北师大九上第16讲 相似三角形的性质及应用(提高)

相似三角形的性质及应用

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.

【要点梳理】

要点一、相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

要点二、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

3. 相似三角形周长的比等于相似比.

∽，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

∽，则分别作出与的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.

【典型例题】

类型一、相似三角形的应用

1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）.

A.24m

B.22m

C.20m

D.18m

2

11

22=

11

22

ABC

A B C

BC AD k B C k A D

S

k

S B C A D B C A D

'''

''''

⋅⋅⋅⋅

==

'''''''''

⋅⋅

△

△

举一反三：

【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．

类型二、相似三角形的性质

3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使

点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.

A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21

举一反三

【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

4.如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=．

举一反三：

【变式】如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.

(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.

(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

【巩固练习】

一、选择题

1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）.

A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个

2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）

A．=B．=C．=D．=

3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且

那么等于（）.

A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2

4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E 两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=( ).

A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2

5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）.

A.1︰2︰3︰4

B.2︰3︰4︰5

C.1︰3︰5︰7

D.3︰5︰7︰9

6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则

S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).

A.4：10：25

B.4：9：25

C.2：3：5

D.2：5：25

二、填空题

7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．