人教版高中数学121第2课时函数概念的综合应用
2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版
三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
数学人教版高中一年级必修1 指数函数及其性质(第2课时)
二、自主检测
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0
B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0
D．π0<30.4<0.43
解析： 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以 0.43<π0<30.4，故选B.
答案： B
ax，x>1， 2．若函数f(x)＝ 4－a2x＋2，x≤1
∴f(0)＝m2·20＋0－11＝0，即m1＋－11＝0，
∴m＝1.
答案： 1
4．(2014·济南高一检测)若ax＋1>
1 a
5－3x(a>0，且a≠1)，求x
的取值范围．
解析： ax＋1>1a5－3x⇔ax＋1>a3x－5， 当a>1时，可得x＋1>3x－5，∴x<3.
(2)∵f(x)在 x∈R 上为奇函数，
∴f(0)＝0，
7分
即
a－20＋1 1＝0，解得
a＝1. 2
8分
经检验，a＝12时，f(x)＝12－2x＋1 1是奇函数.
9分
(3)由(2)知，f(x)＝12－2x＋1 1， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1). ∵f(1)＝12－13＝16， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为61.
解简单的指数不等式
(1)解不等式13x2－2≤3； (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求 x 的取值范围．
[思路探究] 1．未知数在什么位置？ 2．如何转化为常规不等式？
解析： (1)13x2－2＝(3－1) x2－2＝32－x2， ∴原不等式等价于 32－x2≤31. ∵y＝3x 是 R 上的增函数，∴2－x2≤1. ∴x2≥1，即 x≥1 或 x≤－1. ∴原不等式的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．
人教版高中数学A版高中数学必修一《函数的概念及其表示》函数的概念与性质(第二课时函数的表示法)
描点法作函数图象的三个关注点 1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象. 3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等.
14
图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
15
[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
20
函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
21
【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
所以 f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
24
(3)由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x) ＝1－2x，联立可得ffx－－x2－f2－fxx＝ ＝11＋ －22xx， ， 消去 f(－x)可得 f(x)＝23x－1.]
度高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.3第二课时补集及综合应用课件新人教A版必修1
即时训练3-1:设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(∁IM)∩N; (2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取 值范围.
解:(1)因为M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, 所以∁IM={x|x∈R且x≠-3}, 所以(∁IM)∩N={2}.
第二课时 补集及综合应用
课标要求:1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集.2.熟练掌握集合的基本运算.3.体会数形结合思想及补集思想 的应用.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入一 相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的 元素也应构成一个集合,这两个集合对于U构成了相对关系,这就验证了 “事物都是对立和统一的关系”.集合中的部分元素构成的集合与集合U 之间的关系就是部分与整体的关系.这就是本节研究的内容——补集和全 集. 导入二 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3}.
解:A={x|2x-4<0}={x|x<2},B={x|0<x<5}, (1)A∩B={x|0<x<2}. (2)因为A={x|x<2},全集U=R, 所以∁UA={x|x≥2}, 则(∁UA)∩B={x|2≤x<5}.
题型三 补集的综合应用
【例3】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},∁RB={x|-1≤x≤5}. (1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
误区警示 (1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情 况的变化.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
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探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
最新-2021学年高中数学人教A版必修一课件：12 第2课时 区间、函数概念的应用 精品
解：(1)∵y＝x＋x 1＝x＋x＋11－1＝1－x＋1 1， 且x＋1 1≠0， ∴函数 y＝x＋x 1的值域为{y|y≠1}． (2)配方，得 y＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)， ∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y|2≤y<11}．
———————[课堂归纳·感悟提升]————————
下课
高中同步新课标·数学
(2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝2xx－＋31.
[思路点拨] (1)①将自变量的值分别代入相应的 函数解析式求出函数值；②求 f{f[f(x)]}时，一般要遵循 由里到外的原则．
(2)①将自变量的值逐个代入求值；②利用配方法 结合二次函数图象求解；③可通过分离参数求值域．
讲一讲 2．判断下列各组中的函数 f(x)与 g(x) 是否相等，并说明理由． (1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x，g(x)＝ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
[尝试解答] (1)f(x)的定义域是{x|x≠1}， g(x)的定义域是 R，它们的定义域不同，故不 相等．
答案：(1)(－∞，－2]∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪(5，＋∞)
[思考] 在函数的三个要素中，起决定作 用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备 什么条件？
名师指津：起决定作用的是函数的对应关系和 定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关 系确定；当两个函数的定义域和对应关系相同时， 这两个函数就相等．
练一练
1．(1)用区间表示数集{x|x≤－2，或 x ＞3}为________． (2)已知全集 U＝R，A＝{x|1＜x≤5}，则∁UA 用区间表示为________．
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
《函数的概念及其表示》第2课时示范课教学课件【高中数学人教A版】
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
新知探究
追问1 两个函数相等的含义是什么？
函数的三要素都相等．
值域是由定义域和对应关系决定的，
所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．
新知探究
追问2 你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？
函数的概念及其表示第二课时
高中数学人教A版必修第一册
问题1 在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
（2）f（x）＝1和g（x）＝x0．
答案： （1）不相同，
因为前者的定义域为R，
后者的定义域为R；
（2）不相同，
后者的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
因为前者的定义域为[0，26]，
3
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
新知探究
例2 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
例2 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
数轴表示
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤b}
{x|x＜b}
［a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，b］
（－∞，b）
新知探究
问题2 研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读课本第64页的相关内容，试着完成下列两个表格：
高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用课件新人教A版必修1
2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜－1，或x＞ 0}，若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}． 因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如下图)， 可得a≤－1.
1．全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于 研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的 所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是 A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不 同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
解：∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅. ∵A ∁RB，∴分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a，∴a≥2； (2)若 A≠∅，则有2aa≤－1，2<a， 或22aa－ －22<≥a2，， ∴a≤1. 综上所述，a≤1 或 a≥2.
解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅进行分类 讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问 题．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
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求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助 Venn图求解．
高中数学 第一章 集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。
【优质课件】高中数学新课标人教B版必修一2.3《函数的综合应用》2优秀课件.ppt
函数的综合应用
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.函数思想 就是要用运动和变化的观点，分析和研究具
体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这 种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题 获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识. 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观 点观察处理问题.
函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如 ：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解 决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程
f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；解不等式f(x)＞0(或 f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.
3.解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
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4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)， 则 x1，x2， x3的大小关系是( C )
((AC))xx32＜＜xx23＜＜xx11 ((BD))xx21＜＜xx13＜＜xx32
5.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进， 跑累了 再走余 下的路 程，下 图中， 纵轴表 示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个 图形中较符合该学生的走法的是( D )
高中数学必修1全册课时训练含答案
人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。
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2 编辑课件
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2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由. (1)y= x1 x1 ,y= x 2 1 . (2)y= 1x 1x ,y= 1 x 2 . 【解题探究】1.在所给四组函数中，定义域和对应关系分别 有什么关系？ 2.两个函数相等的条件是什么？
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探究提示： 1.A.定义域不同，对应关系相同； B.定义域和对应关系都不同； C.定义域和对应关系都相同； D.定义域不同，对应关系相同. 2.两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同.பைடு நூலகம்
(3)y= 3 x 1 .
x 1
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【解题探究】1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是什么？当x趋向于 +∞时，y= 1 的函数值是如何变化的？
x
2.(1)在函数图象中，函数值f(x0)的几何意义是什么？如何
利用函数图象求函数的值域？
(2)函数y=3 x 的1 分子和分母都含有自变量x，是否可以将其
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2. 作出函数y=x2-4x+6，x∈［1,5)的图象(如图所示).
由图观察得函数的值域为{y|2≤y<11}.
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(3)方法一：y3xx 11 43x4 1,
显然
x
4
可1 取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
方法二：把y=
3x x
由
1 1
x x
0,
得0-, 1≤x≤1，故定义域为{x|-1≤x≤1}.
对于函数y= 1 x，2 由 1≥ 0x ，2 得-1≤x≤1，
故定义域为{x|-1≤x≤1}.
所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数.
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【拓展提升】判断函数相等的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否相等的三个步骤
了.( )
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(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也
相同.( )
提示：(1)错误.当两函数的定义域不同时，则不是相等函数，
故不正确.
(2)正确.值域{f(x)|x∈A}是由定义域A和对应关系f确定的.
(3)错误.两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不一
定相同.
答案：(1)× (2)√ (3)×
(2)两个注意点
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关编.辑课件
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【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( ) ①y= x 2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x 2 1与y=x-1
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.①②③对应关系都不同，故都不是相等函数.故
选A.
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类型 二 求函数值域问题
【典型例题】
1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
1 x2
()
A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
2.求下列函数的值域.
(1)y=3-4x,x∈(-1,3］.
(2)y=x2-4x+6,x∈［1,5).
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4
【知识点拨】
对函数相等的三点说明
(1)函数值域是由定义域和对应关系决定的.因此判断两个函数
是否相等，只看定义域和对应关系即可.
(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相
等.
(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等.
例如,函数f(x)=x2,x∈R与函数f(t)=t2,t∈R是相等函数.
y3 x 13 x 1 . 434
x 1 x 1
x 1
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【解析】1.选B.因为x∈R， 所以1+x2∈［1,+∞),所以f(x)= 1 ∈(0,1］.
1 x2
2.(1)作出函数y=3-4x,x∈(-1,3］的图象(如图所示).
由图象可知函数y=3-4x,编x∈辑课(件-1,3］的值域是［-9，7). 17
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【解析】1.选C.选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为 {x|x≠-2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x) 的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因 此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域 为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示 变量的字母不一样，表示的函数是相等的.
1看1 成关于x的方程，
变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域{x|x≠
y－ 3 0，
－1}内有解的条件是
－
y＋1 y－ 3
解得y≠3，
－ 1，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
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【互动探究】题2(2)中函数的定义域改为{-1，0，1，2，3}， 如何求其值域？ 【解析】函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)= 11， f(0)=6，f(1)=3，f(2)=2，f(3)=3， 所以值域为{2，3，6，11}.
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2．(1)对于函数y= x1 x，1
由
x
x
1 得0，x≥1，所以定义域为{x|x≥1}.
1 0，
对于函数y= x 2 ，1 由 x≥20，1 得x≥1或x≤-1，所以定
义域为{x|x≥1或x≤-1}.所以两函数的定义域不同，故不是
相等函数.
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(2)对于函数y= 1x 1，x
x 1
变形为只有分母含有自变量x的形式?
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探究提示：
1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是［1,+∞).当x趋向于+∞时， y= 1 的函数值趋近于0.
x
2.(1)函数值f(x0)是函数f(x)图象中横坐标为x0的点的纵坐
标.函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.
(2)可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下：
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类型 一 函数相等的判断
【典型例题】
1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的
是( )
A.f(x)=x-2,g(x)= x 2 4
x2
B.f(x)= x ,g(x)=1
x
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
D.f(x)= 1 ,g(x)= x 1 0
第2课时 函数概念的综合应用
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函数相等
1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致.
2.结论:两个函数相等.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( )
(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定