第三章几何非线性
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• • 体积的改变 旋转
x F X
•
由于应变造成的形状改变
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-25
变形梯度
• 注意定义时，变形梯度 件。
•
F 消除了平动；这是应变定义的必要条
在定义应变时，同样希望排除旋转部分（因为它对应变无贡献） ，并孤立出形状改变部分。可使用极分解理论完成这项工作。
几何非线性 – 5.7版本
几何非线性 – 5.7版本
3-27
在定义应变时使用 U
• 在已知拉伸矩阵 U 的情况下，可导出一维对数应 变 与一维Green-Lagrange 应变 的三维一般 l G 形式。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-28
Hencky 应变
对数（ Hencky ）应变可由下式计算：
3-33
第二Piola-Kirchhoff 应力
• 让 dP ˆ 代表从位移中导出的力 ˆ F 1dP dP
• 让 dA = 在未变形物体中定义单元面积的矢量，这里 0 dA0 dA
deformation
• 第二 Piola-Kirchhoff 应力张量
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是 X ，最终 位置是 x ，它运动的量 u 为
u x X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-24
变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：
变形梯度 F 包含的信息有：
• 大应变分析设定应变不再是无限小的，而是有限的或相当大的。 • 当应变超过一定百分比及不能忽视几何形状的改变时，可认为是 大应变。 • 大应变理论考虑了形状的改变（例如厚度，面积等等）及任何大 旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-11
定义应变的要求
• 应变是我们描述物体变形 的手段。尽管在一定程度上应变的数学 定义可以任意，但它仍必须满足一些要求。
前两项是线性小应变项，最后一项是应变的非线性项。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-30
ANSYS 使用何种非线性应变？
• 在ANSYS程序中，使用什么样的应变（如Hencky应变或 Green-Lagrange 应变） 主要取决于材料定律： – 对于大应变塑性分析，ANSYS使用对数（ Hencky ）应变； 应力应变数据以真应力－对数应变形式给出。 – 对于大应变超弹性与粘－弹性分析，ANSYS使用Hencky 应 变或Green-Lagrange 应变，这取决于使用的单元类型。
几何非线性问题的复杂性
• 追随力 • 非线性应力应变度量 • 一致的非线性刚度矩阵 • 材料非线性 • 不可压缩性 • 网格扭曲
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-7
追随力与载荷方向
注意当结构经历大位移与旋转时，载荷发生了什么变化。
• 在许多情况下，载荷将在变形过程中保持一致的方向。
F A0
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-18
对数应变
一维问题中，对数应变 l 由下面公式计算：
dl l l lo
l
l Ln l 0
对数应变是非线性 应变，因为它是未知的最终长度 l 的非线性函 数。它同样可称为log应变 。三维等效对数应变是Hencky应变。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-31
将非线性应力的定义扩展至三维问题
• 正如在一维问题中一样，对应于二维、三维问题中定 义的非线性应变，都可定义与其共轭的应力。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-32
Cauchy 应力
• Cauchy 或真应力张量 （以矩阵形式写出） 给出了在变形后 构形每单位变形面积上的当前力。如果我们让
H lnU
这里
H 是以矩阵形式表示的应变张量。
在这种情况下， H 是一维对数应变或真实应变 的三 l 维等效量。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-29
Green-Lagrange 应变
在三维问题中，Green-Lagrange 应变可直接由拉伸矩阵 U 计算 出，如下式所示：
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-26
极分解
• 变形梯度 F 可使用极分解理论分解成一个旋转部分和一个应变 部分：
F RU
R U
=旋转矩阵包含的信息为材料点作为刚体旋转的大 小与方向
= 拉伸矩阵包含的信息为物体在材料点处的应变
October 17, 2000
在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：
F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
dA dP
= 变形体中定义单元面积的矢量 = 对应的作用于面积 dA 上的单元力
• 在三维问题中，Cauchy 应力张量 通过下式联系dP 与 dA
dP dA
• Cauchy 应力是一个有实际意义的量。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-12
定义应变的要求(续)
• 无变形时应变为零，有变形时不为零。 • 通过材料的应力应变关系联系应力和应变。 • 如果材料旋转大，但发生的是刚体位移，则应变为零。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-13
应力与应变定义相对应
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生 改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
October 17, 2000
几何非线性 – Leabharlann Baidu.7版本
3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时，它将移动和变形。
• 在另一些情况下，承受大旋转时，力将“ 追随”单元改变 方向。 这两种情况ANSYS都可模拟，取决于施加载荷的类型。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-8
载荷方向
加速度与集中力：
• 保持它们的初始方向，忽略单元取向。
表面压力载荷：
• 随单元旋转，因此总是垂直于变形单元的表面（这些是真正的追 随力）。
• 对应于度量物体变形的应变，应力度量了物体单位面积上的力。 • 尽管使用的应变可以是任意形式的，但使用的应力应与已定义的 应变相关。
October 17, 2000
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3-14
应力应变的共轭性
• 在非线性大应变分析中使用的应力必须与应变共轭 。 • 共轭性是指应力应变相乘时，得到的是一个标量（应变能），其 值与选择的应力应变无关。
October 17, 2000
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3-15
一维问题中的应力应变定义
• 我们将通过一个简单的一维例题检查不同的应力应变 定义。
l
l0
l
F
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3-16
工程应变
• 工程应变 是小（无穷小）应变度量，使用初始的几何 构形计算。
• 更新压力表面以计算大应变效应。因此，对于施加的常压力，总 压力载荷将随表面积的改变而改变。
October 17, 2000
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3-9
载荷方向(续)
位移前的方向 载荷 位移后的方向
加速度
节点力
单元压力
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-10
什么是大应变？
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-5
几何非线性例子(续)
Y Z X
初始形状
变形形状
• 此例显示了绕轴线捆扎一根钢条。将金属弯曲成不同的形状是生产中常 见的操作。在此例中，应变达到25%，顶端旋转接近270 度！
October 17, 2000
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3-6
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-21
第二 Piola-Kirchhoff 应力
Green-Lagrange 应变 G 的共轭应力是第二Piola-Kirchhoff应 力 S 。它的一维计算公式为：
l0 F S l A0
需要注意的是此种应力几乎无实际意义。为了输出，ANSYS总 是将其转化为Cauchy 应力或真应力 输出。
ˆ S dA0 dP
ˆ 与 dA0 S 使用下式联系 dP
•
S 是对称的应力张量，它经常用于有限应变弹性公式，它是 Green-Lagrange应变 G 的共轭应力张量。 S 是一个无实际
意义的应力张量（假想应力张量）。
October 17, 2000
3-2
几何非线性特性
• 如果一个单元的形状发生改变（面积、厚度等），它本身的 单元矩阵会发生改变。
Y
X
• 如果一个单元的取向改变，它的单元刚度向整体刚度的转换 矩阵将发生变化。
Y X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-3
几何非线性特性（续)
• 如果单元应变产生了明显的面内应力 (膜应力)，垂直于面的 刚度会明显受影响。
第三章
几何非线性
大应变，大位移与大旋转特性
什么是几何非线性？
• 变形体几何形态的改变将明显影响物体的载荷－位移（如刚度） 特性。 • 几何非线性并不只是指大位移，而且还包括几何状态改变所引起 的任何结构响应的变化。它包括大应变、大位移和大旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
几何非线性 – 5.7版本
3-34
与
S 之间的关系
• 有实际意义的Cauchy应力 可通过下式与无实际意义的第二 Piola-Kirchhoff 假想应力 S 建立直接的联系：
1 T F S F det F
October 17, 2000
1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵 的形式写出，如下式所示：
。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
l l0
• 工程应变取决于初始长度，如 lo ，初始长度是事先已知 的，所以工程应变是线性的。 • 工程应变的应用局限于材料小旋转，中等大小的刚体旋 转将导致非零应变。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-17
工程应力
• 工程应变 的共轭应力为工程应力 ，工程应力的计 算是当前的力 F 除以初始面积 A0。
P Y X
P
UY
• 随着垂直位移的增加 (Y)，大的膜应力(SX)导致刚化响应。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-4
几何非线性例子
容器 的运动
(a) 初始形状
(b) 显示静水压力的变形形状
• 这是一个大应变分析的例子，一个轴对称的橡胶密封件受压缩。分析包 括接触，当密封件折叠时会发生自身接触。
October 17, 2000
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3-20
Green-Lagrange 应变
一维的Green-Lagrange应变 G 由下面的公式计算：
2 2 1 l l 0 G 2 2 l 0
此应变是非线性的，因为它取决于未知的更新长度 l 的平方。 此种应变优于对数应变或Hencky 应变 l 之处在于，它可自动适应 大应变问题中的任意大旋转。
x F X
•
由于应变造成的形状改变
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变形梯度
• 注意定义时，变形梯度 件。
•
F 消除了平动；这是应变定义的必要条
在定义应变时，同样希望排除旋转部分（因为它对应变无贡献） ，并孤立出形状改变部分。可使用极分解理论完成这项工作。
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3-27
在定义应变时使用 U
• 在已知拉伸矩阵 U 的情况下，可导出一维对数应 变 与一维Green-Lagrange 应变 的三维一般 l G 形式。
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3-28
Hencky 应变
对数（ Hencky ）应变可由下式计算：
3-33
第二Piola-Kirchhoff 应力
• 让 dP ˆ 代表从位移中导出的力 ˆ F 1dP dP
• 让 dA = 在未变形物体中定义单元面积的矢量，这里 0 dA0 dA
deformation
• 第二 Piola-Kirchhoff 应力张量
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是 X ，最终 位置是 x ，它运动的量 u 为
u x X
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变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：
变形梯度 F 包含的信息有：
• 大应变分析设定应变不再是无限小的，而是有限的或相当大的。 • 当应变超过一定百分比及不能忽视几何形状的改变时，可认为是 大应变。 • 大应变理论考虑了形状的改变（例如厚度，面积等等）及任何大 旋转。
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3-11
定义应变的要求
• 应变是我们描述物体变形 的手段。尽管在一定程度上应变的数学 定义可以任意，但它仍必须满足一些要求。
前两项是线性小应变项，最后一项是应变的非线性项。
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3-30
ANSYS 使用何种非线性应变？
• 在ANSYS程序中，使用什么样的应变（如Hencky应变或 Green-Lagrange 应变） 主要取决于材料定律： – 对于大应变塑性分析，ANSYS使用对数（ Hencky ）应变； 应力应变数据以真应力－对数应变形式给出。 – 对于大应变超弹性与粘－弹性分析，ANSYS使用Hencky 应 变或Green-Lagrange 应变，这取决于使用的单元类型。
几何非线性问题的复杂性
• 追随力 • 非线性应力应变度量 • 一致的非线性刚度矩阵 • 材料非线性 • 不可压缩性 • 网格扭曲
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3-7
追随力与载荷方向
注意当结构经历大位移与旋转时，载荷发生了什么变化。
• 在许多情况下，载荷将在变形过程中保持一致的方向。
F A0
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3-18
对数应变
一维问题中，对数应变 l 由下面公式计算：
dl l l lo
l
l Ln l 0
对数应变是非线性 应变，因为它是未知的最终长度 l 的非线性函 数。它同样可称为log应变 。三维等效对数应变是Hencky应变。
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3-31
将非线性应力的定义扩展至三维问题
• 正如在一维问题中一样，对应于二维、三维问题中定 义的非线性应变，都可定义与其共轭的应力。
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3-32
Cauchy 应力
• Cauchy 或真应力张量 （以矩阵形式写出） 给出了在变形后 构形每单位变形面积上的当前力。如果我们让
H lnU
这里
H 是以矩阵形式表示的应变张量。
在这种情况下， H 是一维对数应变或真实应变 的三 l 维等效量。
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3-29
Green-Lagrange 应变
在三维问题中，Green-Lagrange 应变可直接由拉伸矩阵 U 计算 出，如下式所示：
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3-26
极分解
• 变形梯度 F 可使用极分解理论分解成一个旋转部分和一个应变 部分：
F RU
R U
=旋转矩阵包含的信息为材料点作为刚体旋转的大 小与方向
= 拉伸矩阵包含的信息为物体在材料点处的应变
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在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
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3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：
F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
dA dP
= 变形体中定义单元面积的矢量 = 对应的作用于面积 dA 上的单元力
• 在三维问题中，Cauchy 应力张量 通过下式联系dP 与 dA
dP dA
• Cauchy 应力是一个有实际意义的量。
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定义应变的要求(续)
• 无变形时应变为零，有变形时不为零。 • 通过材料的应力应变关系联系应力和应变。 • 如果材料旋转大，但发生的是刚体位移，则应变为零。
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应力与应变定义相对应
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3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生 改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
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3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时，它将移动和变形。
• 在另一些情况下，承受大旋转时，力将“ 追随”单元改变 方向。 这两种情况ANSYS都可模拟，取决于施加载荷的类型。
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3-8
载荷方向
加速度与集中力：
• 保持它们的初始方向，忽略单元取向。
表面压力载荷：
• 随单元旋转，因此总是垂直于变形单元的表面（这些是真正的追 随力）。
• 对应于度量物体变形的应变，应力度量了物体单位面积上的力。 • 尽管使用的应变可以是任意形式的，但使用的应力应与已定义的 应变相关。
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应力应变的共轭性
• 在非线性大应变分析中使用的应力必须与应变共轭 。 • 共轭性是指应力应变相乘时，得到的是一个标量（应变能），其 值与选择的应力应变无关。
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3-15
一维问题中的应力应变定义
• 我们将通过一个简单的一维例题检查不同的应力应变 定义。
l
l0
l
F
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3-16
工程应变
• 工程应变 是小（无穷小）应变度量，使用初始的几何 构形计算。
• 更新压力表面以计算大应变效应。因此，对于施加的常压力，总 压力载荷将随表面积的改变而改变。
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载荷方向(续)
位移前的方向 载荷 位移后的方向
加速度
节点力
单元压力
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什么是大应变？
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几何非线性例子(续)
Y Z X
初始形状
变形形状
• 此例显示了绕轴线捆扎一根钢条。将金属弯曲成不同的形状是生产中常 见的操作。在此例中，应变达到25%，顶端旋转接近270 度！
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3-6
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3-21
第二 Piola-Kirchhoff 应力
Green-Lagrange 应变 G 的共轭应力是第二Piola-Kirchhoff应 力 S 。它的一维计算公式为：
l0 F S l A0
需要注意的是此种应力几乎无实际意义。为了输出，ANSYS总 是将其转化为Cauchy 应力或真应力 输出。
ˆ S dA0 dP
ˆ 与 dA0 S 使用下式联系 dP
•
S 是对称的应力张量，它经常用于有限应变弹性公式，它是 Green-Lagrange应变 G 的共轭应力张量。 S 是一个无实际
意义的应力张量（假想应力张量）。
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几何非线性特性
• 如果一个单元的形状发生改变（面积、厚度等），它本身的 单元矩阵会发生改变。
Y
X
• 如果一个单元的取向改变，它的单元刚度向整体刚度的转换 矩阵将发生变化。
Y X
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3-3
几何非线性特性（续)
• 如果单元应变产生了明显的面内应力 (膜应力)，垂直于面的 刚度会明显受影响。
第三章
几何非线性
大应变，大位移与大旋转特性
什么是几何非线性？
• 变形体几何形态的改变将明显影响物体的载荷－位移（如刚度） 特性。 • 几何非线性并不只是指大位移，而且还包括几何状态改变所引起 的任何结构响应的变化。它包括大应变、大位移和大旋转。
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3-34
与
S 之间的关系
• 有实际意义的Cauchy应力 可通过下式与无实际意义的第二 Piola-Kirchhoff 假想应力 S 建立直接的联系：
1 T F S F det F
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1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵 的形式写出，如下式所示：
。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
l l0
• 工程应变取决于初始长度，如 lo ，初始长度是事先已知 的，所以工程应变是线性的。 • 工程应变的应用局限于材料小旋转，中等大小的刚体旋 转将导致非零应变。
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3-17
工程应力
• 工程应变 的共轭应力为工程应力 ，工程应力的计 算是当前的力 F 除以初始面积 A0。
P Y X
P
UY
• 随着垂直位移的增加 (Y)，大的膜应力(SX)导致刚化响应。
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3-4
几何非线性例子
容器 的运动
(a) 初始形状
(b) 显示静水压力的变形形状
• 这是一个大应变分析的例子，一个轴对称的橡胶密封件受压缩。分析包 括接触，当密封件折叠时会发生自身接触。
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3-20
Green-Lagrange 应变
一维的Green-Lagrange应变 G 由下面的公式计算：
2 2 1 l l 0 G 2 2 l 0
此应变是非线性的，因为它取决于未知的更新长度 l 的平方。 此种应变优于对数应变或Hencky 应变 l 之处在于，它可自动适应 大应变问题中的任意大旋转。