一元线性回归模型与多元线性回归模型对比
一元与多元线性回归
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 预测与估计
什么是回归分析？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
2. 回归平方和(SSR—sum squares of regression)
3. 残差平方和(SSE—sum squares of error)
–
判定系数R2
1. 回归平方和占总误差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20， 说明回归方程拟合的越差
8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关系数
(例题分析)
用Excel计算相关系数
估计方程的求法
(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
ˆ 0 t 2 (n 2) S xy y 1 + n
x0 x n 2 xi x
2 i 1
式中： Sy 为估 计标准误差
利用回归方程进行估计和预测
（预测区间估计）
• y 的个别值的预测区间 估计 1. 利用估计的回归方程 ，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因 变量 y 的一个个别值 的估计区间，这一区 间称为预测区间 2. y0在1-置信水平下的 预测区间为
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
一元线性回归模型与多元线性回归模型对比
总离差平方和的分解
TSS=ESS+RSS
， 越接近于1，拟合优度越高。
总离差平方和的分解
TSS=ESS+RSS
，（即总平方和中回归平方和的比例）
对于同一个模型， 越接近于1，拟合优度越高。
（调整的思路是残差平方和RSS和总平方和TSS各自除以它们的自由度）
为什么要对 进行调整?解释变量个数越多，它们对Y所能解释的部分越大（即回归平方和部分越大），残差平方和部分越小， 越高，由增加解释变量引起的 的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度， 就不是一个合适的指标，必须加以调整。
变量的显著性检验目Fra bibliotek：对模型中被解释变量对每一个解释变量之间的线性关系是否成立作出判断，或者说考察所选择的解释变量对被解释变量是否有显著的线性影响。针对某解释变量 ，
原假设: 备择假设：
最常用的检验方法: t检验
构造统计量:
判断步骤：①计算t统计量的值
②给定显著性水平 ，查t分布的临界值表获得
)
③比较t值与 的值，
(普通最小二乘估计的离差形式)
随机干扰项的方差
最大似然估计(ML)
矩估计（MM）
参数估计值估计结果与OLS方法一致，但随机干扰项的方差的估计量与OLS不同
参数估计值估计结果与OLS方法一致，但随机干扰项的方差的估计量
参数估计量的性质
线性性、无偏性、有效性
线性性、无偏性、有效性
参数估计量的概率分布
---
随机误差项与解释变量不相关。
假设:6：
正态性假设。随机项服从正态分布。
正态性假设。随机项服从正态分布。
参数估计
一元线性回归模型
计量经济学复习
第二章 一元线性回归模型1.随机误差项形成的原因：① 在解释变量中被忽略的因素 ② 变量观测值的观测误差 ③ 模型的关系误差或设定误差 ④ 其他随机因素的影响。
2.总体回归方程和样本回归方程的区别和联系：总体回归方程是对总体变量间关系的定量表述,条件均值E(Y|X=x)是x 的一个函数 ,记作:E(Y|X=x)=f(x),其中,f(x)为x 的某个函数 ,它表明在X=x 下,Y 的条件均值与x 之间的关系。
但实际中往往不可能得到总体的全部资料 ,只能先从总体中抽取一个样本,获得样本回归方程 ,并用它对总体回归方程做出统计推断。
通过样本回归方程按照一定的准则近似地估计总体回归方程 ,但由于样本回归方程随着样本的不同而有所不同,所以这种高估或低估是不可避免的。
3.随机误差项的假定条件：（1）零均值：随机误差项具有零均值，即E( )=0，i=1，2，… （2）随机误差项具有同方差： 即每个 对应的随机误差项 具有相同的常数方差。
Var( )=Var( )= ，i=1,2，… （3）无序列相关：即任意两个 和 所对应的随机误差项 、 是不相关的。
Cov( , )=E( )=0,i j,i,j=1,2,… （4）解释变量X 是确定性变量，与随机误差项不相关。
Cov( , )=E( )=0，此假定保证解释变量X 是非随机变量。
（5） 服从正态分布， ～N(0, )4.为什么用决定系数 评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？判定系数 = = 1- ，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解释变量总变化的比重,用来判定回归直线拟合的优劣。
该值越大说明拟合得越好。
而残差平方和值的大小受变量值大小的影响,不适合具有不同量纲的模型的比较。
5.可决系数 说明了什么？在简单线性回归中它与斜率系数的t 检验的关系是什么？可决系数 是对模型拟合优度的综合度量 ,其值越大,说明在Y 的总变差中由模型作出了解释的部分占得比重越大 ,模 型的拟合优度越高 ,模型总体线性关系的显著性越强。
计量经济学-综合练习题：多元线性回归模型
第二部分：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然χ分布为检验统计原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2量的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
计量经济学：多元线性回归习题与答案
一、单选题1、多元线性回归模型和一元线性回归模型相比，显著不同的基本假设是？（）A.随机误差项具有同方差B.解释变量之间互不相关C.随机误差项具有零均值D.随机误差项无序列相关性正确答案：B2、用矩阵表示多元线性回归模型OLS估计的正规方程组，X的第1列或第1行的元素是什么？（）A.1B.变量观测值C.0D.取值不能确定的常数正确答案：A3、多元线性回归模型中，发现各参数估计量的t值都不显著，但模型的拟合优度很大， F值很显著，这说明模型存在（）。
A.自相关B.设定偏误C.异方差D.多重共线性正确答案：D4、如果把常数项看成是一个虚变量的系数，该虚变量的样本观测值为（）。
A.取值不能确定的常数B.1C.随样本而变的变量D.0正确答案：B5、从统计检验的角度，样本容量要大于多少，Z检验才能应用？（）A.40B.20C.30D.10正确答案：C二、多选题1、在一定程度上表征多元线性回归模型整体拟合优度的指标是哪些？（）A.SCB.调整可决系数C.AICD.t正确答案：A、B、C2、多元线性回归模型的基本检验包括哪些？（）A.方程整体检验：可决系数、调整可决系数、F检验B.预测检验：给定解释变量，被解释变量的观测值，与被解释变量的真实值进行对比C.单参数检验：系数T检验D.经济学含义检验：系数正负是否符合经济逻辑以及经济现实正确答案：A、B、C、D3、估计多元线性回归参数的方法有（）。
A.普通最小二乘估计OLSB.最大似然估计C.矩估计GMMD.最大方差法正确答案：A、B、C4、下列说法不正确的是（）。
A.RSS=TSS x ESSB.RSS=TSS/ESSC.RSS=TSS - ESSD.RSS=TSS + ESS正确答案：A、B、D5、运用F统计量检验约束回归，下列不正确的说法是（）。
A.可以检查一个解释变量的作用是否显著B.可以检查一批解释变量的作用是否显著C.可以判断一个回归参数是否足够大D.可以检查一个多元线性回归方程是否有经济意义正确答案：A、C、D三、判断题1、多元线性回归模型中某个解释变量系数的含义是其他解释变量保持不变，该解释变量变化1个单位，被解释变量的条件均值变化的数量。
多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验1多元性回归模型与一元线性回归模型一样,在得到参数的最小二乘法的估计值之后,也需要进行必要的检验与评价,以决定模型是否可以应用;1、拟合程度的测定;与一元线性回归中可决系数r2相对应,多元线性回归中也有多重可决系数r2,它是在因变量的总变化中,由回归方程解释的变动回归平方和所占的比重,R2越大,回归方各对样本数据点拟合的程度越强,所有自变量与因变量的关系越密切;计算公式为：其中,2.估计标准误差估计标准误差,即因变量y的实际值与回归方程求出的估计值之间的标准误差,估计标准误差越小,回归方程拟合程度越程;其中,k为多元线性回归方程中的自变量的个数;3.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验,即检验整个回归方程的显著性,或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切;能常采用F检验,F统计量的计算公式为：根据给定的显著水平a,自由度k,n-k-1查F分布表,得到相应的临界值Fa,若F > Fa,则回归方程具有显著意义,回归效果显著；F < Fa,则回归方程无显著意义,回归效果不显著;4.回归系数的显著性检验在一元线性回归中,回归系数显著性检验t检验与回归方程的显著性检验F检验是等价的,但在多元线性回归中,这个等价不成立;t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性,以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素;检验时先计算统计量ti；然后根据给定的显著水平a,自由度n-k-1查t分布表,得临界值ta或ta / 2,t > t − a或ta / 2,则回归系数bi与0有显著关异,反之,则与0无显著差异;统计量t的计算公式为：其中,Cij是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵x'x − 1的主对角线上的第j 个元素;对二元线性回归而言,可用下列公式计算：其中,5.多重共线性判别若某个回归系数的t检验通不过,可能是这个系数相对应的自变量对因变量的影平不显著所致,此时,应从回归模型中剔除这个自变量,重新建立更为简单的回归模型或更换自变量;也可能是自变量之间有共线性所致,此时应设法降低共线性的影响;多重共线性是指在多元线性回归方程中,自变量之彰有较强的线性关系,这种关系若超过了因变量与自变量的线性关系,则回归模型的稳定性受到破坏,回归系数估计不准确;需要指出的是,在多元回归模型中,多重共线性的难以避免的,只要多重共线性不太严重就行了;判别多元线性回归方程是否存在严惩的多重共线性,可分别计算每两个自变量之间的可决系数r2,若r2 > R2或接近于R2,则应设法降低多重线性的影响;亦可计算自变量间的相关系数矩阵的特征值的条件数k = λ1 / λpλ1为最大特征值,λp为最小特征值,k<100,则不存在多重点共线性；若100≤k≤1000,则自变量间存在较强的多重共线性,若k>1000,则自变量间存在严重的多重共线性;降低多重共线性的办法主要是转换自变量的取值,如变绝对数为相对数或平均数,或者更换其他的自变量;检验当回归模型是根据动态数据建立的,则误差项e也是一个时间序列,若误差序列诸项之间相互独立,则误差序列各项之间没有相关关系,若误差序列之间存在密切的相关关系,则建立的回归模型就不能表述自变量与因变量之间的真实变动关系;检验就是误差序列的自相关检验;检验的方法与一元线性回归相同;。
计量经济学第4章习题作业
第4章 多元回归：估计与假设检验一、名词解释1. 多元线性回归模型：2. 偏回归系数：3. 偏相关系数:4. 多重决定系数：5. 调整后的决定系数：6. 联合假设检验：7. 受约束回归：8. 无约束回归：二、单项选择题1. 下面哪一表述是正确的（ ）A 线性回归模型i i i X Y µββ++=10的零均值假设是指011=∑=ni i n µB 对模型i i i i X X Y µβββ+++=22110进行方程显著性检验（即F 检验），检验的零假设是02100===βββ：HC 相关系数较大意味着两个变量存在较强的因果关系D 当随机误差项的方差估计量等于零时，说明被解释变量与解释变量之间为函数关系2. 下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（ ） A i C （消费）=500+0.8 i I （收入）B d i Q （商品需求）=10+0.8 i I （收入）+0.9 i P （价格）C s i Q （商品供给）=20+0.75 i P （价格）D i Y （产出量）=0.65 0.6i L （劳动）0.4iK （资本）3. 在二元线性回归模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中，1β表示（ ） A 当X2不变时，X1每变动一个单位Y 的平均变动 B 当X1不变时，X2每变动一个单位Y 的平均变动 C 当X1和X2都保持不变时，Y 的平均变动 D 当X1和X2都变动一个单位时，Y 的平均变动4. 已知含有截距项的三元线性回归模型估计的残差平方和为8002=∑te，估计用样本容量为24=n ，则随机误差项t u 的方差估计量为（ ）A 33.33B 40C 38.09D 36.365. 已知不含．．截距项的三元线性回归模型估计的残差平方和为8002=∑te，估计用样本容量为24=n ，则随机误差项t u 的方差估计量为（ ） A 33.33 B 40 C 38.09 D 36.366.线性回归模型的参数估计量βˆ是随机变量iY 的函数，所以βˆ是（ ） A 随机变量B 非随机变量C 确定性变量D 常量7. 由 01ˆˆˆYX ββ=+可以得到被解释变量的估计值，由于模型中参数估计量的不确定性及随机误差项的影响，可知ˆY是（ ） A 确定性变量B 非随机变量C 随机变量D 常量8. 根据可决系数R 2与F 统计量的关系可知，当R 2=1时有（ ） A F=1 B F=－1 C F →+∞ D F=09. 在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ ） A 0.8603 B 0.8389 C 0.8655 D 0.832710. 调整的判定系数2R 与多重判定系数2R 之间有如下关系（ ）A 2211n R R n k −=−−B 22111n R R n k −=−−−C 2211(1)1n R R n k −=−+−−D 2211(1)1n R R n k −=−−−−11. 下列说法中正确的是（ ）A 如果模型的2R 很高，我们可以认为此模型的质量较好B 如果模型的2R 较低，我们可以认为此模型的质量较差C 如果某一参数不能通过显著性检验，我们应该剔除该解释变量D 如果某一参数不能通过显著性检验，我们不应该随便剔除该解释变量12. 最常用的统计检验准则包括拟合优度检验、变量的显著性检验和（ ） A 方程的显著性检验 B 多重共线性检验 C 异方差性检验 D 预测检验13. 用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ ） A B C D14. 线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中， 检验0:0(0,1,2,...)t H b i k ==时，所用的统计量t =服从（ ）A t(n-k+1)B t(n-k-2)C t(n-k-1)D t(n-k+2))30(05.0t )28(025.0t )27(025.0t )28,1(025.0F15. 在多元线性回归模型中对样本容量的基本要求是(k 为解释变量个数)（ ） A n ≥k+1 B n<k+1C n ≥30 或n ≥3（k+1）D n ≥3016. 设为回归模型中的参数个数（包括截距项），n 为样本容量，ESS 为残差平方和，RSS 为回归平方和，则对总体回归模型进行显著性检验时构造的F 统计量为（ ）ABCD17. 对于122331(1)ˆˆˆˆˆ...i i i k k i i Y X X X u ββββ++=+++++，统计量22ˆ()/ˆ()/(1)i i i Y Y k Y Y n k Σ−Σ−−−服从（ ） A (,)F k n k − B (1,1)F k n k −−− C (1,)F k n k −− D (,1)F k n k −−三、多项选择题1. 对于模型12ˆ8300.00.24 1.12t t tY X X =−+，下列错误的陈述有（ ） A Y 与1X 一定呈负相关B Y 对2X 的变化要比Y 对1X 的变化更加敏感C 2X 变化一单位，Y 将平均变化1.12个单位D 若该模型的方程整体显著性检验通过了，则变量的显著性检验必然能够通过E 模型修正的可决系数（2R ）一定小于可决系数（2R ）k )/()1/(k n ESS k RSS F −−=)/()1/(1k n ESS k RSS F −−−=ESS RSS F =RSS ESS F =2. 设k 为回归模型中的参数个数（包括截距项），则调整后的多重可决系数2R 的正确表达式有（ ）A ∑∑−−−−−)()()1(122k n Y Y n Y Y iii）（ B ∑∑−−−−−)1()()(ˆ122n Y Yk n Y Y i iii）（C k n n R −−−−1)1(12 D 1)1(12−−−−n kn R E 1)1(12−−+−n kn R3. 设k 为回归模型中的参数个数（包括截距项），则总体线性回归模型进行显著性检验时所用的F 统计量可表示为（ ） A)1()()ˆ(22−∑−−∑k e k n Y Y iiB )()1()ˆ(22k n e k Y Y i i−∑−−∑ C)()1()1(22k n R k R −−− D )1()(122−−−k R k n R ）（ E)1()1()(22−−−k R k n R4. 在多元线性回归分析中，修正的可决系数2R 与可决系数2R 之间（ ） A 2R <2R B 2R ≥2R C 2R 只能大于零 D 2R 可能为负值5.对模型01122i i i i Y X X u βββ=+++进行总体显著性检验，如果检验结果总体线性关系显著，则有（ ） A 120ββ== B 10β≠，20β= C 10β=，20β≠ D 10β≠，20β≠ E 120ββ=≠6. ˆY 表示OLS 估计回归值，iu 表示随机误差项，如果Y 与X 为线性相关关系，则下列哪些是正确的（ ） A 12i i Y X ββ=+ B 12i i i Y X u ββ=++C 12ˆˆi i i Y X u ββ=++D 12ˆˆˆi i i Y X u ββ=++E 12ˆˆˆiiY X ββ=+7. 对于二元样本回归模型12233ˆˆˆi i ii Y X X e βββ=+++，下列各式成立的有（ ） A 0i e Σ= B 20i i e X Σ= C 30i i e X Σ= D 0i i e Y Σ= E 230i i X X Σ=8. 当被解释变量的观测值i Y 与回归值ˆiY 完全一致时（ ）A 判定系数r 2等于1B 判定系数r 2等于0C 估计标准误差s 等于1D 估计标准误差s 等于0E 相关系数等于0四、简答题1. 给定二元回归模型：，请叙述模型的古典假定。
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i
2 2 ( y a bx ) i i i
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n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
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数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
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数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
计量地理学第三章——2 回归分析
例1
一元线性回归方法的基本公式为：
y a bx
式中：a，b为待定参数，其表达式如下：
b Lxy Lxx
n i 1
xi yi
1 n
n
(
i 1
xi )(
n i 1
n i 1
xi2
1 n
n
(
i 1
xi )2
yi )
a y bx
变差 来源 回归
误差
总和
平方和
自由度
n
SSR (Yˆi Y )2
地区编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月平均销售收 入（万元）y
31
40
30
34
25
20
35
40
月平均广告支 出（万元）x
5 10 5
7
4
3
7
9
要求：对于不同的月平均广告支出预测月平均销售收入
解:由计算结果可知，回归方程为
SST=338.875 SSR=314.532 SSE=24.343
Y 14.669 2.753X
因此，对于不同的月平均广告支出，其月平均销售收入的预测 结果如下：单位：万元
月平均广告支出 平均收入的点预测 平均收入的区间预测
6
31.187
（25.956，36.418）
8
36.693
（31.296，42.090）
12
47.705
（40.872，54.538）
直线回归、相关分析的注意事 项：
1）相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向，并不阐明事物间存在联系的本质，也不是两事 物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质联系，必须凭专 业知识从理论上加以论证。因此，把两个毫无关系的事物放在 一起作相关分析是毫无意义的。同样，回归分析也要有实际意 义。
一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析和多元线性回归分析一元线性回归分析1.简单介绍当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。
如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。
在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。
这里讨论线性回归分析法。
2.回归分析法的基本步骤回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。
根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。
由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。
（2） 设定回归方程。
以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。
设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。
（3） 确定回归系数。
将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。
这一步的工作量较大。
（4） 进行相关性检验。
相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。
一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。
（5） 进行预测，并确定置信区间。
通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。
因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。
3. 一元线性回归分析的数学模型用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1）式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。
一元线性回归分析与多元线性回归分析比较
58.82333
(11) y y
n
41.08739(12) S .D . 6.573289
(y y )2 n 1
Schwarz criterion
6.694516
Hannan-Quinn criter.
6.528407
Durbin-Watson stat
1.010820 TSS (y y )2 (n 1) (S .D .)2
）
j
至少一个x j 对因变量
有影响。 P值
p
方程的显著性检验
一元线性回归分析
相关系数 r Lxy Lxx Lyy
拟合优度
TSS=ESS+RSS
R 2
ESS TSS
(yˆt y )2 (yt y )2
1
RSS TSS
ESS
F检验 F RSS 1
(n 2)
多元线性回归分析 拟合优度 TSS=ESS+RSS
n
n
t2
yt (ˆ0 ˆ1 x1t ˆ2 x2t ˆk xkt ) 2
t 1
t 1
β参数最小二乘估计量的统计性质
一元线性回归分析 （1）线性性 （2）无偏性 （3）有效性
多元线性回归分析
（1）线性
（2）无偏性
（3）最小方差性 （4）参数的最小二乘估计量服 从正态分布
2 的估计量
一元线性回归分析
输出结果的变量关系
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/25/11 Time: 21:03 Sample: 1 12 Included observations: 12
(5)
一元线性回归与多元线性回归的比较与选择
一元线性回归与多元线性回归的比较与选择在统计学和机器学习领域，线性回归是一种常见且常用的预测分析方法。
它用于建立输入变量（自变量）和输出变量（因变量）之间的线性关系模型，用于预测和解释变量之间的关系。
在线性回归中，一元线性回归和多元线性回归是两种常见的模型。
本文将比较一元线性回归和多元线性回归，并介绍在不同情况下选择合适的模型的方法。
一元线性回归适用于只有一个自变量的情况。
它建立了一个简便的线性关系模型，通过最小化实际值和预测值之间的误差来拟合数据。
一元线性回归的模型可以表示为Y = β₀ + β₁X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β₀和β₁是回归系数，ε是误差项。
一元线性回归方法简单易用，计算速度快，而且可以提供对自变量的解释性。
然而，当存在多个自变量时，一元线性回归无法捕捉到这些自变量对因变量的共同影响。
与之相比，多元线性回归适用于有多个自变量的情况。
它建立了一个多维的线性关系模型，通过最小化实际值和预测值之间的误差来拟合数据。
多元线性回归的模型可以表示为Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε，其中Y是因变量，X₁、X₂、...、Xₚ是自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ是回归系数，ε是误差项。
相较于一元线性回归，多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，能够更准确地建模和预测。
在选择一元线性回归或多元线性回归模型时，需要考虑以下几个因素。
需要注意因变量和自变量之间是否存在线性关系。
如果变量之间存在非线性关系，使用线性回归模型可能会导致模型不准确。
需要评估自变量之间是否存在共线性。
共线性指的是两个或多个自变量之间存在高度相关性，这会导致回归系数的估计不准确。
如果存在共线性，应该考虑使用多元线性回归来解决这个问题。
还需要考虑自变量的数量。
如果自变量数量较少，且它们之间相互独立，一元线性回归模型可能更适用。
然而，如果自变量数量较多，或者它们之间存在复杂的相互关系，多元线性回归模型更为适合。
土地资源评价之回归分析
（3.2.9）
i 1
n
n
( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 Q U
i 1
i 1
在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和
n
Q ( yi yˆi )2 i 1
而
n
n
U ( yˆi yi )2 (a bxi a bx)2
③ 解上述正规方程组（3.2.4）式， 得到参数a与b的拟合值
aˆ y bˆx
（3.2.5）
n
bˆ Lxy Lxx
(xi x)( yi y)
i 1
n
(xi x)2
i 1
n i 1
xi yi
1n (
n i1
n
xi )(
i 1
yi )
n
n
n
Q ( ya yˆa )2 [ ya (b0 b1x1a b2 x2a bk xka )]2 min（3.2.13）
a1
a 1
由求极值的必要条件得
Q
b0
n
2 ( ya
a 1
yˆ a )
0
Q
b j
n
2 ( ya
49 157 270.400 2 407.549
9 2 260.180 197.239
50
2 086.426 266.541
10
334.332
99.729
51
3 109.070 261.818
11 11 749.080 558.921
52
第一部分2 经典线性回归模型
分析： 原假设H0： 备择假设H1：至少有一个约束不满足。
H1成立，对应原模型（长模型），也称为不受约束模型（UR）： 回归残差（RSSUR）
H0成立，对应短模型，也称为受约束模型（R） 回归残差（RSSR）
构造统计量：
为了检验RSSR与RSSUR的差距。 如果原假设成立，约束条件自然成立，因此两者差距小。（小于临界 值） 如果备择假设成立，约束条件不成立，两者差距大，（大于临界值）
（2）（3）可以合并为： 假设（2），（3）说明随机项u的方差－协方差矩阵为对角矩阵：
（4）各解释变量之间不存在严格的线性关系（即不存在“严格的多重 共线性”）
即X是满秩的。此时矩阵X’X也是满秩的， 所以行列式 ，保证了 可逆。是OLS估计可以进行的前提。
含义： ①从直观含义来看。模型中的变量对于解释Y提供了新的信息，不能由 其他信息完全替代 ②从参数的含义来看。保持其他信息不变时，如果存在严格多重共线， 则无法做到 ③从系数的求解来看：缺少足够信息将两变量的影响区分开来 三、最小二乘估计 1、最小二乘估计原理 分析：直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上穿过各观测点画出一 条“最佳”直线，如下图所示。
4、最小二乘估计的矩阵表示 （具体可以参考陈强的书） 我们的目标是使得回归的残差平方和达到最小，即：
则它的一阶条件为： 化简得：
四、OLS估计量的性质 1、线性性(有助于确定估计量的分布)
2、无偏性（有助于确定正态分布的均值） 即 其中， 两边取期望 与零均值假定，以及非随机解释变量两个假设有关
3、最小方差性（有助于确定正态分布的方差） (1)方差-协方差矩阵： （2）方差协方差矩阵的计算 方法1： 方法2
3、调整的拟合优度 （1）拟合优度（判定系数）的缺陷 可以证明，多重决定系数时模型中解释变量个数的不减函数，这给对 比含有不同解释变量个数的模型的决定系数带来困难（缺陷），需要修 正。
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参数估计量的性质
线性性、无偏性、有效性
线性性、无偏性、有效性
参数估计量的概率分布
)
,
(~ˆ), (~ˆ22
2002211σββσββ∑∑∑i
i
i
x n X N x N -——
样本容量问题 —-——
样本容量n 必须不少于模型中解释变量的个数（包括常数
项），即1+≥k n 才能得到参数估计值，8-≥k n 时t 分布才比较稳定，能够进行变量的显著性检验，一般认为30≥n 活
着至少()13+≥k n 时才能满足模型估计要求.如果样本量过小，则只依靠样本信息是无法完成估计的，需要用其他方法去估计。
统计检验
一元线性回归模型 多元线性回归模型
拟合优度检验
总离差平方和的分解 TSS=ESS+RSS
TSS
ESS R =
2，
[]1,02∈R 越接近于1,
拟合优度越高。
总离差平方和的分解 TSS=ESS+RSS
TSS
RSS
TSS ESS R -==
12，（即总平方和中回归平方和的比例) []1,02∈R 对于同一个模型,2R 越接近于1，拟合优度越高。
)
1/()
1(12----
=n TSS k n RSS R (调整的思路是残差平方和RSS 和总平方和TSS
各自除以它们的自由度）
为什么要对2
R 进行调整？解释变量个数越多,它们对Y 所能解释的部分越
大（即回归平方和部分越大），残差平方和部分越小，2R 越高，由增加解释变量引起的2R 的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度， 2R 就不
是一个合适的指标，必须加以调整。
方程总体显著性检验
-——-——
目的：对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否成立做出判断。
原假设
备择假设：
统计量的构造：
判断步骤：①计算F 统计量的值
②给定显著性水平，查F 分布的临界值表获得
）
③比较F与的值，
若,拒绝原假设，认为原方程总体线性关系在的置信水平下显著。
若，接受原假设,不能认为原方程总体线性关系在的置信水平下显著。
变量的显著性检验目的：对模型中被解释变量对每一个解释变量之间的线性关系是否成立作出判断，或者说考察所选择的解释变量对被解释变量是否有显著的线性影响。
针对某解释变量，原假设：备择假设：
最常用的检验方法: t检验
构造统计量:
判断步骤：①计算t统计量的值
②给定显著性水平,查t分布的临界值表获得
）
③比较t值与的值，
若,拒绝原假设,认为变量在的置信水平下通过显著性检验（或者
说，在的显著性水平下通过检验），认为解释变量对被解释变量Y有显著线
性影响.
若，接受原假设，在显著性水平下没有足够证据表明对Y有显著线性
影响。
参数的置信区间目的:考察一次抽样中样本参数的估价值与总体参数的真实值的接近程度。
思路:构造一个以样本参数的估计值为中心的区间，考察它以多大的概率包含总体参数的真实值.
方法：①预先选择一个概率，使得区间包含参数真值
②计算其中的（），从而求出置信度下置信区间：
掌握概念：置信区间置信度显著性水平
实际应用中，我们希望置信度越高越好,置信区间越小越好（说明估计精度越高）。
如何缩小置信区间?
（1）增大样本容量n（以减小，并减小参数估计值的样本方差）
(2）提高模型的拟合优度（以减小残差平方和，从而减小）
(3)提高样本观测值的分散度(样本值越分散，越小，越小）。