第七章假设检验

u
u，
大
概
率
事
件
在
一
次
试
验
中
发
生
，
肯
定
H
。
0
➢3型问题（右侧检验）
由 关 系 式 （ 7.2.1） 和 标 准 正 态 分 布 上 侧 分 位
数 定 义 ， 对 于 给 定 的 ， 存 在 u， 使 得
P
X
/
n
u
如 果 H 0成 立 ， 即
，
0
则
有
U
X
0
/n
X / n
X
0
/n
u
u
2
P
0
/n
u
2
0
/ n
P
0
/n
u
2
0
/n
1 u 2
/
0
n
u 2
/
0
n
1 u
2
/
0
n
1 u
2
/
0
n
2u2
/ n0u2
/ n0
这表明该检验误 的大 两小 类 与 错 0密切相关
➢2型问题（左侧检验）
由关系式（7.2.1）和标准正态分布下侧分位X /n Nhomakorabeau
P U
u
P
X
/
n
u
所 以 ， 如 果 检 验 统 计 量 U X 0 地 实 现 u满 足 / n
u u， 小 概 率 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 ， 否 定 H 0;
u
u，
大
概
率
事
件
在
一
次
试
验
中
发
生
，
肯
定
H
。
0
1型 问 题 检 验 称 为 双 侧 检 验 ；
S/ n
(7.2.2)
➢1型问题（双侧检验）
由关系式（7.2.2）和t分布双侧分位数定义，
对于给定的，存在t(n-1)，使得
2
P
X0
S/ n
t(n-1)
2
所以，如果检验统计量T X0 地实现t满足
S/ n t t(n-1)，由小概率原理，否定H0;
2
t t(n-1)，由小概率原理，肯定H0。
2
➢2型问题（左侧检验）
由关系式（7.2.2）和t分布下侧分位数定义，
对于给定的，存在-t(n-1)，使得
PSX/n-t(n-1)
如
果
H
成
0
立
，
即
，
0
则
有
T
X S
0 /n
X S/ n
X S
/
0 n
t( n - 1 )
X S /
n
t( n - 1 )
P T
t( n - 1 )
对 于 给 定 的 ， 存 在 t ( n 1)， 使 得
P
X
S / n
t
(n
1
)
如
果
H
成
0
立
，
即
，
0
则
有
T
X S
0 /n
X S/ n
X S
0 /n
t (n 1)
X S / n
t
(
n
1)
P T
u
P
X
S / n
t
(n
1)
所 以 ， 如 果 检 验 统 计 量 T X 0 地 实 现 t满 足 / n
一个正态总体 均值的检验
设 总 体 X ~ N ( , 2 )， X 1 , X 2 ,
,
X
为
n
抽
自
总
体
X
的
iid 样 本 ， 0是 一 个 已 知 常 数 ， 欲 由 样 本 比 较 与 0的 大
小关系。
该问题可以通过检验下列类型的统计假设实现。
1型 H 0 : 0 ; H 1 : 0 2型 H 0 : 0 ; H 1 : 0 3型 H 0 : 0 ; H 1 : 0 1.总 体 方 差 2已 知 的 情 况
T检验法。这一方法应用的条件为总体服从正态
分布。
例7.2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米. 实
际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 N(,2), 2 未
知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
2型 ， 3型 问 题 检 验 称 为 单 侧 检 验 。
由于这种检验法以U为检验统计量，并以检
验统计量的精确分布为基础，所以称其为小样本
U检验法。这一方法应用的条件为总体服从正态
分布，总体方差已知。
2.总体方差2未知的情况
这时由于X~N(,2)， (n1)S2 ~2(n-1)，则有 n 2
X~t(n1)
这 时 由 于 X ~ N ( , 2 )， 则 有
n
X ~ N ( 0 ,1 ) （ 7 . 2 . 1 ） /n
➢1型问题（双侧检验）
如果H 0成立，则由关系式（7.2.1）有
U X 0 ~ N (0,1) / n
由正态分布双侧分位数的定义，对于给定的，
存在u，使得
2
P U
u
2
问这批产品是否合格(置信水平0.01)?
分析：这批产品(螺钉长度)的全体组 成问题的总体X. 现在要检验E(X)是 否为32.5.
数定义，对于给定的，存在-u，使得 PX/nu
如
果
H
成
0
立
，
即
，
0
则
有
U
X
0 /n
X / n
X
/
0 n
u
X
/
n
u
P U
u
P
X
/
n
u
所 以 ， 如 果 检 验 统 计 量 U X 0 地 实 现 u满 足 / n
u u， 小 概 率 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 ， 否 定 H 0;
P
X
/
n
t( n - 1 )
所 以 ， 如 果 检 验 统 计 量 T X 0 地 实 现 t满 足 S/ n
t t(n-1)， 由 小 概 率 原 理 ， 否 定 H 0 ;
t
t(n-1)，
由
小
概
率
原
理
，
肯
定
H
。
0
➢3型问题（右侧检验）
由 关 系 式 （ 7.2.2） 和 t分 布 上 侧 分 位 数 定 义 ，
t t(n -1)， 由 小 概 率 原 理 ， 否 定 H 0 ;
t
t ( n
- 1) ，
由
小
概
率
原
理
，
肯
定
H
。
0
1型 问 题 检 验 称 为 双 侧 检 验 ；
2型 ， 3型 问 题 检 验 称 为 单 侧 检 验 。
由于这种检验法以T为检验统计量，并以检
验统计量的精确分布为基础，所以称其为小样本
P
X
/
0
n
u
2
所以，如果检验统计量U X0 地实现u满足 / n
u u，小概率事件在一次试验中发生，否定H0;
2
u u，大概率事件在一次试验中发生，肯定H0。
2
该检验的势函数：
g() PU u
2
PX/n0
u
2
PX/n0
u
2
P
X
0 / n
u
2
P
X
0 / n
第七章假设检验
假 提出
设
假设
检
验
过
程
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一
类错误的概率 W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1
检验 假设
显著性 水平
作出 决策
拒绝还是不能 拒绝H0
对差异进行定量的分析，
确定其性质(是随机误差 还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）