不等式的概念、性质及解法

姓名学科韦日辉

数学

学生姓名

年级年级

填写时间

教材版本

2014--

北师大版

阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时

课题名称

课时计划

共（）课时

（全程或具体时间）

上课时间:00-:00同步教学知识内容

教学目标

个性化学习问题解决

教学重点

教学难点

不等式的概念、性质及解法中考要求

内容

不等式(组)

不等式的性质

基本要求

能根据具体问题中的大小

关系了解不等式的意义．

理解不等式的基本性质．

了解一元一次不等式(组)

略高要求

能根据具体问题中的数量关系列

出不等式(组)．

会利用不等式的性质比较两个实

数的大小．

会解一元一次不等式和由两个一

较高要求

能根据具体问题中的数量关系列

解一元一次不

等式(组)

的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问

示(确定)其解集．

例题精讲

会根据条件求整数解．题．

⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ；

⑵ y 的 与 4 的和小于 x ；

> )

< )

板块一、不等式的概念和性质

☞不等式的概念

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：

-5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式．

2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．

注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．

3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其

相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系．

（1） a 是正数

（2） a 是非负数

（3） a 的相反数不大于 1

（4） x 与 y 的差是负数

（5） m 的 4 倍不小于 8

（6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数

（7） x 的 3 倍不大于 x 的

1 3

（8） a 不比 0 大

【巩固】用不等式表示：

1 2 5

3

⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2

的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ．

【巩固】用不等式表示：

⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1

☞不等式的性质

不等式基本性质：

基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．

如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c

如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1)

基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或

如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或

a b

c c

a b c c

基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果 a > b ，并且 c < 0 ，那么 ac < bc (或 a < )

⑶ 若 - x > 6 ，则 x ______ -4 ；⑷ 若 a > b ， c > 0 ，则 ac ______ bc ；

⑶ a ______ b ；

⑷ -a ____ - b

8 8

C. 1 - 2a < 1 - 2b

B. a < A ． 1 a b

B ． ab < b 2

A ． -a > -b

B ． 1 a b

C ． a + b > 2b

【巩固】 如果 x > 2 ，那么下列四个式子中：① x 2 > 2x

② xy > 2 y ③ 2x > x ④ 1 < 正确的式子的个数共有

b

c c

如果 a < b ，并且 c < 0 ，那么 ac > bc (或 ax > b )

不等式的互逆性：如果 a > b ，那么 b < a ；如果 b < a ，那么 a > b ．

不等式的传递性：如果 a > b ， b > c ，那么 a > c ．

易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

②在计算的时候符号方向容易忘记改变．

【例2】⑴ 如果 a > b ，则 2a > a + b ，是根据

；

⑵ 如果 a > b ，则 3a > 3b ，是根据

；

⑶ 如果 a > b ，则 -a < -b ，是根据

；

⑷ 如果 a > 1 ，则 a 2 > a ，是根据

；

⑸ 如果 a < -1 ，则 a 2 > -a ，是根据

．

【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

⑴ 若 a < b ，则 2a _______ 2b ； ⑵ 若 a > b ，则 -4a ______ -4b ；

3 2

⑸ 若 x < 0 ， y > 0 ， z < 0 ，则 ( x - y) z _______ 0 ．

【巩固】若 a < b ，用“ > ”或“ < ”填空

⑴ a + 2 _____ b + 2 ；

⑵ a - 2 _____ b - 2

1 1

3 3

【巩固】若 a < b ，则下列各式中不正确的是（

）

A. a - 8 < b + 8

1 1

b

D. a - 2 < b - 2

【例3】已知 a > b ，要使 -bm < -am 成立，则 m 必须满足(

)

A ． m > 0

B ． m = 0

C ． m < 0

D ． m 为任意数

【巩固】如果关于 x 的不等式 (a + 1)x > a + 1 的解集为 x < 1 ，那么 a 的取值范围是（

）

A. a > 0

B. a < 0

C. a > -1

D. a < -1

【巩固】若 a < b < 0 ，则下列不等成立的是(

)

<

1

C ． a 2 > ab

D ． | a |<| b |

【巩固】如果 a > b ，可知下面哪个不等式一定成立(

)

1 <

D ． a 2 > ab

1

x 2