误差理论试卷及答案-(1)

《误差理论与数据处理》试卷一
一．某待测量约为 80m，要求测量误差不超过 3％，现有级 0－300m 和级 0－100m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求
（本题 10 分）
二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为：＝′，＝′，＝′。

若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少
（本题 10 分）
三．测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃）
, , , , , , , , ,
, , , , ,
已知温度计的系统误差为℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判
断该测量列是否含有粗大误差。

要求置信概率 P=%，求温度的测量结
果。

（本题 18 分）
四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为：
l mm;
l mm;
l mm
求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ 0 ）。

（本题 10 分）
五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略）
1510152025
x
y
设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。

（附：F(1，4)=，F(1，4)=，F(1，4)=）（本题 15 分）
六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有：
①仪器示值误差不超过v，按均匀分布，其相对标准差为 25%；
②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 v;
③仪器分辨率为v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。

求该检定仪的不确定度分量，并估计其合成标准不确定度及其自由度。

（本题 10 分）
七．由下列误差方程，求 x、 y的最佳估计值及其精度(单位略)。

（本题 12 分）v 2x y
v x y
v4 x y
v x 4 y
八．简答题（3 小题共 15 分）
1.在实际测量中如何减小三大类误差对测量结果的影响
2.简述系统误差合成与随机误差合成的方法。

3.平稳随机过程的必要条件与各态历经随机过程的充分条件是什么其特征
量的估计方法有何不同分别写出它们的特征量均值与方差的估计公式。

x /℃
0 20 40 60 80 100 y /V
⎪x 2 y （
《误差理论与数据处理》试卷二
一
用电压表和电流表来测量某一纯电阻性电子器件的功耗时，已知用电压表测得器件上的直流电压降是 ，其测量极限误差是 ，用电流表测 得通过器件的电流是 ，其测量极限误差是 A 。

另外，电压表和电
流表分别存在 和
A 的系统误差。

测量时，电压和电流的测量结果
相互独立，试确定电器的功耗及其测量极限误差。

（本题 12 分）
二、
用一光功率计对某激光器的输出功率进行重复性测量，测得的结果如下：
（单位：mW ）
已知功率计的系统误差为 ，除此以外不再含有其它的系统误差。

求当置信 概率为 %时激光器的输出功率及其极限误差。

（本题 20 分）
三、
对 x 和 y 两个量进行组合测量，测量方程如下：
⎪x y ⎪2 x y
⎪ ⎪⎪2 x
2 y
上述四次测量的测量精度相同，确定 x 、y 的最佳估计值及其精度。

本题 18 分）
四、
对一温度测量仪进行标定，被测温度 x 由标准场提供，其误差可忽略不
计。

通过试验得到的被测温度 x 与测温仪的输出电压 y 的数值如下：
确定 y 对 x 的线性回归方程表达式，并进行方差分析与回归方程的显著性检验；
（附：F(1，4)=，F(1，4)=，F(1，4)=）（本题 20 分）
五、
在光学计上用量块组作为标准件，重复测量圆柱体直径 9 次，已知单次
测量的标准差为 微米，用算术平均值作为直径测量结果。

量块组由三块 量块组成，各量块的标准不确定度分别为 微米、 微米、 微米，
其相对标准差均为 25％，求直径测量结果的合成标准不确定度及其自由度。

（本题 10 分）
六、
简答题（4 小题共 20 分）
(1) 简述仪器的误差来源，并就你熟悉的仪器加以举例说明。

（本题 6 分）
(2) 简述系统误差的判断方法及其适用对象。

（本题 5 分）
(3) 简述误差分配的依据和基本步骤。

（本题 4 分）
(4) 简述微小误差的判别方法及其应用（本题 5 分）
合肥工业大学仪器科学与光电工程学院
误差理论与数据处理
1
2
经测得 a , b , '24'，设 a，b, 的测
量相互独立，试求面积 S 的测量结果及极限误差。

（本题 10 分）
二、对某量进行了 12 次测量，测得值如下：（单位：mm）
, , , , , ，, , , ,
, 。

若这些测得值存在不变的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大
误差，并求被测量的测量结果（要求置信概率 P=%）。

（本题 15 分）
三、甲乙两人分别对某地的重力加速度进行了测量。

甲共测量 16 次，平均值为
s，单次测量标准差为 s；乙共测量 25 次，平均值为
s，其单次测量标准差为 s。

若由甲乙两人的测量数据计算
测量结果，求该测量结果及其标准差。

（本题 15 分）
四、由下列误差方程，求 x、 y的最佳估计值及其精度(单位略)。

（本题 15 分）
v 3x y v x 2y v 2x 3 y P 1 P 2 P 3
五、通过试验测得某一铜棒在不同温度下的电阻值：
t / C
R /
设 t 无误差，求 R 对 t 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。

（附：F(1，4)=，F(1，4)=，F(1，4)=）（本题 15 分）
六、已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有：
①仪器示值误差不超过 v，按均匀分布，其相对标准差为 25%；
一、由式 S＝ ab sin计算三角形的面积，式中 a, b 是三角形角的两邻边。

②输入电流的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 v;
求该检定仪的标准不确定度分量，并估计其合成标准不确定度及其自由度。

（本题 10 分）
七．简答题
（本题 20 分,任选 3 题）
1. 在实际测量中如何减小三大类误差对测量结果的影响
2. 简述微小误差的判别方法及其应用
3. 系统误差合成与随机误差合成的方法有何区别
4. 简述动态测试数据的分类，分析各类数据的特点与性质。

5. 平稳随机过程的必要条件与各态历经随机过程的充分条件是什么其特
征量的估计方法有何不同分别写出它们的特征量均值与方差的估计公
式。

《误差理论与数据处理》试卷一参考答案
一．某待测量约为 80 m，要求测量误差不超过 3％，现有级 0－300 m 和级 0－100 m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求
（本题 10 分）
解：测量允许误差： 80 3%m
级测微仪最大示值误差： 3001% 3m
级测微仪最大示值误差：100 2% 2m
答：级 0－100 m 的测微仪符合要求。

二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为：＝′，＝′，＝′。

若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少
（本题 10 分）
解：p : p : p 1
:1
:
1 1
1
1
:
:
6
4
1
2
5
25
:
16
:
64
p ∑ p 4
p
p
p
p
1
2
1
6
2
5
16
64
′
∑
∑
答：
测量结果的标准差 ′ 。

三． 测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃）
, , , , , , , , , , , , , ,
已知温度计的系统误差为℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判 断该测量列是否含有粗大误差。

要求置信概率 P=%，求温度的测量结 果。

（本题 18 分）
解： （1）已定系统误差：
− C
（2） x
，
15− 1
（3） 因为： v
− 3 所以：第 14 测量值含有粗大误差，应剔除。

（4） 剔除粗大误差后， x ′
，
′
14− 1
，
v
3′，
′
14
（5） p %
，t=3,3
（6）测量结果：
T ( x ′−)（°C）
四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为：
l mm;
l mm;
l mm
求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ 0 ）。

（本题 10 分）
解：量块组的尺寸:
量块组的标准差：L∑ l = mm
m
五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略）x
y
1510152025设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。

（附：F(1，4)=，F(1，4)=，F(1，4)=）（本题 15 分）
解：∑ x
76，
∑ y， N 6
∑ x
1376，∑ y，∑ xy
(∑ x )
1376− (76) (∑ x )(∑ y )
− 76
(∑ y )
−
x
76 6
， y
6
l ∑ x −
l ∑ xy −
l ∑
y −
1
N
1 N 1
N
1 6
1 6 1 6
b l l
b y − bx − 10
回归方程：方差分析：y ˆ b bx 10 U bl
Q l− U −
显著度检验：F U
Q / 6−
2
456920 F (1,4)显著水平：，回归方程高度显著。

残余标准差：
Q
6− 2
六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有：
①仪器示值误差不超过 v，按均匀分布，其相对标准差为 25%；
②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 v;
③仪器分辨率为 v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。

求该检定仪的不确定度分量，并估计其合成标准不确定度及其自由度。

（本题 10 分）
解：（1）仪器示值误差引起的不确定度分量：
u
3，
1
2
8
（2）电流测量的重复性引起的不确定度分量：
u ， 9− 1 8（3）仪器分辨率引起的不确定度分量：
u 2
3，
1
2
22
（4）合成标准不确定度： u u u u
合成标准不确定度的自由度：
u
u u
u
七．由下列误差方程，求 x、 y的最佳估计值及其精度(单位略)。

（本题 12 分）
⎪ ⎪ A
4− ⎪ 4⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ A
⎪
A A
⎪ ⎪
⎪
X ˆ⎪⎪⎪⎪ A A A L
⎪⎪
⎪
∑
v − 2x − y
v − x y v − 4 x y v
− x
− 4 y
解：
⎪ 2 1⎪ ⎪ 1− 1⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ 22 ⎪ 1
1⎪
19⎪⎪ 1⎪19 417⎪ 1
1
⎪ 22⎪⎪
⎪ x
⎪⎪ ⎪ ⎪ y ⎪⎪
⎪
4− 2
10
d
d
19
417
22 417
八．简答题（3 小题共 15 分）（略）
《误差理论与数据处理》试卷二参考答案
第一题 12 分：
解：
名义功耗：
传递系数：
功耗的系统误差：
P＝V I＝（W）
a=2 a=1
= a V+ a I=12=(W)
（2 分）
（4 分）
（2 分）
功耗的随机误差：=
a ⋅a ⋅＝212＝ (W)
（2 分）
功耗及其极限误差： = (W)（2 分）第二题 20 分：
解：由于测量温度计的系统误差为,除此以外不再含有其它的系统误差，故这里不考虑系统误差的辨别。

1. 求算术平均值：P
n
1
5
mW（2 分）
2. 求残余误差：
3. 校核算术平均值及其残余误差：
4. 求测量列单次测量的标准差：v P− P
（略）
（3 分）
（1 分）
根据 Bessel 公式，单次测量标准差为：
n−1
≈ （3 分）
5. 判别粗大误差：
用 3准则判别粗大误差，判定第 8 个测量值，即为粗大误差，剔除。

（2 分）6. 重新计算算术平均值和单次测量的标准差为：（2 分）
n 14 n− 1
7. 再判别粗大误差，根据 3准则，发现此时测量列中不含有粗大误差。

8. 求算术平均值的标准差：
mW
n′ 19
9. 求算术平均值的极限误差：
由于给定置信概率为 %，按照正态分布，此时， t 3，（1 分）（2 分）
算术平均值极限误差为：t 3 mW（2 分）
∑P
∑
∑ P∑ v
P ' mW ； mW
10. 给出最后的测量结果（要减去已定系统误差）：
第三题 18 分：
P P' mW
1
（2 分）
解：
解：建立误差方程： ⎪v −x y
⎪v −
2x
y
⎪ ⎪⎪v
−
2x
2
y
，得 L
⎪⎪⎪1 ⎪⎪⎪1 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪2
⎪
1⎪ 1⎪⎪ 2⎪ ⎪ 2⎪
⎪ x
⎪ ⎪ y ⎪
量块 x 、y 的最佳估计值为： ⎪ x
⎪⎪⎪
⎪
（10 分）
由误差方程，求得： v
, v −,
v −, v
标准差：
4− 2
（4 分）
1⎪ 10− 9⎪ 19⎪⎪−
9 10⎪⎪
，得不定常数： d
d
⎪v −x2y ⎪⎪
⎪⎪，
，
X ˆ⎪⎪ A A A ⎪⎪⎪
∑
由 A A
⎪⎪ d
∑ x 300； x 50；∑ y； y；∑∑∑x y
1⎪⎪
1⎪⎪
l∑ x−⎪∑ x⎪ 7000； l∑ x y−⎪∑∑
1⎪⎪
l∑ y −⎪∑
b
计算块 A、B 、C 最佳估计值的标准差为：
第四题 20 分：
解：设回归方程为： y ˆ b bx
⎪⎪ d
⎪ （4 分）
1）
计算参数及其结果如下：
2
2
；
；
；
6⎪⎪ 6⎪⎪⎪⎪
6⎪⎪
（10 分）
回归方程系数：
l
l
；b y− bx
回归方程为：
方差平方和及其自由度：
U bl， 1；
Q S−U，4；
yˆ x
S l， 5
；
（2 分）
显著性检验：
F
U
Q
1635
>>
F(1，
4)=，
高度
显著；
2
方差：
Q
（8 分）
第五题 10 分：
解：1、测量重复性引起的不确定度分量：u
9
9−
1 8
（2 分）
2、量块组引起的不确定度分量： u ， 1
2
8；
u ，u ，
1
2
1
2
8
8；
u u u u ，
8 8
8
（4 分）
3、直径测量结果的合成标准不确定度：
u u u ；
u
u
8
（4 分）
第六题 20 分：答案略。

3
2005－2006 学年第一学期《误差理论与数据处理》试卷标准答案
一、1、 S
1
2
ab sin 69 . 36 cm
a
2、 a
∂S ∂a ∂S ∂b 1 2 1 2
b sin
a sin
a
∂S ∂
1 2
ab cos
3、
24 60
180
4、
(a ) (a ) (a )
二、1、 x
12
,
−
x
) 12− 1
2、判断有无粗大误差：根据莱以特准则，认为 值存在粗大误差，应 予剔除。

3、重新计算：
x '
11
,
− x )
11− 1
4、判断有无系统误差：
∑ x
∑ ( x
∑ x
∑
：
1
由残差观察法得：残余误差大体上正负相间，且无明显变化规律，则无 根据怀疑测得值含有变化得系统误差；
又有题意知测得值中存在不变的系统误差△＝。

5、经再次判断，剩余数据内无粗大误差。

6、
11
7、设测得值服从正态分布，则取 P ＝%，得 t=3，所以
3
8、测量结果为 x '−
(mm ) 。

三、1、
16
/ s ,
25 / s
2、求甲、乙两人测得值得权重： P ：P ＝
＝：
3、测量结果为
x P x＋P x
P＋P ＝ / s
4、加权算术平均值标准差为
P
P＋P
＝ / s
四、依题意得
⎪3 1⎪⎪⎪⎪1 0 0⎪
⎪⎪
⎪d d⎪
d
1⎪36 19⎪
467⎪⎪19 23⎪⎪
⎪ x ⎪⎪⎪
⎪
4、计算得v= ，v= ，v=
则可得直接测量值的单位权标准差
3
− 2
5、进而得 x,y 估计值的精度
d , d
五、1、依题意计算得
⎪1− 2⎪, L ＝⎪⎪, X ⎪ x ⎪,
1、 A ＝
⎪⎪⎪⎪⎪0 0
⎪⎪2−
2、 C
( A PA )⎪ ⎪
⎪d
⎪ 3、 X ˆ⎪⎪ C A ⎪
⎪⎪
ˆ v 2 v
∑ t ,
∑ R
,
∑ t
,
∑ R
,
∑ t R
1 l ∑
t − (∑ t ) 1
l ∑ R
− (∑ R )
1 l
∑ Rt
− (∑ R )(∑ t )
,
设 R ＝b
bt ，为得到b ，b 的估计值，需先计算以下各式：
6
6
6
R 1
6
t 1 6
则
b ˆ l
l
,
b
R−
bˆt
因此，R 与 t 的线性关系式为 R ＝。

2、方差分析：
3、显著性检验：
F U /
Q /
F
(1,4)
说明：回归方程在水平上高度显著。

六、1、由仪器示值误差引起的不确定度分量为
u
3
V , 1
u )
1
1
4
8
误差源 平方和 自由度
方差 回归 U bl 1
残差 Q S-U= 4 Q/4= 总的离差 S l 5
(∑ R )
(∑ t )
2
u u u V ,
u
u
2、由测量重复性引起的不确定度分量为
u
V , n －1 8
3、合成标准不确定度为
u
七、简答题
1、粗大误差的减小方法：
1）加强测量者的工作责任心；2）保证测量条件的稳定，避免在外界条件激
∑
⎪
⎪ ∑
∑
⎪⎪ a a u uu a u
⎪ ⎪ ∑∑⎪⎪ a aa
烈变化时进行测量；3）采用不等测量或互相校核的方法；4）采用判别准则，在 测量结果中发现并剔除。

系统误差的减小方法：1）从误差根源上消除；2）预先将测量器具的系统误 差检定出来，用修正的方法消除；3）对不变的系统误差，可以考虑代替法、抵 消法、交换法等测量方法；对线性变化的系统误差，可采用对称法；对周期性系 统误差，可考虑半周期法予以减小。

随机误差的减小方法：1) 从误差根源上减小；2）采用多次测量求平均值的 方法减小；3)采用不等精度、组合测量等方法消除。

2、对于随机误差核未定系统误差，微小误差判别准则为：若该标准差小于或等 于测量结果总标准差的 1/3 或 1/10，则可认为该误差是微小误差，准予舍去。

在计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该项误差对总误 差的影响。

选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总
误差的 1/10-3/10。

3、系统误差分已定系统误差和未定系统误差，对已定系统误差，采用代数和法 合成即可：
对于未定系统误差，采用方和根法合成：
⎪
⎪
对随机误差，也采用方和根法合成：
⎪
⎪
由于未定系统误差不具有抵偿性，而随机误差具有抵偿性，因此在用多次重 复测量的平均值表示测量结果时，合成标准差中的各项随机误差标准差都必 须除以测量次数的平方根，未定系统误差则不必如此。

4、动态测试数据分类：
⎪非周期数据⎪准周期数据
⎪ ⎪
⎪瞬态数据 动态测试数据⎪ ⎪
⎪非平稳随机过程 ⎪随机过程数据⎪⎪
⎪ ⎪平稳随机过程⎪非各态历经平稳随机过程 ⎪ ∑ xt ( ), Dt ( ) 1 ∑{xt ( )− m (t )}； ∑ ∑ {x }；
− m
⎪⎪
⎪正弦周期数据
⎪
⎪周期数据⎪
⎪⎪⎪复杂周期数据 ⎪确定性数据⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪各态历经平稳随机过程
⎪
⎪
⎪
特点：
确定性数据可由确定的数学表达式表示出来，正弦周期含有单一频率，而复杂周 期数据是由多种频率综合而成的数据，且频率比全为有理数。

准周期数据的频率 比不全为有理数，瞬态数据的频谱一般是连续的。

随机过程数据是无法用确定的表达式表示出来，它的值无法预知，但具有统计规
律性。

其中非平稳随机过程的均值、方差、自相关函数一般是随时间变化的，而 平稳随机过程的均值、方差、自相关函数则不会随时间发生变化。

5、平稳随机过程的必要条件： m (t )
C 且R (t , t ) R ( ) ，与 t 无关，
总体平均法估计
m (t )
1 N
N − 1
各态历经随机过程的充分条件：
→∞时，R ( )→ 0
时间平均法估计： m
1
n
x (t ), D
1
n
2005－2006 学年第一学期《误差理论与数据处理》试卷评分标准对照标准答案，各步骤的评分标准如下：
一、1）3 分；2）3 分；3）1 分；4）3 分
二、1）3 分；2）2 分；3) 2 分；4） 1 分；5）1 分；6）2 分；7）2 分；8）2
分
三、1）4 分；2）4 分；3）3 分；4）4 分
四、1）3 分；2）2 分；3）4 分；4）4 分；5）2 分
五、1）求得两系数各得 4 分；2）4 分；3）3 分
六、1）3 分；2）3 分；3）4 分
七、简答题
第 1 题评分标准：粗大误差得减小方法占 2 分，系统误差得减小方法占 3分，随机误差得减小方法占 2 分；
第 2 题评分标准：答对最小误差的含义给 2 分，两个应用分别是 2 分；
第 3 题评分标准：答对已定系统误差、未定系统误差的合成和随即误差的合成方法各得 2 分，答对区别得 1 分；
第 4 题评分标准：答错确定性数据扣 3 分，答错随机过程数据也扣 3 分；
第 5 题评分标准：两个条件每个 3 分，估计方法全错扣 4 分。