2014年华师在线秋季《数学分析报告选论》在线作业

2014年秋季《数学分析选论》在线作业

1. 计算⎰+++++L dz x dy z dx y )3()2()1(, 其中

L

是圆周

2222R z y x =++, 0=++z y x ，若从x 轴正向看出，L

是沿逆时针

方向运行.

解：平面0=++z y x 的法线方向单位向量为)3

1,31,31(

，L 围成S 方程为⎩⎨

⎧+++≤++,

0,

2222z y x R z y x 依斯托克斯公式得， ⎰+++++L

dz x dy z dx y )3()2()1(=⎰⎰

+++∂∂

∂∂∂∂S

x z y z y x dxdy dzdx dydz 3

21

22

33

1

33R R dxdy dxdy dzdx dydz S

S

ππ-=-=-=---=⎰⎰⎰⎰. 2. 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限 （1）

2

2

22

2)(),(y x y x y x y x f -+=, )0,0(),(00=y x ；

（2） ,1sin 1sin )(),(y

x

y x y x f +=)0,0(),(00=y x .

解： (1) 注意到0),(lim 0=→y x f y )0(≠x , 0),(lim 0

=→y x f x )0(≠y ， 故两个累次极限均为0，但是, ,1)1,1(lim =∞→n

n f n ,0)1

,1(lim =-∞

→n

n

f n 所以重极限不存在. (2) 注意到 0),1

(

=y n f π

,y y y n f 1sin ),)14(2(

→+π)(∞→n , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 |||||),(|

0y x y x f +≤≤， 所以

0),(lim

)

0,0(),(=→y x f y x .

3. 设),(y x z z =是由方程y

z z

x ln =，求dz .

解： 方程两边对x 求偏导，有x

z y z y x z z x z ∂∂=∂∂-

112, 因而 x z z

x z +=

∂∂. 方程两边对y 求偏导，有 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∂∂=∂∂-221y z y z y z y y z z x , 因而 ()y

x z z y z +=

∂∂2

. 故 ()dy y x z z dx x

z z dz +++=

2

. 4. 计算⎰⎰⎰

+V

y x dxdydz

2

2, 其中V 为由平面1=x , 2=x , 0=z , x y =,

与y z =所围成.

解：V 在oxy 平面上的投影区域为{}21,0:),(≤≤≤≤=x x y y x D , 于是

2ln 21|)ln(210

21

220222102202122=+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

dx y x y x ydy dx y x dz dy dx y x dxdydz x x y x V

5. 设2

)

()(y x ydy

dx ay x +++是某可微函数的全微分，求a 的值. 解： 不妨设该可微函数为),(y x f z =

，则按定义可得

2

)(y x ay

x x z ++=

∂∂，2

)(y x y y

z

+=

∂∂，

由此知)(||ln )()(2

x g y x x

y x x g dy y x y z ++++=++=⎰

. 从而又得 )()

(2)()(12

2x g y x y

x x g y x y y x x

z

'+++='++++=

∂∂. 联系到上面第一式，有

)()

(2)(2

2x g y x y x y x ay x '+++=++ 或 y y x a y x y x y x ay x x g 222)(2

)(2)()(+-=++-++=', 从而 2=a .

6. 求曲面222z y x +=被柱面2y z =与平面2+=y z 所割下部分的面积.

解：曲面方程表示为2

2z y x +=, 2

2

z

y y y

x +=

∂∂, 2

2

z

y z z

x +=

∂∂,

于是所求面积 S=⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+==∂∂+∂∂+2122212229)2(2222)()(

12dy y y dz dy dydz z

x

y x y y D

7. 计算⎰++ABCDA

y x dy

dx |

|||，其中ABCDA 为以)0,1(A ，)1,0(B ，)0,1(-C ，)1,0(-D 为顶点的正方形封闭围线.

解：AB 段：直线方程 x y -=1，10≤≤x ，

0)1(||||01=-+-=++⎰⎰x x dy dx y x dy

dx AB .

BC 段：直线方程 x y +=1，01≤≤-x ，

2)1(||||10-=++-+=++⎰⎰-x x dx dx y x dy dx BC .

CD 段：直线方程 x y --=1，01≤≤-x ，

.0)1(||||01=++--=++⎰⎰-x x dx dx y x dy dx CD

DA 段：直线方程 x y +-=1，10≤≤x ，

.21||||10=-++=++⎰⎰x x dx dx y x dy

dx DA

于是有， ⎰++ABCDA

y x dy

dx |

|||=0 .