线性方程组的表示消元法

15
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
01
行阶梯形矩阵特点：
（1）可划出一
条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面
的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非
j=1
3
c1
n维向量X 0
c2
M
若满足AX
0
,
则称X
是
0
cn
线性方程组AX=的一个解，方程组解的全
体构成的集合称为解集合.解集合相等的方
程组称为同解方程组.常数项有非零项的线
性方程组称为非齐次线性方程组，常数项
全为零的称为齐次线性方程组.
4
线性方程组研究的主要问题为： （1）线性方程组是否有解？ （2）线性方程组如有解，有多少个解?
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
8
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
零元．
16
回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列 初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是 若当阶梯形)的过程.
现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan 阶梯形的方法求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x1 c 4
1 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
即x
c
1 10
3 0 3
(2)
其中c为任意常数.
9
从上面的例子我们可以看出，用消元法解线 性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下 三种变换：
(1)互换两个方程的位置； (2)用一非零数c乘某一方程； (3)把其中一个方程的k倍加到另一个方程上 我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
7
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
equations),aij(i 1, 2,L , s; j 1, 2,L , n)称为
系数，bi(i 1, 2,L , s)称为常数项. 1
让
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L
a1n
a2n
，X
M
x1
x2
M
,
as1 as2 L asn
xn
A% ( A, ).
（3）线性方程组如有解，如何求解？ 如解有无穷多，如何表示所有的解？
5
消元法解线性方程组
用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
3x1 6x2 9 x3 7 x4 9,
1
2
3 2
4
(1)
6
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
b1
b2
,
M
bn
A称为线性方程组的系数矩阵，A%称为 增广矩阵.
2
借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为
矩阵形式：
AX .
对系数矩阵A进行列分块A=(1 ,2 ,L ,n ),
则可得到线性方程组的向量形式：
x11 x22 L xnn .
线性方程也可以表示为求和形式：
n
aij x j bi , (i 1, 2,L , s).
10
这三种初等变换只改变了线性方程组 的系数和常数，而未知量保持不变。因此， 如果将未知量与系数和常数项分离开来， 实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵 作了三种初等行变换。因此解线性方程组 时只需对由系数和常数项所构成的增广矩 阵作初等行变换。
11
问题： （1）为什么经过一系列的初等行变换以后得 到的新的方程组的解为原方程组的解。我们 需要给出它的理论依据。 (2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么 条件下方程组无解？
12
消元法解线性方程组的理论根据：
对线性方程组AX 做有限多次初 等变化换化为线性方程组CX (这个过程相当于对A%＝( A, )作有 限多次初等行变换，变为C% (C , )), 则CX 与AX 同解.
13
这是因为存在可逆矩阵P，使得
A% C% PA% (PA, P )，
得C PA， PB。
如果X0是AX 的解，则AX0 ， 用P左乘等式两端得到CX0 ； 反之，若X0满足CX0 ，
用P 1左乘等式两端得AX0 ，
故两方程组同解。
14
阶梯矩阵
设A (aij )mn , 矩阵A的每一行的第一个非零元
定义称为该行的首元. 若A的所有元素全为零的行
(如果存在这样的零行)都位于A最下端，而不
全为零的行依次的首元所在的列标是严格增
加的，则称A是阶梯形矩阵（ladder matrix).
若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零
的阶梯形矩阵称为若当（Jordan)阶梯形.
例 0 1 0 第一，二，三行的首元所
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
,
在的列依次为2，1，3， 不是严格增的，故不是阶
0 0 1 梯行.
§1 线性方程组的表示、消元法 定义1
含有n个未知变量x1, x2 ,L , xn的一次方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aL21Lx1L
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
称为n元线性方程组(system of linear