2020高考数学复习题
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
2020届高考数学专题复习-集合的基本关系(解析版)
2020届高考数学专题复习-1.2 集合的基本关系一、选择题1．下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：2．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =（ ） A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2【答案】B 【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选：B3．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】集合．为自然数集，在A 中，，正确；在B 中，，正确； 在C 中，，正确；在D 中，不是的子集，故D 错误． 故选：D ．4．_____横线上可以填入的符号有（ ）A ．只有B ．只有C．与都可以D．与都不可以【答案】C【解析】，或．故选：C．5．已知集合，且，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，即故选：A6．已知集合，则M的非空子集的个数是（）A．15 B．16 C．7 D．8【答案】C【解析】,所以的非空子集为共7个，故选C.7．下列写法正确的是（）A．B．0C．D．【答案】A【解析】是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于符号.故答案为:A.8．已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选：．9．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。
2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练
专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020年高考数学一轮复习考点28数列的概念与简单表示法必刷题
考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )12A ．5 B ．72C ．D ．92132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝，a 2＝2，12∴a n ＝Error!∴S 21＝11×＋10×2＝.(－32)722、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )A.a n =2n 2+3n-1B.a n =n 2+5n-5C.a n =2n 3-3n 2+3n-1D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C 【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则的值是( )a 3a 5A. B ． 1516158C ．D ． 3438【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝，∴a 4＝＋(－1)1212124，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝，∴＝×＝.23a 3a 51232344、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( )A.1B.-1C.2 017D.-2 017【答案】B 【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1.5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足≤2的正整数n 的集合为( )an n A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．an n 6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(n ∈N *)，则a 2 018的值为( )1＋an1－an A ．－8 B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝(n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－，a 4＝，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，1＋an 1－an 1213所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018=( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A 【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1),两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3,即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1),结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2,则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞) B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A 【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A.9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( )A ．19 B ．20C ．21D ．22【答案】B 【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，＝，则an an －1n ＋1n －1a n ＝a 1×××…×＝2×××…×＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以(a 2a 1)(a 3a 2)(an an －1)3142n ＋1n －1n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}【答案】A 【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=,S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= .【答案】3 【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝Error!则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= .【答案】121 【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1,所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋，则{a n }的通项公式a n ＝________.1323【答案】n －1(－12)【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1＋，1323∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －a n －1，∴＝－.1313an an －112∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－的等比数列，故a n ＝n －1.12(－12)16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= .【答案】0 【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-,a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0.17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n -1 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n ,∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) ，n ∈N *n 3－n 2＋2n 2【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由Error!得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *.(2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴－＝n ，bn ＋1n ＋1bn n 故－＝n －1，…，－＝2，－＝1，n ≥2，bn n bn －1n －1b 33b 22b 22b 11将上面各式累加得－＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝，bn n b 11n n －1 2∴b n ＝，n ∈N *.n 3－n 2＋2n 219、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2，[12·(32)n －2＋a －3]当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.(32)又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝.1＋an an (1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；52(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围．【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.3×42(2)∵a 1＝－，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－＋(n －1)＝n －，525272∴b n ＝1＋＝1＋.1an 1n －72∵函数f (x )＝1＋在和上分别是单调减函数，1x －72(－∞，72)(72，＋∞)∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1.(3)由b n ＝1＋，得b n ＝1＋.1an 1n ＋a 1－1又函数f (x )＝1＋在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，1x ＋a 1－1y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8，∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6，∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。
2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)
4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2） 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ） 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有g (x + 2 = g (x ) ， 且 当x ∈[0, ] 时 ， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 ；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】 （1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 ， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ， 当 2x = - 时 ， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ， 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 （Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ， 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝ ，＝ ＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝． 又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。
2020高考复习数学：概率(附答案)
利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！一、选择题（每小题5分，共60分）1.从含有10个元素的集合的全部子集中任取一个，所取的子集是含有3个元素的集合的概率是A.103 B.121 C.6445D.12815 解析：含有3个元素的集合个数为C 310，所有子集的个数为210， 所求概率P =103102C =12815. 答案：D2.把红、白、黑三张卡片随机地分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.互斥非对立事件B.对立事件C.互相独立事件D.以上都不对解析：由定义可得，选A. 答案：A3.甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7，二人同时射击互不影响，结果都命中的概率是A.0.56B.0.06C.0.14D.0.24解析：P =0.8×0.7=0.56，选A. 答案：A4.一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P 1，第二次取得合格品的概率是P 2，则A.P 1>P 2B.P 1=P 2C.P 1<P 2D.P 1=2P 2解析：P 1=108=54，P 2=2101819A C C =54，所以P 1=P 2.答案：B5.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是98的是A.颜色全同B.颜色全不同C.颜色无红色D.颜色不全同解析：先计算颜色全相同的概率为P =3333⨯⨯=91，所以98是颜色不全同的概率.答案：D6.一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为A.11716B.11732C.398 D.3916解析：由22711216C C C =398.故选C.答案：C7.从1，2，…，6这六个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.95 B.94C.61D.65解析：3个数的和为偶数可能都是偶数或2个奇数1个偶数，其取法为C 33+C 23C 13.∴P =36132333C C C C ⋅+=61.故选C.答案：C8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌齐全的概率是A.51 B.52C.53D.54解析：品牌齐全的取法有C 13C 12， 故所求概率P =251213C C C =53.答案：C9.设两个独立事件A 和B 均不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （A ）是A.92 B.181 C.31D.32解析：设A 、B 发生的概率分别为p 1、p 2，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--).1()1(,91)1)(1(122121p p p p p p 解得p 1=p 2=32.故选D.答案：D10.（2004年潍坊市模拟题）一次课改经验交流会打算交流试点类学校的论文5篇和非试点类学校的论文3篇.排列次序可任意排列，则最先和最后交流的论文不来自同类学校的概率是A.5615B.2815C.2813D.5613解析：最先和最后交流论文来自不同学校的取法为C 15C 13A 22A 66.∴所求概率P =8866221315A A A C C =2815.答案：B11.甲袋内装有白球3个、黑球5个，乙袋内装有白球4个、黑球6个.现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一个球放入甲袋，则甲袋内白球没有减少的概率为A.4437B.4435C.4425D.449解析：分两类.（1）若从甲袋取黑球，其白球没有减少的概率P 1=1111811115C C C C .（2）若从甲袋中取白球，同样P 2=111181513C C C C .故白球没有减少的概率P =1111811115C C C C +111181513C C C C =8855+8815=4435.答案：B12.如果一个人的生日在星期几是等可能的，那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天，但不是都在同一天的概率是A.662772)(2C - B.662774)(2C - C.762762)(2A -D.76276)42(A -解析：（1）每个人生日都有7种可能，故共有76种；（2）集中在两天中，故为C 27（26－2）（每人生日有两种可能，集中在同一天也为2种）.所以P =66267)22(C -，故选A.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年广东，13）某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是________.（用分数作答）解析：2名女生当选的取法为C 23，1名女生当选的取法为C 14C 13.∴概率为27131423C C C C +=75.答案：7514.（2005年春季上海，6）某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.（结果用最简分数表示）解析：∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C 138种， ∴P =340138C C =2601.答案：2601 15.某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是________.解析：至少有两个顾问作出正确决定即可.P =C 23·0.82·0.2+0.83=0.896.答案：0.89616.六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是________.解析：6位同学共有A 66种排法，其中后排每人均比前排同学高，共有A 33A 33种排法，故其概率为663333A A A =201. 答案：201 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知集合A ={－8，－6，－4，－2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的坐标x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，计算：（1）点（x ，y ）正好在第二象限的概率； （2）点（x ，y ）不在x 轴上的概率. 解：（1）P 1=291414A A A =92.（2）P 2=291828A A A =98（或P 2=1－29A 8=98.2，∴点（x，y）正好在第二象限的概率是98.点（x，y）不在x轴上的概率是918.（12分）某商店采用“购物摸球中奖”促销活动，摸奖处袋中装有10个号码为n（1≤n≤10，n∈N*），重量为f（n）=n2－9n+21（g）的球.摸奖方案见下表：说明：凭购物发票到摸奖处，按规定方案摸奖；这些球以等可能性从袋中摸出；假定符合条件的顾客均参加摸奖.试比较方案①与②的中奖概率的大小.解：当球的重量小于号码数时，有n2－9n+21<n，解得3<n<7.∵n∈N*，∴n的取值为4，5，6.3.∴所求的概率为P1=10设第n号与第m号的两个球的重量相等，不妨设n<m，则有n2－9n+21=m2－9m+21，即（n －m ）（m +n －9）=0. ∵n ≠m ，∴m +n =9.∴（n ，m ）的取值满足（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）. ∴所求的概率为P 2=210C 4=454. ∴P 1>P 2，即方案①的中奖概率大.19.（12分）如图，电路中4个方框处均为保险匣，方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率，假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.求：（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断的概率； （2）通电后电路在一天内不断路的概率.解：以A 、B 、C 、D 分别记为各处保险丝不被烧断的事件，则它们的对立事件为A 、B 、C 、D ，依题意各事件是相互独立的.（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断包括两种情况：A 被烧断但B 不被烧断，即A ·B 事件发生； A 不被烧断但B 被烧断，即A ·B 事件发生.由题意事件A ·B 与A ·B 互斥， 故所求概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=（1－21）×32+21×（1－32）=21.（2）左电路系统不断路的概率为1－P （A ·B ·C ）=1－P （A ）P （B ）P （C ）=1－（1－21）（1－32）（1－43）=2423.一天内电路不断路的概率为2423×54=3023.20.（12分）某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：（1）2次都遇到红灯的概率； （2）至少遇到1次红灯的概率.（1）解：记“他第一次遇到红灯”为事件A ，记“他第二次遇到红灯”为事件B .由题知，A 与B 是相互独立的，因此，“他两次都遇到红灯”就是事件A ·B 发生.根据相互独立事件的概率乘法公式，得P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=0.6×0.6=0.36.答：他两次都遇到红灯的概率是0.36.（2）解法一：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”.∴A ·B =“他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A ·B =“他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并有A ·B 与A ·B 是互斥的，因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=（1－0.6）×0.6+0.6×（1－0.6）=0.48.∴他至少遇到1次红灯的概率是P （A ·B ）+P （A ·B +A ·B ）=0.36+0.48=0.84.答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.解法二：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”.∴A ·B =“他两次都没有遇到红灯”，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－0.6）×（1－0.6）=0.16.∴他至少遇到1次红灯的概率是P =1－P （A ·B ）=1－0.16=0.84. 答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.21.（12分）（理）现有5个工人独立地工作，假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.（1）求在同一时刻有3个工人需要电力的概率；（2）如果最多只能供应3个人需要的电力，求超过负荷的概率. 解：（1）依题意，每名工人在1小时内需要电力的概率是P =6012=51.因此，在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P 1=C 35（51）3（54）2=0.0512.（2）超负荷的概率为P 2=C 45（51）4（54）+C 55（51）5=6254+31251=0.00672. （文）甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别是0.7和0.8，每人投篮两次.（1）求甲进2球，乙进1球的概率；（2）若投进1球得2分，未投进得0分，求甲、乙二人得分相等的概率.解：（1）依题意，所求概率为P 1=C 220.72·C 120.8×0.2=0.1568.（2）甲、乙二人得分相等的概率为P2=C220.72·C220.82+C120.7×0.3×C120.8×0.2+0.32×0.22=0.3136+0.1344+0.0036=0.4516.22.有点难度哟！（14分）某数学家随身带着甲、乙两盒火柴，每盒有n根，每次用时，随机地任取一盒，然后从中抽取一根（巴拿赫火柴问题）.求：（1）第一次发现一盒空时，另一盒恰剩r根火柴的概率（r=0，1，…，n）；（2）第一次用完一盒火柴（不是发现空）时另一盒恰剩r根火柴的概率（r=1，2，…，n）.分析：第n+1次取到甲盒时，才发现甲盒空，但第n次取甲盒后即已用完甲盒火柴.因此（1）（2）中的两个事件不同.解：（1）记A=“首次发现一盒空时另一盒恰剩r根火柴”，B=“首次发现的空盒是甲盒且此时乙盒恰剩r根火柴”，C=“首次发现的空盒是乙盒且此时甲盒恰剩r根火柴”.则事件B与C互斥，A=B+C.由于甲、乙盒所处地位相同，故P（B）=P（C）.为求P（B），令D=“在甲、乙两盒中任取一盒，得到甲盒”，则P（D）=21.事件B发生相当于独立重复地做了2n－r+1次试验，前2n－r次D 恰好发生n 次、第2n －r +1次D 也发生.因此P （B ）=C n r n -2（21）n （1－21）n －r ·21 =1221+-r n C nr n -2， P （A ）=P （B ）+P （C ）=2P （B ）=rn -221C n r n -2.（2）记E =“首次用完一盒时另一盒恰有r 根”，F （G ）=“首次用完的是甲（乙）盒且此时乙（甲）盒恰有r 根火柴”.则事件F 与G 互斥，E =F +G .事件F 发生相当于独立重复地做了2n －r 次试验，前2n －r －1次D 恰好发生n －1次，第2n －r 次D 也发生.故P （F ）=C 112---n r n （21）n －1（1－21）n －r ·21=12221--⨯r n C 112---n r n .类似（1），P （E ）=P （F ）+P （G ）=2P （F ）=1221--r n C 112---n r n . 评述：改记A 为A r ，则A 0，A 1，…，A n 彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 0rn -221C 12--n r n =1；改记E 为E r ，则E 1，E 2，…，E n 也彼此互斥，和是必然事件， 故∑=nr 1121--r n C 112---n r n =1.因此使用概率方法我们可以得到一些恒等式. （1）中分别取r =0和n ，得P （首次发现一盒空时另一盒也空）=C n n2n221， P （首次发现一盒空时另一盒原封未动）=n21；（2）中取r =n ，得1 n .P（用完一盒时另一盒原封未动）=12。
【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。
2020年 高考数学(文科)常考基础题、易错题 提分必刷题之 导数的概念及运算
第1讲导数的概念及运算一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 26．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8二、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数：①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题
解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。
5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。
2020高考数学(文)刷题首选卷：函数的定义域和值域(含解析)
考点测试5 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3] 答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞．12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1)解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．三、模拟小题19．(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．(2018·河南联考)已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．(2018·江西南昌三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0)D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．(2018·邵阳石齐中学月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．(2019·汕头模拟)函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________． 答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．一、高考大题1．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．(2018·山东青岛月考)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．(2019·山西太原一中月考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1．4．(2018·陕西渭南尚德中学一模)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3． (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．。
2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一 数列求和 【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一 数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2； 当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二 数列与函数的综合问题 【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二 数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)， 所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 题型三 数列与不等式的综合问题 【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32. 题组训练三 数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解 由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明 法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立． 综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2； 经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1， 故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， 即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n . (2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)， 因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2， 当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ， 又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n 2n －1， 假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t 2t －1成等差数列， 即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s 2s －1＞1，即2s ＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增， 若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求； 当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列．。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题—— 取整函数【解析版】
2020年高考数学一轮复习 重点突破必刷题——取整函数一、选择题x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D【解析】因为 )(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.故选D2.设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 A. [－x ] ＝－[x ] B.[2x ] ＝ 2[x ] C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D. [x －y ]≤[x ]－[y ] 【答案】D【解析】取x=2.5,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A 错误；[2x]=[5],2[x ]=2[2.5]=4,所以B 错误；再取y=2.8，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 错误；故选D.3.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<的 （ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【解析】若][][y x =m =，则1+<≤m x m ，1+<≤m y m ，∴11≤-≤-y x 即1x y -<， 另外取9.0,1==y x ，则1x y -<，但是][][y x ≠，∴][][y x =是1x y -<的充分而不必要条件. 4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数， []x 就是x ，当x 不是整数时， []x 是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[][][]22, 1.52,2.52-=--=-=.求][][][2222111log log log log 1432⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦][][][2222log 1log 2log 3log 4⎡⎤++++⎣⎦的值为（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．1 【答案】C【解析】22222221112,21,1,10,21,132,42432log log log log log log log =--<<-=-==<<=， 由“取整函数”的定义可得，[][][][]222222211112344322210112 1.log log log log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=---++++=- 故选C. 5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如时，应缴费2元，此时，，排除A 、B ；当时，缴费为2元，此时排除D ，故选C6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数][x y =（][x 表示不．大于．．x 的最大整数）可以表示为（ ） （A ）]10[x y = （B ）]103[+=x y （C ）]104[+=x y （D ）]105[+=x y 【答案】C【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B 中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知5[][6]610x y +===，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C. 7.已知当[],x R x ∈表示不超过x 的最大整数，称[]y x =为取整函数，例如[][]1,21,2,33=-=-，若()[]f x x =，且偶函数()()()2110g x x x =--+≥，则方程()()()f f x g x =的所有解之和为（ ）A ．1B ．-2 C3 D．3 【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，又()g x 为偶函数，所以()()()()221111g x g x x x =-=---+=-++．由()[]f x x =，得()()[]f f x x =．在同一坐标系中画出()()f f x 与()g x 的图象，如图所示．由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3,4--，当0x ≥时，方程()()()ff xg x =的解是0和1；当0x <时，由()()2113g x x =-++=-解得3x =-，由()()2114g x x =-++=-解得1x =-上，得()()()ff xg x =的所有解之和为01313+--=--D ．8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】)12(21221212)(+-=-+=x x x x x f ,且)()21(221)12(212)(x f x f x xx x -=+-=+-=---，即函数)(x f 为奇函数；又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+-=21,2112121)(x x f ；当0)(=x f 时，[][]0)()(=-+x f x f ；当0)(≠x f 时，不妨设0)(>x f ，则[]0)(=x f ，[]1)(-=-x f ，则[][]1)()(-=-+x f x f ；故选B ．9.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】当2≤x ＜3时，[x]＝＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，＝2；[]x []x x [2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-21()122x x f x =-+[()][()]y f x f x =+-{}0{}1,0-{}1,0,1-{}2,0-当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，＝3．符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝的概率为321523-=-． 故选B ．10．定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x=，()1g x x =-，若用d 表示不等式()f x <解集区间长度，则03x ≤≤当时有（ ）A ．1d =B ．2d = C. 3d = D ．4d = 【答案】A【解析】()[]{}[][]()[][]()()[][]22,,1,f x x x x x x x x x f x g x x x x x =⋅=-=-<-<-由得即[]()[]211x x x -<-,当[)[]0,1,0=∈x x 时,不等式的解为1>x ,不符合题意；当[)2,1∈x 时,[]1=x ,不等式无解,不合题意；当[]3,2∈x 时,[]1>x ,不等式可化为[]1+<x x ,此时不等式恒成立,所以不等式解集为32≤≤x .综上可得不等式()()x g x f <解集区间的长度为1=d ,故选A.11．对任意正整数n 与，表示不超过（表示不超过实数x 的最大整数）且与n 互素的正整数的个数.则（）.A ．l1B ．13C ．14D ．19 【答案】C 【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17个奇数，再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14. 12．设表示不超过x 的最大整数，Z 表示整数集，方程的解集为M ，则有（）.A ．B ．C ．D ．M 与Z 互不包含【答案】C 【解析】显然，.设，令.代入方程得.()g x而.当时，. 于是，a=0.当t=0时，，a=0，即，所以，.因此，. 故选C.二、填空题13.函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 .【答案】}{0,1,2,3【解析】①当-0.5＜x ＜0时，y=[x]+1的函数值为0； ②当0≤x ＜1时，y=[x]+1的函数值为1； ③当1≤x ＜2时，y=[x]+1的函数值为2； ④当2≤x ＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x ＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.14.对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知，．15.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是 ．【答案】(1,5)[10,20)⋃【解析】由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域 41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5）．CO 2=10，DO 2=20， 此时x 2+y 2∈[10，20）．所以x 2+y 2∈[1，5）∪[10，20）．16.][x 表示不超过x 的最大整数，则方程]2[][log sin 2xx =的解集为___________.【答案】{π≤≤x x 2|或25π=x }【解析】22211sin 1sin ≤≤∴≤≤-x ， ， }210{]2[sin ，，∈∴x ⑴若]2[][log sin 2xx==0，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 11log 02x x即⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 121x x ，该不等式组的解集为空集；⑵若]2[][log sin 2xx==1，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 12log 12x x即⎩⎨⎧<≤<≤1sin 042x x ， 解得π≤≤x 2；⑶若]2[][log sin 2xx ==2，则⎩⎨⎧=<≤1sin 3log 22x x即⎩⎨⎧=<≤1sin 84x x ，解得25π=x .综上得方程]2[][log sin 2xx=的解集为{π≤≤x x 2|或25π=x }.。
2020年高考总复习理科数学题库第一章《集合》QC
2020年高考总复习 理科数学题库第一章 集合学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a =I 的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2008山东理） 1．（文科1）2．已知N M ,为集合I 的非空真子集，且N M ,不相等，若1,⋂=∅=U N M M N 则ð( )(A)M (B)N (C) I (D) ∅（2011辽宁理2）【精讲精析】选A ，如图，因为1=∅I N M ð，所以N M ⊆，所以=U M N M ． 3．已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则 （A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅4．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆5．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =I （ ） A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]6．已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 47．集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .8．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞)9．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
2020年高考总复习理科数学题库第一章《集合》ST
2020年高考总复习理科数学题库第一章集合学校：__________题号一二三总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是A．(-∞, -1] B．[1, +∞）C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）2．设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0}对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是( )A.P QB.Q PC.P=QD.P∩Q=Q（2004湖北10）剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0.综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}.3．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于( )A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}（2004全国Ⅱ1）解析：M ={x |x 2＜4}={x |－2＜x ＜2}，N ={x |x 2－2x －3＜0}={x |－1＜x ＜3}，结合数轴，∴M ∩N ={x |－1＜x ＜2}.4．集合{1,2,3,4,5,6},U =}5,4,1{S =，{2,3,4},T =则()U S T I ð等于( )(A)}6,5,4,1{ (B) {1,5} (C) {4} ( D) {1,2,3,4,5}（2011安徽文2） 5．已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 46．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆7．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U Y ）（为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}8．已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则 （A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅9．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，则CuM= A ．U B ． {1,3,5} C ．{3,5,6} D ． {2,4,6}10．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 (A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<011．已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U I 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}12．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =I （ ） A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]13．设全集U ＝R ，}2|{>=x x M ，}21|{<=xx N ，那么下列关系中正确的是------------------（ ）A ．M N =B ．M N ≠⊂C ．N M ≠⊂D ．φ=N M I14．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：由已知A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}＝ {x |0≤x ≤16，x ∈Z}，则A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z}＝{0,1,2}．15．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于( ) A．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<（2008北京文）16．已知M,N 为集合I 的非空真子集，且M,N 不相等，若()1,N C M M N ⋂=∅⋃=则（ ）(A)M (B) N (C)I (D)∅ (2011年高考辽宁卷理科2)17．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =[来源:学#科#网] （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3][来源:学科网ZXXK] (2011年高考山东卷理科1)18．若集合121log 2A xx ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ðA 、2(,0],⎛⎫-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭U B 、2,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、2(,0][,)-∞+∞UD 、2[,)+∞19．设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =IＡ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<< 关键字：解绝对值不等式；解一元二次不等式；求交集【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 函数与导数 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数)函数与导数 大题1.已知函数f(x)=ln xx ＋a (a∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(x))处的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直．(1)试比较2 0172 018与2 0182 017的大小，并说明理由；(2)若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.2.已知函数f(x)=kx-ln x-1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值；(2)证明：当n∈N *时，1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)．3.已知函数f(x)=ax-ln x ，F(x)=e x＋ax ，其中x>0，a<0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 2，且函数g(x)=xe ax-1-2ax ＋f(x)的最小值为M ，求M 的最小值．4.已知函数f(x)=ln x ＋tx-s(s ，t∈R)．(1)讨论f(x)的单调性及最值；(2)当t=2时，若函数f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求证：x 1＋x 2>4.5.已知函数f(x)=(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x)-2x.(1)若a=0，证明：当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； (2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.6.已知函数f(x)=ln x ＋2ax ＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，求证：f(x)≤x ＋12.7.已知函数f(x)=ln x-a(x ＋1)，a∈R 的图象在(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x∈(1，x 0)时，恒有f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)成立，求k 的取值范围．8.已知函数f(x)=xe x－a 3x 2－a 2x ，a≤e，其中e 为自然对数的底数．(1)当a=0，x>0时，证明：f(x)≥ex 2； (2)讨论函数f(x)极值点的个数．9.已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a 为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a∈R .(1) 当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(-x)＋f(x)=e x-3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m-n|≥1，使得f(m)=f(n)，求证：1≤ae －1≤e.答案解析1.解：(1) 20172 018>2 0182 017.理由如下：依题意得，f′(x)=x ＋ax－ln x ＋2，因为函数f(x)在x=1处有意义，所以a≠-1.所以f′(1)=1＋a ＋2=11＋a， 又由过点(1，f(1))的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直可得，f′(1)=1，即11＋a=1，解得a=0.此时f(x)=ln x x ，f′(x)=1－ln xx2， 令f′(x)>0，即1-ln x>0，解得0<x<e ； 令f′(x)<0，即1-ln x<0，解得x>e.所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f(2 017)>f(2 018)，即ln 2 0172 017>ln 2 0182 018，则2 018ln 2 017>2 017ln 2 018，所以2 0172 018>2 0182 017.(2)证明：不妨设x 1>x 2>0，因为g(x 1)=g(x 2)=0， 所以ln x 1-kx 1=0，ln x 2-kx 2=0.可得ln x 1＋ln x 2=k(x 1＋x 2)，ln x 1-ln x 2=k(x 1-x 2)，要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1＋ln x 2>2，也就是k(x 1＋x 2)>2，因为k=ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即ln x 1x 2>1－x 2x 1＋x 2，令x 1x 2=t ，则t>1，即证ln t>－t ＋1.令h(t)=ln t-－t ＋1(t>1)．由h′(t)=1t -4＋2=－2＋2>0得函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(t)>h(1)=0，即ln t>－t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 2.解：(1) f(x)=kx-ln x-1，f′(x)=k-1x =kx －1x(x>0，k>0)，当x=1k 时，f′(x)=0；当0<x<1k 时，f′(x)<0；当x>1k时，f′(x)>0.∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞上单调递增， ∴f(x)min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k =ln k ， ∵f(x)有且只有一个零点， ∴ln k=0，∴k=1.(2)证明：由(1)知x-ln x-1≥0，即x-1≥ln x，当且仅当x=1时取等号，∵n∈N *，令x=n ＋1n ，得1n >ln n ＋1n，∴1＋12＋13＋…＋1n >ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n =ln(n ＋1)，故1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．3.解：(1)由题意得f′(x)=a-1x =ax －1x，F′(x)=e x＋a ，x>0，∵a<0，∴f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当-1≤a<0时，F′(x)>0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意， 当a<-1时，由F′(x)>0，得x>ln(-a)，由F′(x)<0，得0<x<ln(-a)， ∴F(x)的单调递减区间为(0，ln(-a))，单调递增区间为(ln(-a)，＋∞)． ∵f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性， ∴ln(-a)≥ln 3，解得a≤-3， 综上，a 的取值范围是(-∞，-3]．(2)g′(x)=e ax-1＋axe ax-1-a-1x =(ax ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e ax －1－1x ，由e ax-1-1x =0，解得a=1－ln x x ，设p(x)=1－ln x x ，则p′(x)=ln x －2x 2， 当x>e 2时，p′(x)>0，当0<x<e 2时，p′(x)<0，从而p(x)在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，p(x)min =p(e 2)=-1e2，当a≤-1e 2时，a≤1－ln x x ，即e ax-1-1x≤0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，ax ＋1>0，g′(x)≤0，g(x)单调递减， 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，ax ＋1<0，g′(x)≥0，g(x)单调递增，∴g(x)min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a =M ， 设t=-1a ∈(0，e 2]，M=h(t)=t e2-ln t ＋1(0<t≤e 2)，则h′(t)=1e 2-1t ≤0，h(t)在(0，e 2]上单调递减，∴h(t)≥h(e 2)=0，即M≥0， ∴M 的最小值为0. 4.解：(1)f′(x)=x －tx2(x>0)，当t≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无最值； 当t>0时，由f′(x)<0，得x<t ，由f′(x)>0，得x>t ， f(x)在(0，t)上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x=t 处取得最小值，最小值为f(t)=ln t ＋1-s ，无最大值． (2)∵f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，∴f(x 1)=ln x 1＋2x 1-s=0，f(x 2)=ln x 2＋2x 2-s=0，得s=2x 1＋ln x 1=2x 2＋ln x 2，∴2－x 1x 1x 2=ln x 2x 1，设t=x 2x 1>1，则ln t=－tx 1，x 1=－tln t，故x 1＋x 2=x 1(t ＋1)=2－tln t ，∴x 1＋x 2-4=2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－1t －2ln t ln t，记函数h(t)=t 2－1t-2ln t ，∵h′(t)=－2t2>0，∴h(t)在(1，＋∞)上单调递增， ∵t>1，∴h(t)>h(1)=0，又t=x 2x 1>1，ln t>0，故x 1＋x 2>4成立．5.解：(1)证明：当a=0时，f(x)=(2＋x)ln(1＋x)-2x ，f′(x)=ln(1＋x)-x1＋x. 设函数g(x)=ln(1＋x)-x 1＋x ，则g′(x)=x＋2. 当-1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0， 故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0， 且仅当x=0时，g(x)=0，从而f′(x)≥0，且仅当x=0时，f′(x)=0. 所以f(x)在(-1，＋∞)上单调递增． 又f(0)=0，故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0. (2)①若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)-2x>0=f(0)， 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾． ②若a<0，设函数h(x)=2＋x ＋ax 2=ln(1＋x)-2x2＋x ＋ax2.由于当|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，2＋x ＋ax 2>0， 故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点，当且仅当x=0是h(x)的极大值点．h′(x)=11＋x -＋x ＋ax 2－＋＋x ＋ax 22=x 22x 2＋4ax ＋6a ＋＋2＋x ＋2.若6a ＋1>0，则当0<x<-6a ＋14a， 且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)>0， 故x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1=0存在根x 1<0，故当x∈(x 1,0)，且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)<0，所以x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1=0，则h′(x)=x 3－＋2－6x －2，则当x∈(-1,0)时，h′(x)>0； 当x∈(0,1)时，h′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点， 从而x=0是f(x)的极大值点．综上，a=-16.6.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=x 2＋－＋1＋2.考虑y=x 2＋2(1-a)x ＋1，x>0.①当Δ≤0，即0≤a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ>0，即a>2或a<0时，由x 2＋2(1-a)x ＋1=0，得x=a-1±a 2－2a.若a<0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>2，则a-1＋a 2－2a>a-1-a 2－2a>0，由f′(x)>0，得0<x<a-1-a 2－2a 或x>a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(0，a-1-a 2－2a)和(a-1＋a 2－2a ，＋∞)上单调递增．由f′(x)<0，得a-1-a 2－2a<x<a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>2时，f(x)的单调递增区间为(0，a-1-a 2－2a)，(a-1＋a 2－2a ，＋∞)，单调递减区间为(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)．(2)证明：当a=1时，f(x)=ln x ＋2x ＋1.令g(x)=f(x)-x ＋12=ln x ＋2x ＋1-x ＋12(x>0)， 则g′(x)=1x -2＋2-12=2－x －x 3＋2=－－2＋x ＋＋2. 当x>1时，g′(x)<0，当0<x<1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 即当x=1时，g(x)取得最大值，故g(x)≤g(1)=0，即f(x)≤x ＋12成立，得证．7.解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)=1x -a ，∴f′(1)=1-a=0，∴a=1，∴f′(x)=1x -1=1－xx，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x>1，∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)不等式f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)可化为ln x-x 22＋x-12>k(x-1)，令g(x)=ln x-x 22＋x-12-k(x-1)，则g′(x)=1x -x ＋1-k=－x 2＋－＋1x，令h(x)=-x 2＋(1-k)x ＋1，则h(x)的对称轴为直线x=1－k 2，①当1－k 2≤1，即k≥-1时，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴x∈(1，＋∞)时，h(x)<h(1)=1-k ， 若k≥1，则h(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)<g(1)=0，不符合题意． 若-1≤k<1，则h(1)>0，∴存在x 0>1，使得x∈(1，x 0)时，h(x)>0，即g′(x)>0， ∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意．②当1－k 2>1，即k<-1时，易知存在x 0>1，使得h(x)在(1，x 0)上单调递增，∴h(x)>h(1)=1-k>0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意． 综上，k 的取值范围是(-∞，1)． 8.解:(1)证明：依题意，f(x)=xe x ，故原不等式可化为xe x ≥ex 2，因为x>0，所以只要证e x－ex≥0即可，记g(x)=e x－ex(x>0)，则g′(x)=e x－e(x>0)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，即f(x)≥ex 2，原不等式成立．(2)f′(x)=e x －13ax 2－12ax ＋xe x －23ax －12a=(x ＋1)e x －ax(x ＋1)=(x ＋1)(e x－ax)，记h(x)=e x －ax ，h′(x)=e x－a.(ⅰ)当a<0时，h′(x)=e x－a>0，h(x)在R 上单调递增，h(0)=1>0，h 1a =e 1a－1<0，所以存在唯一的x 0∈1a，0，使h(x 0)=0，且当x<x 0时，h(x)<0；当x>x 0，h(x)>0.①当x 0=－1，即a=－1e时，对任意x≠－1，f′(x)>0，此时f(x)在R 上单调递增，无极值点；②若x 0<－1，即－1e<a<0时，此时当x<x 0或x>－1时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，x 0)，(－1，＋∞)上单调递增；当x 0<x<－1时，f′(x)<0，即f(x)在(x 0，－1)上单调递减， 此时f(x)有一个极大值点x 0和一个极小值点－1.③若－1<x 0<0，即a<－1e时，此时当x<－1或x>x 0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－1)，(x 0，＋∞)上单调递增；当－1<x<x 0时，f′(x)<0，即f(x)在(－1，x 0)上单调递减，此时f(x)有一个极大值点－1和一个极小值点x 0.(ⅱ)当a=0时，f(x)=xe x ，所以f′(x)=(x ＋1)e x ，显然f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅲ)当0<a<e 时，由(1)可知，对任意x≥0，h(x)=e x －ax>e x －ex≥0，从而h(x)>0，而对任意x<0，h(x)=e x －ax>e x >0，所以对任意x ∈R ，h(x)>0，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)>0，得x>－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅳ)当a=e 时，由(1)可知，对任意x ∈R ，h(x)=e x －ax=e x －ex≥0(当且仅当x=1时，取等号)，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)≥0，得x≥－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．综上所述，①当a<－1e 或－1e<a<0时，f(x)有两个极值点； ②当a=－1e时，f(x)无极值点； ③当0≤a≤e 时，f(x)有一个极值点．9.解：(1) f ′(x)=1-a x =x －a x(x>0)， 当a ≤0时，f ′(x)=1-a x =x －a x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当a>0时，所以f(x)的增区间是(a ，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述， 当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a)．(2) 由题意得f(x)min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x →0时，f(x)→-∞，故不合题意；(6分)当a>0时，由(1)知f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0.令g(a)=a-1-alna ，则由g ′(a)=-lna=0，得a=1，所以g(a)=a-1-alna ≤0，又f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0，所以a-1-alna=0，所以a=1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分)(3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1， 两边取对数后，只要证nln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n ，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n，令x=1＋1n ，则只要证1-1x<lnx<x-1(1<x ≤2)． 由(1)知当a=1时，f(x)=x-1-lnx 在(1,2]上递增，因此f(x)>f(1)，即x-1-lnx>0，所以lnx<x-1(1<x ≤2)令φ(x)=lnx ＋1x -1(1<x ≤2)，则φ′(x)=x －1x 2>0， 所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)>φ(1)，即lnx ＋1x -1>0，所以1-1x<lnx(1<x ≤2)． 综上，原命题得证．10.解：(1) 当a=2时，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －2x ，x ≥0. ①当x<0时，f ′(x)=-3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(-∞，0)上递减；②当x ≥0时，f ′(x)=e x -2，可得f(x)在[0，ln2]上递减，在[ln2，＋∞)上递增．因为f(0)=1>0，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，0)和[0，ln2]，单调递增区间是[ln2，＋∞)．(2) 当x>0时，f(x)=e x -ax ，此时-x<0，f(-x)=-(-x)3＋(-x)2=x 3＋x 2.所以可化为a=x 2＋x ＋3x在区间(0，＋∞)上有实数解． 记g(x)=x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x)=2x ＋1-3x 2=（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2. 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)=5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞. 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(3) 当x ∈[0，2]时，f(x)=e x -ax ，有f ′(x)=e x -a.若a ≤1或a ≥e 2，则f(x)在[0，2]上是单调函数，不合题意．所以1<a<e 2，此时可得f(x)在[0，lna]上递减，在[lna ，2]上递增．不妨设0≤m<lna<n ≤2，则f(0)≥f(m)>f(lna)，且f(lna)<f(n)≤f(2)．由m ，n ∈[0，2]，n-m ≥1，可得0≤m ≤1≤n ≤2.(12分)因为f(m)=f(n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，f （0）≥f （m ）≥f （1），f （2）≥f （n ）≥f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，1≥e －a ，e 2－2a ≥e －a ，即e-1≤a ≤e 2-e ，所以1≤a e －1≤e.。
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一、 2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！ 二、 选择题:（本题每小题5分，共60分） 1、的图象是|1|)(-=x x f（ ）2、设函数f(x) (x ∈R)是以3为周期的奇函数, 且f(1)>1, f(2)= a, 则A ． a>2B ． a<-2C ． a>1D ． a<-13、若函数123)(-+=x x f 的反函数的图象过P 点，则P 点坐标可能是（ ）A 、（2，5）B 、（1，3）C 、（5，2）D 、（3，1）4、设f(x)为奇函数, 且在(-∞, 0)内是减函数, f (-2)= 0, 则x f(x)<0的解集为A ． (-1, 0)∪(2, +∞)B ． (-∞, -2)∪(0, 2 )C ． (-∞, -2)∪(2, +∞)D ． (-2, 0)∪(0, 2 ) 5、函数)0()2(≥+-=x x x y 的反函数的定义域为A ．),0[+∞B ．]0,(-∞C ．（０，１）D ． ]1,(-∞6、下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7、设函数f(x)=134)(,42+=+--x x g a x x , 当x ∈[-4, 0]时, 恒有f(x)≤g(x), 则a 可能取的一个值是A ． -5B ． 5C ． -35 D ． 358、如果函数)1(+x f 是偶函数，那么函数)2(x f y =的图象的一条对称轴是直线A ．1-=xB ．1=xC ．21-=xD ．21=x9、已知 函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为A ． 9B ．91C ．9-D ．91-10、 已知f(x)=ax 2+bx+c (a>0)，α，β为方程f(x)=x 的两根，且0<α<β，当0<x<α时，给出下列不等式，成立的是（ ）A ．x<f(x)B ．x ≤f(x)C ．x>f(x)D ．x ≥f(x)11、函数y=log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y|>1，则a 的取值范围是（ ）A ．210<<a 或21<<aB ．121<<a 或21<<aC ． 21<<aD ．210<<a 或2>a12、若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围是（ ）A ．a>0或a ≤－8B ．a>0C ．3180≤<a D ．2372318≤≤a 二、填空题：（本大题每小题4分，共16分） 13、奇函数)(x f 定义域是)32,(+t t ，则=t .14、 若⎩⎨⎧>-≤=)0( 21)0( )(x x x x x f ，则=)3(f ＿＿＿＿15、已知函数1)1()(2+-+=x m mx x f 的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是__________________。
16 、x a y )(log 21=在R 上为减函数，则∈a .三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17、设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f18、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD,AD=PD,E 、F 分别为CD 、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ⊥平面PAB(Ⅱ)设BC AB 2=,求AC 与平面AEF 所成的角的大小.19、已知函数].5,5[,22)(2-∈++=x ax x x f（1） 当a=-1时，求函数)(x f 的最大值和最小值。
（2）求实数a 的取值范围，使得.]5,5[),(存在反函数在区间-=x f y20、 设A 、B 是函数y= log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a+4, 直线l : x=a+2与函数y= log 2x 图象交于点C, 与直线AB 交于点D. (Ⅰ)求点D 的坐标;(Ⅱ)当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围. 21、设a>0且a ≠1，)1(log )(2-+=x x x f a (x ≥1)(Ⅰ)求函数f(x)的反函数f －1(x)及其定义域；(Ⅱ)若*)(233)(1N n n f nn ∈+<--，求a 的取值范围。
22. 已知函数)(x f =bx ax+2，在1=x 处取得极值2。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？（3）若),(00y x P 为)(x f =bx ax+2图象上的任意一点，直线l 与)(x f =bx ax+2的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围。
一、选择题答题表：二、填空题答题表：13、14、15、16、三、解答题（本题17—21小题每题12分，22小题14分，共74分）17、(本小题满分12分)18、(本小题满分12分)19、(本小题满分12分)20、(本小题满分12分)21、(本小题满分12分)22、(本小题满分14分)参考答案及部分解答一、选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）13. －１ 14. －５ 15、[0,3-22]∪[3+22,+∞）16、)1,21(三、解答题（共74分，按步骤得分）（17）)(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴ )(x g 为偶函数)()(x g x g -=-∴x x x g x f x x x g x f +=---∴-=-22)()( )()(从而 x x x g x f x x x g x f --=++=--22)()(,)()(⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧--=+-=-222)()()()()()(x x g x x f x x x g x f x x x g x f（18）（Ⅰ）CN ＝41时，MN ⊥AB 1； （Ⅱ）3.19. 解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4. 20. 解 (Ⅰ)易知D 为线段AB 的中点, 因A(a, log 2a ), B(a+4, log 2(a+4)),所以由中点公式得D(a+2, log 2)4(+a a ).(Ⅱ)S △ABC =S梯形AA ′CC ′+S 梯形CC ′B ′B -S 梯形AA ′B ′B =…=log 2)4()2(2++a a a ,其中A ′,B ′,C ′为A,B,C 在x 轴上的射影.由S △ABC = log 2)4()2(2++a a a >1, 得0< a<22-2.21. 解 (Ⅰ)2)(1xx a a x f --+= 当a>1时，定义域为[)+∞,0当0<a<1时，定义域为(]0,∞-(Ⅱ) *)(233)(1N n n f nn ∈+<--即2332nn n n a a --+<+ 即0]1)3)[(3(<--n n n a a即⎪⎩⎪⎨⎧>-<-01)3(03n nn a a ∴331<<a22解：（1）已知函数)(x f =b x ax +2，222/)()2()()(b x x ax b x a x f +-+=∴（……………2分）又函数)(x f 在1=x 处取得极值2，⎩⎨⎧==∴2)1(0)1(/f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(baa b a ⎩⎨⎧==⇒14b a 14)(2+=∴x xx f（……………………5分）（2） 由10)1()2(4)1(4)(222/±=⇒=+-+=x x x x x x f所以1)(2+=x x f 的单调增区间为]1,1[-，（………………8分）若)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥m m m m 121121解得01≤<-m即]0,1(-∈m 时，)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间。
（…………………10分）（3） 14)(2+=x x x f ∴222/)1()2(4)1(4)(+-+=x x x x x f直线l 的斜率为]11)1(2[4)1(8)1(4)(22202202200/+-+=+-+==x x x x x x f k （………12分） 令]1,0(,1120∈=+t t x ，则直线l 的斜率]1,0(),2(42∈-=t t t k ， ]4,21[-∈∴k 。
（………………14分）。