概率论与数理统计3-2随机变量函数的数学期望
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
0
1 3
.
(3)
E(X 2)
x2 f ( x)dx
1 2x3dx
0
1 2
x4
1 0
1 2
.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
0
0
(
xex
)
0
exdx
0
1
e x
0
1
.
(3) 正态分布N(, 2)的数学期望
设X服从正态分布，其概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,
x ,
2
则 EX .
证明：E( X )
xf ( x)dx
＋
x
( x )2
e 2 2 dx
2
令t
x
1
(t
)e
t2 2
dt
甲： 环数 8
9 10 乙： 环数 8
9 10
P 0.4 0.2 0.4
P 0.2 0.5 0.3
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论与数理统计--数学期望EX分析解析课堂
21
均匀分布的期望
分布密度
f (x) ?
?? ?
b
1 ?
a
?? 0
a? x? b 其它
数学期望
? ? E( X) ?
??
xf (x)dx ?
b
x dx ? a ? b
??
a b? a
2
22
正态分布的期望
分布密度
X~ N (μ，σ2）
f (x) ?
1
? ( x? ? )2
e 2? 2
2? ?
数学期望
???
E(X) ? x
1
? ( x? ? )2
e 2? 2 dx
?? 2??
t
?
x?
?
?
??
??? (? t ? ? ) ??
1
? t2
e 2 ?? dt
2??
23
指数分布的期望
分布密度
f ( x)
?
??e?? x
?
?0
x? 0 x? 0
数学期望
? ? E(X) ?
??
xf (x)dx ?
?? x? e? ? xdx
(0 ? x ? 1) 其它
求E（XY ）
f2 ( y)
?
?e? ( y?5) , ? ? 0,
( y ? 5) 其它
? ? 解
?? ??
E[XY)] ?
xyf(x, y)dxdy
?? ??
?? ??
? ? ? ?? ?? xyf1(x) f2 ( y)dxdy
? ? ?
1
dx
??
xy?2x?e? ( y?5)dy
? 若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为 k
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
02 典型例题
应用 设市场上对某种产品每年需求量为X 吨 ，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解 设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
数学期望
《概率论与数理统计》第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—连续型E(ξ)=⎰-∞+∞xp(x)dx E(g(ξ))=⎰-∞+∞g(x)p(x)dx 2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：连续型E(X)=⎰-∞+∞xf X (x)dx=⎰-∞+∞⎰-∞+∞xf(x,y)dxdy E(Y)=⎰-∞+∞yf Y (y)dy=⎰-∞+∞⎰-∞+∞yf(x,y)dxdy 3.二维随机变量X 的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=⎰-∞+∞⎰-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 4.数学期望的性质E(c)=c ,E(a ξ)=a ξ,E(ξ±η)=E ξ±E η若ξ与η相互独立，则E(ξη)=E ξE η方差：1.随机变量方差的定义−−-D(X)=E[X-E(X)]2=EX 2–(EX)2D(X)=⎰-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx 2.方差性质：D(c)=0,D(a ξ)=a 2ξ,D(a ξ+b)=a 2D ξ,D(ξ±η)=D ξ+D η±2cov(ξ,η)若ξ与η相互独立，则D(ξ±η)=D ξ+D η协方差：1.ξ与η的协方差cov(ξ,η)=E[(ξ-E ξ)(η-E η)](或为σξη)2.协方差的性质：cov(ξ,ξ)=D ξcov(ξ,η)=cov(η,ξ),cov(ξ,c)=0cov(a ξ,b η)=ab cov(ξ,η),cov(ξ,η±ζ)=cov(ξ,η)±cov(ξ,ζ)3.协方差矩阵：设n 维随机变量X 1,X 2,…,X n ,记c ij =cov(X i ,X j )，则称阶矩阵C=(c ij )n ⨯n 为X 1,X 2,…,X n 的协方差矩阵例1：设ξ的密度函数p(x)=2x ∈[1，3]其它求：E ξ[解]∵1=⎰-∞+∞p(x)dx ∴c=3/2;E ξ=⎰-∞+∞xp(x)dx=⎰13x 32x 2dx=32lnx=32ln3.例2设x 1，x 2是随机变量ξ的两个任意取值，证明：E[(ξ-x 1+x 22)2]≥D ξ。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案
《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题一、选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( A).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( C).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A =(C) A B ⊃ (D) A B ⊂3、设()0P AB =, 则有( D ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)4、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D）（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=5、设,A B 为两个随机事件，且0()1P A <<，则下列命题正确的是（ A ）。
(A) 若()()P AB P A = ，则B A ,互不相容；(B) 若()()1P B A P B A += ，则B A ,独立；(C) 若()()1P AB P AB +=，则B A ,为对立事件；(D) 若()()()1P B P B A P B A =+=，则B 为不可能事件；6、设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ A ）（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -7、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ B ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥8、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ B ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.59、设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 为( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ B ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/511、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是(A ). (A) 110 (B) 18 (C) 15 (D) 16 12、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( D ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 214013、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( C ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 79 14、在编号为1,2,,n 的n 张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( B ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (B) 1n (D) 11n k ++ 15、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ A ）。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为 （或 ），其中参数 未知，则X的样本 的联
(1) 设总体X的概率密度函数为f(x), 则样本的联合密度函数为
(2)设总体X的概率函数为 , 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数 称为统计量, 是 的观测值.
注：（1）统计量 是随机变量； （2）统计量 不含总体分布中任何未知参数；
（3）统计量的分布称为抽样分布.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体 ,称为总体X的容量为n的样本。
注：⑴ 样本 是一个n维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性： 中每一个与总体X有相同的分布.② 独立性： 是相互独立的随机变量.
4.样本 的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1)非负性： (2)规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件 ，有 .
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
① ②
③若 ，则
④
注：性质的逆命题不一定成立的.如若 则 。（×）若 ，则 。（×）
三、古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
概率论与数理统计第四章数学期望
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
P(X=xk)=pk , k=1,2,…
E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和.
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利 润为
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手射中的环数分别为 X 1 , X 2 . 甲射手
击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
200
即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击90次,(命中的 环数是一个随机变量).射中次数 记录如下 命中环数 k 0 1 2 3
命中次数 nk
2 13 15
4 20
5
10
30
2 13 15 nk 10 20 30 频率 90 90 90 n 90 90 90 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1 3 200 0 4 4
50(元).
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局 B 胜1局 的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0 3 1 其概率分别为: 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 3 1 200 0 150(元). 等于 4 4
概率论与数理统计第四章期末复习
概率论与数理统计第四章期末复习(一)随机变量的数学期望1.数学期望的定义定义1设离散随机变量X 的分布律为)()(i i i x X P x p p ===， ,2,1=i ．若+∞<∑+∞=1i i i p x ，则称∑+∞==1)(i i i p x X E 为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．定义2设连续随机变量X 的密度函数为)(x f ．若+∞<⎰∞+∞-x x f x d )(，则称xx xf X E d )()(⎰∞+∞-=为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．2.随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数：)(X g Y =．设X 是离散型随机变量，其分布律为)(i i x X P p ==， ,2,1=i ，若∑+∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则有∑+∞===1)()]([)(i i i p x g X g E Y E ．设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，若⎰∞+∞-x x f x g d )()(绝对收敛，则有x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==．【例1】设随机变量X 的分布律为X 2-1-0123P1.02.025.02.015.01.0求随机变量X 的函数2X Y =的数学期望．【解】1.0315.022.0125.002.0)1(1.0)2()(222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=Y E 3.2=．【例2】设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=，其他．；，001)(ππx x f X ，求X Y sin =的数学期望．【解】x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==πππ2d 1sin 0=⋅=⎰x x ．【例3】某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X (单位：吨)服从)500,300(上的均匀分布．每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)．问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？【解】设该公司应该组织a 吨货源，则显然应该有500300≤≤a ．又记Y 为在a 吨货源条件下的收益额(单位：千元)，则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(X g Y =．由题设条件知：当a X ≥时，此a 吨货源全部售出，共获利a 5.1．当a X <时，则售出X 吨(获利X 5.1)，且还有X a -吨积压(获利)(5.0X a --)，所以共获利a X X a X 5.02)(5.05.1-=--．由此知⎩⎨⎧<-≥=．，；，a X a X a X a X g 5.025.1)(则x x g x x f x g Y E X 2001)(d )()()(500300⎰⎰==∞+∞-]d 5.1d )5.02([2001500300x a x a x a a ⎰⎰+-=)300900(200122-+-=a a ．易知，当450=a 时，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织450吨货源．定理2设随机变量Z 是随机变量X ，Y 的连续函数：),(Y X g Z =．设),(Y X 是二维离散型随机变量，其联合分布律为),(j i ij y Y x X P p ===，,2,1,=j i ，若∑∑+∞=+∞=11),(i j ij j i p y x g 收敛，则有∑∑+∞=+∞===11),()],([)(i j ij j i p y x g Y X g E Z E ．设),(Y X 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为),(y x f ，若y x y x f y x g d d ),(),(⎰⎰∞+∞-∞+∞-收敛，则有y x y x f y x g Y X g E Z E d d ),(),()],([)(⎰⎰∞+∞-∞+∞-==．【例4】设随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．，，，，010102),(y x y x y x f 求)(X E ，)(XY E ．【解】⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(125d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(61d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x xy ．3.数学期望的性质性质1若a 是常数，则a a E =)(．性质2对任意常数a ，有)()(X aE aX E =．性质3对任意的两个函数)(1x g 和)(2x g ，有)]([)]([)]()([2121X g E X g E X g X g E +=+．性质4设),(Y X 是二维随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+．推广到n 维随机变量场合，即)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ．性质5若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E =．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =．【例5】设随机变量X 与Y 相互独立，X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，则=-)2(Y X E ．【解析】因为X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，所以1)(-=X E ，1)(=Y E ，故3)(2)()2(-=-=-Y E X E Y X E ．(二)随机变量的方差1.方差的定义定义1设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为)(X D ，即})]({[)(2X E X E X D -=．称方差的平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ或X σ．定理1(方差的计算公式)【例1】设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-+=其他．，；，；，0101011)(x x x x x f ，求)(X D ．【解】0d )1(d )1()(101=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，61d )1(d )1()(120122=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，所以61)]([)()(22=-=X E X E X D ．2.方差的性质性质1常数的方差为0，即0)(=c D ，其中c 是常数．性质2若a ，b 是常数，则)()(2X D a b aX D =+．性质3若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=±．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=±±± ．【例2】已知2)(-=X E ，5)(2=X E ，求)31(X D -．【解】9})]([)({9)()3()31(222=-=-=-X E X E X D X D ．(三)常见随机变量的数学期望、方差1.两点分布X ～),1(p b p X E =)(，)1()(p p X D -=．2.二项分布X ～),(p n b np X E =)(，)1()(p np X D -=．3.泊松分布X ～)(λP λ=)(X E ，λ=)(X D ．4.均匀分布X ～),(b a U )(21)(b a X E +=，12)()(2a b X D -=．5.指数分布X ～)(λE λ1)(=X E ，21)(λ=X D ．6.正态分布X ～),(2σμN μ=)(X E ，2)(σ=X D ．【例1】设X ～),(p n b 且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则下列结论正确的是()A ．15=n ，4.0=pB ．20=n ，3.0=pC ．10=n ，6.0=p D ．12=n ，5.0=p 【解析】6)(==np X E ，6.3)1()(=-=p np X D ，解之得15=n ，4.0=p ．正确选项为A ．【例2】若X ～)5,2(N ，Y ～)1,3(N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XY E ()A ．6B ．2C ．5D ．15【解析】因为X ～)5,2(N ，所以2)(=X E ，因为Y ～)1,3(N ，3)(=Y E ，故6)()()(==Y E X E XY E ，正确选项为A ．【例3】X 与Y 相互独立，X ～)2(P ，Y ～)1(E ，则=-)2(Y X D ．【解析】因为X ～)2(P ，所以2)(=X D ，因为Y ～)1(E ，所以1)(=Y D ，又因为随机变量X 与Y 相互独立，所以9)()1()(2)2(22=-+=-Y D X D Y X D ．(四)协方差、相关系数与矩1.协方差定义1设),(Y X 是一个二维随机变量，若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为),(Cov Y X ．即)]}()][({[),(Cov Y E Y X E X E Y X --=．定理1)()()(),(Cov Y E X E XY E Y X -=．【例1】设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：求协方差),(Cov Y X ．【解】由题易得32)(=X E ，0)(=Y E ，0311131003111)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=XY E ．于是0)()()(),(Cov =-=Y E X E XY E Y X ．定理2若X 与Y 相互独立，则0),(Cov =Y X ，反之不然．定理3对任意二维随机变量),(Y X ，有),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±．关于协方差的计算，还有下面四条有用的性质．性质1协方差),(Cov Y X 的计算与X ，Y 的次序无关，即),(Cov ),(Cov X Y Y X =．性质2任意随机变量X 与常数a 的协方差为零，即0),(Cov =a X ．性质3对任意常数a ，b ，有),(Cov ),(Cov Y X ab bY X a =．性质4设X ，Y ，Z 是任意三个随机变量，则),(Cov ),(Cov ),(Cov Z Y Z X Z Y X +=+．2.相关系数定义2设),(Y X 是一个二维随机变量，且()0D X >，()0D Y >，则称Y X XY Y X Y D X D Y X σσρ),(Cov )()(),(Cov ==为X 与Y 的相关系数．性质11≤XY ρ．性质21=XY ρ的充要条件是X 与Y 间几乎处处有线性关系，即存在)0(≠a 与b ，使得1)(=+=b aX Y P ．其中当1=XY ρ时，有0>a ；当1-=XY ρ时，有0<a ．性质3设随机变量X 与Y 独立，则它们的相关系数等于零，即0=XY ρ．【例2】设1)()(==Y D X D ，21=XY ρ，则=+)(Y X D 3．【解析】因为21)()(),(Cov ==Y D X D Y X XY ρ，所以)()(21Y D X D XY =ρ21=，故),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+3=．【例3】已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E 6．【解析】)]2([3)]2(3[22-=-X E X E }2)]([)({32-+=X E X D 6=．【例5】设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．，，，，02020)(81),(y x y x y x f 求),(Cov Y X ，)(Y X D +和XY ρ．【解】⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(67d d )(822=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(2235d d )(820202=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(34d d )(82020=+=⎰⎰y x y x xy ，由轮换对称性，有67)(=Y E ，35)(=Y E ，361)()()(),(Cov -=-=Y E X E XY E Y X ，3611)]([)()()(22=-==X E X E X D Y D ，95),(Cov 2)()()(=++=+Y X Y D X D Y X D ，111)()(),Cov(-==Y D X D Y X XY ρ．。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量是概率论中的重要概念，用于描述随机事件的数值特征。
期望值是随机变量的一个重要指标，表示随机变量的平均值或中心位置。
本文将介绍随机变量的期望值计算方法。
一、离散型随机变量的期望值计算离散型随机变量是指取有限个或可列个数值的随机变量。
设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率为p1,p2,...,pn。
则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn例如，设X表示掷一枚骰子的结果，其可能的取值为1,2,3,4,5,6，对应的概率均为1/6。
则X的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) +6*(1/6) = 3.5二、连续型随机变量的期望值计算连续型随机变量是指取无限个数值的随机变量。
设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，积分区间为X的取值范围。
例如，设X表示从0到1之间均匀分布的随机变量，其概率密度函数为f(x) = 1，0<x<1。
则X的期望值为：E(X) = ∫x*1dx (积分区间为0到1)= [x^2/2]0^1= 1/2三、随机变量函数的期望值计算若Y是X的函数，且X是一个随机变量，则Y的期望值E(Y)的计算公式为：E(Y) = E(g(X))其中，g(X)表示X的函数。
例如，设X表示掷一枚骰子的结果，Y表示X的平方。
则Y的期望值为：E(Y) = E(X^2)= 1*(1/6) + 4*(1/6) + 9*(1/6) + 16*(1/6) + 25*(1/6) + 36*(1/6)= 15.1667四、期望值的性质1. 若c是常数，则E(c) = c。
2. 若X和Y是随机变量，a和b是常数，则E(aX + bY) = aE(X) +bE(Y)。
概率论与数理统计01第一节随机变量的数学期望
第三章 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数， 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性。
但在许多实际问题中， 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况， 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时， 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时， 既要注意纤维的平均长度， 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大， 偏离程度小， 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩。
第一节 随机变量的数学期望内容要点：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评判事物、作出决策等具有重要作用。
定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i如果∑∞=1i i i p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望（又称均值）为 .)(1∑∞==i i i p x X E二、连续型随机变量的数学期望定义 设X 是连续型随机变量， 其密度函数为)(x f ,如果⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛， 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞∞-=dx x xf X E三、 随机变量函数的数学期望设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数，则)(X g Y =也是一随机变量， 理论上， 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂。
下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1 设X 是一个随机变量， )(X g Y =，且)(Y E 存在, 则 （1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则Y 的数学期望为.)()]([)(1∑∞===i i i p x g X g E Y E（2) 若X 为连续型随机变量， 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为.)()()]([)(⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E注: (i)定理的重要性在于：求)]([X g E 时， 不必知道)(X g 的分布， 只需知道X 的分布即可。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
大学_新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载
新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载新编概率论与数理统计(肖筱南著)特色及评论第一章随机事件及其概率1 随机事件及其运算一、随机现象与随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系与运算习题1-12 随机事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义习题1-2(1)三、概率的几何定义四、概率的公理化定义与性质习题1-2(2)3 条件概率与全概率公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯(bayes)公式习题1-34 随机事件的独立性一、事件的相互独立性二、伯努利(bernoulli)概型及二项概率公式习题1-45 综合例题一、基本概念的理解二、几种典型的古典概型问题三、有关概率加法公式的应用四、条件概率和乘法公式五、全概率公式和贝叶斯公式的应用六、独立性的性质与应用七、二项概率公式的应用总习题一第二章随机变量及其分布1 离散型随机变量及其分布律一、随机变量的定义二、离散型随机变量及其分布律三、常见的离散型随机变量的分布习题2-12 随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、分布函数的性质习题2-23 连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量的.概率密度二、连续型随机变量的性质三、离散型随机变量与连续型随机变量的比较习题2-34 几种常见的连续型随机变量的分布一、均匀分布二、指数分布三、正态分布习题2-45 随机变量函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-56 二维随机变量及其联合分布函数一、二维随机变量的概念二、联合分布函数的定义及意义三、联合分布函数的性质习题2-67 二维离散型随机变量一、联合分布律二、边缘分布律三、条件分布律习题2-78 二维连续型随机变量一、联合概率密度二、边缘概率密度三、两种重要的二维连续型分布四、条件概率密度习题2-89 随机变量的相互独立性一、随机变量相互独立的定义二、离散型随机变量相互独立的充分必要条件三、连续型随机变量相互独立的充分必要条件四、二维正态变量的两个分量相互独立的充分必要条件习题2-910 两个随机变量的函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-1011 综合例题一维部分一、基本概念的理解二、求随机变量概率分布中的未知参数三、求分布律四、求分布函数五、已知常见分布，求相关概率六、随机变量函数的分布二维部分一、基本概念的理解二、二维离散型随机变量三、二维联合分布函数四、二维联合概率密度总习题二第三章随机变量的数字特征1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质习题3-12 方差一、方差的定义二、常见分布的方差三、方差的性质习题3-23 协方差与相关系数一、协方差二、相关系数三、相关系数的意义习题3-34 矩与协方差矩阵习题3-45 综合例题一、基本概念的理解二、数学期望和方差的应用三、有关数字特征的计算总习题三第四章大数定律与中心极限定理第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析新编概率论与数理统计(肖筱南著)本书目录《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》是根据教育部__新颁布的全国高校理工科及经济类“概率论与数理统计课程教学基本要求”并参考“理学、工学、经济学硕士研究生入学考试大纲”进行编写的。
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1
4
9
p( y j ) 0.25 0.40 0.25 0.10
于是数学期望
E(Y ) 0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
（2）设连续随机变量 X的概率密度为 f (x) , 则随机变
可列表如下：
Y g(x1) g(x2 ) g(xn ) p( y) p(x1) p(x2 ) p(xn )
则
E(Y ) Eg(x) g(xi )p(xi ).
i
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明：
(1) 一般来说,上表不一定是 Y g( X ) 的概率分布
解：随机变量 X 的概率密度为
所以
f (x) 1π , 0 ,
0 x π; 其它.
E(Y )
sin xf (x)dx
π sin x 1 dx
0
π
1
π
sin xdx
2.
π0
π
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明：也可以先求出Y sin X的概率密度
表，但有了这个表格就可以计算 Y 的数学期望.
例如：
设 g(xi ) g(xj ) yk , 则由加法定理有
此时
P(Y yk ) p(xi ) p(x j ),
yk P(Y yk ) yk[ p(xi ) p( y j )]
g(xi ) p(xi ) g(x j ) p(x j ).
补充例题
[例1] 设X 服从参数为1的指数分布,求 E( X e2X ) . 解： 已知 X ~ e(1) , 则 X 的概率密度为
ex , x 0 ; f (x)
0, x 0 . 则
E( X e2X ) (x e2x ) ex dx 0
E(g( X )) g(xi )p(xi ).
i
若 X 为一维连续随机变量，且 Y g( X ) ,则
E[g(X )] g(x) f (x)dx.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
二维情形
若 (X ,Y )为二维离散随机变量，且 Z g(X ,Y ) , 则
fY ( y) π
2, 1 y2
0 ,
再计算数学期望
0 y 1; 其它.
E(Y )
1
y 0π
2 dy 1 y2
2 1 π0
y dy 1 y2
2. π
但这样麻烦，从例1、例2 知： 计算随机变量函数的 数学期望不必求随机变量函数的分布.
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E[g( X ,Y )] g(xi , y j ) p(xi , y j )
ij
若(X ,Y )为二维连续随机变量，且 Z g(X ,Y ) ,则
E[g( X ,Y )] g(x , y) f (x , y)dxdy
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§3.2 随机变量函数的数学期望
ij
（2） 设二维连续随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
f (x , y) , 则随机变量函数 g( X ,Y )的数学期望为
Eg(X ,Y )
g(x , y) f (x , y)dxdy.
注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.
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量的函数 Y g( X ) 的数学期望定义为
E(Y
)
Eg
(
X
)
g
(x)
f
( x)dx.
注：假定这个反常积分是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X在区间 0 , 上服从均匀分布，
求随机变量函数Y sin X的数学期望.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例3] 设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为：
f
(x
,
y)
π(
x2
8 y2
1)3
,
x 0,y 0;
0
,
其它.
求随机变量函数 Z X 2 Y 2 的数学期望.
解： E(Z) E(X 2 Y 2 )
0
(x2
0
y2)
ห้องสมุดไป่ตู้
π( x 2
8 y2
(2) 若 X的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右
边为级数. 假定这个级数是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例1] 设随机变量X 的概率分布为
X 2 1 0 1 2 3 p(xi ) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 求随机变量函数 Y X 2的数学期望.
第三章 随机变量的数字特征
§3.2 随机变量函数的数学期望
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§3.2 随机变量函数的数学期望
1.一维随机变量函数的数学期望
（1） 设离散随机变量X 的X 概率分布为
X
x1
x2
xn
p(xi ) p(x1) p(x2 ) p(xn )
则随机变量 Y g( X ) 的可能值与取得这些值的概率
解：直接按公式计算
E(Y ) (2)2 0.10 (1)2 0.20 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10
2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
另解：先求随机变量 Y X 2的概率分布
Y X2 0
1)3
dxdy
8 π
0
0
x2 (x2
y2 y2
1)3dxdy
8
π
2 d
0
0
(r
r2 2
1)3
rdr
8π1 π24
1.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
小结
一维情形
若 X 为一维离散随机变量，且 Y g( X ) ,则
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
2.二维随机变量函数的数学期望
（1） 设二维离散随机变量( X ,Y )的联合概率函数为 p(xi , y j ) , i 1 ,2 j 1 ,2
则随机变量函数 g( X ,Y ) 的数学期望为
Eg( X ,Y ) g(xi , y j ) p(xi , y j ).