高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数(含答案)
2.6对数与对数函数(一轮复习)
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必考部分 第二章 §2.6
第 8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
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考点 4
反函数
ax
lg 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝ o
(a＞0 且
a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
[双基夯实]
真 题 演 练 集 训
1 ( .) 1 A. 2
[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( B ) B．1 D．100
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C．10
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( 2 ) [教材习题改编]( o lg 1 A. 4 C．2 1 B. 2
o ( l ) · g 29
34)＝(
D )
D．4
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必考部分
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第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
高考数学(理科)一轮复习对数与对数函数学案带答案
高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案8 对数与对数函数导学目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax 与对数函数y＝logax互为反函数，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．对数的定义如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则对数的性质①＝____；②＝____；③＝____；④＝____.对数的重要公式①换底公式：logbN＝________________；②＝，推广＝________.对数的运算法则如果a>0且a≠1，m>0，N>0，那么①loga＝___________________________；②logamN＝______________________；③logamn＝__________；④＝nmlogam.3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：______值域：______过点______，即x＝____时，y＝____当x>1时，______当0<x<1时，______当x>1时，______当0<x<1时，______是上的______函数是上的______函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测．2log510＋log50.25的值为A．0B．1c．2D．42．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为A.10B．10c．20D．1003．已知函数f满足：当x≥4时，f＝12x；当x<4时，f＝f．则f的值为A.124B.112c.18D.384．定义在R上的偶函数f在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足>0的x的取值范围是A．B．∪c．∪D．5．已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______.探究点一对数式的化简与求值例1 计算：；12lg3249－43lg8＋lg245；已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.变式迁移1 计算：log2748＋log212－12log242－1；2＋lg2•lg50＋lg25.探究点二含对数式的大小比较例2 比较下列各组数的大小．①log323与log565；②log1.10.7与log1.20.7.已知log12b<log12a<log12c，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则A．a>b>cB．a>c>bc．b>a>cD．b>c>a设a，b，c均为正数，且2a＝，b＝，c＝log2c，则A．a<b<cB．c<b<a0c．c<a<bD．b<a<c探究点三对数函数的图象与性质例3 已知f＝logax，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f|≤1成立，试求a的取值范围．变式迁移3 已知函数f＝|lgx|，若0<a<b，且f＝f，则a＋2b的取值范围是A．B．[22，＋∞)c．D．[3，＋∞)分类讨论思想的应用例已知函数f＝loga．解关于x的不等式：loga>f；设A，B是f图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.【答题模板】解∵f＝loga，∴f＝loga．∴1－a>0.∴0<a<1.∴不等式可化为loga>loga．∴1－ax>0，1－ax<1－a.，即ax<1，ax>a.∴0<x<1.∴不等式的解集为．[4分]证明设x1<x2，则f－f＝－＝.∵1－ax>0，∴ax<1.∴a>1时，f的定义域为；[6分]0<a<1时，f的定义域为．当0<a<1时，∵x2>x1>0，∴<.∴>1.∴<0.∴f<f，即y2<y1.同理可证，当a>1时，也有y2<y1.[10分]综上：y2<y1，即y2－y1<0.∴kAB＝y2－y1x2－x1<0.∴直线AB的斜率小于0.[12分]【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0<a<1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：确定定义域；弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f，u＝g；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则y＝f)为增函数，若一增一减，则y＝f)为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小同底数的两个对数值的大小比较例如，比较logaf与logag的大小，其中a>0且a≠1.①若a>1，则logaf>logag⇔f>g>0.②若0<a<1，则logaf>logag⇔0<f<g．同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c<d<1<a<b.3．常见对数方程式或对数不等式的解法形如logaf＝logag等价于f＝g，但要注意验根．对于logaf>logag等价于0<a<1时，a>1时，形如F＝0、F>0或F<0，一般采用换元法求解．一、选择题．设m＝{y|y＝x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x ∈A．∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)c．∪2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则A．a<b<cB．b<c<ac．c<a<bD．c<b<a3．若函数f＝log2x，x>0，log12，x<0，若f>f，则实数a的取值范围是A．∪B．∪c．∪D．∪4．设函数f定义在实数集上，f＝f，且当x≥1时，f ＝lnx，则有A．f<f<fB．f<f<fc．f<f<fD．f<f<f5．已知函数f＝ax＋logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为A.12B.14c．2D．4题号2345答案二、填空题6．2lg5＋23lg8＋lg5•lg20＋lg22＝________.7．已知函数f＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．8．已知f＝4xlog23＋233，则f＋f＋f＋…＋f＝________.三、解答题9．已知f＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f]2＋f的最大值及y取最大值时x的值．10．已知函数f＝loga－loga，a>0且a≠1.求f的定义域；判断f的奇偶性并予以证明；若a>1时，求使f>0的x的解集．1．已知函数f＝lg．求y＝f的定义域；在函数y＝f的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；当a，b满足什么条件时，f在上恒取正值．答案自主梳理．ax＝N x＝logaN a N 2.①N ②0 ③N ④1 ①logaNlogab②logad①logam＋logaN②logam－logaN③nlogam 3.R10y>0y<0y<0 y>0增减 4.y＝logax y＝x自我检测．c 2.A3．A [因为3<2＋log23<4，故f＝f＝f．又3＋log23>4，故f＝123＋log23＝123•13＝124.] 4．B [由题意可得：f＝f＝f，f>f，f在[0，＋∞)上递增，于是|log18x|>13，解得x的取值范围是∪．] 5．m>n解析∵m<0，n<0，∵mn＝logac•logcb ＝logab<logaa＝1，∴m>n.课堂活动区例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解方法一利用对数定义求值：设＝x，则x＝2－3＝12＋3＝－1，∴x＝－1.方法二利用对数的运算性质求解：＝＝＝－1.原式＝12－43lg812＋2lg245＝12－43×32lg2＋12＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12lg＝12lg10＝12.由已知得lg2＝lgxy，∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.∴2－6＋1＝0.∴xy＝3±22.∵x－y>0，x>0，y>0，∴xy>1，∴xy＝3＋22，∴logxy＝log＝log3－2213－22＝－1.变式迁移 1 解原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.原式＝lg2•＋lg25＝21g2＋lg25＝lg100＝2.例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解①∵log323<log31＝0，而log565>log51＝0，∴log323<log565.②方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.71.1>log0.71.2.∴1log0.71.1<1log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.方法二作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.∵y＝log12x为减函数，且log12b<log12a<log12c，∴b>a>c.而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.变式迁移 2 A [a＝log3π>1，b＝12log23，则12<b<1，c＝12log32<12，∴a>b>c.]A [∵a，b，c均为正，∴log12a＝2a>1，log12b＝b∈，log2c＝c∈．∴0<a<12，12<b<1,1<c<2.故a<b<c.]例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．解∵f＝logax，则y＝|f|的图象如右图．由图示，可使x∈[13，2]时恒有|f|≤1，只需|f|≤1，即－1≤loga13≤1，即logaa－1≤loga13≤logaa，亦当a>1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；当0<a<1时，得a－1≥13≥a，得0<a≤13.综上所述，a的取值范围是．变式迁移3 c[画出函数f＝|lgx|的图象如图所示．∵0<a<b，f＝f，∴0<a<1，b>1，∴lga<0，lgb>0.由f＝f，∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，又0<a<1，函数t＝a＋2a在上是减函数，∴a＋2a>1＋21＝3，即a＋2b>3.]课后练习区．c [∵x≥0，∴y＝x∈＝log2a，f＝，f>f，即log2a>＝log21a，∴a>1a，解得a>1.②当a<0时，f＝，f＝log2，f>f，即>log2＝，∴－a<1－a，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.]4．c [由f＝f知f的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f<f<f．]5．c [当x>0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f＝ax＋logax是上的单调函数，f在[1,2]上的最大值与最小值之和为f＋f＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a ＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3．] 6．37．解析因为f＝lga＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，所以g＝a＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，且g>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1<a<2.8．XX解析令3x＝t，f＝4log2t＋233，∴f＋f＋f＋…＋f＝4×＋8×233＝4×36＋1864＝XX.9．解∵f＝2＋log3x，∴y＝[f]2＋f＝2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝2－3.……∵函数f的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f]2＋f有意义，必须1≤x2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤2－3≤13.当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.∴当x＝3时，函数y＝[f]2＋f取最大值13.………………………………………0．解f＝loga－loga，则x＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f的定义域为{x|－1<x<1}．………………………………………………由知f的定义域为{x|－1<x<1}，且f＝loga－loga＝－[loga－loga]＝－f，故f为奇函数．………………………………………………………………因为当a>1时，f在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f>0⇔x＋11－x>1.解得0<x<1.所以使f>0的x的解集是{x|0<x<1}．…………………………………1．解由ax－bx>0，得x>1，且a>1>b>0，得ab>1，所以x>0，即f的定义域为．…………………………………………………………………………………………任取x1>x2>0，a>1>b>0，则>>0，，所以>>0，即>．故f>f．所以f在上为增函数．………………………………………………………假设函数y＝f的图象上存在不同的两点A、B，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f是增函数矛盾．故函数y＝f的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………因为f是增函数，所以当x∈时，f>f．这样只需f ＝lg≥0，即当a≥b＋1时，f在上恒取正值．……………………………………………。
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数知能训练
§2.6对数与对数函数Ａ组基础题组1.(2015嘉兴学科基础测试,5,5分)已知函数y=log a x,y=log b x,y=log c x的图象如图,则( )A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b2.(2013陕西,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c3.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2013课标全国Ⅱ,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c5.(2015金华十校高考模拟,4,5分)已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<16.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)7.(2015慈溪联考,6)函数f(x)=x2lg的图象( )A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称8.(2015黑龙江哈尔滨师大附中第一次月考,5)函数y=lo(x≥3)的值域是( )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]9.(2013湖南,5,5分)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( )A.3B.2C.1D.010.(2015安徽,11,5分)lg+2lg2-= .11. (2016超级中学原创预测卷二,9,6分)计算:log4= ,= .12.(2016温州高三上学期返校联考,9,6分)计算:lg0.01+log327= ;2-3,,log25三个数中最大的是.13.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,12)已知函数f(x)=log2(+x)++1,则f(1)+f(-1)= ;如果f(log a5)=4(a>0,a≠1),那么f(lo5)的值是.14.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.15.已知函数f(x)=log a(ax)·log a(a2x)(x∈[2,8],a>0,且a≠1)的最大值是1,最小值是-,求a的值.B组提升题组1.(2014四川,7,5分)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c2.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是( )3.(2015浙江重点中学协作体第二次联考,2,5分)设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2015浙江测试卷,7,5分)已知函数f(x)=x+ln(+x),g(x)=则( )A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数5.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(2015陕西,9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q7.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,4)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n=( )A. B. C.2 D .8.(2016超级中学原创预测卷一,10,4分)设a=cos420°,函数f(x)=则a= ,f+f= .9.(2015温州十校联考,11)log23log34+(lg2)2+lg2lg5+lg5= .10.(2016浙江名校新高考研究联盟一联,12,6分)若2a=6,b=log23,则2a-b= ,= .11.(2016浙江余姚中学期中,12,6分)已知实数x,y,实数a>1,b>1,且a x=b y=2.(1)若ab=4,则+= ;(2)a2+b=8,则+的最大值为.12.(2015上海文,8,5分)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为.13.(2015浙江衢州二中期中,13,4分)若函数y=log a(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是.14.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.15.(2014浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)已知函数f(x)=|log a|1-x||(a>0,a≠1),若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则+++= .16.已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域及其零点;(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.Ａ组基础题组1.C 作直线y=1与各曲线相交,各交点的横坐标就依次等于相应的底数,结合图形可知:0<c<1<a<b,故选C.2.B log a b·log c a=log a b·==log c b,故选B.3.A ∵y=log2x是增函数,∴当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0.另一方面,当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1.故选A.4.D由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D.5.A 令u=2x+b-1,此函数为增函数,由题图可知a>1.由题图知-1<f(0)<0,即-1<log a b<0⇔log a a-1<log a b<log a1.∵a>1,∴0<a-1<b<1.故选A.6.D 由x2-4>0得x<-2或x>2.又y=lou为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).7.B ∵f(x)=x2lg,∴其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),∵f(-x)=x2lg=-x2lg=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,故选B.8.B 当x≥3时,=1+∈(1,2],则-1≤lo<0,故选B.9.B 在同一直角坐标系下画出函数f(x)=2lnx与函数g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的图象,如图所示.∵f(2)=2ln2>g(2)=1,∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2,故选B.10.答案-1解析原式=lg+lg4-2=lg-2=lg10-2=-1.11.答案-2;5解析log4=log44-2=-2,===5.12.答案1;log 25解析lg0.01+log327=lg10-2+log333=-2+3=1.由图象可知0<2-3<1,1<<2,由对数函数的性质知log25>log24=2,∴最大的是log25.13.答案1;-3解析f(1)+f(-1)=log2(+1)+2+log2(-1)-1=1.f(x)+f(-x)=log2(+x)++1+log2(-x)++1=++2=1.∵lo5=-log a5,∴f(log a5)+f(lo5)=1,∴f(lo5)=-3.14.答案(1,2]解析当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)=3+log a x在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+log a2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(3+log a2,+∞),由题意可知(3+log a2,+∞)⊆[4,+∞),则3+log a2≥4,即log a2≥1,∴1<a≤2.15.解析由题意知f(x)=(log a x+1)(log a x+2)=(lox+3log a x+2)=-.当f(x)取最小值-时,log a x=-.又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1).∵f(x)是关于log a x的二次函数,∴函数f(x)的最大值必在x=2或x=8时取得.若-=1,则a=,此时,当f(x)取得最小值时,x=(=∉[2,8],舍去.若-=1,则a=,此时,当f(x)取得最小值时,x==2∈[2,8],符合题意,∴a=.B组提升题组1.B log5b=a,b>0,故由换底公式得=a,∴lgb=alg5.∵lgb=c,∴alg5=c,又∵5d=10,∴d=log510,即=lg5,将其代入alg5=c中得=c,即a=cd.2.D ∵a>0,且a≠1,∴f(x)=x a在(0,+∞)上单调递增,∴排除A;当0<a<1或a>1时,B、C中f(x)与g(x)的图象矛盾,故选D.3.A 由函数f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x),得a=-1,即f(x)=lg.又f(x)<0,所以0<<1,解得-1<x<0,故选A.4.C ∵>|x|,∴函数f(x)的定义域为R.又f(-x)=-x+ln(-x)=-x+ln=-x-ln(+x)=-f(x),故f(x)是奇函数.g(-x)====g(x),则g(x)是偶函数,故选C.5.A 解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=ln=ln=ln.∵y=(x∈(0,1))是增函数,y=lnx也是增函数,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln=ln.∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0,且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0,∴0<<1,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.6.C 由题意得p=ln,q=ln,r=(lna+lnb)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q.7.D ∵f(x)=|log2x|,且f(m)=f(n),∴mn=1.又0<m<n,则有0<m<1<n,从而有0<m2<m<1<n,则|log2m2|=2|log2m|=2|log2n|>|log2n|.∵f(x)=|log2x|在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,即|log2m|=1,∴m=(m=2舍去),∴n=2.∴m+n=.8.答案;8解析因为a=cos420°=cos60°=,所以f(x)=所以f+f=lo+=log24+=2+6=8.9.答案 3解析原式=·+lg2(lg2+lg5)+lg5=2+lg2+lg5=2+1=3.10.答案2;log 312解析2a-b====2.====log312.11.答案(1)2 (2)4解析(1)由题知x=loga2,y=log b2,所以+=+===2.(2)+=+=≤==4,当且仅当a2=b时等号成立.12.答案 2解析依题意得log2(9x-1-5)=log2(4·3x-1-8),所以9x-1-5=4·3x-1-8,令3x-1=t(t>0),则t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,当t=1时,3x-1=1,所以x=1,而91-1-5<0,所以x=1不合题意,舍去;当t=3时,3x-1=3,所以x=2,92-1-5=4>0,32-1-2=1>0,所以x=2满足条件,所以x=2是原方程的解.13.答案1<a<2解析因为函数y=x2-ax+1只能有最小值,所以要使函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a>1,且>0,得1<a<2.14.答案-解析显然x>0,∴f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.15.答案 2解析易知f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,1)上为增函数,在区间(1,2)上为减函数,在区间(2,+∞)上为增函数,则由已知得x1<0<x2<1<x3<2<x4.则log a(1-x1)+log a(1-x2)=0,即(1-x1)(1-x2)=1,有x1+x2=x1x2,故+=1.同理,+=1,故+++=2.16.解析(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2log a(x+1)+log a(a>0且a≠1).由可解得-1<x<1,所以函数F(x)的定义域为(-1,1).令F(x)=0,则2log a(x+1)+log a=0.(*)方程变形为log a(x+1)2=log a(1-x),则(x+1)2=1-x,即x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3,经检验,x=-3不符合题意,所以方程(*)的解为x=0,即函数F(x)的零点为0.(2)方程可化为m=2log a(x+1)+log a=log a=log a,即a m=1-x+-4,设1-x=t,t∈(0,1],y=t+,易知函数y=t+在区间(0,1]上是减函数,则当t=1时,y取最小值,y min=5,所以a m≥1.①若a>1,由a m≥1可解得m≥0;②若0<a<1,由a m≥1可解得m≤0.故当a>1时,实数m的取值范围为m≥0,当0<a<1时,实数m的取值范围为m≤0.。
高考数学一轮精品复习 2.6 对数与对数函数题库 理
2.6 对数与对数函数一、选择题1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋1解析 依次根据函数奇偶性定义判断知，A ，C 选项对应函数为偶函数，B 选项对应函数为奇函数，只有D 选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．答案 D2．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a . 答案：D3．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝l g x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0.答案 A4．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2. ∴a ＞c ＞b .答案： B5．函数y ＝2－x lg x的定义域是( ) A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D6．已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )．A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2x在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．答案 C7.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图像如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的大致图像是( )解析：由f (x )＝l og a (x ＋b )的图像可知0<a <1，且0<b <1，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是D.答案：D二、填空题8．函数y ＝ log 132x －3的定义域为________．解析：要使函数有意义⎩⎪⎨⎪⎧ log 132x －3≥0，2x －3>0，即0<2x －3≤1，∴32<x ≤2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32<x ≤2 9．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析： g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 1210．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析 ∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4，∴c ＝4.答案 411．函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.答案 [－8，－6]12．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1log 2x x ≤0x >0，则使函数 f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述：－1<x ≤0或x >2.答案：－1<x ≤0或x >2三、解答题13．求值15⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32＋log 416＋6lg 12＋15lg 15. 解析：原式＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg32＋2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋lg 15 ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫32·164·15 ＝15⎝⎛⎭⎪⎫2＋lg 110 ＝15[2＋(－1)]＝15. 14．已知函数 f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x －43a )，若函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵函数 f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数∴ f (－x )＝log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(1＋4x4x )－kx ＝log 4(4x ＋1)－(k ＋1)x ＝log 4(4x ＋1)＋kx 恒成立∴－(k ＋1)＝k ，则k ＝－12(2)g (x )＝log 4(a ·2x －43a )， 函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程 f (x )＝g (x )只有一个解由已知得log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a ) ∴log 44x＋12x ＝log 4(a ·2x －43a )方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ·2x －43a >04x ＋12x ＝a ·2x－43a设2x ＝t (t >0)，则(a －1)t 2－43at －1＝0有一解 若a －1>0，设h (x )＝(a －1)t 2－43at －1，∵h (0)＝－1<0，∴恰好有一正解 ∴a >1满足题意若a －1＝0，即a ＝1时，不满足题意若a －1<0，即a <1时，由△＝(－43a )2＋4(a －1)＝0，得a ＝－3或a ＝34当a ＝－3时，t ＝12满足题意 当a ＝34时，t ＝－2(舍去) 综上所述实数a 的取值范围是{a |a >1或a ＝－3}．15．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解析 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)． 由二次函数性质可知：当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43， 当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值． 16．已知函数f (x )＝log ax ＋b x －b (a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；解析 (1)令x ＋b x －b＞0， 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b x －b在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．。
高考数学一轮总复习专题2.6对数及对数函数练习(含解析)文(2021年整理)
专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】【考点】1。
指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。
2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ． 在(0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减C ．y =的图像关于直线x =1对称D ．y =的图像关于点(1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又（),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ()f x R0.8221(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abca b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C()2l o g5a f =0.822l o g 5,l o g 4.1,2()l nl n (2)fx x x =+-()f x ()f x ()f x ()f x (2)l n (2)l n()fx x x f x -=-+=()f x 1x =112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--02x <<(0,1)[1,2)()f x x D ∀∈x D ∀∈()()fa x fb x +=-，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．3。
【2017高考全国卷文第8题】函数的单调递增区间是 A 。
B. C 。
D.【答案】D4。
【2015高考上海卷文第8题】 方程的解为 。
【答案】2【解析】依题意,所以， 令，所以,解得或， 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去； 当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。
数学(文)一轮教学案：第二章第6讲 对数与对数函数 Word版含解析
第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6课时 对数与对数函数学案(含解析)(1)(20
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对数与对数函数1．对数： (1） 定义：如果Na b =)1,0(≠>a a 且,那么称 为 ，记作 ,其中a 称为对数的底，N 称为真数。
① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2） 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log ． （3） 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ （n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ （a >0，a ≠1，m >0，m ≠1,N 〉0）⑤ log m na a nb b m= 。
2．对数函数:① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为（ ；2） 函数的值域为 ；3） 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4） 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 6 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)． 答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________． 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)． 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】 当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：第2章第6节对数与对数函数含答案
第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n ＝nm log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R. 2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x ． ( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0．( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同． ( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log1213＞log1212＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝3.]1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.] 2．2log 23＋log 43＝________.33 [原式＝2log 23·2log 43＝3·2log 23＝3 3.]3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.5 [原式＝3log 23·log 32＋3log 32＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 10 [∵ 2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10.]【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )A B C D(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y ＝lg|x －1|的图像可由函数y ＝lg|x |的图像向右平移1个单位得到，故选A ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，要使0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，只需f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像在g (x )的图像下方即可．当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.(3)由x －2＝1得x ＝3，当x ＝3时，y ＝2，则点P 的坐标为(3,2)．]aA B C D(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(3)若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． (1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位即得f (x )的图像，结合图像知选A ．(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f 1(x)＝(x－1)2，f 2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需f 1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f 2(x)＝log a x图像的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f 1(x)＝(x－1)2的图像在f 2(x)＝log a x的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，c＝12＋log213＝log226，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B．(2)b＝log23＝12log23＞12，c＝log32＝12log32＜12，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A．►考法2解对数不等式【例3】(1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22. 解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)． (2)由题意，得⎩⎨⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎨⎧ a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎨⎧a ＜0，log 2(－a )＜0，解得a ＞1或－1＜a ＜0.] ►考法3 复合函数的单调性、值域或最值【例4】 函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．(2,5) [2log123，＋∞) [由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为(2,5)．又－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9≤9，所以f (x )≥log129＝2log123，即函数f (x )的值域为[2log123，＋∞)．](1)(2018·天津高考)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(1)D (2)D (3)A [(1)c ＝log1315＝log 35，则log 35＞log 372＞log 33＝1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，因此c ＞a ＞b ，故选D.(2)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.(3)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧ g (1)＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c bB[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，log a c＞log b c，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝log c x在(0，＋∞)上是减少的，又a＞b＞0，∴log c a＜log c b，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝x c在(0，＋∞)上是增加的，又∵a＞b＞0，∴a c＞b c，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝c x在(0，＋∞)上是减少的，又∵a＞b＞0，∴c a＜c b，D项错误．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log 2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]。
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.6 对数与对数函数(测)
第06节对数与对数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届安徽省江南十校二模】已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式、对数不等式的解法化简两个集合，再利用集合的运算进行求解．2.【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.3.【2017届福建省福州第三中学5月模拟】已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.4.【2017届北京市第十一中学十月月考】函数有且只有一个零点的充分不必要条件是A. B. C. D. 或【答案】A【解析】函数，当时，由，得，解得.由题意可知，当时，无解，即无解，因为,所以或.所以是或的充分不必要条件.故选A.5.【2018年高考二轮检测】函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝( )A. B.C. 4D.【答案】D6.【2018届山东省烟台市高考适应性练习（一）】已知奇函数的定义域为，且对任意，若当时，A. B. C. -1 D. 1【答案】A【解析】分析：根据性质可得，然后再根据奇函数将问题转化到区间上解决即可．详解：由题意得，又函数为奇函数，∴．故选A．7. 【2018届河北省衡水金卷一模】已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,故, 又,故,故选D.8.【2018届福建省厦门市第二次检查】已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，，，又，在上递增，所以，故选C.9.【2018届辽宁省丹东市模拟（二）】若函数存在最小值，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由分段函数在两端上的单调性，结合各段的最值，列不等式关系即可.详解：由函数，由题意可知.当时，，函数必须满足,否则函数无最小值.此时.当时，单调递减，满足.所以，解得.故选C.10.【2018届山东省烟台市高考适应性练习（二）】已知定义在上的奇函数在区间上是减函数，且满足.令，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数可知函数是周期为4的函数，且关于x =﹣1对称，所以可得f（x）在[﹣1，1]上是增函数，比较，的大小即可得解.详解：∵奇函数f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）．∴f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），即函数的周期是4，又f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），则函数关于x =﹣1对称，则函数在[﹣1，0]上是增函数，且f（x）在[﹣1，1]上是增函数，,，.又，所以.又，所以.综上.即0＜c＜a＜b＜1，又f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（b）＞f（a）＞f（c），故选：A．二、填空题：本大题共7小题，共36分．11【2018届四川省成都市第七中学三诊】__________．【答案】32.【2018届四川省成都市第七中学零诊】已知函数，若，则__________．【答案】-7【解析】分析：直接根据求a的值.详解：因为，所以故答案为：-7.13.【2018届四川省双流中学二模】已知，，则______________________.【答案】【解析】试题分析：根据指数的运算规律得到a=2,b=,进而得到，再根据对数的运算得到结果. 详解：，，，根据对数的运算得到结果为.14.【2017届浙江省杭州市第二中学5月仿真】已知，，则__________；满足的实数的取值范围是__________．【答案】；【解析】（1），所以；（2），解得的取值范围是。
2021年高考数学一轮复习 2.6 对数与对数函数课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 2.6 对数与对数函数课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·温州八校高三期初联考)以下函数中满足f (x ＋1)>f (x )＋1的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝e x －xD ．f (x )＝e x ＋x解析：代入选项验证知D 正确，选D.答案：D2．(xx·济宁市高三模拟)设a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e(e 为自然对数的底数)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．c <a <b解析：a ＝30.3>1,0<b ＝log π3<1，c ＝log 0.3e<0，则a >b >c ，选B. 答案：B3．(xx·江西师大附中、鹰潭一中高三联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <1f x －1，x ≥1，则f (log 27)＝( )A.716 B.78 C.74 D.72解析：答案：C4．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B.23 C.13D ．1解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时，x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3]⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤x ≤1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，x (1≤x <3)， 所以b －a 的最小值为23，故选B.答案：B5．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：由f (2－x )＝f (x )得x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，又x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增， ∴x <1时，函数单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝log 12a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >log 12a ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝log 12(－a )，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.答案：C 二、填空题7．(xx·辽宁五校高三第二次模拟)函数y ＝log 134x 2－3x的定义域为________．解析：函数y ＝log 134x 2－3x的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x <0或34<x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 8．(xx·河南开封高三接轨考试)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2. 答案：29．(xx·福建质检)定义两个实数间的一种新运算“*”∶x *y ＝lg(10x＋10y)，x ，y ∈R .当x *x ＝y 时，记x ＝*y .对于任意实数a ，b ，c ，给出如下结论：①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )； ③a *b ＝b *a ；④*a *b ≥a ＋b2.其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：对于①，(a *b )*c ＝lg(10a *b＋10c)＝ lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)a *(b *c )＝lg(10a ＋10b *c )＝lg[10a ＋10lg(10b ＋10c )]＝lg(10a＋10b＋10c)，故①正确．(a *b )＋c ＝lg(10a＋10b)＋c ，而(a ＋c )*(b ＋c )＝lg(10a ＋c＋10b ＋c)＝lg[10c (10a ＋10b)]＝c ＋lg(10a＋10b)，故②正确；a *b ＝lg(10a ＋10b )，b *a ＝lg(10b ＋10a )，故③正确；令*a *b ＝m ，则m *m ＝a *b即lg(10m＋10m)＝lg(10a＋10b)，∴10m＝10a＋10b2∴m ＝lg 10a ＋10b2≥lg 10a ＋b＝a ＋b 2，故④正确．答案：①②③④三、解答题10．(1)计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，求log 32 xy 的值．解：(1)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1. (2)∵lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y ) ∴xy ＝(2x －3y )2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0∴(4x －9y )(x －y )＝0，即4x ＝9y ，x ＝y (舍去)，∴log 32 x y ＝log 3294＝2.11．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}． 12．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.[热点预测]13．(xx·北京东城统一检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2log 3x －1，x >2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x－1)＝12时，x＝1＋3>2，故方程f(x)＝12有2个实数根，④正确．故选C.答案：C25344 6300 挀24898 6142 慂 26515 6793 枓 26237 667D 晽(36060 8CDC 賜`/i33743 83CF 菏!=。
2019届高考一轮复习备考资料之数学人教A版讲义：2.6 对数与对数函数 Word版含答案
§2.6 对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象． 3.体会对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 知识拓展1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log m n a b ＝nmlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A版
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节 对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。
②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。
(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。
②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。
(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。
②log a M N＝log a M －log a N 。
③log a M n＝n log a M (n ∈R )。
④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。
3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。
1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。
2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。
2020届高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.6对数与对数函数练习(含解析)
专题2.6 对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝132-，b＝log213，c＝log1213，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】 D【解析】∵0<a<1，b<0，c＝log1213＝log23>1.∴c>a>b.3.(必修1P74A7改编)函数y＝log23(2x－1)的定义域是________.【答案】⎝⎛⎦⎥⎤12，1【解析】由log23(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴12<x≤1.∴函数y＝log23(2x－1)的定义域是⎝⎛⎦⎥⎤12，1.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )A.0B.2C.4D.6【答案】 D【解析】原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】 D【解析】由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即log a c>0，所以0<c <1.6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【答案】 －7【解析】 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【答案】 (1)－20 (2)1【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab ＝N ⇔b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】 (1)D (2)4 2【解析】 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x＋1)， ∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<1，log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)A (2){0}∪[2，＋∞)【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0， 即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称【答案】 C【解析】 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)【解析】 (1)由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8【答案】 A【解析】 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b【答案】 D【解析】 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )【答案】 A【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【答案】 D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2). ∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12B.1C.2D.4 【答案】 C【解析】 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【答案】 －1【解析】 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】 (－1，0)【解析】 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】 －2【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值.【答案】见解析【解析】(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.【答案】见解析【解析】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )【答案】 A【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.12.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【答案】 D【解析】 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.【答案】 [1，＋∞)【解析】 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1.14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数.(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0，∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。
高考数学一轮复习 第二章函数2.6对数与对数函数教学案 理
2.6 对数与对数函数考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．3(1)对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________；②log a M N ＝__________；③log a M n＝______(n ∈R )．(2)换底公式log a b ＝______________________. 4．对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．_________ 过定点______时，y ＝______单调性：在(0，＋∞)上是单调性：在(0，＋∞)上是x ＜1时，y ∈______＜1时，y ∈______；当5．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式：_①(log a x )n＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x；④nlog a x ＝1nlog a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y. 其中正确的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )．A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2}3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞14．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A ．14 B ．12C ．2D ．4 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________． 一、对数式的化简与求值【例1－1】若x log 32＝1，则4x ＋4－x＝__________.【例1－2】(2012北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log m na N ＝n mlog a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2－1】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为__________．【例2－2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．方法提炼1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法： (1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； (2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； (3)分别求出两函数的单调区间；(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．2．图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系可按下列规律进行记忆：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3－1】(2012上海高考改编)已知f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．【例3－2】已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．方法提炼1．求f (a )＋f (－a )的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．2．求形如f (2 014)，f (2 013)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】已知2log 3.45a ＝，4log 3.65b ＝，3log 0.315c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：333log 0.310log log 0.3315=55c -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝，log 2 3.4＞log 2 2＝1，log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞log 3 3＝1，又log 2 3.4＞log 2103＞log 3103，∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6.又∵y ＝5x是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案：C答题指导：通过高考阅卷的数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示及备考建议： 1．本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较． (2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．2．通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意： (1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．1．(2012重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c2．函数f (x )＝2log 2x的图象大致是( )．3．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为__________． 4．已知：lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log xy的值为__________．5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．a b＝N (a ＞0，且a ≠1) b ＝log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N 2．log a N 10 lg N e ln N3．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M (2)log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)4．(1)log a x (a ＞0，且a ≠1) (2)(0，＋∞)R (1,0) 0 增函数 减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0) 5．y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) 基础自测1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确． 2．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x >0，x ≠1，得0＜x ＜1或1＜x ≤2.3．D 解析：由0＜log a 2＜log b 2知，a ，b 均大于1. 又log 2a ＞log 2b ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.4．D 解析：原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4.5．(2,2)考点探究突破【例1－1】 829解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝22log 3log 344-+＝9＋19＝829.【例1－2】 2 解析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.【例2－1】 4 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.【例2－2】 解：(1)由a x －1＞0，得a x＞1. 当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则121<xxa a <，故0＜1xa －1＜2xa －1，∴log a (1xa －1)＜log a (2xa －1)． ∴f (x 1)＜f (x 2)．故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【例3－1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23＜x ＜13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x ) ＝f (2－x )＝lg(3－x )．【例3－2】 解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，f (－x )＝x ＋log 21＋x1－x，＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )． 即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.演练巩固提升1．B 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.2．C 解析：∵f (x )＝2log 2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.3．0 解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f (2014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0.4．2 解析：依题意，可得lg(xy )＝lg (2x －3y )2，即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.∵x ＞0，y ＞0,2x －3y ＞0，∴x y ＝94，∴32log x y＝2. 5．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1＜x ＜1.故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}．。
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习2.6 对数与对数函数教学设计及答案
第六节对与对函对与对函(1)解对的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对转成自然对或常用对；了解对在简运算中的作用．(2)解对函的概念；解对函的单调性，掌握函图象通过的特殊点．(3)知道对函是一类重要的函模型．(4)了解指函y＝a x与对函y＝log a x互为反函(a＞0，且a≠1)．知识点一对及对运算1．对的定义一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对，记作x ＝log a_N，其中a叫作对的底，N叫作真．2．对的性质(1)log a1＝0，log a a＝1.(2)a log a N＝N，log a a N＝N.(3)负和零没有对．3．对的运算性质如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么(1)log a (MN)＝log a M＋log a N.(2)log a MN＝log a M－log a N.(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．(4)换底公式log a b＝log m blog m a(a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1).必记结论1．指式与对式互：a x＝N⇔x＝log a N.2．对运算的一些结论：①log am b n ＝n mlog a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________. 解析：本题考查指和对的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：182．lg 427－lg 823＋lg 75＝________.解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二 对函定义、图象与性质易误提醒 解决与对函有关的问题时易漏两点： (1)函的定义域． (2)对底的取值范围．必记结论1．底的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对函的底逐渐变大．2．对函y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函图象只在第一、四象限． [自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.答案：B4．函y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函y ＝log a x 在[2,4]上是增函，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.(2)当0＜a ＜1时，函y ＝log a x 在[2,4]上是减函，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.由(1)(2)知a＝2或a＝1 2 .答案：2或1 2考点一对式的简与求值|1．(2015·内江三模)lg 51 000－823＝( )A.235B．－175C．－185D．4解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2. log23 2－4log23＋4＋log213＝( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2解析： log23 2－4log23＋4＝ log23－2 2＝2－log23，又log213＝－log23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.解析：原式＝2log4 3＋2－log43＝3＋13＝433.答案：43 3对运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底或真进行变形，成分指幂的形式，使幂的底最简，然后正用对运算性质简合并．(2)将对式为同底对的和、差、倍运算，然后逆用对的运算性质，转为同底对真的积、商、幂的运算．考点二 对函图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎨⎧lg x －1 ，x ＞1，lg 1－x ，x ＜1.当x ＝1时，函无意义，故排除B 、D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对型函的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对型函，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用形结合思想．(2)一些对型方程、不等式问题常转为相应的函图象问题，利用形结合法求解．1．已知函f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三 对函性质及应用|已知函f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函f (x )有意义， 则⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对函的性质研究对型函性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底与1的大小关系；三是如果需将函解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函的构成，即它是由哪些基本初等函复合而成的．2．已知函f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83.5.插值法比较幂、对大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函y ＝x 0.5和对函y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)成同底的指式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或形结合进行比较；(3)先判断函φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．[解析] (1)根据幂函y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1； 根据对函y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103.法一：在同一坐标系中分别作出函y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3 103＞1， ∴log 4 3.6＜log 3103. ∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6.由于y ＝5x为增函，∴5log 2 3.4＞5log 3 103＞5log 4 3.6.即5log 2 3.4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b .(3)因为函y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函y ＝xf (x )为奇函．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0， 则函y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函，所以当x ∈(0，＋∞)时，函y ＝xf (x )单调递减． 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对的大小可以利用形结合和引入中间量利用函单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况构造相应的函，利用函单调性进行比较，如果指相同，而底不同则构造幂函，若底相同而指不同则构造指函，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a b ，y ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＞1，y ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1bb ＝－1，则y ＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．函f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函f (x )的解析式可确定该函为偶函，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k2k －23k －3＝108.所以选C.答案：C4．(2015·长春质检)已知函f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函f (x )＝log a |x |为偶函，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：B5．已知函f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋t 是奇函，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋t ，所以21＋x ＋t ＝121－x＋t ，整得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x ＞01＋x1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝________.解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实a 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函f (x )＝lg x 2＋1x ，有下列结论：①函f (x )的定义域是(0，＋∞)； ②函f (x )是奇函；③函f (x )的最小值为lg 2； ④当x ＞0时，函f (x )是增函．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函f (x )＝lg x 2＋1x 的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ×1x ＝lg2，得③正确；函u ＝x ＋1x在x ∈(0,1)时为减函，在x ∈(1，＋∞)时为增函，函y ＝lg u 为增函，所以函f (x )在x ∈(0,1)时为减函，在x ∈(1，＋∞)时为增函，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函，∴函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a 的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a23＞0，当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1解析：由题图可知，函在定义域内为减函，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y ＞0，即log a c＞0，所以0＜c＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2 (x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函y＝log2(x＋1)的图象如图所示．所以f(x)≥log2 (x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}，所以选C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log222＝________，2log23＋log43＝________.解析：log222＝log22－12＝－12，2log23＋log43＝232log23＝2log2332＝27＝3 3.答案：－123 35．(2015·高考北京卷)2－3,312，log25三个中最大的是________．解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log24＜log25，即log25＞2，所以三个中最大的是log25.答案：log52。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.6 对数及对数函数(原卷版)
第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为 ．2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .3． 设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为 ．考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x) (a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2 (a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是A ．y=lg10xB ．y=log 3x 2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三 对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为 。
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高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数
（含答案）
2.6对数与对数函数对数与对数函数最新考纲考情考向分析
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象
3.体会对数函数是一类重要的函数模型
4.了解指数函数yaxa0，且a1与对数函数ylogaxa0，且a1互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择.填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axNa0，且a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数2对数的性质与运算法则1对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么logaMNlogaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaMnR2对数的性质logaNa__N__；logaaN__N__a0，且a13对数的换底公式logablogcblogcaa0，且a1；c0，且c1；b03对数函数的图象与性质ylogaxa100；当00且a1与对数函数ylogaxa0且a1互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论1logab1logba；
2logmnabnmlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00且a1在0，上是增函数3函数yln1x1x与yln1xln1x的定义域相同4对数函数ylogaxa0且a1的图象过定点1,0且过点a,1，1a，1，函数图象只在第
一.四象限题组二
教材改编2P68T4log29log34log45log52________.答案
23P82A组T6已知a132，blog213，c121log3，则a，b，c的大小关系为________答案cab解析0ab.4P74A组T7函数y23log21x的定义域是______答案12，1解析由23log21x0，得00，a1的图象如图，则下列结论成立的是Aa1，c1Ba1,00且a1的图象如图所示，则下列函数图象正确的是答案B解析由题意ylogaxa0且a1的图象过3,1点，可解得a
3.选项A中，y3x13x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，yx3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3x的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选
B.2当01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三题型三
对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例1xx届河南信阳高中大考设alog412，
blog515，clog618，则AabcBbcaCacbDcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.2xx江西九江七校联
考若函数fxlog2x2ax3a在区间，2上是减函数，则实数a的取值范围是A，4B4,4C，42，D4,4答案D解析由题意得x2ax3a0在区间，2上恒成立且函数yx2ax3a在，2上单调递减，则a22且
222a3a0，解得实数a的取值范围是4,4，故选
D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数
fxloga3axa0且a11当x0,2时，函数fx恒有意义，求实数a的取值范围；2是否存在这样的实数a，使得函数fx在区间1,2上为减函数，并且最大值为1如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解1a0且a1，设tx3ax，则tx3ax为减函数，
x0,2时，tx的最小值为32a，当x0,2时，fx恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为0,11，32.2假设存在这样的实数a.tx3ax，a0，函数tx为减函数fx在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，tx的最小值为32a，fx的最大值为f1loga3a，32a0，loga3a1，即acbBbcaCcbaDcab 答案D解析alog32b，所以cab.2已知函数fxloga8axa0，且a1，若fx1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是__________答案1，83解析当a1时，fxloga8ax在1,2上是减函数，由fx1在区间1,2上恒成立，则fxminloga82a1，且82a0，解得11，且82a0.a4，且abcBacbCbacDbca答案A解析因为alog3log331，blog23b，又bc12log2312log32log2321，c0，所以bc，故
abc.2xx新乡二模设a
60.4，blog0.
40.5，clog
80.4，则a，b，c的大小关系是Aac.故选
B.3若实数a，b，c满足loga2cBbacCcabDacb答案B解析易知yfx是偶函数当x0，时，fxf1x|log2x|，且当x1，时，
fxlog2x单调递增，又af3f3，bf14f4，所以bac.。