北师大版数学七年级下册第四章全等三角形证明题归类

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北师大版七年级数学下第四章三角形判定三角形全等的方法归纳习题

七下数学第四章-判定三角形全等的基本方法归纳类型1：已知两边相等（选择的判定方法-SAS或SSS）1. 如图，已知AC=BD, 要使ΔABC≅ΔDCB, 则只需添加一个适合的条件是_________（填一个即可）2. 已知，AB=AD, AC=AE, 请添加一个条件，_______，使ΔABC≅ΔADE,并说明理由3. 已知，如图，∠BAC=∠DAM, AB=AN, AD=AM, 求证：∠B=∠ANM4. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, AD=AE, 试说明：BE=CD5. 如图，AB=AE, BD=EC, ∠BCA=80º, 求∠BDE的度数类型2：已知一边，一角相等（选择的判定方法-AAS，SAS,或ASA）6. 如图，AD和CB相交于点E, BE=DE, 请添加一个条件，使ΔABE≅ΔCDE, 你所添加的条件是___________7. 如图，点C, F, 在线段BE上，BF=EC, ∠1=∠2, 请你添加一个条件，使ΔABC≅ΔDEF, 并加以证明（不再添加辅助线和字母）8. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90º, 且BC=CE, 请完整说明ΔABC与ΔDEC全等的理由9. 如图，已知AD=AE, ∠ACD=∠ABE, 求证：BD=CE类型3. 已知两角对应相等（选择判定方法ASA或AAS）10. 如图，ΔABC中，AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D, E, AD, CE交于点H, 请你添加一个适当的条件：_________________________，使ΔAEH≅ΔCEB11. 如图，已知CE⊥AD于E, BF⊥AD于F, 你能说明ΔBDF和ΔCDE全等吗？若能，请你说明理由；若不能，在不用添加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是________________，写出证明过程12. 如图，点A, C, D, B四点共线，且AC=BD, ∠A=∠B, ∠ADE=∠BCF, 求证：DE=CF13. 如图，已知∠ABC=∠DCB, BD, CA分别是∠ABC, ∠DCB 的平分线，求证：AB=DC类型4. 两次应用全等14. 如图，在ΔABC与ΔDCB中，AC与BD交于点E, 且∠BAC=∠CDB, ∠ACB=∠DBC, 分别延长BA与CD交于点F,求证：BF=CF类型5. 全等基本图形归纳（平移，旋转，翻折）15. 如图，ΔABC中，D, E, 分别为AB, AC 的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F, 求证：AB=2CF16. 如图，在ΔABC中，AD⊥BC于D, 若BD=AD, FD=CD, 求证（1）∠FBD=∠CAD(2) BE⊥AC17. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O, AB∥CD, O是BD的中点（1）说明：ΔABO≅ΔCDO(2) 若BC=AC=4, BD=6, 求ΔBOC的周长18. 如图，AD⊥AB于点A, BE⊥AB于点B, 点C在AB上，且CD⊥CE., CD=CE, 试说明：AD=CB19. 如图，已知点B, E, C, F在一条直线上，AB=DF, AC=DE, ∠A=∠D(1) 说明：AC∥DE(2) 若BF=13, EC=5, 求BC的长20. 如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN, 图中有全等三角形吗？，若有，请找出并证明21.如图（1）中，在ΔABC中，CD平分∠ACB, ∠A=2∠B, 试判断BC, AC, 和AD之间的数量关系小明发现，将ΔACD沿CD翻折，使点A落在BC边上的A.处，展开后连接D A., 则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）根据小明的发现，写出BC, AC, 和AD之间的数量关系并说明理由。

最新北师大版数学七年级下册第四章：全等三角形证明题归类

全等三角形证明题归类一、公共边、公共角、对顶角的运用1、已知：如图，∠A ＝∠B ，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，BD 、CE 交于O 若AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．3、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB 。

求证：AE=CE 。

DCBA3 4D C AB EO二、等式性质的运用4、已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：BD＝CE．5、已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

6、将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，求证：（1）DC＝BE，（2）DC⊥BE。

三、“同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等”的运用7、已知：如图，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.8、已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE经过点A，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足为D、E．求证：BD＝AE．9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：BE+DE＝AD．ECBACED四、添加辅助线10、已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．11、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．五、证两次全等12、已知：如图，在△ABC和△DBC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P是BC上任意一点．求证：PA＝PD．湘潭县石潭镇中心学校电子教案单元Unit 2课题Some stories are more interesting课时共3课时，本堂为第1课时；总第7课时。

目标任务1学习本课新单词a piece of, meat ,cross, eat, happily, its, wood, drop, lose, better 2能掌握并用句型“A is /are more …than B”，对两事物进行比较。

完整word版北师大版七年级下册全等三角形证明经典题.docx

让优秀成为一种习惯七年级下册《全等三角形》证明专题练习1、已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADAB CD2、已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB2ADC B3、已知：BC=DE ，∠ B=∠ E，∠ C=∠D ，F 是 CD 中点，证12A21B EC F D4、已知：∠ 1=∠ 2，CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB5、已知： AD 平分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CACB D6、已知： AC 平分∠ BAD ， CE⊥AB ，∠ B+∠ D=180 °，求证： AE=AD+BE7、已知： AB=6 ， AC=2 ，D 是 BC 中线，求AD 的取值范围。

AB CD8. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥ DC， BE 、 CE 分别平分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD 上。

求证： BC=AB+DC 。

9、已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE ， AF=CD ， EF=BC ，求证：∠ F=∠ CE DCFA B10、已知： AB=CD ，∠ A= ∠ D，求证：∠ B= ∠ CA DB C11、已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1=∠2， BE⊥ AE ，求证： AC-AB=2BE12．如图，在△ABC 中， BD =DC ，∠ 1=∠ 2，求证： AD⊥BC ．13．如图， OM 平分∠ POQ ，MA ⊥ OP,MB⊥ OQ ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N．求证：∠ OAB=∠OBA14．如图，已知 AD∥ BC，∠ PAB 的平分线与∠ CBA 的平分线相交于E， CE 的连线交 AP 于 D．求证： AD +BC=AB．PCEDA B 15．如图，△ ABC 中， AD 是∠ CAB 的平分线，且∠C=2 ∠ B,求证 :AB=AC+CDAC16．如图①， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且 DE⊥AC 于 E，BF⊥ AC 于 F，若 AB=CD ，AF=CE ，BD 交 AC 于点 M．（1）求证： MB=MD ， ME =MF（2）当 E、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．17．已知：如图， DC∥ AB，且 DC =AE， E 为 AB 的中点，（ 1）求证：△ AED≌△ EBC．（ 2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE O DB C18．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90 度， AB=AC， BD 是∠ ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于F．F 求证： BD =2CE．AEDB C19、如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠ C。

北师大版数学七年级下册第四章：全等三角形证明题归类

求证：AE=CE 。

三、“同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等”的运用7、已知：如图，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2。

求证： △ABD ≌△ACE.8、已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线DE 经过点A ，BD ⊥DE ，CE ⊥DE ，垂足为D 、E ．求证：BD ＝AE ．9、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：BE+DE ＝AD ．ECBACED四、添加辅助线10、已知：如图3，AB ∥CD ，AD ∥BC ．求证：AB ＝CD ，AD ＝BC ．11、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．五、证两次全等12、已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P 是BC 上任意一点．求证：PA ＝PD ．DCBA E DBA。

北师大版七年级下数学第四章4.2-图形全等及三角形全等必做题(扫描版含手写图片答案)

七下数学第四章4.2-图形全等及三角形全等必做题做基础●图形的全等1. 对于两个图形，给出下列说法①两个图形的周长相等②两个图形面积相等③两个图形的周长和面积都相等④两个图形的形状相同，大小也相等其中能得到这两个图形全等的说法共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图所示的两个三角形能完全重合，则下列说法正确的是（）A. ΔABE≅ΔAFBB. ΔABE≅ΔABFC. ΔABE≅ΔFBAD. ΔABE≅ΔFAB2题3题4题=________3. 已知图中的两个三角形全等，则∠14. 如图，已知ΔABC≅ΔADC, ∠B=30º, ∠BAD=46º, 则∠ACD=________5. 已知ΔABC≅ΔDEF, BC=6cm, ΔABC的面积是18cm2, 则EF边上的高是______cm6. 如图，已知ΔABE≅ΔACD, 点D在AB上，点E在AC上，∠C=20º, AB=12, AD=4, G为AB延长线上一点，则∠EBG=_______º, CE=_____6题7题8题7. 如图，ΔABC≅ΔAEF, AB=AE, ∠B=∠E,则对于结论①AC=AF ②∠FAB=∠EAB ③EF=BC ④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，已知ΔABC≅ΔDEF, 点B, E, C, F在同一条直线上，若BC=5, BE=2, 则BF=______=30º，则∠B的度数是______9. 如图，已知RtΔABC≅RtΔDEC, 连AD, 若∠19题10题10. 如图，ΔABC≅ΔADE, ∠DAC=60º, ∠BAE=100º, BC, DE相交于点F, BC, AD相交于点G, 则∠DFB=_____●三角形全等条件—SSS11. 下列说法正确的是（）A. 有一边对应相等的两个等边三角形全等B. 有两边对应相等的两个等腰三角形全等C. 有一边对应相等的两个等腰三角形全等D. 有两边对应相等的两个锐角三角形全等12. 如图，AB=AD, BE=DE, 应用SSS可判断Δ_________≅Δ_________13. 如果ΔABC的三边长分别是3，5，7，ΔDEF的三边长分别为3，3x-2, 2x-1,若这两个三角形全等，则x=___14. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD, AD=CB, 判断∠A与∠C关系，并说明理由15. 如图，已知AB=DC, AC=DB, 试说明∠A=∠D三角形全等的条件—ASA, AAS16. 如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店配一块完全一致的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去16题17. 根据图中所给的条件，能够判定三角形全等的是（）A. (1)和（2）B. (2)和（4）C. (1)和（3）D. (3)和（4）18. 如图，已知∠ABC=∠DCB, 下列所给条件不能证明ΔABC≅ΔDCB的是（）A. ∠A=∠DB. AB=DC, AC=BDC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD18题19题20题19. 如图，∠ACB=90º, AC=BC, BE⊥CE于点E, AD⊥CE于点D, AD=2cm, BE=0.5cm, 则DC=20. 如图，AB=AD, ∠1=∠2, ∠B=∠ADE, 则利用∠1=∠2，可得∠_______=∠_______，依据__________定理，得到ΔABC≅ΔADE21. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90º, CD⊥AB于点D, 点E在AC上，CE=BC, 过点E作AC垂线交CD的延长线于点F, 试说明AB=FC三角形全等的条件—SAS22. 如图，∠1=∠2，下列条件中不能使ΔABD≅ΔACD的是（）A. AB=ACB. ∠B=∠CC. ∠ADB=∠ADCD. DB=DC23. 如图，AB, CD相交于点O, CO=BO, 观察图形，图中已具备的另一个相等的条件是___________，联想到"SAS",只需补充条件____________，则有ΔAOC≅Δ________24. 如图，已知AD=AE, 请你添加一个条件，使得ΔADC≅ΔAEB, 你添加的具体条件是_________（不添加任何字母和辅助线）24题25题25. 如图，在ΔABC中，∠A=50º, ∠B=∠C, BP=CE, BD=CP, 则∠DPE=_______26. 如图，已知AD是ΔABC中线，在AD及其延长线上截取DE=DF, 连接CE, BF, 试说明：BF∥CE27. 如图，E, F是BD上两点，AB=CD, BF=DE, AE=CF, 试说明：AC与BD互相平分做易错1. 已知ΔABC和ΔDEF全等，AB与DE是对应边，AB=2, BC=4.若ΔDEF的周长为奇数，则DF=______2. 已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β，满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是A. 两条边长分别为4，5，它们的夹角为βB. 两个角是β，它们的夹边为4C. 三条边长分别是4，5, 5D. 两条边长是5，一个角是β3. 如图，已知ΔABC中，AB=AC, D, E分别是边AB, AC中点，且CD=BE,则ΔADC与ΔAEB全等吗？小明是这样分析的：因为AC=AB, CD=BE, ∠CAD=∠BAE, 所以ΔADC≅ΔAEB(SSA),他的思路正确吗？如不正确，请写出正确的解答过程4. 如图，AB=AC, AE=AD, 要使ΔACD≅ΔABE, 需要补充的一个条件是（）A. ∠B=∠CB. ∠D=∠EC. ∠BAC=∠EADD. ∠B=∠E 做能力1. 如图，已知方格纸是由4个相同的正方形组成，则∠1+∠2=________2. 已知ΔABC≅ΔA,B,C,, ∠C=∠C,=90º, AB=5, BC=4, AC=3, 则ΔA,B,C,的周长为______，面积为______，斜边上的高为_______3. 已知ΔABC≅ΔEFG, 且∠B=68º, ∠G-∠E=56º, 求∠A度数4. 如图，A, D, E三点在同一直线上，且ΔBAD≅ΔACE（1）试说明：BD=DE+CE(2) ΔABD满足什么条件时，BD∥CE5. 如图，ΔABE和ΔADC是ΔABC分别沿着AB, AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3=28:5:3, 求∠α度数5题6题7题6. 如图，B, C, E三点在同一直线上，且AB=AD, AC=AE, BC=DE, 若∠1+∠2+∠3=94º，则∠3的度数为_____7. 如图，点D, E分别在AB, AC上，BE与CD相交于点o, 已知∠B=∠C, 现添加下面哪一个条件后，仍不能判定ΔABE≅ΔACDA. AD=AEB. AB=ACC. BE=CDD. ∠AEB=∠ADC8. 如图，在面积为16的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90º, AD=CD, DP⊥AB于点P, 则DP的长是______9. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC, CE⊥AB, ΔBDC为等腰直角三角形，∠BDC=90º, BD=CD, CE与BD交于点F, 连接AF, M为BC中点，连DM交CE于点N, 试说明：ΔABD≅ΔNCD10. 已知如图，在ΔMPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ, 求证：HN=PM11. 如图，∠ACB=90º, AC=BC, BE⊥CE于E, AD⊥CE于D, AD=5, DE=3, 求BE的长12. 如图，有一张三角形纸片ABC, 已知∠B=∠C=xº, 按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）12题13题13. 在如图所示的边长均为1的小正方形网格中，点A, B, C, D均落在格点（小正方形的顶点）上，则∠BAC+∠ACD=_____14. 如图，在ΔABC中，AD, CE分别是边BC, AB上的高，AD与CE交于点F, 连接BF, 延长AD到G, 使AG=BC, 连BG, 若CF=AB(1)试判断BG与FB间数量关系，说明理由（2）求∠FBG的度数15. 如图，在ΔABC中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于点F, 交AC的平行线BG于点G, DE⊥DF, 交AB 于点E, 连EG, EF(1)试说明：BG=CF(2)判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由16. 如图，在等边ΔABC中，BD=CE, AD与BE相交于点F, 则∠AFE=______17. 如图所示，在ΔABC中，∠B=∠C=50º, BD=CF, BE=CD, 则∠EDF的度数是______思考题1. 如图，在长方形ABCD中，AB=4, AD=6, 延长BC到点E, 使CE=2, 连接DE, 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA运动，设点P的运动时间为t秒，则当t=__________时，ΔABP和ΔDCE全等2.ΔABC中，AB=5, AC=3, AD是ΔABC的中线，设AD长为m, 则m的取值范围是_____________3. 如图，在ΔABC中，∠A=60º, BD, CE分别平分∠ABC和∠ACB, BD, CE交于点O, 试判断BE, CD, BC之间的数量关系，说明理由4. 小明家有一个由八条钢管连接而成的钢架，ABCDEFGH(如图)，为了使这一钢架稳固，他计划在钢架内部用五根钢管连接使它不变形，请你帮小明画出三种不同的连接方法。

北师大版七年级数学下册三角形全等的五种常见应用

(1)试说明：△ABE≌△DBE；解：因为 BE 平分∠ABC，所以∠ABE＝∠DBE. AB＝DB，在△ABE 和△DBE 中，∠ABE＝∠DBE， BE＝BE，所以△ABE≌△DBE(SAS)．
7．【2019·宜昌】如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，AB
＝DB，BE 平分∠ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE.
因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G，又 BE＝CE，∠AEB＝∠GEC，所以△AEB≌△GEC(AAS)．所以 AB＝GC. 因为 AE 是∠BAF 的平分线，所以∠BAG＝∠FAG. 因为∠BAG＝∠G，所以∠FAG＝∠G.所以 AF＝GF. 因为 CG＝CF＋GF，所以 AB＝CF＋AF.
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED 相等的角（∠CDE 除外）；
解：∠DAG、∠AFB 与∠AED 相等．
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(2)求∠APN 的度数．解：由(1)可知△ABM≌△BCN，所以∠BAM＝∠CBN. 因为∠APN＝∠BAM＋∠ABP，所以∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝（5－25）×180°＝108°.
(2)选择图中与∠AED 相等的任意一个角（∠CDE 除外）加以证明．解：(答案不唯一)选择∠DAG＝∠AED. 证明如下：
因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠DAB＝∠B＝90°，DA＝AB.
DA＝AB，在△DAE 和△ABF 中，∠DAB＝∠B，
AE＝BF. 所以△DAE≌△ABF(SAS)，所以∠ADE＝∠BAF.

北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案

4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。①AB=AC②BD=CD③BE=CF
5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
最新七年级下册三角形全等的证明
1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE
2、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。
3、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
25、（1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能否拼出平行四边形、梯形或三角形画图解释你的判断.
（2）如图（2）E为正方形ABCD边BC的中点，F为DC的中点，BF与AE有何关系请解释你的结论。
26、如图四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．
① ,② ,③ ，④
27、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE= BF(3)CE与BC的大小关系如何。
28、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：
7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED。
8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE 已知：如图，△ABC和△A＇B＇C＇中，∠BAC=∠B＇A＇C＇，∠B=∠B＇，AD、A＇D＇分别是∠BAC、∠B＇A＇C＇的平分线，且AD=A＇D＇。求证：△ABC≌△A’B’C’。

北师大版本七下数学第四章全等三角形证明题方法全解

北师大版本七下数学第四章全等三角形证明题方法全解全等三角形是七年级数学的重要内容之一，在图形的证明题中有着极其广泛的应用。

然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。

借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。

现略举几例加以说明。

一. 证线段垂直例1. 已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：图1分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。

则为等腰三角形。

再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。

再由，，BD＝BD，得到。

由全等三角形的对应角相等，得到，即。

二. 证线段的倍分例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C 作BD的垂线交BD的延长线于E。

求证：BD＝2CE图2分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。

由BE平分，，得到为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。

再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。

三. 证角相等例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：图3分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。

延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。

由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。

而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。

四. 证角不等例4. 已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。

求证：图4分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。

延长AD至E，使DE＝AD，连BE。

由DE＝CD，，BD＝CD，得到。

由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以五. 证线段相等例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。

北师大版数学七年级下第四章4.3探索三角形全等的条件(很全面)(无答案).docx

鑫达捷初中数学试卷桑水出品北师大七年级下数学第四章4.3探索三角形全等的条件（很全面）（无答案）注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：① ② ③例1 已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OCBA例2 学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上，且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM =∠．变式1 把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．ACNQMB鑫达捷ACD EPQ例3 如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，求证：DE=BFF ED CB A变式2 长方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，DEF △为等腰直角三角形，90102DEF AD CD AE ∠=+==°，，，求AD 的长．１．三角形全等的判定一（SSS ）1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ， BE =CF ．求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。

５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.２．三角形全等的判定二（SAS ）1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD A D ''有什么关系？证明你的结论． 3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。

北师大版七年级下册4.3探索三角形全等的条件《三角形的全等》题型归纳专题(无答案)

三角形的全等的基本性质一、全等的定义：两个的图形称为全等图形二、全等图形的性质：形状和大小都相同三、注意：1.在三角形中，求和一般利用图形的全等2.折叠问题就是问题题型1：定义的理解例题：下列命题错误的个数是（）@只有两个三角形才有完全重合 @如果两个三角形全等，它的形状和大小一定都相同@两个正方形一定是全等图形 @边数相同的图形一定能互相重合A 1个B 2个C 3个D 4个练习：已知△ABC≌△DEF,∠B与∠E对应，∠C与∠F对应，有下列五个结论：@ BC=EF @ AC=DE @ AB=DF @∠CBA=∠DEF @ ∠ACB=∠EFD ，正确的个数有（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个题型2：利用三角形的全等求组合图形的边角关系思维：找准位置，观察全等的图形各个对应关系基础练习：如图，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC的各内角大小？提升训练1：如图，已知△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长为？训练2：如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE,试说明：（1）BD=DE+CE(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE拔高训练：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，且∠1：∠2：∠3=27:5:4求∠α的度数三角形的全等的证明课前回顾：全等的五大判定条件①边边边“SSS”② .③ .④ .⑤ .题型1：给出边角关系，判定是否全等例题：如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌△，理由是，△ABE≌△，理由是 .练习：如图，BC=EC,∠1=∠2，添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEC，如果需要添加一个条件，可以是题型2：给出组合图形，通过边角关系证明全等课后练习：如图，AB=AC，BD=CD,BH=CH,那么图中有哪几对全等三角形，任选一组进行证明题型3：全等三角形的证明方法：牢记五大判定，适当变换条件练习：如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证△ABC≌△ADE.题型4：全等三角形的运用1、利用全等求角度方法：先找出与这个角相关的三角形，再观察是否具备全等条件（以三角形为研究对象）练习：如图，△ABC≌△AED，∠C=45°，∠B=30°，∠CAD=33°，求∠EAC的大小练习：已知AD=BC,AC=BD,试说明∠DAO=∠CBOD COA B2.利用全等求边长解决方法：先找出与边和角相关的三角形，再观察是否具备全等条件（以三角形为研究对象）例题：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：（1）AE＝CF （2）AF//CE3、三角形的周长问题：解决方法：把三角形的周长划到某些边长上去例题：如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，D E⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为多大？变式练习：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，D E⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，则斜边AB的长为题型3：复杂组合图形的全等关系经典模型1：组合等腰三角形与等边三角形的全等例题：如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，请猜测AE与CD的关系，并加以证明练习：如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．请问AE与DB之间有何关系?经典模型2：倒三角（k型）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD 与BE交于点F，连接CF.（1）找出图中的的全等三角形（2）求∠DAC的度数题型4：旋转引起的全等问题例题：如图,Rt 三角形AB ’C ’是由Rt 三角形ABC 绕A 顺时针旋转得到,连接CC ’交于点E,CC ’的延长线上交BB ’于点F.若BE=EA,求证BF=CA练习1：如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； .练习2：已知△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点做一个60°的角，它的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N,连接MN,求证：MN=BM+CN AACF B E ACFBB C。

北师大版七年级数学下册第四章全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．【例2】如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边找直角找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．【例4】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】（成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别．2、不能确定两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．【例6】在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

北师大版七年级数学下册第四章证明(构造)全等三角形常用方法与技巧(含答案)

第四章证明（构造）全等三角形常用方法与技巧一、截长补短法1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：成立．理由如下：如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，所以∠CDF＝∠B＝90°.又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)．所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF＝∠BCD＝90°.因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.又因为CE＝CF，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.在△ABD 和△F BD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，所以△ABD ≌△FBD (ASA)．所以∠2＝∠DFB .又因为∠DFB ＝180°－∠AFC ，∠1＋∠C ＝180°－∠AFC ，所以∠DFB ＝∠1＋∠C .所以∠2＝∠1＋∠C .3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF.试说明：∠ADC ＝∠BDF.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.所以∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，所以△ACD ≌△CBG (ASA)．所以∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG .因为点D 为BC 的中点，所以CD ＝BD .所以BD ＝BG .所以∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.所以∠DBF ＝∠GBF .在△BDF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，所以△BDF ≌△BGF (SAS)．所以∠BDF ＝∠G .所以∠ADC ＝∠BDF .四、旋转法4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF 的度数．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.所以∠D ＝∠ABH ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，所以△ABH ≌△ADF (SAS)．所以AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .所以∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF .所以∠HAF ＝∠BAD ＝90°.因为BE ＋DF ＝EF ，所以BE ＋BH ＝EF ，即EH ＝EF .在△AEH 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，所以△AEH ≌△AEF (SSS)．所以∠EAH ＝∠EAF .所以∠EAF＝12∠HAF ＝45°.五、倍长中线法5. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点．若AB ＝5，AC ＝3，求AD 长度的取值范围．解：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.因为D 为BC 的中点，所以CD ＝BD.又因为AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，所以△ADC ≌△EDB(SAS)．所以AC ＝EB.因为AB －EB<AE<AB ＋EB ，又因为AB ＝5，AC ＝3，所以2<2AD<8. 所以1<AD<4.综合练习1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE ＝EC ，DE ＝EF ，则下列结论中：①∠ADE ＝∠EFC ；②∠ADE ＋∠ECF ＋∠FEC ＝180°；③∠B ＋∠BCF ＝180°；④S △ABC ＝S 四边形DBCF ，正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且DE ∥BC ，△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处．若∠B＝50°，则∠BDF ＝________．3．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，则阴影部分的面积是________．4．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线、高线，且∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠EAD ＝________．5．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝1(AB ＋AD )，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．6．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.(1)试说明：DE＝BD＋CE.(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．参考答案1.A2．80° 3．144．10° 点拨：由AD 平分∠BAC ，可得∠DAC ＝12∠BAC ＝12×(180°－50°－70°)＝30°.由AE ⊥BC ，可得∠EAC ＝90°－∠C ＝20°，所以∠EAD ＝30°－20°＝10°.5．65° 点拨：过C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAF ＝∠CAE .因为CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，所以∠AFC ＝∠AEC ＝90°.在△CAF 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF ＝∠CAE ，∠AFC ＝∠AEC ，AC ＝AC ，所以△CAF ≌△CAE (AAS )．所以FC ＝EC ，AF ＝AE .因为AE ＝12(AB ＋AD )，所以AF ＝12(AE ＋EB ＋AD )，即AF ＝BE ＋AD .所以DF ＝BE .在△FDC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ，DF ＝BE ，所以△FDC ≌△EBC (SAS )．所以∠FDC ＝∠EBC .又因为∠ADC ＝115°，所以∠FDC ＝180°－115°＝65°.所以∠B ＝65°.6．解：(1)因为BD ⊥l ，CE ⊥l ，所以∠ADB ＝∠AEC ＝90°.又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°.所以∠DBA＝∠CAE.因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，所以△ABD≌△CAE(AAS)．所以AD＝CE，BD＝AE.则AD＋AE＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE.(2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE.同(1)说明△ABD≌△CAE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE－AD＝DE，所以DE＝BD－CE.7．解：(1)α＋β＝180°理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，所以α＋β＝180°.(2)α＝β理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以α＝β.(3)α＝β.画图略．。

第四章第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。

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