8.3向量值函数在定向曲线上的积分
向量值函数在定向曲面上的积分
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向量值函数的积分学知识总结
向量值函数的积分学知识总结积分学是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的积分与相关的计算方法。
在向量值函数的积分学中，我们研究的是向量值函数的积分以及相关的概念、性质和计算方法。
下面是向量值函数的积分学知识的总结。
一、向量值函数的积分概念1. 向量值函数的积分：对于定义在闭区间[a, b]上的向量值函数r(t)=(f(t), g(t), h(t))，其积分可以表示为∫r(t)dt，其中f(t)、g(t)和h(t)分别是r(t)的分量函数，积分结果是一个向量。
二、向量值函数的积分性质1. 积分的线性性质：设r(t)和s(t)是定义在闭区间[a, b]上的向量值函数，c是常数，则有∫(r(t)+s(t))dt=∫r(t)dt+∫s(t)dt，以及∫c*r(t)dt=c*∫r(t)dt。
三、向量值函数的定积分计算方法1. 分量函数分别积分：将向量值函数r(t)的分量函数f(t)、g(t)和h(t)分别积分，得到r(t)的积分为∫r(t)dt=∫(f(t) dt, g(t) dt, h(t) dt)。
2.曲线参数化方法：如果向量值函数r(t)是一条曲线的参数方程，则可以通过曲线的参数方程进行积分计算。
具体方法是将t从a到b进行积分，得到曲线上的线积分结果。
四、向量值函数的定积分应用1. 弧长：对于曲线的向量值函数r(t)，其定积分可以表示为∫，r'(t)， dt，其中，r'(t)，表示r(t)的速度，即曲线上每一点的切线长度。
2.质心：对于一条有质量的曲线，其质心的坐标可以通过曲线上的线积分计算得到。
3.曲面面积：一些曲线所围成的曲面的面积也可以通过曲线参数方程进行计算，具体方法是对曲线进行参数化，然后计算参数化曲面的面积。
五、对向量值函数的积分定理1. 格林公式：如果向量场F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))是一个有连续偏导数的向量场，那么有∬(∂Q/∂x-∂P/∂y) dA = ∮(P dx + Q dy)，其中∂Q/∂x和∂P/∂y分别是F的偏导数。
第八章 曲线积分与曲面积分(改)
第八章 曲线积分与曲面积分（A ）习题八1、计算下列数量值函数的曲线积分： ⑴22L y ds x y +⎰，其中L 为平面上的上半圆周：221,0x y y +=≥． ⑵⎰+Lds y x )(，其中L 为以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形边界．⑶⎰+Ly x ds e22，其中L 为x 轴，圆周222(0)x y a a +=>，直线y x =在第一象限内所围成扇形的边界．⑷2Ly ds ⎰，其中L 是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的一拱(02)t π≤≤．⑸22()Lx y ds -⎰，其中L 为柱面221x y +=与平面0x y z ++=的交线．2、求空间曲线cos ,sin ,(0)tttx e t y e t z e t ---===<<+∞的弧长．3、求均匀摆线弧(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t t π=-=-≤≤的重心坐标．4、计算下列数量值函数的曲面积分： ⑴22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑：222()z x y =-+，0z ≥．⑵()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分．⑶22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面．⑷2221dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为介于平面0z =和平面(0)z H H =>之间的圆柱面222x y R +=．5、求抛物面22z x y =+被锥面2z =所截下的部分曲面面积．6、计算下列向量值函数在定向曲线上的积分： ⑴22610Lxydx xy dy +⎰，其中L 为曲线2y x =上从点(0,0)到(1,1)的一段弧． ⑵2(sin )Lx y dx +⎰，其中L 为由2,1y x x ==所围区域的边界（逆时针方向）． ⑶2222Ly xdx dy x y x y -+++⎰，其中L 是半径为a ，圆心在原点且方向由(,0)A a 到(,0)B a -的上半圆．⑷(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(s i n ),(1c o sx a t t y a t =-=-从0t =到2t π=的一段．⑸||||Ldx dyx y ++⎰，其中L 为从点(1,0)A 经点(0,1)B 到点(1,0)C -的折线段． ⑹(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线．7、设曲线L 是从点(0,0)O 沿圆弧y =到点(1,0)A 的弧段，计算22()(sin )LI x yx dx y x y dy =-++⎰．8、将(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化为数量值函数的曲线积分，其中L 为沿圆周222x y y +=（逆时针）从(0,0)到(1,1)．9、方向沿纵轴方向，大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m 的质点沿半圆周y =(1,0)-移动到(1,0)时，场力所作的功．10、设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2kr （0k >为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y =自(2,0)B 运动到(0,0)O ，求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功．11、利用格林公式计算下列曲线积分： ⑴2(1)Ly dx xydy ++⎰，其中L 为曲线sin y x =和2sin (0)y x x π=≤≤所围区域的正向边界． ⑵(sin )(cos )x x Le y y x dx e y x dy +++-⎰，其中L 为从点(0,0)O 经圆周22(1)1x y -+=的下半部分到点(2,0)A 的一段弧．12、计算曲线积分224Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是以(1,0)为中心，(1)R R ≠为半径的圆周，逆时针方向．13、证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰与路径无关，并求积分值．14、验证22(2cos sin )(2cos sin )x y y x dx y x x y dy -+-在整个xOy 平面内为某一函数的全微分，并求一个这样的函数(,)u x y ．15、计算下列向量值函数在定向曲面上的积分： ⑴22()xy zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的下侧．⑵zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧．⑶2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧． ⑷2x dydz zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．16、利用高斯公式计算下列曲面积分： ⑴222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x y z a ++=(0)a >所围立体的全表面的外侧．⑵32()2xyz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰，其中∑为222x y R +=在平面0z =和1z =之间部分圆柱面的外侧．⑶333()()()x yz dydz y xz dzdx z xy dxdy ∑++-++⎰⎰，其中∑为取外侧的球面222x y z z ++=． ⑷222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．17、计算323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =18、计算xyzA e r =在点()1,1,1P 处的散度，其中r 为矢径：r xi yj zk =++．19、求向量yzi xzj xyk ++穿过圆柱体222,0x y R z H +≤≤≤的全表面∑的外侧的通量．20、利用斯托克斯公式计算曲线积分()()()C z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰，其中C 是曲线2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的．（B ）单元自我测试题一、填空题（每题4分，共20分）1、设C 为3y x =上点(0,0)到(1,1)的一段弧，则曲线积分C⎰＝ ．（写出定积分形式，不必计算）2、设L 是圆周：2222,0x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩则曲线积分2Lx ds ⎰的值为 ．3、设C 是逆时针方向的闭曲线，其方程为22(1)1x y -+=，则222()(2)Cx y d x y x y d y-+-⎰＝ ． 4、设∑是抛物面221(23)z x y =-+在xOy 平面上方部分的下侧，则向量值函数在定向曲面上的积分I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰化为数量值函数的曲面积分后，I ＝ ．5、向量场()()22,,ln 1z u x y z xy i ye j x z k =+++在点()1,1,0P 的散度divu = ．二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则曲线积分值为（ ）A ．22a π Ｂ．3a π Ｃ．32a π Ｄ．34a π 2、设∑：2222(0)x y z a z ++=≥，1∑为∑在第一卦限的部分，则有（ ）．A ．14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｂ．14ydS ydS ∑∑=⎰⎰⎰⎰Ｃ．14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｄ．14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰3、设L 是从点()0,0沿折线11y x =--至点()2,0A 的折线段，则曲线积分LI ydx xdy =-+⎰=( )A ．2- Ｂ．1- Ｃ．0 Ｄ．24、设2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则常数a ＝（ ）．A ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 5、设∑是柱面221,01x y z +=≤≤外侧，()x y z dydz ∑++=⎰⎰（ ）． A ．0 Ｂ．1π+ Ｃ．1 Ｄ．π三、计算下列曲线积分或曲面积分的值（每题6分，共24分）1、设L 是由直线2y x =，2y =和0x =所围成的三角形区域的边界，求Lxyds ⎰．2、2I z dS ∑=⎰⎰，其中∑是球面2222xy z a ++=．3、计算22C I xy dy x ydx +=-⎰，C 为圆周222x y a +=．4、2()I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于0z =及3z =之间部分的下侧．四、（8分）求面密度为1的均匀半球面2222:x y z a ∑++=，0z ≥对z 轴的转动惯量．五、（８分）设曲线C 为抛物线222x y =-上从点(0,1)A 到点(0,1)B -的一段弧，计算22Cxdy ydxI x y -=+⎰．六、（８分）设函数()f x 可导，且(0)1f =，求()f x 使得曲线积分()xLye dx f x dy +⎰在全平面上与路径无关，并计算(1,1)(0,0)()x I ye dx f x dy =+⎰．七、（8分）设∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧，求曲面积分()I x y dydz ydzdx dxdy ∑=+++⎰⎰．八、（9分）计算曲面积分33311()()()22x x dydz y xz dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z z ++=的内侧．（C ）提高题1、计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分．2、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离，求(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰．3、设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)Lx y d xQ x y d y +⎰与路径无关，并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求(,)Q x y ．4、设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx y ϕ+=+⎰．5、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰， ⑴ 证明曲线积分I 与路径L 无关； ⑵ 当ab cd =时，求I 的值．6、计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向．7、确定常数λ，使向量42(,)2()A x y xy x y i λ=+242()x x y j λ-+在右半平面0x >上的为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y ．8、已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证： ⑴sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰；⑵sin sin 22y x Lxe dy ye dx π--≥⎰．9、求[sin ()](cos )x xI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧．10、计算曲面积分2222xdydz z dxdy x y z ∑+++⎰⎰，其中∑是由曲面222x y R +=及两平面z R =，(0)z R R =->所围成立体表面的外侧．11、计算212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =上侧，a 为大于零的常数．12、计算曲面积分(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z xy =+(01)z ≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角．13、计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =-≥－的上侧．。
【向量值函数】图解高等数学-下02
【向量值函数】图解⾼等数学-下02 9.3 向量 - 值函数
平⾯曲线
当⼀个质点在时间区间 I 在平⾯内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数
点(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平⾯上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置
P(f(t),g(t)) 的向量
是质点的位置向量, 函数 f 和 g 是位置向量的分量函数(分量). 质点的路径是在时间区间 I 由 r 绘制的曲线. 观察下⾯的向量函数
三维空间中的向量函数:
极限和连续
通过数值分量来定义向量函数的极限.
在⼀点的连续性
导数
假定 r(t)=f(t)i+g(t)j 是沿⼀平⾯曲线运动的质点的位置向量, ⽽ f 和 g 是 t 的可微函数. 则质点位置再时刻 t+△x 和时刻 t 的差是△r=r(t+△t)-r(t), ⽤分量表⽰为:
观察下图
导数
从上⾯动图可以看到, 当△t 趋于 0 时, 有三件事情同时发⽣:⾸先, Q 沿着曲线趋于 P:割线 PQ 看来趋于点 P 与曲线相切的位置;△r△t趋于极限;
如果 dr/dt 是连续且从不为 0 , 则 r 描绘的曲线是光滑的.
因为向量函数的导数是按分量逐个计算的, 对可微向量函数的求导法则对标量函数的求导法则有同样的形式.
运动
再观察下⾯的图形
不定积分
r 对 t 的不定积分是 r 的所有反导数的集合. ⽤∫r(t)dt 表⽰, 若 R 是 r 的任⼀反导数, 则
定积分
如果 r(t)=f(t)i+g(t)j 的分量在 [a,b] 上是可积的, 则 r 也如此, 并且从 a 到 b 的 r 的定积分是
(完)。
向量函数与曲线积分
向量函数与曲线积分向量函数是一个将实数域映射到n维向量空间的函数。
它的定义域是实数集，值域是n维向量空间。
在数学中，向量函数是研究向量值函数的一种重要方法。
向量值函数可以表示为f(t)=(f1(t), f2(t), ..., fn(t))，其中f1(t), f2(t), ..., fn(t)是实数函数，t是自变量。
我们可以将向量函数视为将t映射到n维向量空间中的一个点。
在实际应用中，向量函数可以表示物理运动、电磁场分布、流体运动等。
通过对向量函数的研究，我们可以了解物体的位置、速度、加速度等重要信息。
向量函数的运算包括向量之间的加法、减法、数乘以及点乘、叉乘等。
例如，两个向量函数f(t)=(f1(t), f2(t), f3(t))和g(t)=(g1(t), g2(t), g3(t))之间的加法可以表示为f(t)+g(t)=(f1(t)+g1(t), f2(t)+g2(t), f3(t)+g3(t))。
曲线积分是对向量函数在曲线上的积分。
曲线积分可以分为一类是沿着曲线的路径积分，另一类是对曲线内部的积分。
对于路径积分，我们可以用参数方程表示曲线，然后将向量函数代入参数方程，通过积分计算沿着曲线的值。
对于曲线内部的积分，我们需要定义曲线的方向，然后通过面积分来计算曲线内的取值。
曲线积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，通过计算流体沿着管道的曲线积分，我们可以得到流体的流量和压力变化。
通过计算电场沿着导线的曲线积分，我们可以得到电势差和电流变化。
在计算曲线积分时，我们首先需要找到曲线的参数方程。
然后，将向量函数代入参数方程，计算出向量函数在曲线上每个点的值。
最后，通过积分计算出曲线积分的值。
曲线积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行。
对于简单的曲线和向量函数，可以使用解析方法计算。
对于复杂的曲线和向量函数，可以使用数值方法进行近似计算。
总结起来，向量函数与曲线积分是数学中重要的概念和方法。
通过对向量函数的研究，我们可以了解向量值函数的性质和应用。
向量函数的定积分与变限积分
向量函数的定积分与变限积分在微积分学中，向量函数的积分是一个非常重要的概念。
它不仅能够应用于物理学、工程学等自然科学领域，还可以用于经济学、统计学等社会科学领域。
其中较为常见的形式有定积分和变限积分两种。
它们不仅有着不同的表达方式，而且其应用和性质也不尽相同。
一、向量函数的定积分向量函数的定积分是指将一个向量函数沿着一段固定的曲线上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其定积分可以用如下的形式来表达：∫ab f（t）·ds其中，a、b是曲线上任意两个点，而s是从a到b的弧长参数。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与弧长的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的定积分。
假设有一个向量函数f（t）= (cos t, sin t)与一条圆周曲线C：x^2+y^2=1相对应。
其在曲线上的定积分可以写为：∫C f（t）·ds = ∫0^2π (cos t, sin t)·(dx,dy)= ∫0^2π cos t dx + sin t dy= 0这里可以看出，其中的积分结果是一个标量，因为对于这个圆周曲线，从起点到终点的弧长为零。
二、向量函数的变限积分向量函数的变限积分是指将一个向量函数沿着一段曲线段上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其变限积分可以用如下的形式来表达：∫p q f（t）·dr其中，p、q是曲线上任意两个点，而r是从p到q的位移向量。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与位移的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的变限积分。
假设有一个向量函数f（x, y）= (x^2y, xy^2)与一条线段L: y=x, 0≤x≤1相对应。
其在曲线上的变限积分可以写为：∫L f（x, y）·dr = ∫0^1 (x^2y, xy^2)·(dx, dx)= ∫0^1 x^2y dx + xy^2 dx= 1/12这里可以看出，其中的积分结果是一个向量，其大小和方向都与从起点走到终点的路径有关。
向量值函数的积分学知识总结
向量值函数的积分学知识总结向量值函数的积分学涉及到对向量值函数在某个区间上的积分计算。
下面是向量值函数的积分学的一些关键概念和知识总结：1. 定义：向量值函数是将一个或多个自变量映射到一个向量的函数。
通常表示为r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟨，其中f(t)，g(t)，h(t)分别表示函数在每个自变量上的分量。
2. 积分符号：向量值函数的积分通常用∫r(t) dt表示，其中r(t)表示被积函数，dt表示积分变量。
3. 曲线积分：曲线积分是指将向量值函数沿着曲线路径的积分。
它可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
●第一类曲线积分：也称为线积分，表示将向量值函数沿曲线的长度进行积分。
它可以用∫r(t)·dr来表示，其中·表示点乘，dr表示路径的微小位移。
●第二类曲线积分：也称为曲面积分，表示将向量值函数沿曲线的方向进行积分。
它可以用∫r(t)·n ds来表示，其中·表示点乘，n表示曲线的法向量，ds表示曲线上的微小位移。
4. 曲线参数化：曲线积分需要对曲线进行参数化，将曲线上的点表示为参数t的函数。
常见的参数化方式有向量参数化和标量参数化。
●向量参数化：向量参数化将曲线上的点表示为向量函数r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟨，其中x(t)，y(t)，z(t)为参数方程。
●标量参数化：标量参数化将曲线上的点表示为两个标量函数x(t)和y(t)的组合，即x = x(t)，y = y(t)。
5. 曲线的方向：曲线积分的结果受到曲线的方向影响。
对于有向曲线，可以通过指定参数的取值范围来确定曲线的方向。
6. 计算方法：曲线积分的计算方法有多种，常用的有参数法和直接计算法。
●参数法：通过将曲线参数化为一个变量的函数，将曲线积分转化为一个变量的定积分来求解。
●直接计算法：对于简单的曲线，可以直接计算积分的表达式，然后进行求解。
7. Green公式和Stokes公式：Green公式和Stokes公式是曲线积分与曲面积分之间的重要关系。
第八章 向量值函数的曲线积分与曲面积分(1)
例5求面密度为常数 的均匀抛物面壳 的重心坐标.
解由抛物面 的对称性和均匀性知，重心坐标中 ，下面求坐标 .
抛物面 在xOy平面上的投影区域 为 ，故有
所以
重心坐标为
例6计算 其中 是锥面 被平面 和 所截得的部分的下侧.
解在计算 时， 可分为两块，即前面一块 和后面一块 ， 在yOz平面上的投影为正， 在yOz平面上的投影为负，其投影区域 相同.见图9－22.故图8－22
例3计算 ，其中 为 ，取逆时针方向.
解积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即
第一个积分，曲线关于 轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是y的偶函数。
第二个积分，曲线关于 轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图8－21
分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即 ＝0
＝ .（8）
现在，斯托克斯公式可写成向量的形式
，
或
，（9）
其中
为 在 的法向量上的投影，而
为向量 在 的切向量上的投影.
沿有向闭曲线 的曲线积分
叫做向量场 沿有向闭曲面 的环流量.斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度场通过 所张的曲面 的通量,这里 的正向与 的侧应符合右手规则.
一般地，设某向量场由
给出，其中 具有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n是 在点 处的单位法向量，则 叫做向量场 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量），而 叫做向量场 的散度，记作 ，即
高斯公式现在可以写成
，
其中 是空间闭区域 的边界曲面，而
向量值函数积分学
x x(t),
y
y(t ),
z z(t),
r (t )
x(t)i
y(t) j
z(t)k,
t
.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
Q(
x)
,
lim
x0
R(
x
x) x
R(
x)
dP dx
,
dQ dx
,
dR dx
dP dx
r i
dQ dx
r j
dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx
例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .
(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,
v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
8.5向量值函数在定向曲面上的积分
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
为向量值函数 F ( x, y, z )在定向曲面 上的积分或第 二类曲面积分 , 记为： F ( x, y, z ) dS
R( x, y, z ) cos dS 同时存在 , 则称积分 [ P( x, y, z ) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos ]dS
流量
实例: 流向曲面一侧的流量.
A
en
A | v | cos
Av en
（2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
由方程 y = y(z,x) 表示的曲面分左侧和右侧， 封闭曲面分内侧和外侧.
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是 指向曲面取定的一侧.
若光滑曲面 的方程为： z( x, y ) , z 取上侧 , 则法向量 n 的指向朝上 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) , 取下侧 , 则法向量 n 的指向朝下 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) ,
高等数学向量值函数的积分
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
(Q x
P y
)dxdy
其中 D 是单连通区域；L是该区域的定向边界曲线，
且分段光滑；P( x, y) 与 Q( x, y) 都是在区域内具有连
续偏导的二元函数。
（ii）公式证明简述 首先考虑曲线所围区域兼有x型区域和y型区域特 点的情况，分析积分，可得公式成立；
然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无 限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。
（iv）第二型曲线积分表示为第一型曲线积分
注意到
si
(xi
,
yi
,
zi
)T
=（
xi si
, yi si
, zi si）T Nhomakorabeasi
e ( xi , yi , zi )ds ( 弧微分 ds 0)
其中e ( xi , yi , zi )是曲线在点( xi , yi , zi )处的切向量。
因此
lim
0
第八章 向量值函数的 曲线与曲面积分
1.向量值函数在有向曲线上的积分； 2.格林公式，
平面曲线积分与路径无关的条件； 3.向量值函数在有向曲面上的积分； 4.高斯公式与斯托克斯公式； 5.场论简介
8.1.向量值函数在有向曲线上的积分
1.向量场概念； 2.第二型曲线积分的概念； 3.第二型曲线积分的计算。
1.向量场概念
（1）第二型曲线积分的常见形式-
当L是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：
L f ( x, y)dx g( x, y)dy
（1）
L f ( x, y, z)dx g( x, y, z)dy h( x, y, z)dz （2）
《向量值函数积分学》PPT课件
O
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M(x,y,zy)
6
二、一元向量值函数的极限、导数、积分
设f ( x) P( x)i Q( x) j R( x)k {P( x), Q( x), R( x)};
(1) lim f ( x) { lim P( x), lim Q( x), lim R( x)};
x x0 df
向数量量场场如如：：速密度度场场v((xx,,yy,,zz)),力 ,温场度F场( xT,(yx,,zy)等, z)。等；
如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随时 间的变化而变化，称其为稳定场；而随时间的变化 而变化的场称其为不稳定场。
本课程中主要研究稳定场。
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小结
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
向量值函数的极限存在性、连续性、可导、可微、 可积等均依赖于其坐标的极限存在性、连续性、可导、 可微、可积等。
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位移
向 量r
r (t
t
)
r (t),
dr 是质点运动的速度向量，
dt
dr ( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
dt
dr (
)0
{x(t), y(t), z(t)}
是速度的方向。
dt
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2
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r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
{P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)}.
曲线积分公式
曲线积分公式在数学的多元微积分中，曲线积分是一种重要的概念。
它是用于计算沿曲线路径的函数值的积分，在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
曲线积分的计算有多种方法，其中最常用的是向量场和标量函数的积分。
1. 曲线积分的定义设有一条光滑曲线C，其参数方程为r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b。
如果给定一个定义在曲线C上的函数f(x, y)，我们可以定义在曲线上的积分∫f(x, y) ds，其中ds表示曲线元素的长度。
曲线积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲线积分在向量场F上的积分，即∫F · dr；第二种情况是曲线积分在标量函数f上的积分，即∫f ds。
2. 曲线积分的计算方法2.1 向量场的曲线积分设有一个向量场F，其分量函数为F = P(x, y)i + Q(x, y)j，其中i和j是标准基向量。
那么向量场F在曲线C上的曲线积分可以表示为∫F · dr = ∫(P dx + Q dy)。
计算向量场的曲线积分可以使用以下方法： - 方法1：直接计算。
将P和Q分别乘以曲线元素dx和dy，并进行积分。
- 方法2：参数化计算。
将曲线C的参数方程r(t) = (x(t), y(t))代入向量场F的分量函数，然后计算对t的积分。
2.2 标量函数的曲线积分设有一个定义在曲线C上的标量函数f(x, y)，那么它在曲线C上的曲线积分可以表示为∫f ds。
标量函数的曲线积分可以通过以下方法进行计算： - 方法1：直接计算。
将曲线C的参数方程代入标量函数f，并将其乘以曲线元素ds，然后进行积分。
- 方法2：参数化计算。
将曲线C的参数方程r(t) = (x(t), y(t))代入标量函数f，并将其乘以曲线元素ds/dt，然后计算对t的积分。
3. 曲线积分的性质曲线积分具有一些重要的性质，包括线性性质和路径无关性质。
3.1 线性性质设F和G是两个向量场，c是一个常数。
向量值函数的积分
向量值函数的积分向量值函数的积分是指对于一个向量值函数，通过积分运算得到其在某一区域内的平均值或总和。
在数学中，向量值函数是指自变量为一个或多个实数的函数，其返回值为一个向量。
对于一个标量函数f(x)，我们可以通过积分运算得到其在某一区间[a,b]内的平均值或总和。
而对于一个向量值函数F(x)，我们需要定义如何进行积分运算。
设F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))为n维向量值函数，其中fi(x)为标量函数，则F(x)在区域D上的积分定义为：∫F(x)·ds = ∫(f1(x), f2(x), ..., fn(x))·ds其中ds表示曲线段元素，即ds = ||r'(t)||dt，r(t)是曲线C上的参数方程。
例如，在二维平面上，设F(x,y) = (x^2, y^2)，则其在曲线C：y=x^2上的积分可以表示为：∫F(x,y)·ds = ∫(x^2, y^2)·ds= ∫(x^2, x^4)·sqrt(1+4x^2)dx= ∫x^2sqrt(1+4x^2)dx + ∫x^4sqrt(1+4x^2)dx这里需要注意的是，在进行向量值函数的积分运算时，需要对每个分量进行独立的积分运算，然后将结果合并成一个向量。
另外，向量值函数的积分也可以表示为对曲面上的某一物理量的平均值或总和。
例如，在三维空间中，设F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为流体速度场，则其在曲面S上的通量可以表示为：Φ = ∫F(x,y,z)·n·dS其中n为曲面S上的单位法向量，dS表示曲面元素。
总之，向量值函数的积分是一种广泛应用于物理、工程等领域中的数学工具，其可以帮助我们计算出某一物理量在某一区域内的平均值或总和。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的积分方法，并注意对每个向量分量进行独立计算。
向量函数的积分计算方法与物理应用
向量函数的积分计算方法与物理应用引言：向量函数在物理学中有着广泛的应用，涉及到力学、电磁学、流体力学等领域。
在这些领域中，我们经常需要计算向量函数的积分，以求解物理问题或者分析物理现象。
本文将介绍向量函数的积分计算方法，并探讨其在物理应用中的意义。
一、向量函数的积分计算方法1. 曲线积分曲线积分是对向量函数沿着曲线的积分。
常见的曲线积分有第一类曲线积分和第二类曲线积分两种形式。
第一类曲线积分是对向量函数的点积进行积分，表示沿着曲线的力的功。
计算方法可以通过参数方程或者弧长参数来进行。
第二类曲线积分是对向量函数的叉积进行积分，表示沿着曲线的磁场力线通量。
计算方法可以通过参数方程或者弧长参数来进行。
2. 曲面积分曲面积分是对向量函数通过曲面的积分。
常见的曲面积分有第一类曲面积分和第二类曲面积分两种形式。
第一类曲面积分是对向量函数的点积进行积分，表示通过曲面的流量。
计算方法可以通过参数方程或者面积参数来进行。
第二类曲面积分是对向量函数的叉积进行积分，表示通过曲面的磁通量。
计算方法可以通过参数方程或者面积参数来进行。
3. 体积积分体积积分是对向量函数在三维空间中的积分。
常见的体积积分有第一类体积积分和第二类体积积分两种形式。
第一类体积积分是对向量函数的点积进行积分，表示体积内的质量、电荷等物理量。
计算方法可以通过直角坐标系或者柱坐标系来进行。
第二类体积积分是对向量函数的叉积进行积分，表示体积内的旋转、涡量等物理量。
计算方法可以通过直角坐标系或者柱坐标系来进行。
二、向量函数积分在物理应用中的意义1. 力学中的应用向量函数的积分在力学中有着重要的应用。
通过曲线积分可以计算力的功，从而求解物体在力作用下的位移和能量变化。
通过曲面积分可以计算力的流量，从而分析物体受力的情况。
通过体积积分可以计算物体的质量、质心以及转动惯量等物理量。
2. 电磁学中的应用向量函数的积分在电磁学中也有着广泛的应用。
通过曲线积分可以计算电场沿着闭合回路的环流，从而分析电磁感应现象。
向量值函数在定向曲面上的积分第二类曲面积分
,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
定义在Σ上且都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 指定侧的河水的流量 。
= v ( x , y , z ) dS
4
第二型曲面积分的定义
流速为 v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
5
第二型曲面积分的性质
1
1 线性性质
2
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy （对曲面的分片可加性）
2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
3 （方向性）设 的反侧曲面记为 ，则有：
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
物理意义:
的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：
= v ( x , y , z ) dS
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
注：若是封闭曲面，则在上的第二型曲面积 分可记为
P ( x , y, z )dydz Q( x , y, z )dzdx R( x , y, z )dxdy
[v ( x , y , z ) en ( x , y , z )]dS
= [ P ( x , y , z )cos Q( x , y , z )cos R( x , y , z )cos ]dS
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P ( k ,k ) x k Q ( k ,k ) y k
Hale Waihona Puke 3) “(求和)近似和”n
W P ( k ,k ) x k Q ( ξ k ,k ) y k
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k1
P ( ξ k , η k ) Δ x k Q ξ k , η k ) Δ y k (
a
( 2 ) L : x x ( y ) y : c d .
则 P d x Q d y d { P [ x ( y )y ] x , ( y ) Q [ x ( y )y ] , d y } .
L
c
例1 计算 xd yx,其L 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧 y B(1,1)
其r中 (t)表示 上对t应 的参 点数 .的向
2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是 与曲线的走向相一致 .
由参数方程曲 给线 出 在的 其定 上向 任一
切向量 为：
x (t),y (t),z (t)
其a 中 b 时 取 当,当 正 a b 时 号 取.负
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
L(P1dxQ1dy)(P2dxQ2dy) LP1dxQ1dyLP2dxQ2dy
2) 对于定向积分曲线弧的可加性
L L 1L 2,则 L P (x ,y)d xQ (x ,y)d y
P (x ,y)d xQ (x ,y)d y P (x ,y)d xQ (x ,y)d y.
L 1
L 2
“(求和)近似和” “取极限”
1) “(分割)大化小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 Mk1Mk
所做的功为 Wk, 则
y
F(k,k)
n
W Wk
L
M yk k
Mxkk1
B
k 1
A
2) “(近似)常代变”
O
x
有向小弧段 Mk1Mk 用有向线段 Mk1Mk ( xk,yk)
近似代替, 在 Mk1Mk 上任取一点 (k,k),则有
定向曲线 A ⌒ B 的参数方程写作：
xx(t), yy(t), zz(t),
t:ab,
其A 中 对 t a 起 ,应 终 B 对 点 点 t b .应
定向曲线A ⌒ B 的参数方程也可 表用 示向 ：量
r r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k , t: a b ,
第三节 向量值函数在定向曲线上的积分
(第二类曲线积分)
一、定向曲线及其切向量 二、问题的提出 三、第二类曲线积分的概念 四、第二类曲线积分的计算
一、定向曲线及其切向量
1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线
用 A ⌒ B 表示起点为 A , 终点为 B 的定向
曲线(弧).
定向曲 的 线反向曲线 －记 . 为 曲线 与 －代表两条不同.的曲线
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k,k)
L
M yk k B
Mxkk1
A
O
x
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F(x,y)P (x,y)iQ (x,y)j
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
解一：化为y对 的定积, 分
x y2,
y从1到 1.
o
xd yx⌒xd yx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 1
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
F(x,y)P (x,y)iQ (x,y)j
y L
A O
B x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “(分割)大化小”
F
A
WFAB cos“(近似)常代变”
B FAB
dr 称为定向弧元, 素
dx,dy为 d r 的坐 ,称 标 为定 L的 向 投 弧 影 .
3. 第二类曲线积分存在的充分条件：
当 F(x,y)在光 (或滑 分段 )的光 曲L滑 上 线弧
连续 ,第时 二类曲 LF(x,线 y)dr积 必分 存 . 在
4.第二类曲线积分的性质
1) 第二类曲线积分具有线性性质
y)dyl i0m k 1Q(k,称k为)对yk坐,标
y
的曲线积分.
LF(x,y)dr L P (x ,y ) d x Q (x ,y ) d y
L 称为定向积分曲,线 P(x,y)dxQ(x,y)dy称为积分 . 表达
若记 d r (dx,dy), 对坐标的曲线积分也可写作
LF(x,y)dr L P (x ,y ) d x Q (x ,y ) d y
L
b{P[x(t),y(t)x ](t)Q[x(t),y(t)]y(t)}dt a
特殊情形
( 1 ) L : y y ( x ) x : a b .
则 P d x Q d y b { P [ x ,y ( x ) Q ] [ x ,y ( x )y ( ] x )d x } .
L
3) 设 L是有向 ,L曲 是线 L 与 方弧 向相反 有向曲 , 则线弧
P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
L
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
二、第二类曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分 定理 平面光滑定向曲线L弧的参数方程为
P (k, k) x k Q (k ,k ) y k
记作
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
都存在, 则称此极限为向量值函数 F(x,y)
在定向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,
或第二类曲线积分.
n
P(x,
L
y)dxl im 0k 1P(k,称k为)对xk,坐标x
的曲线积分;
n
Q(x,
L
x x(t) , y y(t) , t :a b P(x, y) ,Q(x, y) 在L上有定义且连,续x(t),y(t) 在 以a 及b 为端点的闭区间上具一有阶连续导数 , 且x2(t) y2(t) 0 , 则第二类曲线积分
P(x, y)dx Q(x, y)dy存在, L 且P(x,y)dxQ(x,y)dy