圆锥曲线求点的轨迹方程

求点的轨迹问题

一、基础知识：

1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法

（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程

（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：

① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r

② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹

确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c

③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹

注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支

确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c

④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹

确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变

量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()

x f k y g k =???=??，

即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。 二、典型例题：

例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A

的距离之比为3

，则动点P 的轨迹方程是（ ）

A. 22132x y +=

B. 22

132

x y -=

C.

()2

2

413

6

x y --= D. 22123x y += 思路：设(),P x y ，则可直接利用已知条件列出关于,x y 的等式，化简即可

解：设(),P x y

3

P l

d PA

-∴

==

33x ∴-= ()()2

2

2331x x y ?-=-+

2221626x x y ?--=-

()()

2

2

2

2

424613

6

x y x y -?--=?

-= 答案：C

例2：已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件

2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________

思路：通过作图可得2MBA MAB ∠=∠等价的条件为直线,MA MB 的斜率的关系，设MAB α∠=，则2MBA α∠=，则可通过,MA MB 的斜率关系得到动点M 的方程

解：若M 在x 轴上方，则tan ,tan 2MA MB k k αα==-

2

21MA

MB MA

k k k ∴=-

- ,12

MA MB y y

k k x x =

=

+- 代入可得： 22122211y

y x x y x πα?

??+=-≠ ?-?

???- ?+??

，化简可得： 2

2

33x y -=即2

2

13

y x -=

若M 在x 轴下方，则tan ,tan 2MA MB k k αα=-=，同理可得：2

2

13

y x -=

当22

π

α=时，即MAB 为等腰直角三角形，()2,3M 或()2,3M -满足上述方

程

所以当x 在一四象限时，轨迹方程为()2

2

113

y x x -=≥

当M 在线段AB 上时，同样满足20MBA MAB ∠=∠=，所以线段AB 的方程

()012y x =-<<也为M 的轨迹方程

综上所述：M 的轨迹方程为()2

2

113

y x x -=≥或()012y x =-<<

答案：()2

2

113

y x x -=≥或()012y x =-<<

例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段

PF 中点M 的轨迹方程是（ ）

A. 212x y =-

B. 21

216

x y =-

C. 222x y =-

D. 221x y =-

思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有

0000221212

x x x x y y y y ?=?=?????

+=-??=??，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：2004x y =，将00

221x x y y =??=-?代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：

()

()2

2242121x y x y =-?=-

答案：D

例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________

思路：考虑设()()00,,,M x y P x y ，由抛物线24y x =可得：()1,0F ，且2004y x =，故考虑利用向量关系得到,x y 与00,x y 的关系，从而利用代入法将00,x y 用

,x y 进行表示，代入到2

04y x =即可 解：由抛物线24y x =可得：()1,0F

设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-

2FP FM = ()000021

12122x x x x y y y y

=--=-??∴??

?==?? ① P 在24y x =上 2

04y x ∴=，将①代入可得： ()

()2

2421y x =-，即221y x =-

答案：221y x =-

例5：在平面直角坐标系xOy 中，直线()44x t t =-<<与椭圆22

1169

x y +=交

于两点()()1122,,,P t y P t y ，且120,0y y ><，12,A A 分别为椭圆的左，右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在曲线方程为________

思路：由椭圆可得：()()124,0,4,0A A -，从而可确定线12A P 与21A P 的方程。

()()211221:4,:444

y y

A P y x A P y x t t =

+=-+-，若联立方程解,x y ，则形式较为复杂不易化简，观察两条直线方程的特点，可发现若两边相乘，有平方差的特点，且x t =与椭圆相交，则12,P P 关于x 轴对称，有21y y =-。所

以两方程左右两边分别相乘可得：()2

2

212416

y y x t =---，再利用()11,P t y 满足椭圆方程，消去等式中的1,t y 即可

解：由椭圆可知：()()124,0,4,0A A -，设交点坐标(),x y 。

x t =与椭圆相交于12,P P ∴12,P P 关于x 轴对称

21y y ∴=-

考虑直线12A P 与21A P 的方程：由()()1214,0,,A P t y --可得：12

1

4

A P y k t =-

+

()1

12:44

y A P y x t -∴=

++ ① 同理可得：()121:44y

A P y x t =-- ②

①?②可得：()2

2

2121616

y y x t =--- ③ 由()11

,P t y 在椭圆上可得：()2222

11911616916t y y t +=?=-，代入③可得： ()22

2

2916161616

t y x t -=-?--，整理后可得：

22

1169

x y -= 答案：22

1169

x y -=

小炼有话说：本题消元的方法比较特殊，是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点，从而两式相乘，再进行代入消元。

例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()2

2:34C x y -+= 外切，则动圆圆心

P 的轨迹方程是___________

思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与

()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否

为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有

PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以

2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，

则1,3a c ==，解得2

2

2

8b c a =-=，所以轨迹方程为()2

2

118

y x x -=≤-

答案：()2

2

118

y x x -=≤-

小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。要注意本题中

PC PA >，所以轨迹为双曲线的一支。

例7：是圆()2

2125x y ++=的圆心为C ，()1,0A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）

A. 224412125x y -=

B. 224412125x y +=

C. 22

4412521x y -= D. 224412521

x y += 思路：可得()1,0C -，发现刚好与()1,0A 均在x 轴上且关于原点对称，从

而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得：由

AQ 的中垂线可得

AM QM

=，从而考虑

5CM AM CM QM CQ r +=+===，即M 到,A C 的距离

和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得5

25,12

a a c =?==，则

2

2

2

21

4

b a

c =-=

，所以椭圆方程为：224412521x y += 答案：C

例8：已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且

OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨

迹方程为（ ）

A. 222x y +=

B. ()2

211x y -+=

C. ()2211x y +-=

D. ()2

214x y -+=

思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得2m k =-，从而可得直线过定点()2,0，结合图像性质可得OM AB ⊥，则M 的轨迹为以OC 为直径的圆，轨迹方程为()2

211x y -+=

解：OA OB OA OB +=-，且,OA OB OA OB +-为,OA OB 为邻边的平行四边形对角线

∴ 该四边形为矩形，即OA OB ⊥

设()()1122,,,A x y B x y ，12120OA OB x x y y ∴?=+=

联立方程：22y kx m y x

=+??=?，消去x 可得：2

22202ky y m ky y m =+?-+= 122m

y y k

∴=

222121224y y m x x k == 2220m m k k ∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0C OM AB ⊥即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆

则该圆的圆心为()1,0，半径1r =

∴轨迹方程为()2

211x y -+=

答案：B

例9：过点()6,0M -作圆22:6490C x y x y +--+=的割线，交圆C 于,A B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得

112

MA MB MQ

+=，求点Q 的轨迹 解：设点()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y ，直线AB 的斜率为k

)))126,6,6MA x MB x MQ x ∴=+=+=+

由

112MA MB MQ +=

+=

()()()

12112

666x x x ∴

+=+++ ()()()

1212121226366x x x x x x x ++?

=++++ ①，联立方程： ()2

2

66490

y k x x y x y ?=+??+--+=??，消去x 可得： ()()()2

22212623312830k

x k k x k k ++--+-+=

()()2212122

2

262331283,1

1

k k k k x x x x k k ---+∴+=-

=

++代入①可得：

()

()()()

2222

22262312

216312832623636

11

k k k x k k k k k k ---

++=+-+---?+++ 即

()

4182816k x +=+，而6MQ y

k k x ==+代入可得： ()

418

26816y

x x ++=+化简可得：92270x y +-=，因为Q 在圆内

所以点Q 的轨迹是直线92270x y +-=被圆截得的弦

例10：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>

（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆

（2）当1

2

λ=时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12

x l y +=，P 是

l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线

C 于

点R ，又点Q 在OP 上且满足2

OQ OP OR ?=，求点Q 的轨迹方程 解：（1）思路：N 自身有轨迹方程，且条件中所求的点M 与点N 存在联系（DM DN λ=），所以考虑利用代入法求轨迹方程。设

()()00,,,M x y N x y ，然后利用向量关系找到M 的坐标与N 坐标的联系001x x y y λ=??

?=??

，从而代入到N 所在的方程便得到关于,x y 的等式，即M 的轨迹方程

设()()00,,,M x y N x y

()()00,,0,DM y DN y ∴==

DM DN λ= 0y y λ∴=

DN x ⊥轴 0x x ∴= 00001x x

x x y y y y λλ=?=??

∴???==???

①

由N 在224x y +=上可知：22004x y +=，代入①可得：

2

2

24y x λ+=即22

2144x y λ

+=

∴当01λ<<时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆

（2）思路：由（1）可知曲线方程为2

214

x y +=，从而题目中的点,P R 均

有方程。设所求点(),Q x y ，则可考虑寻找Q 的坐标与()()1122,,,P x y R x y 之间的联系。本题,,,O P Q R 共线是关键点，因为在这条线上的点，其与O 点距离的比值即为横纵坐标的比值。所以先从,P Q 入手，题目中没有

,OP OQ 的比例，则不妨设

OP t OQ

=，进而得到(),Q x y 与()11,P x y 的联系：

11

x tx y ty =??

=?，再寻找,Q R 的联系，结合条件2

OQ OP OR ?=可知2

22

22

2

22OP OR

x y t OQ x y OQ

====，从而用t 即可表示出(),Q x y 与()22,R x y 的联系（而不用再设字母）：22

222

2x tx

y ty

?=??=??。所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t 即可得到Q 的轨迹方程

解：由（1）可得曲线方程为：2

214

x y +=

设()()()1122,,,,,P x y R x y Q x y 2

OQ OP OR ?= 设

OP t OQ

= ∴由线段比例可得：

11

OP x y t OQ

x y

==

= 1

1x tx

y ty

=?∴?=? 由2

OQ OP OR ?=同理可得：2

2222

2

22OP OR

x y t OQ x y OQ

==== 22

222

2x tx y ty

?=?∴?=?? ,P R 分别在直线与椭圆上 2

2

1212

1,124

x x y y ∴+=+=，代入22

122212,x tx x tx

y ty y ty ?==????==???

可得： 222

212

241

4

tx

ty tx tx ty ty tx ty ?+=???+=+??+=??，化简可得：Q 的轨迹方程为： 222440x x y y -+-=