点差法弦长公式

点差法

1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为

2

2的椭圆C 相

交于A 、B 两点，直线y =2

1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由

e =2

2

=a c ,得21

222=-a

b a ,从而a 2=2b 2,

c =b .

设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－

y 22)=0,

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－

02y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21

x 上，y 0=2

1x 0,于是－

2y x =

－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.

右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8

9

,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x +=1,l 的方程为y =－x +1.

解法二：由

e =21

,22222=-=a

b a a

c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),

将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则

x 1+x 2=

2

2

214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k k

+.

直线l ：y =2

1x

过AB

的中点(2

,22

121y

y x x ++),则

2

2

22122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或

k =－1.

若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.

2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)

2

=3

20,椭圆

C 2的方程为2

2

22b

y a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率

为

2

2

，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直

线AB 的方程和椭圆C 2的方程. 解：由e =

2

2,可设椭圆方程为2

2

222b

y b x +=1,

又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,

又2

2

222

222

122

12,12b

y

b x b y b x +=+=1,两式相减，得22

2

21222212b

y

y b x x -+-=0,

即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0.

化简得2

121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,

代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3

20

4)(221221=

-+x x x x ,

得

3

209722422=

-⋅b ，解得b 2=8.

故所求椭圆方程为8

162

2y x +

=1.

（2006年江西卷）如图，椭圆Q ：22

22x y 1a b

＋＝（ab0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点

F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点

求点P 的轨迹H 的方程

在Q 的方程中，令a 2

＝1＋cos ＋sin ，b 2

＝sin （0

2

π），确定的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？

解：如图，（1）设椭圆Q ：22

22x y 1a b

＋＝（ab0）

上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则

1当AB 不垂直x 轴时，x 1x 2， 由（1）－（2）得 b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2

（y 1－y 2）2y ＝0 b 2x 2＋a 2y 2－b 2

cx ＝0 (3)

2当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3）

故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2

cx ＝0

（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2

a c

，原点距l

的距离为2a c ，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos ＋sin ，b 2

＝sin （02

π）

则2a

c ＋＋＝2sin （2θ＋4π） 当＝

2

π时，上式达到最大值。此时a 2＝2，b 2

＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1 设椭圆Q ：22

x y 12

＋＝上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积