北师大九上第16讲 相似三角形的性质及应用(提高)
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似PPT教学课件
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.
北师大版数学九年级上册课件：利用相似三角形测高_
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用
回归教材
三角形中的内接四 形
如 22－6，AD是△ABC的高，点P，Q在BC 上，点R在 AC 上，点S在AB 上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四 形PQRS是正方形． (1)△ASR与△ABC相似 ？ 什么？ (2)求正方形PQRS的 ．
判定定 如果两个三角形的两 的比相等，并 理3 且_相__应__的__夹__角___相等，那么 两个三角形相似
判定定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 理4 两_个__角__对__应__相__等_，那么 两个三角形相似
直角三角形被斜 上的高分成的两个直角三角 拓展
形与原直角三角形相似
一条 段的黄金 分割点有__两____
个
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用
考点3 相似三角形的判定
判定定 平行于三角形一 的直 和其他两 相交，所
理1
构成的三角形与原三角形__相__似____
判定定 如果两个三角形的三 的_比_______相
理2
等，那么 两个三角形相似
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其 用 考点4 相似三角形的性质
(1)相似三角形周 的比等于相似比
相似三 角形
(2)相似三角形面 的比等于相似比的平方
(3)相似三角形 高、 角平分 、 中 的比等于相似比
相似多 形
(1)相似多 形周 的比等于相似比 (2)相似多 形面 的比等于相似比的平方
， 两条 段要用同一 度
么， 四条 段叫做成比例 段，
北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》课件
课堂练习(2)
3、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如 果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原
来的____1_0_0__0_0____倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍.
4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3. （1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为
归纳：相似三角形的周长比等于相似比.
相似三角形的面积 有什么关系呢？
右图（1）（2）（3）分别是边 长为1、2、3的等边三角形，它 们都相似．
（2）与（1）的相似比＝___2__:1___________， （2）与（1）的面积比＝___4__:1___________； （3）与（1）的相似比＝___3__:1___________， （3）与（1）的面积比＝___9__:1___________. k 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝___2___
归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比.
相似三角形对应角的角平分线
有什么关系呢？
如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线.
A′
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′
F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与 △A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比
B′
A F′
C′
是多少？
(2)如右图两个相似三角形相似比为 k，则对应角的角平分线比是多少？
BFC
说说你判断的理由是什么？ △__A__F_C__∽__△__A′F′C′
归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
相似三角形的周长 有什么关系呢？
初三上数学课件(北师大)-相似三角形的性质
A.56m C．65m
B．76m D．130m
相似三角形的性质定理 2
相似三角形的性质定理 2：相似三角形周长比等于 相似比 ；相似三角形 面积比等于 相似比的平方 .
自我诊断 2. 如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，
则AADB＝
2 2
.
1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，ADDB＝12，则下列结论中正确的是( C ) A.AAEC＝12 B.DBCE＝12 C.△△AADBCE的的周周长长＝31 D.△△AADBCE的的面面积积＝31
解得：t＝－14－2 69(不合题意，舍去)或 t＝－14＋2 69.∴当 t＝2.8s 或 t ＝(－14＋2 69)s 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶 点的三角形相似．
解：因为 AD∥CG，所以∠EAF＝∠EBG.因为 E 是 AB 的中点，所以 AE ＝BE.又因为∠AEF＝∠BEG，所以△AEF≌△BEG，所以 AF＝BG.因为▱ ABCD 中，AD＝BC，且 F 是 AD 的中点，所以 AF∶AD＝AF∶BC＝1∶2， 即 AF∶CG＝1∶3.因为 AD∥CG，所以∠OAF＝∠OCG，∠OFA＝∠OGC， 所以△AOF∽△COG.所以△△CAOOGF的的周周长长＝CAGF＝31.因为△AOF 的周长为 4， 所以△COG 的周长为 12.
11．已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶9，其中△ABC 的 周长为 18cm，那么，△A′B′C′的周长是 54 cm.
12．如图，△ABC 中，点 Q、M 在 BC 边上，点 P、N 分别在 AB、AC 边 上，BC＝120mm，高 AD＝80mm，四边形 PQMN 为正方形．设△ABC 的 高 AD 与 PN 相交于点 E.求正方形 PQMN 的边长．
北师大版九年级数学上册教学课件《 相似三角形的性质》
A MC D
F N
探索新知
探究相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。理由是: 如图∵△ABC∽△DEF。∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF。
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线。 B
∴∠BAM=∠EDN。
∴△AMB∽△DNE。
（两角对应相等的两个三角形相似）
D
延长线）,所得的对应线段成比例。
E
如图:在△ABC中,如果DE∥BC，
A
A E
AC C E D
那么 AD AE ;或 AD AE ;或 DB EC ;或 DB EC 。B
C
DB EC AB AC AD AE AB AC
典题精讲
A
如图所示,在等腰△ABC中,底边
S
ER
BC=60cm,AD=40cm,四边形PQRS是正方形。 B （1）△ASR与△ABC相似吗?为什么? （2）由（1）
如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k。
AB AC BC k。 B′ AB AC BC
C′ B
AB AC BC k (等比)。 AB AC BC
（相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比）
即：相似三角形周长的比等于相似比。
B
CD
EB
C
探索新知
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,
则有如下结论:
D
结论1:平行于三角形一边直线截其它两边（或其延长
线）,所截得的三角形与原三角形相似;
B
如图:在△ABC中,
九年级数学上册(北师大版)相似三角形的性质(同步课件)
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
三角形相似判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
∵
AC
A′ C′
CD
= C′ D′ =
1
2
∴ CD = 2C ′ D′ = 3cm
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是 、 ′′边上的中线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
解：∵ △ ∽△
【详解】解：∵AD经过△ ABC的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
AE
AC
∵点E是AC中点，∴
解得：GE=3，故选D.
=
GE
CD
1
2
GE
6
= ，即
1
2
= ，
）
探索与思考
∴BD=
1
1
BC,B’D’= B’C’
3
3
∴
AB BD
=
A′ B′ B′ D′
∴
AB AD
=
=k
A′ B′ A′ D′
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AB BC
=
A′ B′ B′ C′
=k
课堂小结
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.
数学北师大版九年级上册相似三角形及应用
北师大（2011）版九年级数学上册回顾思考：相似三角形及应用课标呈现 考查内容：1．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．2．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．3．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明．4．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．5．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 教学流程：（一）考点梳理夯实基础 1．比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a b ＝c d，就称a ，b ，c ，d 四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质： ⑴基本性质：a b ＝c d ⇒ad ＝bc (bd ≠0)；a b ＝b d⇒b 2＝ad ； ⑵合比性质：a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±dd ；⑶等比性质：若a b ＝c d＝…＝m n(b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n ＝ab3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．相似三角形性质：__________⑴相似三角形的对应边__________，对应角__________．⑵相似三角形的对应高的比，_________________与__________都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________．【答案】⑴成比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶相似比，相似比的平方 5．相似三角形的判定：⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那么这两个三角形相似： (4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 6．相似三角形的几种典型图形（二）自主练习（三）例题解析（四）拓展提高（五）回顾总结 学生谈收获和体会 (六)作业布置:同步练习。
北师大九年级数学上册《相似三角形的应用》课件
D
展示交流自学检测（10分钟）
旗杆
• 1. 课外活动小组测得高为
A木杆
x米
1.5 米 的 竖 直 木 杆 的 影 长 1
1.5米
米，此时影长8米的旗杆高
多少米？
C1米
B
F 8米
E
解：如图所示，木杆、影长与旗杆、影长成比例
即△ABC∽ △DEF.
∴ AB DE
BC EF
1 .5 X 或 1 .5 1
解：∵ AB ⊥AO,D ∠DBC=90°（垂直的定义）120
60 50
又∵ ∠OCA= ∠DCB（对顶角相等）
∴△OAC∽ △DBC
CA OA CB DB 120 OA 60 50 OA 100 m
小结本题解决思路
3.如图，在 ABCD中，G是DC延长线上一点，AG
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
完成当堂测试
课外 实践
相似三角形的应用
发挥你的聪明才智，实地测量学校旗杆或教学楼 或你家楼房的高度 （同学们可互相合作）
要求： 1、简要叙述你的操作过程 2、画出示意图 3、根据示意图，写出计算过程 4、相互讨论交流
探索
相似三角形的应用
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例吗？
在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,
分别交BD和BC于点E,F，试说明：D
C
G
A• F A D A• G BF
E
F
A
B
分析 AF • AD AG • BF AF BF ， 找出这四边构成的
AG AD
三角形是 AGD 与 FAB ； 证明 AGD 相似 FAB
相似三角形的性质课件北师大版九年级数学上册
问题探究
问题1：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，那么△ABC与 △A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？
C A
C′
B A′
B′
（1）由已知，得
AB A'B'
BC B'C'
AC A'C'
2
．
∴ AB BC AC AB 2 ．
A'B' + B'C' A'C' A'B'
C
分别作△ABC和△A'B'C'的高CD，C'D'．
答：两个相似四边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 两个相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 两个相似n边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
结论：两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
典例解析
例1：如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与 △DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知 BC=2，求△ABC平移的距离．
课堂小结
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角 形的性质2
相似三角形面积之比等于相似比 的平方
3.已知△ABC∽△DEF，面积比为 9∶1，则下列说法正确的是( D )
A．相似比为 9∶1
B．周长比为 9∶1
C．对应中线的比为 9∶1
D．对应角的比为 1∶1
4.如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则 S△DOE∶S△COB 为
( A)
A．1∶4 C．1∶3
最新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》精品教学课件
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形的性质2
相似三角形面积之比等于相似比的平方
强调：以上结论，相似多边形也成立.
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
实践与拓展
附加：如图， 在△ABC 中， 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE//BC.
(1) 若 AD : DB = 1:1，则S△ADE : S四边形DBCE = 1:3 .
如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？
D
解：(2) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
A
C
∴
=
=k.
∴△BCD 与△B′C′D′ 各边均成比例 .
B
D′
∴△BCD ∽△B′C′D′.
A′
C′
B′
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
例2
如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k >0 ).
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
针 对 训 练
1. 判断正误：
(1) 如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长
也扩大为原来的 10 倍.
( √)
(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边的长都
扩大为原来的 9 倍 .
( ×)
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。
在以后的学习中，请相信你们是存在着巨
大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更
精彩吧。
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是
北师大版九年级数学第四章相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点进阶：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点进阶：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点进阶：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点进阶：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用例1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上。
北师大版九年级册相似三角形的性质课件
A'
AC AB ∠A＝∠A'
A'C' AB'
∵F,F′分别为AB、A′B′的中点
∴AB＝2AF A′B′=2A'F'
AC AB 2AF AF A'C' AB' 2A' F ' A' F '
F'
B'
AC AF
∠A＝∠A'
A'C' A' F '
∴△ACF ∽△A' C' F' .
CF
AC
1
3
3
A' D'
1若BAD 1 BAC,B' A' D' 1 B' A'C', 则 AD 等于多少？
3
3
A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B' ∠BAC＝∠B' A'C'
∵∠BAD＝ 1 ∠BCA ∠B'A'D'= 1 ∠B′C′A′
3
3
∴∠BAD＝∠B'A'D'
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴△ACD ∽△A' C' D' .
CD
AC
1
C'D' AC' 2
探究活动1
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
CD 1
C'D' 2
CD=1.5cm
∴C’D’=2CD=3cm
(4)据此，你可以发现类似三角形怎样的性质？
相似三角形的性质课件北师大版数学九年级上册
7.类似三角形的性质
学习目标
1.通过阅读课本及自主学习，理解并掌握类似三角形对应线段
的比、周长比、面积比与类似比之间的关系，培养学生的运
算能力与几何直观能力.
2.通过合作学习，掌握定理的证明方法，培养学生的逻辑推理
能力.
3.通过教师讲授，学生能利用类似三角形的性质解决相关问题，
培养学生解决问题的能力.
++
′ ′ +′ ′ +′ ′
= ,
= , 即 类 似 三 角 形 的
周长比等于类似比.
教师讲评
知识点5：类似三角形的面积比与类似比的关系
如图，如果 △ ∽△
⋅ =
′ ′
′
∴ =
′ ⋅ =
′
′
′
′
,且 ′ ′
新知导入
在生活中，我们经常利用类似的知识解决建筑类问题.如图，小王根据图
纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’， CD和C’D’分
别是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A’C’D’类似吗？为什么？如果类似，指出它们的类似比。
∴ ∠ = ∠, ∴△ ∽△ , ∴
=
即类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
.
教师讲评
知识点3：类似三角形对应中线的比与类似比的关系
如图， ∵△ ∽△ , ∴ ∠ = ∠,
=
,
∵AM,DN 分别是 △ 和 △ 的中线，
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》精品教学课件
是
=
= k ( k > 0 ).
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k( k >0 )，
点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
(2) 若 BE =
BC ， B′E′ = B′C′ ，则
E
S
B
P
D
R
Q
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
针 对 训 练
1. 若△ABC ∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是△ABC、△A'B'C' 的高，
AD:A'D' = 3:4，△A'B'C' 的一条中线 B'E' = 16 cm，则△ABC 的中线
BE = ________cm.
12
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(2) 求正方形 PQRS 的边长.
解：∵△ASR∽△ABC，
∴
=
,
A
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE = ( 40 – x ) cm，
∴
. 解得 x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
北师大版九年级上册数学同步课件
相似三角形的性质
第1课时
1
学习目标
2
新课引入
3
新知学习
4
课堂小结
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似说课教学课件复习提高
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 又ADB ADB 90.
所以ABD ∽ABD.
图 18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
图 18.3.9
探索新知 相似三角形的性质
问题1: 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高,
交AB于E，交AC于D，SADE S梯形BCDE
求DE的长度。
A
E
D
B
C
小结：
这节课我们学习了相似三角形的 另一重要性质：相似三角形周长的比 等于相似比，相似三角形面积的比等 于相似比的平方。
作业：
教材习题
B
C B′
C′
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形周长的比等于相似比。
已知： △ABC∽△ A' B'C'
A
A′
求证： 证明：
AB BC CA AB A' B'B'C'C' A' A' B'
B ∵ △ABC∽△ A' B'C'
C B′
C′
∴ AB BC CA (相似三角形对应边成比例) A' B' B'C' C' A'
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝__1_∶__4__.
(3)
S ADE
1
___1_6___.
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相似三角形的性质及应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
要点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【典型例题】
类型一、相似三角形的应用
1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。
已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）.
A.24m
B.22m
C.20m
D.18m
2
11
22=
11
22
ABC
A B C
BC AD k B C k A D
S
k
S B C A D B C A D
'''
''''
⋅⋅⋅⋅
==
'''''''''
⋅⋅
△
△
举一反三：
【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
类型二、相似三角形的性质
3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使
点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.
A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21
举一反三
【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.
4.如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=．
举一反三：
【变式】如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.
【巩固练习】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）.
A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）
A．=B．=C．=D．=
3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且
那么等于（）.
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E 两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=( ).
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）.
A.1︰2︰3︰4
B.2︰3︰4︰5
C.1︰3︰5︰7
D.3︰5︰7︰9
6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).
A.4：10：25
B.4：9：25
C.2：3：5
D.2：5：25
二、填空题
7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．
8.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
9.如图，在△PAB 中，M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM ∽△PAN ，则∠APB 的度数是
_______________.
10.如图，△ABC 中，DE ∥BC,BE,CD 交于点F ，且=3
，则
：
=______________.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC
走向路灯
BD ，当他走到点
P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯
BD 的底部，
已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是_________________.
S
△EFC
S
△EFD
S
△ADE
S
△ABC
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
15. 某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF⊥BC，⊥EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．
（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．。