现代信号理论讲义4信号空间的线性算子
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现代信号理论讲义3(信号的表示)
表示的实现：
怎样得到信号的参数（离散）表示？
x(t) {ak }
？
分析：
由
n
x aii (t) i 1
x Mn
两端用 j作内积
n
(x, j ) (i , j )ai i 1
j 1, 2,..., n
解线性方程组
矩阵表示：
(1 , 1 )
er
1 ||br
||
br
常用正交函数集合：
信号空间内积的不同定义，将产生不同 的正交性，从而有不同的正交函数（信 号）集合。
权内积
权内积
b
( f (x), g(x)) (x) f (x)g*(x)dx a
权函数
复正弦函数：
1
e jnt ; n 0, 1,...构成信号空间L2 (1,1)上
怎样建立一个线性方程组，使求解更容易？
怎样选择基？
正交基：
(i
,
j
)
1 0
i j i j
(i
,
j
)
1 0
i j i j
双正交性
双正交基（逆转基）：
由
n
x aii (t) i 1
x M n
n
(x, j ) ai (i , j ) a j (x, j ) i 1
第三章 信号的矢量表示
信号的表示 信号:
随时间或空间变化的物理量。
y x(t) y f (x, y, z)
怎样高效的表 示信号？
信号的特征表示：
信号逼近
N
x(t) akk (t) akk (t) k 1 信号的矢量表示 x(t) {ak }
第二章 信号空间(续2 线性空间)
yn ) E
( x y) ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 xn yn ) ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 xn yn ) ( x1 , x2 , x3 xn ) ( y1 , y2 , y3 yn ) x y
a, ( x) ( x1 , x2 , x3 ( x1 , x2 , x3 xn ) xn ) x x
其中 R
1 1 1 b, 1 x ( x1 , x2 , x3 0 0 0 x ( x10 , x2 , x3
证明： ①E 为非空信号集 ②加法运算：对于 x 、 y E ，
x y ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 xn yn )
由于 xi yi C(i 1 ~ n) 故 x y C n E ， 且
a, x y ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ( y1 x1 , y2 x2 , y3 x3 yx xn yn ) yn xn )
xn ) ( y1 , y2 , y3
x y
d , ( ) x ( x1 , x2 , x3 ( x1 x1 , x2 x2 , x3 x3 ( x1 , x2 , x3 xn ) xn xn ) xn )
其中 z E
c, 0 E ，对于 x E ，有 x 0 x
d , 对于 x E ， 唯一的 x E ，使 x ( x) 0
数乘运算：对于 K 和 x E ， 唯一的 E E ，且
chapter04 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书
1.幅度是中心在（0，0）的高斯信号； 2.在 θ , τ 两个方向上是振荡的，振荡频率 由 Ω 0 , t0 决定 ；注意，Ω 0 , t0 并不影响
AF的中心位置； 3. AF是复函数。
例2
α 2 x(t ) = ∑ exp − α (t − t i ) 2 + jΩ i t i =1 π
结论：Cohen 类的任一成员都可由Wigner分布 得到。
（5）用广义模糊函数表示
M x (θ，τ ) = Ax (θ，τ )g(θ，τ )
Cx (t，Ω) = ∫∫ M x (θ，τ )e
− j (θt +Ωτ )
dτdθ
（6）用广义时间相关表示
− jtθ ′ 定义： g ( t，τ ) = ∫ g (θ，τ ) e dθ
上一例已求出，中心在 (θ , τ ) = (0, 0) 处；
互项：
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu 2π 4 4α
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu ) 2π 4 4α
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ
WVD定义为瞬时自相关对 时间延迟 的傅里叶正变换
τ
rx ( t，τ ) = ∫ Ax (θ ，τ ) e − jθ t dθ
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ = ∫∫ Ax (θ ，τ ) e
现代信号理论讲义4(信号空间的线性算子)
(t , s )
例：信号的频域表示
(t , s ) e j 2 st
X , Y 表示输入信号x(t )和输出信号y (t )的傅里叶变换; 若网络的冲激响应为h(t ) 则对基函数 (t , s ) e j 2 st的响应为
(t , s ) h(t , )e j 2 s d ,
S
t T
傅立叶变换
X ( f ) U ( f ) ( f ) 1 U( f ) X(f ) ( f )
代表什么？
u (s) x(t ) ( s t )dt ,
T
sS
例：Hilbert变换
x(t ) 1 H [ x ](s ) H [ x]( s ) dt x(t ) ds s t s t 1
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征矢量： S {x; Lx x
算子的特征值
C}
特征矢量
M n是由{i S,i=1,2,...,n}张成的空间，则 x(t ) aii (t )
i 1 n n
xMn
n
Lx(t ) ai Li (t ) ai ii (t )
T
sS
其中
u ( ) L( s, )d
S
y(t ) u (s) (t , s)ds,
S
t T
L( s, )= (t , ) ( s, t ) d dt
T
变换核函数
x (t ) u (s) y (t )
线性网络 L ( s, )
v( s )
(t , s )
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:
现代数字信号处理第01讲2 第一章2：信号空间
武汉大学 电子信息学院 研究生课程 10
(2) Hilbert空间的两个基本性质 —— ② 几何测度
矢量（信号）x的“长度”（范数）定义为 <x, x>1/2 两个矢量x和y的“距离”定义为 <x, y>1/2 非零矢量x和y之间的“夹角”的余弦定义为
cos
x, y x, x
1/ 2
武汉大学 电子信息学院 研究生课程
2
2 信号空间
信号在直观上描述成“波形”
语音信号（汉语 “信号”）的波 形
数学上描述为“函数” “函数分析”是信分析的理论基础
武汉大学 电子信息学院 研究生课程 3
(1) Hilbert空间——信号空间
Hilbert空间定义为一个内积空间 考虑到物理世界中的现实信号，同时考 虑信号的可处理性，我们处理的信号x 定义在Hilbert空间H H空间是将二维/三维空间的矢量代数扩 展到高维/无穷维 用于对信号集进行数学分析；并且可以 利用“几何结构”（如，“正交”， “投影”等概念）理解信号
那么，任意信号 x H 可以表示成基矢 量εi的线性组合： N x 1 i i , i x, i
13
武汉大学 电子信息学院 研究生课程
F ( j)
提示：
正交分解定理
f (t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j ) e j t d
0 1 0 2 0 3 1 N
εis are orthogonal
X AE
ij xi , k k , k
(2) Hilbert空间的两个基本性质 —— ② 几何测度
矢量（信号）x的“长度”（范数）定义为 <x, x>1/2 两个矢量x和y的“距离”定义为 <x, y>1/2 非零矢量x和y之间的“夹角”的余弦定义为
cos
x, y x, x
1/ 2
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2
2 信号空间
信号在直观上描述成“波形”
语音信号（汉语 “信号”）的波 形
数学上描述为“函数” “函数分析”是信分析的理论基础
武汉大学 电子信息学院 研究生课程 3
(1) Hilbert空间——信号空间
Hilbert空间定义为一个内积空间 考虑到物理世界中的现实信号，同时考 虑信号的可处理性，我们处理的信号x 定义在Hilbert空间H H空间是将二维/三维空间的矢量代数扩 展到高维/无穷维 用于对信号集进行数学分析；并且可以 利用“几何结构”（如，“正交”， “投影”等概念）理解信号
那么，任意信号 x H 可以表示成基矢 量εi的线性组合： N x 1 i i , i x, i
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F ( j)
提示：
正交分解定理
f (t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j ) e j t d
0 1 0 2 0 3 1 N
εis are orthogonal
X AE
ij xi , k k , k
第六章 线性算子的表示方法
T *
3．几种典型的核函数
3.1 线性系统的几种常用核函数形式 ①L 是冲击响应为 h(t , ) 的线性系统
(t , s) (t s)
( s, t ) ( s t )
(t , s) (t s)
(s, t ) (s t )
其核函数为：
M f span{xm1, xm2 xn }
结论： a. 值域空间的维数为 L 的秩 m，且 m n ； b. 当 m n 时，L 存在一个 n m 维的零空间。 c. 当 m=n 时，称 L 为非奇异的，存在逆映射 L1 。
2.2 线性泛函序列表示法 设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A、B 空间 的基与对偶基分别为
{x, Lx x A}
故非线性算子的表示十分困难。
线性算子的表示方法就简单得多， 而且实际使用中的算子大都是 线性算子，或可进行线性化近似。 如下图中的线性系统可用冲击响应来表示， 冲击响应是线性系统 的一种表示方法。
x (t) f t,) h(
y (t ) x( )h(t , )d
i 1 i 1 m m
其中 wi (i , L j ) j
j 1
n
2.3 矩阵表示法 与泛函序列表示法相同，设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A 与 B 的基分另为 {1 , 2 n } {1 ,2 n } 和 {1,2 m}
对 x(t ) 进行线性变换得到 y(t )
y (t ) Lx(t ) L u ( s ) (t , s )ds
s
u ( s ) L (t , s )ds
s s
3．几种典型的核函数
3.1 线性系统的几种常用核函数形式 ①L 是冲击响应为 h(t , ) 的线性系统
(t , s) (t s)
( s, t ) ( s t )
(t , s) (t s)
(s, t ) (s t )
其核函数为：
M f span{xm1, xm2 xn }
结论： a. 值域空间的维数为 L 的秩 m，且 m n ； b. 当 m n 时，L 存在一个 n m 维的零空间。 c. 当 m=n 时，称 L 为非奇异的，存在逆映射 L1 。
2.2 线性泛函序列表示法 设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A、B 空间 的基与对偶基分别为
{x, Lx x A}
故非线性算子的表示十分困难。
线性算子的表示方法就简单得多， 而且实际使用中的算子大都是 线性算子，或可进行线性化近似。 如下图中的线性系统可用冲击响应来表示， 冲击响应是线性系统 的一种表示方法。
x (t) f t,) h(
y (t ) x( )h(t , )d
i 1 i 1 m m
其中 wi (i , L j ) j
j 1
n
2.3 矩阵表示法 与泛函序列表示法相同，设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A 与 B 的基分另为 {1 , 2 n } {1 ,2 n } 和 {1,2 m}
对 x(t ) 进行线性变换得到 y(t )
y (t ) Lx(t ) L u ( s ) (t , s )ds
s
u ( s ) L (t , s )ds
s s
现代信号处理算法PPT课件
26
通信信号处理
— 子空间方法
基于子空间的多用户检测 基于子空间的MIMO信道估计 基于子空间的自适应阵列 基于子空间的波达方向估计 基于子空间的时延和Doppler频移的估计 盲空时信号处理的子空间方法
27
通信信号处理
— 空时编码
基于空时编码的多用户接收机 基于空时编码的信道估计 自适应天线 空时处理的TDMA
作为信息载体的信号处理经历了从模拟到数字，从确 知到随机的发展过程，正阔步迈向以非平稳信号、非 高斯信号为主要研究对象和以非线性、不确定性为主 要特征的智能信号处理时代。
6
序言
通信担负着信息流通的功能，近一、二十年获得异乎 寻常的发展；各种基于因特网和移动网的新业务相继 出现，新概念和新技术层出不穷。标志性技术有：IP 技术、3G,4G移动通信技术、宽带接入技术、基于波 分复用技术的光传送网(WDM-OTN)技术。
10
信号处理的基础（续）
这些论文是：
The past, present, and future of multimedia signal processing. IEEE SP Magazine, July 1997
The past, present, and future of neural networks for signal processing. IEEE SP Magazine, Nov. 1997
30
通信信号处理
— Monte Carlo 统计信号处理
❖ Kalman滤波与Monte Carlo信号处理 - Kalman滤波: 线性状态空间模型问题(过程噪声和观测噪声 服从正态分布)，解决高斯噪声情况下参数估计和滤波问题。 - MC处理(又称粒子滤波,particle filtering,使用MC仿真实现 递推Bayes滤波)：非线性状态空间模型问题、解决非高斯噪 声情况下的参数估计和滤波问题。
通信信号处理
— 子空间方法
基于子空间的多用户检测 基于子空间的MIMO信道估计 基于子空间的自适应阵列 基于子空间的波达方向估计 基于子空间的时延和Doppler频移的估计 盲空时信号处理的子空间方法
27
通信信号处理
— 空时编码
基于空时编码的多用户接收机 基于空时编码的信道估计 自适应天线 空时处理的TDMA
作为信息载体的信号处理经历了从模拟到数字，从确 知到随机的发展过程，正阔步迈向以非平稳信号、非 高斯信号为主要研究对象和以非线性、不确定性为主 要特征的智能信号处理时代。
6
序言
通信担负着信息流通的功能，近一、二十年获得异乎 寻常的发展；各种基于因特网和移动网的新业务相继 出现，新概念和新技术层出不穷。标志性技术有：IP 技术、3G,4G移动通信技术、宽带接入技术、基于波 分复用技术的光传送网(WDM-OTN)技术。
10
信号处理的基础（续）
这些论文是：
The past, present, and future of multimedia signal processing. IEEE SP Magazine, July 1997
The past, present, and future of neural networks for signal processing. IEEE SP Magazine, Nov. 1997
30
通信信号处理
— Monte Carlo 统计信号处理
❖ Kalman滤波与Monte Carlo信号处理 - Kalman滤波: 线性状态空间模型问题(过程噪声和观测噪声 服从正态分布)，解决高斯噪声情况下参数估计和滤波问题。 - MC处理(又称粒子滤波,particle filtering,使用MC仿真实现 递推Bayes滤波)：非线性状态空间模型问题、解决非高斯噪 声情况下的参数估计和滤波问题。
信号空间——精选推荐
信号空间一 向量空间回顾若1N e e 是N 个线性不相关（线性独立）的向量，则它们的任意线性组合构成的向量的集合叫做1N e e 张成的线性向量空间，即{}1122:,N N i w w w w Ω==+++∈v v e e e R 。
以下假设这些基向量满足正交和归一化的要求，此时称1N e e 为归一化正交基。
归一化和正交这两点合起来也可以称为正则（orthonormal ）。
若∈Ωv ，则1Ni ii w ==∑v e。
其长度（范数）是=v若12,∈Ωv v ，则11,1Ni ii w==∑v e 、22,1Ni i i w ==∑v e 。
内积是121,2,1Ni i i w w ==∑v v i 。
欧氏距离是12−=v v 。
若∈Ωv ，则称Ω对v 是完备的。
两个向量正交是指其内积为0：1,2,10Nii i ww ==∑。
向量v 与基e i 的内积就是i w ，称i w 为向量v 在e i 上的投影。
称i i w e 为v 在i e 上的投影向量（简称投影）。
二 信号空间任意一个信号()s t 一定可以写成其他若干个信号的线性组合，即()()()()1122N N s t w f t w f t w f t =+++ (1)例如下图中的()s t 可以分解为()()()124233s t f t f t =−。
Fig. 1进一步可以假设(){}i f t 两两正交且能量都为1。
例如上图中的s (t )可以表示为下图所示的3个信号的组合：()()()()12323s t f t f t f t =++。
这3个信号()1f t 、()2f t 、()3f t 的能量都是1，且两两正交。
Fig. 2任意给定一组(){},1,,i f t i N = ，设其两两独立且能量均为1。
由所有(){}i f t 组合而成的信号组成的集合()()()1:,Ni i i i s t s t w f t w =⎧⎫Ω==∈⎨⎬⎩⎭∑R 叫做(){}i f t 张成的信号空间。
现代信号处理讲义讲义
信号S 噪声G
子空间：向量组 a1, ,ap 的线性组合的集合，称为 a1, ,ap 张成的空间。
p
span a1, ,a p close a1, ,a p ja j , j C
j1
信号子空间： span s1, ,sp span u1, ,up 噪声子空间： span g1, ,g p span up1, ,um
J (w) 0
w*
wopt Rxx1a(k )
又
wH opt
a(k
)
1
aH
(k
)wopt
，代入上式
aH
(k
1
)R xx1a( k
)
wopt
Rxx1a(k ) aH (k )Rxx1a(k )
最佳滤波器
由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器
MVDR: minimum variance distortionless response
期望信号 干扰信号 加性噪声
E z(n) 2 lim 1 N z(n) 2 wH E x(n)xH (n) w
N N
n1
E sk (n) 2 wH a(k ) 2 p E si (n) 2 wH a(i ) 2 2 w 2 i 1,i k
wH a(k ) 1
(波束形成条件)
现代信号处理讲义
3.5 MUSIC方法
1. 阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器 3. 子空间方法 4. MUSIC方法 5. 改进的MUSIC方法
3.5 MUSIC方法
MUSIC: Multiple Signal Classification 1. 阵列信号处理问题 (array signal processing)
子空间：向量组 a1, ,ap 的线性组合的集合，称为 a1, ,ap 张成的空间。
p
span a1, ,a p close a1, ,a p ja j , j C
j1
信号子空间： span s1, ,sp span u1, ,up 噪声子空间： span g1, ,g p span up1, ,um
J (w) 0
w*
wopt Rxx1a(k )
又
wH opt
a(k
)
1
aH
(k
)wopt
，代入上式
aH
(k
1
)R xx1a( k
)
wopt
Rxx1a(k ) aH (k )Rxx1a(k )
最佳滤波器
由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器
MVDR: minimum variance distortionless response
期望信号 干扰信号 加性噪声
E z(n) 2 lim 1 N z(n) 2 wH E x(n)xH (n) w
N N
n1
E sk (n) 2 wH a(k ) 2 p E si (n) 2 wH a(i ) 2 2 w 2 i 1,i k
wH a(k ) 1
(波束形成条件)
现代信号处理讲义
3.5 MUSIC方法
1. 阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器 3. 子空间方法 4. MUSIC方法 5. 改进的MUSIC方法
3.5 MUSIC方法
MUSIC: Multiple Signal Classification 1. 阵列信号处理问题 (array signal processing)
第三节线性算子 ppt课件
(2.)T : L1[a, b] L1[a, b]时 , || T || b a
•一 般 来 说 ， 求 一 个 具 体 算 子 的 范 数 并 不 容 易 ， 很 多 场合中只能对其范数做出估计
2020/4/13
• 注：设f是赋范线性空间X上的线性泛函，则 （1） f连续当且仅当f的零空间N(f)是X的闭
2020/4/13
•设X是赋范线性空间，a是一常数。映射T:T(x)ax称为 相似算子，a1时，称为恒定算子或单位算子，记为I。
•例1.定义:Tx(t)at x()d, f(x)abx()d,xC[a,b],
则T是C[a,b]上的一个线性算子，f是一个线性泛函。
• 例2. 区间[0,1]上的连续可微函数全体按极大模是赋sinnt}，显然||sinnt||1,但 || d (sinnt)||n||cosnt||n(n)
dt 因此，微分算子d :C1[0,1]C[0,1]是无界算子。
dt
2020/4/13
定理2:线性算子T是连续的充要条件是T是有界的。
•算 子 T的 范 数 || T ||:式 || T ( x) || M || x || ， x D (T )中 M 的 下 确 界 。
2 . 赋 范 线 性 空 间 X 上 的 有 界 线 性 泛 函 的 全 体 B ( X , R )， 按 前 面 引 入 的 运 算 与 范 数 || f || su p || f ( x ) || 构 成 一 个 B an ach
|| x || 1
空 间 , 我 们 称 之 为 X 的 共 轭 空 间 ， 记 为 X *； (a)如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 X *,则 称 X 是 自 共 轭 的 ； ( b ) 如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 ( X *）* , 则 称 X 是 自 反 的 。
4.1有界线性算子
4.1有界线性算⼦第4章线性算⼦与线性泛函4.1 有界线性算⼦4.1.1 线性算⼦与线性泛函算⼦概念起源于运算。
例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平⾯上的向量绕坐标原点旋转⼀个⾓度等等。
在泛函分析中，通常把映射称为算⼦，⽽取值于实数域或复数域的算⼦也称为泛函数，简称为泛函。
本章着重考察赋范线性空间上的线性算⼦，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分⽅程论、积分⽅程论中⼤量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
关于线性算⼦的理论不仅在数学的许多分⽀中有很好的应⽤，同时也是量⼦物理的数学基础之⼀。
中国物理学界习惯上把算⼦称为算符。
定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性⼦空间，:T D Y →是⼀个映射.对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ?∈及数,αβ∈F , 有()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)则称T 是线性算⼦.称D 是T 的定义域，记为()T D ;称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .取值为实数或复数的线性算⼦T （即：()T ?F R , 1=F R 或1C ）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。
注今后所讨论的算⼦（泛函）都是线性算⼦（线性泛函）。
例4.1.1 设1[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义d()()()d Tx t x t t=, 则T 是X 到Y 的线性算⼦。
例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ?上的⼆元连续函数，定义()()(,)()d baTx t K t s x s s =?,则T 是X 到X 的线性算⼦。
现代信号处理技术-4信号检测与估计理论(基础知识)
F(x)
0, x 0.
p(x)≥0,
p(x)dx
exdx
0
[ex ]0
1.
其均值和方差分别为
x
1
2 x
1
2
若 r.v X具有概率密度
p(x) e|x| 0
2 则称 X 服从参数为 的双边带指数分布.
p(x)
ab
则称x服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作：
X ～ U(a, b)
分布函数为:
0,
F
( x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b,
x b.
p(x)≥0,
b
p(x)dx
1
dx 1
a ba
若X~U [a, b], (x1, x2)为[a, b]的任意子区间，则
(iii) 若事件An F，n=1,2...,则 An F
则称F为事件域。
c. 对于随机事件A，如果满足如下三条，则称P（A）为定义在二元组上的概率 （i）P( A) 0, 对一切A F；
(ii) P（）＝1；
(iii) 若事件Ai F, i 1, 2,...，且两两互不相容，则P（ Ai）= P(Ai)
4 信号检测与估计理论的基础知识
4.1 引言
x(t) s(t) n(t)
x(t) s(t, ) n(t), 0 t T [1, 2 , ... ,M ]T
信号不可预测，但是其统计特性都非常有规律，因 此选择用概率论、数理统计、随机过程等工具来描述.
4.2 随机变量、随机矢量及其统计描述
p(x)
1
(x )2
e 2 2 , x
2
用求导的方法可以证明，
中科院课件--《现代信号处理的理论和方法》Chapter+4
类型I 多相表示： H ( z) z
l 0 M 1 l
h(Mn l ) z
n 0 n 0
Mn
z l El ( z M )
l 0
M 1
其中，El ( z ) h( Mn l ) z
n
el (n) z n
是一个半带滤波器要设计一个的且功率互补的满足可以先设计一个半带滤波器再利用谱分解方法将其分解为谱分解定理如果功率谱pxx是平稳随机序列xn的有理谱那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数hz满足我们总可以用单位圆内部的零极点组成一个系统hz该系统自然是最小相位系统又因为系统系数是实数圆外的零极点必定与圆内的零极点共轭对称
L2
图5.3.1信号的插值 注：见胡广书《现代信号处理教程》图5.3.1
频域表示：
x n 和 (n)各自DTFT 之间的关系： V (e j )
n
( n) e
j n
n
x ( n L )e
j n
k
x(k )e jkL
谱等于原信号 x(n ) 的频谱先作M倍的扩展，再在 轴上作 2 k k 1, 2, , M 1 的移位，幅度降为原来 的1/M后再叠加。
M=3
f s 2Mf c
图5.2.2 信号抽取后频谱的变化 注：见胡广书《现代信号处理教程》图5.2.2
M=2
Y (e j )
1 j / 2 j / 2 X ( e ) X ( e ) 2
c | | L H (e ) 0 其它
j
图5.3.3 插值后的滤波 注：见胡广书《现代信号处理教程》图5.3.3
信号理论(总结)
勾股定理
合理性？
第三章 信号的矢量表示
N
x(t) akk (t) akk (t) k 1
x(t) {ak }
线性独立、基和维数:
线性独立
（2, x3,...xn,若没有不全为零的数a1, a2,...an, 使：
n
ai xi 0
i1
f :S1 S2 或
y f (x); x S1, y S2
集合上的运算：
群 一个集合X,在这个集合上有一个被称作乘
法的内部运算。且满足：
(1)结合律 (xy)z x( yz) x, y, z, X
(2)存在恒等元e X，使 xe ex x x X
(3)对任意的x X , 存在x的逆元x1，使 x1x xx1 e
则称L是线性算子。 当Y为数域C时，称线性算子L为线性泛函。
总能量：
E | s(t) |2dt＝| S() |2d
信号波形的频域特征：
平均频率（中心频率）：
<>=
|
S
(
)
2
| d
带宽：
B
2＝
2
=
(
<>)2
|
S
()
2
| d
任意频率函数的平均值：
<g(
)>=
g
(
)
|
S
(
)
2
|
d
频率参数的计算方法：
S ( )
2
d
s *(t)
1 j
d dt
s(t)dt
x M n
n
(x, j ) ai (i , j ) a j (x, j ) i 1
j 1, 2,..., n
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积分变换核函数
分析：
能否变换回来？
？
对偶核函数
可逆性分析：
可逆性分析：
可逆条件
自对偶
自对偶积分变换的特性：
内积保持不变
积分变换实例：
傅立叶变换
满足自对偶性
帕塞瓦恒等式
傅立叶变换的时频对偶特性
差变量核函数:
积分变换的核函数
信号表示形式：
对偶核函数？
差变量核函数:
傅立叶变换
代表什么？
例：Hilbert变换
3. 有限维内积空间的线性算子
基的变换响应
空间的基
4. L2空间的线性算子
输入信号 输出信号
t:自变量 s:参变量
L2空间的线性算子的三种表示 ：
信号变换
基变换
分量密度函数 变换
线性算子的第三种表示：
变换核函数
例：信号的频域表示
5.线性算子的实例
• 非时变算子 • 恒等算子 • 乘法器 • 微分算子 • 时间平均算子 • 理想滤波算子 • 匹配滤波（相关）算子
结论？
正规算子（可交换伴随算子）
分析 ：
保范
考察：
可以证明：H也是正规算子 分析 ：
推论：
正规算子不同特征值的特征矢量正交
算子特征值和特征矢量的计算
怎样确定特征值和特征矢量？
自对偶
2. 线性变换（线性算子）
定义
例：
多项式空间上的求导运算； 有限维向量空间上的基变换； 能量有限信号空间上的傅里叶变换。
。。。。。。
线性变换（线性算子）的连续性
线性算子若在原点连续，则为连续线 性算子；
线性算子的有界性和连续性
线性算子的有界性和连续性等价。
线性变换（线性算子）空间
现代信号理论讲义4信号空 间的线性算子
数学描述：
定义域
值域
映射关系
信号空间算子的实例:
放大
数乘算子
K
信号空间算子的实例:
滤波
卷积算子
信号空间算子的实例:
雷达回波模型
信号空间算子的实例:
雷达回波分析 ---------点目标
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:
雷达回波分析
------面目标（不考虑散射和传播的差异 ）
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
卷积算子
信号空间算子的实例:
雷达回波分析 ------面目标（考虑散射和传播的差异）
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
积分算子
1.信号的积分变换与表示:
信号离散表示推广到连续函数。
线性算子的运算（加、数乘） 线性算子的范数 （赋范线性空间） 线性算子空间构成一个代数。பைடு நூலகம்算子乘法）
线性算子空间
线性算子的运算（加、数乘）
线性算子的全体构成线性空间。
线性算子空间
线性算子的范数
线性算子的全体构成赋范线性空间 。
• 线性算子范数的其他表述
线性算子范数：
例 L2空间的傅里叶变换
6. L2空间线性算子的有限维近似
如何解决无限维空间上算子实现的困难？
思路1： 将线性算子的定义域限制在有限维空间上；
投影算子 误差？
线性算子的范数
例：
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征值
特征矢量
算子的表示和实现将非常简单！
伴随算子
伴随算子
伴随算子的性质
伴随算子的特征值和特征矢量
分析：
能否变换回来？
？
对偶核函数
可逆性分析：
可逆性分析：
可逆条件
自对偶
自对偶积分变换的特性：
内积保持不变
积分变换实例：
傅立叶变换
满足自对偶性
帕塞瓦恒等式
傅立叶变换的时频对偶特性
差变量核函数:
积分变换的核函数
信号表示形式：
对偶核函数？
差变量核函数:
傅立叶变换
代表什么？
例：Hilbert变换
3. 有限维内积空间的线性算子
基的变换响应
空间的基
4. L2空间的线性算子
输入信号 输出信号
t:自变量 s:参变量
L2空间的线性算子的三种表示 ：
信号变换
基变换
分量密度函数 变换
线性算子的第三种表示：
变换核函数
例：信号的频域表示
5.线性算子的实例
• 非时变算子 • 恒等算子 • 乘法器 • 微分算子 • 时间平均算子 • 理想滤波算子 • 匹配滤波（相关）算子
结论？
正规算子（可交换伴随算子）
分析 ：
保范
考察：
可以证明：H也是正规算子 分析 ：
推论：
正规算子不同特征值的特征矢量正交
算子特征值和特征矢量的计算
怎样确定特征值和特征矢量？
自对偶
2. 线性变换（线性算子）
定义
例：
多项式空间上的求导运算； 有限维向量空间上的基变换； 能量有限信号空间上的傅里叶变换。
。。。。。。
线性变换（线性算子）的连续性
线性算子若在原点连续，则为连续线 性算子；
线性算子的有界性和连续性
线性算子的有界性和连续性等价。
线性变换（线性算子）空间
现代信号理论讲义4信号空 间的线性算子
数学描述：
定义域
值域
映射关系
信号空间算子的实例:
放大
数乘算子
K
信号空间算子的实例:
滤波
卷积算子
信号空间算子的实例:
雷达回波模型
信号空间算子的实例:
雷达回波分析 ---------点目标
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:
雷达回波分析
------面目标（不考虑散射和传播的差异 ）
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
卷积算子
信号空间算子的实例:
雷达回波分析 ------面目标（考虑散射和传播的差异）
发射信号 ：
目标后向散射系数：
接收信号 ：
积分算子
1.信号的积分变换与表示:
信号离散表示推广到连续函数。
线性算子的运算（加、数乘） 线性算子的范数 （赋范线性空间） 线性算子空间构成一个代数。பைடு நூலகம்算子乘法）
线性算子空间
线性算子的运算（加、数乘）
线性算子的全体构成线性空间。
线性算子空间
线性算子的范数
线性算子的全体构成赋范线性空间 。
• 线性算子范数的其他表述
线性算子范数：
例 L2空间的傅里叶变换
6. L2空间线性算子的有限维近似
如何解决无限维空间上算子实现的困难？
思路1： 将线性算子的定义域限制在有限维空间上；
投影算子 误差？
线性算子的范数
例：
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征值
特征矢量
算子的表示和实现将非常简单！
伴随算子
伴随算子
伴随算子的性质
伴随算子的特征值和特征矢量