常用逻辑用语(命题及其关系,概念和例子)

否命题:同位角不相等,两直线不平行. （真命题） 例2.原命题:若f (x)是正弦函数,则f (x) 是周期函数
（真命题） 否命题:若f (x)不是正弦函数,则f (x)不是周期函数
（假命题）
原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
观察命题(1)与(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
逆否命题:两条直线不平行,同位角不相等. （真命题） 例2.原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 （假命题）
逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。 （假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题. 原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非
Ｐ”。
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p
指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集.
真
(2)若整数a是素数,则a是奇数. 假
(3)对于任意的实数a,都有
真
(a42)+若1平>0面. 上两条直线不相交,则这两条直线平行.
(5)x2+x>
含有变量，不是命题
真
0(6. )91是素数. 假
(7)指数函数是增函数吗? 不涉及真假，不是命题
(8) (2)2 2 假
1.1 命题及其关系 1.1 .1 命题的概念和例子
思考:下面的语句的表述形式有什么特点？你 能判断它们的真假吗？ (1)若直线a∥b，则a和b无公共点. (2)２＋４＝７. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)若x2=1，则x=1.
(5)两个全等三角形的面积相等. (６)３能被２整除.
否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
四种命题之间的 关系
原
原 命
原命题
互逆 逆命题
命 题
题 若p则q
若q则p
的
与
逆
逆
否互
命
互
题
命否
题
否
与 否
同 真
否命题
逆否命题
命 题
假 。
若﹁p则﹁q
互逆
若﹁q则﹁p
同 真
假。
思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命 题的真假有什么关系呢？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有 下面四种情况:
p
q
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
┐q
┐p
互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是 第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个 命题叫做互为逆否命题。
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____
探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定 是真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行. （真命题）
逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数. （假）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
观察命题(1)与(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 3.
若 若ff((xx))是 不正 是弦 正函 弦数函，数p 则，则f(xf)(是x)周不期是函周期数函；q数.
┐p
┐q
常把条件p的否定和结论q的否定分别记作"┐p","┐q",
2. 命题的结构：从构成来看，所有的命题都具由条件
和结论两部分构成 “若整数a是素数，则a是奇数。”
若p，则q
p
q
记做: p q
(1)命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论. (2)“若p则q”,可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等. (3)p和q可以是命题也可以不是命题. (4)“若p则q”形式的优点：条件与结论容易辨别.
例 将“垂直于同一条直线的两个平面平行” 写成 “若p则q”的形式： _______
(5)条件结论不明显时,应添补被省略的词句。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数； (2)菱形的对角线互相垂直且平分。 解：(1) 条件p：整数a能被2整除，
结论q：整数a 是偶数。
(2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
3. 命题的真假： 真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出 命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题． 假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得 出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
∴x≥3 或 x≤－1,∴ A ,1U3,
由 x( 4 x ≤ ) 得0 x≤0 或 x≥4
∵命题 Q 假，∴ B={x|x≤0 或 x≥4}.
则{x｜x≥3 或 x≤－1}∩{x｜x≤0 或 x≥4} ={x｜x≤－1 或 x≥4}；
∴A∩B=（－∞,－1]∪[4，+∞）
例如： ① 这是一颗大树
② x<2 ③ x是非常小的数 ④ 这是一个老人
⑤ x－5＝3 ⑥ (x＋y)(x－y)＝0
一、命题：
1. 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表 达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句.
下列语句是不是命题？
(1) 今天天气如何？ (3) 4>3。
真
练习：课本P3
(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线相 等。(真)
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称。(真)
(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。(假)
二、四种命题：
思考：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的 条件和结论之间分别有什么关系？
读作“非Ｐ”Βιβλιοθήκη Baidu非q”。
互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命
题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命
题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫 做原命题的否命题。
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是____
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是 真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行. （真命题）
(9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. 假
(10)x>15 不能判断其真假，不是命题
练习 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。
(1)北京是中华人民共和国的首都 (2)雪是黑的 (3)1>2
(4) 5{1,2,4}
(5)在欧氏几何中，三角开的内角的和是180度 (6)你到哪里去？ 不是命题 不涉及真假 (7)12>5 (8)3是12的约数 (9)0.5是整数 (10)3是12的约数吗？不是命题 不涉及真假 (11)x>5 不是命题 不能判断其真假
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
真
假
一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个
小于 大于或等于 至多有n个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
成立 不成立
不成立
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个 存在某x， 成立
所有的 某些
三、作业：课本P8. 习题2：1，2，3
提高练习:
已知命题 P：lg(x 2 2x 2) ≥0 的解集是 A；命题 Q：x(4 x) ≤ 0 的解集不是 B.若 P 是真命题，Q 是假命题，求 A∩B.
解：由 lg(x 2 －2x－2)≥0,得 x 2 －2x－2≥1
原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是
探__究_1_：_ 如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是
真命题吗？ 例1.等边三角形的三个内角相等.
（真）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真）
例2.若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数. （真）
怎样判断命题的真假？
(1)判定一个命题是真命题，要经过证明． (2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例．
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真
假。
(1)负数的平方是正数.
真
(2)偶函数的图像关于y轴对称.
真
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行 假
(4)面积相等的两个三角形全等.
假
(5)对顶角相等.
(2) -2不是整数。 (4) x>4。
(1)不是（疑问句） (3)是（肯定陈述句）
(2)是（否定陈述句） (4)不是（开语句）
注意：(1)命题定义的核心是判断，判断结果可真可假， 但真假必居其一。
(2)有些含有变量(又未给定变量的取值)的语句，无法 确定真假。
练习 判断下面的语句是否为命题?若是命题，
我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判 断为假的语句称为假命题．
命题是一个完整而有意义的语句，它对某一事物有 所判定，因而它或者是真的，或者是假的，二者必 居其一，但决不可能既是真的又是假的。
命题 是可以判断其真假的语句
无法确定语句真假的，含有变量的语句称为开语句。