多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：

一．正四面体与球

如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高SE=3

2a,斜

高SD=4

3a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE,

则在

2222)(OE SE BD EB OE OEB -==+∆中，直角

r=

a 126。R=SO=OB=a 4

6

特征分析：

1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外

接球的球心为同一个。 2． R=3r. r=

a 126 R=a 4

6

。此结论可以记忆。 例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球

面上，则此球的表面积为（ ） 分析：借助结论，R=

a 46=4

6

2=

2

3

,所以S=42R π=3π。

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）

分析：借助R=3r ，答案为9：1。

二、特殊三棱锥与球

四个面都是直角三角形的三棱锥。 SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。所以

R=2

SC 。

三．正方体与球。

1．正方体的外接球

即正方体的8个定点都在球面上。

关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。设正方体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ，AD=a ，

R=

2

3

a 。 C

2． 正方体的内切球。 （1）与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方

体的平行侧面的正方形。

C

B

A

R=2

a

（2）与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形ABCD 的外接圆。AB=CD=a ， R=

2

2a 。

3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征

是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。

例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是

解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=

322

3

=，S=12π。

2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==2

21==

2

2

V=

π3

2

3．将棱长为1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=2

1，V=π3

4。

4．P 、A 、B 、C 、是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1

，则球的体积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=

23，V=2

3 。

四、正棱柱与球

1．正三棱柱外接球。

如图所示：过A 点作AD 垂直BC,D 为三角形ABC 的中心，D 1同样得到。

则球心O 必落在DD 1的中点上。利用三角形OAD 为直角三角形，OA=R,可求出R.

2.正四棱柱外接球。

道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。

例题：1。已知一个半径为

21的球中有一个各条棱长都相等的内

接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA=21,OD=

2

a

，AD=a 33，可

求a ＝6，V=54

3.

2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在

半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为

解析：截面如图：ABCD

为正四棱柱的体对角

B

面OD=R，设AD=a，底面正方形的边长为b，则有DC=

2b ，则

R 2=（a/2）2

+（

2b/2）

2

，S=4ba ()2

222b a +≤

=224

R 。

五、长方体与球

1．长方体的外接球。

截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。

2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的

三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。

例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以R=2

2

5，S=50π。

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