BD 正确，C 错误．7．答案：0解析：因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点(116，14)，所以(116)n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0. 8．答案：－1解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x m2＋2m是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意；当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意；所以m ＝－1.9．解析：因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，故可得3α＝19，解得α＝－2，故f (x )＝x －2，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称；其函数图象如图所示：数形结合可知，因为f (x )的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；且f (x )在(0，＋∞)单调递减，在(－∞，0)单调递增．10．解析：(1)依题意2m 2－m －6<0，即(2m ＋3)(m －2)<0，解得－32<m <2，因为m ∈Z ，所以m ＝－1或m ＝0或m ＝1，所以f (x )＝x －3或f (x )＝x －6或f (x )＝x －5.(2)若f (x )＝x －3定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －3为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －6的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －6为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －5定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －5为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．核心素养升级练1．答案：CD解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项f (x )＝x 2为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，f (x )＝x 的值域为{y |y ∈R }，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件．2．答案：1x2(答案不唯一)解析：f (x )＝1x2的定义域为{x |x ≠0}，在区间(－∞，0)递增，且f (ab )＝1（ab ）2＝1a 2·1b2＝f (a )·f (b )，所以f (x )＝1x2符合题意．3．解析：(1)因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2)，则有(2)α＝2，所以α＝2，所以f (x )＝x 2.(2)因为f (－x )＝x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2为偶函数，又函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增，且f (2－a )>f (a －1)，所以|2－a |>|a －1|，所以4－4a ＋a 2>a 2－2a ＋1，解得a <32，所以满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为(－∞，32).。

人教新课标版数学高一-数学必修一课后训练 2.3.2幂函数

一、选择题1．下列幂函数中，定义域不是R 的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 12C ．y ＝x 35D ．y ＝x 43答案 B解析 B 中y ＝x 12 ＝x ，定义域为{x |x ≥0}．A 中y ＝x ，C 中y ＝x 35 ＝5x 3，D 中y ＝x 43 ＝3x 4，定义域均为R .2．[2015·襄阳四校高一期中]设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α组成的集合为( )A ．{－1,1}B ．{1,3} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，3 D ．{－1,3}答案 B解析满足定义域为R 的有1，3；满足奇函数的有－1，1,3.选B.3．[2015·哈尔滨高一检测]已知f (x )＝x 2015－a x－7，f (－3)＝10，则f (3)的值为( ) A ．3 B ．17C ．－10D ．－24答案 D解析 f (－3)＋f (3)＝(－3)2015＋a 3－7＋32015－a 3－7＝－14，∵f (－3)＝10，∴f (3)＝－24. 4．下列不等式在a b －1 B ．a 13 b － 23答案 D解析分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13 ，y ＝x 2，y ＝x － 23 ，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y＝x13，y＝x－23为(－∞，0)上的增函数，从而D不成立．5．[2016·荆门高一检测]函数y＝|x|9n(n∈N，n>9)的图象可能是()答案 C解析∵n∈N且n>9，∴0<9n<1，∴y＝|x|9n在(0，＋∞)上单调递增且增的比较慢．又∵y＝|x|9n是偶函数，∴选C.二、填空题6．[2015·深圳高一检测]若y＝axa2－12是幂函数，则该函数的值域是________．答案[0，＋∞)解析∵y＝axa2－12为幂函数，∴a＝1，∴y＝x12＝x，∴值域为y≥0.7．比较大小(填“>”或“<”)：(1)⎝⎛⎭⎫250.5________⎝⎛⎭⎫130.5；(2)(－π)3________(－3)3.答案(1)>(2)<解析(1)幂函数y＝x12在区间[0，＋∞)上是增函数，又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5.(2)幂函数y＝x3在区间(－∞，＋∞)上是增函数，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3.8．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)＝3，则f⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13解析设f (x )＝x α，则f (4)f (2)＝4α2α＝2α＝3，∴α＝log 23，即f (x )＝x log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213 ＝13. 三、解答题 9.已知函数y ＝x 23 .(1)求定义域；(2)判断奇偶性； (3)已知该函数在第一象限内的图象如右图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．解 (1)y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R .(2)设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数． (3)因为函数为偶函数，则作出它在第一象限内的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x 23的图象，如图所示．根据图象易知：函数y ＝x 23 在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．10．[2016·广州高一检测]幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，(1)求f (x )，g (x )的解析式．(2)x 为何值时f (x )>g (x )，x 为何值时f (x )<g (x )?解 (1)设f (x )＝x α，则(2)α＝2，所以α＝2，所以f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，则(－2)β＝14，所以β＝－2，所以g (x )＝x －2(x ≠0)．(2)从图象可知，当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．。

高一数学幂函数专项练习(含答案)

高一数学幂函数专项练习（含答案）高一数学幂函数专项练习幂函数专项练习1.下列幂函数为偶函数的是()A.y=x12B.y=3xC.y=x2D.y=x-1解析：选C.y=x2，定义域为R，f(-x)=f(x)=x2.2.若a0，则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a0.5aB.5a5-aC.0.5a5aD.5a0.5a解析：选B.5-a=(15)a，因为a0时y=xa单调递减，且155，所以5a5-a.3.设{-1,1，12，3}，则使函数y=x的定义域为R，且为奇函数的所有值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3解析：选A.在函数y=x-1，y=x，y=x12，y=x3中，只有函数y=x和y=x3的定义域是R，且是奇函数，故=1,3.4.已知n{-2，-1,0,1,2,3}，若(-12)n(-13)n，则n=________. 解析：∵-12-13，且(-12)n(-13)n，y=xn在(-，0)上为减函数.又n{-2，-1,0,1,2,3}，n=-1或n=2.答案：-1或21.函数y=(x+4)2的递减区间是()A.(-，-4)B.(-4，+)C.(4，+)D.(-，4)解析：选A.y=(x+4)2开口向上，关于x=-4对称，在(-，-4)递减.2.幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是()A.(0，+)B.[0，+)C.(-，0)D.(-，+)解析：选C.幂函数为y=x-2=1x2，偶函数图象如图.3.给出四个说法：①当n=0时，y=xn的图象是一个点;②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1);③幂函数的图象不可能出现在第四象限;④幂函数y=xn在第一象限为减函数，则n0.其中正确的说法个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选B.显然①错误;②中如y=x-12的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.4.设{-2，-1，-12，13，12，1,2,3}，则使f(x)=x为奇函数且在(0，+)上单调递减的的值的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选A.∵f(x)=x为奇函数，=-1，13，1,3.又∵f(x)在(0，+)上为减函数，=-1.5.使(3-2x-x2)-34有意义的x的取值范围是()A.RB.x1且x3C.-3解析：选C.(3-2x-x2)-34=143-2x-x23，要使上式有意义，需3-2x-x20，解得-36.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数，且在x(0，+)上是减函数，则实数m=()A.2B.3C.4D.5解析：选A.m2-m-1=1，得m=-1或m=2，再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-30，经检验得m=2.7.关于x的函数y=(x-1)(其中的取值范围可以是1,2,3，-1，12)的图象恒过点________.解析：当x-1=1，即x=2时，无论取何值，均有1=1，函数y=(x-1)恒过点(2,1).答案：(2,1)8.已知2.42.5，则的取值范围是________.解析：∵02.5，而2.42.5，y=x在(0，+)为减函数.答案：09.把(23)-13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________.解析：(76)0=1，(23)-13(23)0=1，(35)121，(25)121，∵y=x12为增函数，(25)12(35)12(76)0(23)-13.答案：(25)12(35)12(76)0(23)-1310.求函数y=(x-1)-23的单调区间.解：y=(x-1)-23=1x-123=13x-12，定义域为x1.令t=x-1，则y=t-23，t0为偶函数.因为=-230，所以y=t-23在(0，+)上单调递减，在(-，0)上单调递增.又t=x-1单调递增，故y=(x-1)-23在(1，+)上单调递减，在(-，1)上单调递增.11.已知(m+4)-12(3-2m)-12，求m的取值范围.解：∵y=x-12的定义域为(0，+)，且为减函数.原不等式化为m+403-2m3-2m，解得-13m的取值范围是(-13，32).12.已知幂函数y=xm2+2m-3(mZ)在(0，+)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性.解：由幂函数的性质可知m2+2m-3(m-1)(m+3)-3又∵mZ，m=-2，-1,0.当m=0或m=-2时，y=x-3，定义域是(-，0)(0，+).∵-30，y=x-3在(-，0)和(0，+)上都是减函数，又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x)，y=x-3是奇函数.当m=-1时，y=x-4，定义域是(-，0)(0，+).∵f(-x)=(-x)-4=1-x4=1x4=x-4=f(x)，函数y=x-4是偶函数.∵-40，y=x-4在(0，+)上是减函数，又∵y=x-4是偶函数，y=x-4在(-，0)上是增函数.。

人教A版高中数学必修第一册课后习题第3章函数的概念与性质 3.3 幂函数

3.3 幂函数课后训练巩固提升1.下列幂函数为偶函数的是( )A.y=x-3B.y=x 1 2C.y=xD.y=x-22.(多选题)下列说法正确的是( )A.当α=0时,y=xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)C.幂函数的图象不可能出现在第四象限D.若幂函数y=xα在区间(0,+∞)内单调递减,则α<0α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为两条射线,故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不经过点(0,0),故B不正确;CD 正确.3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3y=xα为奇函数,所以α=1,-1,3.又其定义域为R,所以α=1,3.4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递减的函数是( )A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x 1 2,其中y=x-2和y=x2是偶函数,y=x-1和y=x 12不是偶函数,故排除选项B,D.y=x2在区间(0,+∞)内单调递增,不符合题意,y=x-2在区间(0,+∞)内单调递减,符合题意,故选A.5.已知4个幂函数的图象如图所示,则图象与函数的解析式大致对应的是( )A.①y=x 13,②y=x2,③y=x12,④y=x-1B.①y=x 3,②y=x 2,③y=x 12,④y=x -1C.①y=x 2,②y=x 3,③y=x 12,④y=x -1D.①y=x 13,②y=x 12,③y=x 2,④y=x -11,排除A,D.图象②中对应的幂函数是偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增,所以幂指数必为正偶数,排除C,故选B.6.已知函数f(x)=x 12,若0<a<b<1,则下列各大小关系正确的是( )A.f(a)<f(b)<f (1a )<f (1b) B.f (1a )<f (1b)<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f (1b )<f (1a) D.f (1a )<f(a)<f (1b )<f(b)0<a<b<1,∴1a >1b >1. 又f(x)=x 12在区间[0,+∞)内单调递增,∴f(a)<f(b)<f (1b )<f (1a).7.若(a+1)12<(3-2a )12,则a 的取值范围是 .y=x 12在区间[0,+∞)内是增函数,所以{a+1≥0,3-2a≥0,a+1<3-2a,解得-1≤a<23.-1,23)8.比较下列各组中两个值的大小:(1)1.55与1.65; (2)0.64与0.74;(3)3.5-2与5.3-2; (4)0.18-7与0.15-7.设函数f(x)=x5,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,又1.5<1.6,所以1.55<1.65.(2)设函数f(x)=x4,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,又0.6<0.7,所以0.64<0.74.(3)设函数f(x)=x-2,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,又3.5<5.3,所以3.5-2>5.3-2.(4)设函数f(x)=x-1,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,又0.18>0.15,所以0.18-1<0.15-1.9.已知点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,14)在幂函数g(x)的图象上,则当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x)?f(x)=xα,则由题意得2=(√2)α,解得α=2,即f(x)=x2.再设g(x)=xβ,则由题意得1=(-2)β,4解得β=-2,即g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示.由图象可知:(1)当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);(2)当x=±1时,f(x)=g(x);(3)当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f(x)<g(x).。

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（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为，求该气体的流量速率（精确到）.
【答案】
1.（1）．（2）．
2.因为，所以为奇函数.
任取，且，则 .
因为，，
所以，即幂函数是增函数.
3.函数为偶函数；在上单调递减，在上单调递增.
4.（1） .（2） .（3） .
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
幂函数
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级学号课后Fra bibliotek习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），．
2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性．
3．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
4．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.
（1）写出气体流量率关于管道半径的函数解析式；
（2）若气体在半径为3 的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为的管道时，其流量速率的表达式；