湖北省2019年龙泉中学、随州一中、天门中学三校高三四月联考理科数学

2019年龙泉中学、随州一中、天门中学三校

高三4月联考 理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为（-1,1）,则( ) A.z-1是实数 B.z-1是纯虚数 C.z-i 是实数 D.z+i 是纯虚数 2.设A ，B ，U 是三个集合，且,,A U B U ⊆⊆则“()()U U x C A C B ∈”是“()U x C A B ∈”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知3

1

1

log 2018

531(),3,(10),,,5

a b c a b c -===-则的大小为（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.b a c >>

D.a c b >>

4.命题“若22

0,00a b a b +===则且”的否定是（ ） A.若2

2

0,00.a b a b +≠≠≠则且 B.若22

0,0.a b ab +=≠则 C.若2

2

0,00.a b a b +≠≠≠则或

D.若2

2

2

2

0,0.a b a b +=+≠则

5.如图，角,Ox αβ均以为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则O

AO B ⋅=

（ ）

A.sin()αβ-

B.sin()αβ+

C.cos()αβ-

D.cos()αβ+

第5题图 第6题图 第7题图

6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积为（ ） A.

163

B.

323

C.16

D.32

7.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的5,1,2,n x υ===则程序框图计算的结果为（ ）

A.15

B.31

C.63

D.127

8.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图如图.

若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ，平均数分别为1s ，2s ，则下列结论正确的是（ ）

A.1212,m m s s >>

B.1212

,m m s s ><

C.1212,m m s s <<

D.1212,m m s s <> 9.已知点P 在抛物线24,(2,1)y x P Q =-上那么点到点的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.1(,1)4

-

B.1(,1)4

C.(1,2)

D.(1,2)-

10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255

）

A.

1

16

C.

1

32

D.

1

64

11.在平面直角坐标系xOy中，对于点（,x y），定义变换σ：将点(,)

x y变

换为点(,),

a b使得

tan,

tan,

x a

y b

=

⎧

⎨

=

⎩

其中,(,).

22

a b

ππ

∈-这样变换σ就将坐标

系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线，则四个函数

2

12

2(0),(0),

y x x y x x

=>=>

34

(0),ln(1)

x

y e x y x x

=>=>在坐标

系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是（）

A.②③④①

B.③②①④

C.②③①④

D.③②④①

12.已知直线22

:10(0)

l ax by a b

++=+≠与22

:100

O x y

+=有公共点，并且公共点的横、纵坐

标均为整数，则这样的直线共有（）条.

A.60

B.66

C.72

D.78

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选

考题，考生根据要求作答。

二、填空题:本小题共4小题，每小题共5分。

13.若3

1

()n

x

x

-展开式的二项式系数之和为8，则展开式中含x项的系数为 .

14.已知函数()sin()(0,0)

f x A x B A

ωϕω

=++>>的部分图象如图所

示，则函数(4)

f x图象的对称中心为 .

15.若任取实数对(,)(01,01),

x y x y

≤≤≤≤则

“

1

2

x y

≤≤

率为 .

16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠60,1,

ABC PA PC PB

===

=PD=点E为线段PD上

一点，且2

PE ED

=，则点P到平面ACE的距离为 .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，

t a n t a n.

A B

=+

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值.

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知,

PA ABCD

⊥平面且四

边形ABCD为直角梯形，

,2,1,,

2

ABC BAD PA AD AB BC M E

π

∠=∠=====点分别为PA，PD的中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长.

19.（本小题满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微

信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对“使用

微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在

[15，65]之间），现从参与者中随机选出200人，经统计这200人

中使用微信交流的占

4

5

.将这些使用微信交流的人按年龄分组：第1

组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，

第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人参加网络春晚活动，

求至少有1人年龄在[35，45)的概率；

（2）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人

中不使用微信交流的的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为“使用微信交流”与年龄有关？

附：

参考公式：2

()

,.

()()()()

n ad bc

K n a b c d

a b c d a c b d

-

==+++

++++

其中

20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的焦

距为2，F为椭圆C的右焦点，A（－a,0），|| 3.

AF=

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为原点，P为椭圆C上一点，AP的中点为M，直线OM与直线4

x=

交于点D，过O且平行于AP的直线与直线4

x=交于点E.求证：

.

ODF OEF

∠=∠

21.（本小题满分12分）已知函数2

()22.x

f x x x xe

=+-

（1）求函数()

f x的极值.

（2）当0,

x>时证明23

()22ln.

f x x x x e x

-++<-

: