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2021年上海高考数学冲刺直通车06 数列(专练)学生版

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专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习 专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则 ． 【答案】8 【解析】 由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-． 即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

2021年上海市高考数学二轮解答题专项复习：数列(含答案解析)

2021年上海市高考数学二轮解答题专项复习：数列(含答案解析)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2Sn＝23+a2n+4，求n．
11．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a2＝4， ．数列{bn}是单调递增的等差数列，且b2•b3＝15，b1+b4＝8，
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
12．设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，
（2）设bn ，求数列{bn}的前2n项和T2n．
4．设数列{an}前n项和为Sn且2a1＝a2＝2，等差数列{bn}满足b1＝1，b2+b5＝b8且b2Sn+1+b5Sn﹣1＝b8Sn（n≥2，n∈N*）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
5．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且S1＝2，a2+1是a1与a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，Tn＝|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|，求Tn．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝9，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an2，求数列{bn}前n项和Tn．
参考公式：12+22+……+n2 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝（Sn+2）•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
6．已知正项等比数列{an}中，a1，2a2，a3+6成等差数列，且a42＝4a1a5．

(新高考)2021年最新高考冲刺压轴卷 数学(含答案)

(新高考)2021年最新高考冲刺压轴卷 数学(含答案)

（新高考）2021年最新高考冲刺压轴卷数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定是（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，2log 1x ≤ B ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤ C ．()0,x ∀∉+∞，2log 1x ≤ D ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x >【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定为“()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤”． 故选B ．2．已知集合{}*28xM x =∈<N ，{}N x x a =<．若MN 有且仅有1个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．[]0,1C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【解析】因为{}{}{}**2831,2x M x x x =∈<=∈<=N N ，{}N x x a =<，结合M N 有且仅有1个元素知{}1MN =，所以12a <≤，故选C ．3．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π6【答案】B 【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+〈〉，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-〈〉2cos ,OA OB =-〈〉，解得cos ,1OA OB 〈〉=或1cos ,2OA OB 〈〉=-， 由题意得cos ,0OA OB 〈〉≤，故2π,3OA OB 〈〉=，故OA ，OB 的夹角为2π3．故选B ．4．已知数列{}n a ，1()n a f n =，其中()f n 若{}n a 的前m 项和为20， 则m =（ ） A ．15 B ．30C ．60D ．110【答案】D【解析】由题意知，函数()f n又由()11f =，()21f =，()32f =，()42f =，()52f =，()62f =，()73f =，()83f =，()93f =，()103f =，()113f =，()123f =，，由此可得()f n 2个1，4个2，6个3，8个4，，又由数列{}n a 满足1()n a f n =， 可得1234567812111,,,23a a a a a a a a a ==========， 则122a a +=，34562a a a a +++=，78122a a a +++=，，因为{}n a 的前m 项和为20，即10220m S =⨯=，可得数列{}m 构成首项为2，公差为2的对称数列的前10项和， 所以10910221102m ⨯=⨯+⨯=，故选D ． 5．关于直线m 、n 与平面α、β，有以下四个命题： ①若//m α，βn//且//αβ，则//m n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥； ④若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ． 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③【答案】D【解析】对于①，若//m α，βn//且//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，①错误； 对于②，如下图所示：设a αβ=，因为αβ⊥，在平面β内作直线l a ⊥，由面面垂直的性质定理可知l α⊥，m α⊥，//m l ∴，n β⊥，l β⊂，n l ∴⊥，因此，m n ⊥，②正确；对于③，若m α⊥，//αβ，则m β⊥， 因为βn//，过直线n 作平面γ使得a βγ=，由线面平行的性质定理可得//n a ，m β⊥，a β⊂，则m a ⊥，因此m n ⊥，③正确；对于④，若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m 与n 平行、相交或异面，④错误， 故选D ．6．已知函数()222,0log 0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，给出下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中所有正确命题的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D【解析】函数()2202,0log x x x f x x x ⎧≤--⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下图所示，函数22y x x =--的图象关于直线1x =-对称，则122x x +=-，故①错误； 由()()34f x f x =得2324log log x x =，∴2324log log x x -=， 则()234log 0x x =，∴341x x =，故②正确； 设()()()()1234f x f x f x f x k ====， 由221y x x =--≤，所以01k <<， 由2log 1x =-，得12x =，则3112x <<，∵12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-， ∴1234331120,2x x x x x x ⎛⎫+++=+-∈ ⎪⎝⎭，故③正确； 由22y x x =--的对称轴方程为1x =-，由图可知()12,1x ∈--， 又()2123412111122x x x x x x x x x x ==--=--，∴()212341120,1x x x x x x =--∈，故④正确，故选D ．7．已知ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=︒，若2BC =，则ABC △周长的最大值为（ ）A．2+B．2C．2+D．2+【答案】A【解析】在ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ， 则O 为ABC △的重心， 因为90BOC ∠=°，故112OD BC ==，则33AD OD ==． ()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，2AD AB AC ∴=+，所以()222242AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅，即2222222242cos 22AB AC BC AD AB AC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC+-=++⋅⋅∠=++⋅⋅⋅2222222224AB AC BC AB AC =+-=+-，所以，()()22222222240222AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=+++≥++⋅=+，AB AC ∴+≤AB AC ==因此，ABC △周长的最大值为2，故选A ．8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ， 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=，322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=，1BN ∴=， 在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP ∥交1BB 于H ， 则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NHPC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角， 即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角，其平面角为111HC C B HC ∠=∠， 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．234i i i i 0+++= B ．复数3i z =-的虚部为i -C ．若2(1)i 2z =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD【解析】A 选项，234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 选项正确； B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误；C 选项，214i 4i 34i z =++=-+，34i z =--，对应坐标为()3,4--在第三象限， 故C 选项错误；D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到1,0A 和()1,0B -两点的距离相等， 故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确， 故选AD ．10．下列四个函数，同时满足：①直线()12b y x b =+∈R 能作为函数的图象的切线；②函数()()4y f x f x =+的最小值为4的是（ ） A ．()1f x x=B ．()sin f x x =C ．()xf x e =D ．()2f x x =【答案】CD【解析】对于A ：()21f x x '=-，对于任意0x ≠，2112x -=无解， 所以直线12y x b =+不能作为切线； 对于B ：()1cos 2f x x '==，有解，但()()44f x f x +≥，当且仅当()2f x =时取等号， 又sin 1x ≤，所以不符合题意；对于C ：()12xf x e '==，有解，()()444x x f x e f x e +=+≥=， 当且仅当2x e =时，等号成立，故C 正确；对于D ：()122f x x '==，14x =，又2244x x +≥=，当且仅当x =D 正确， 故选CD ．11．已知函数()()πcos 10,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．将函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位可得函数()f x 的图象D ．函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤⎦ 【答案】BC【解析】结合函数()y f x =的图象易知，函数()f x 的最大值3，最小值为1-， 则2A =，()()2cos 1f x x ϕ=++， 代入点()0,2，则2cos 12ϕ+=，1cos 2ϕ=， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，()π2cos 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-+∈Z ，函数()f x 关于()ππ3x k k =-+∈Z 对称， A 错误；πππ32xk k Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，函数()f x 关于点()ππ,16k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称， B 正确；函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位，得出()5ππππ2sin 12sin 12cos 16323f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确； 当,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,ππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]2,3f x ∈，D 错误，故选BC ．12．过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（ ）A．2B．3C．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=， 则另一渐近线OB 的方程为by x a=-， 由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()ay x c b=--， 联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩， 可得A 的横坐标为2a c；联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩， 可得B 的横坐标为2222ca a c-． 因为FB AF λ=，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--， 因为23λ≤≤，所以22322e e≤-≤，即22222340432324602e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤≤⎨-⎪≤⎪-⎩， BC 满足题意，AD 不合题意， 故选BC ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．写出一个符合“对12,x x ∀∈R ，当12x x ≠时，()()()12120f x x x x --<⎡⎤⎣⎦”的函数()f x =____________．【答案】x -（答案不唯一）【解析】设12,x x ∀∈R ，12x x <，则()()12f x f x >， 由单调性的定义可知，函数()f x 是定义域为R 的减函数， 所以函数()f x x =-满足题意． 故答案为x -．14．100(1的展开式中有理项的个数为________．【答案】34 【解析】131100C (2)r r r T x +=，所以0,3,6,,99r =⋯时为有理项，共34个，故答案为34．15．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为______．【答案】1140【解析】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法， 若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有33A 6=种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种； 第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率9962278110A 4P ⨯⨯⨯==，故答案为1140． 16．已知实数0a >且1a ≠，()xaf x a x =-为定义在()0,∞+上的函数，则()f x 至多有______个零点；若()f x 仅有1个零点，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】2，(){}0,1e【解析】令()0f x =（0x >，0a >且1a ≠），可得x a a x =， 等式x a a x =两边取自然对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=， 构造函数()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln xg x x-'=． 当0x e <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减．所以，()()max 1g x g e e ==，且当1x >时，()ln 0xg x x=>，如下图所示：由图象可知，直线ln a y a=与函数()ln xg x x =的图象至多有两个交点，所以，函数()f x 至多有2个零点． 若函数()f x 只有一个零点，则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得01a <<或a e =． 故答案为2，(){}0,1e ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ADC ∠=︒，ABC △为锐角三角形，且3AB =，AC =，60ABC ∠=︒．（1）求sin BAC ∠的值； （2）求BCD △的面积．【答案】（1；（2【解析】（1）在锐角ABC △中，3AB =，AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB ABC ACB AC ⋅∠∠==，又因为ABC △为锐角三角形，cos ACB ∴∠=．sin sin πππsin 33BAC ACB ACB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+∠=+∠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π1sin sin cos cos sin 331427πBAC ACB ACB ∴∠=∠⋅+∠⋅=+=． （2）//AB CD ，∴∠=∠ACD BAC ，sin sin ACD BAC ∴∠=∠=． 在ADC Rt △中，sin AD AC ACD =⨯∠==，2CD ∴==，BCD ACD S S =△△，又12ACD S AD CD =⨯=△BCD S ∴=△ 18．（12分）给出以下两个条件：①数列{}n a 的首项11a =，23a =，且14n n a a n ++=，②数列{}n a 的首项11a =，且()2121n n n S S n ++=．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足122n a nb n +=⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）21n a n =-；（2）()1122n n T n +=-⨯+．【解析】若选条件①：（1）由条件14n n a a n ++=，得()2141n n a a n +++=+，两式相减得24n n a a +-=，∴数列{}21k a -，{}2()k a k ∈Z 均为公差为4的等差数列．∵11a =，()2114143k a k k -=+-=-， ∴当n 为奇数时，21n a n =-；∵23a =，∴()234141k a k k =+-=-， 当n 为偶数时，21n a n =-， 综上，21n a n =-． （2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()2131211212111222222n n n n n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．若选条件②：（1）∵()2121n n n S S n ++=，∴222121S S =，232232S S =，242343S S =，…，()2211n n S n S n -=-， 上面1n -个式子相乘得2211n S n S =（2n ≥），∴2n ≥时，2221121n n S S n a n ===， 而1n =时，111n S S a ===，也满足上面等式，∴2n S n =， ∴2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，而1n =时，11n a a ==，也满足上面等式， ∴21n a n =-．（2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()213121*********2222n n nn n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点， 所以1//OF DD ，112OF DD =， 又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE ．直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， 所以1DD OC ⊥．又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥， 又1DD BD D =，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11BB D D ． （2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===， 又13AA =，则()1,0,0B，32E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,A ，()11,0,3D -， 设(),,x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，由100A B BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得30302x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =()=n ；设()111,,x y z =m 为平面1D BE 的一个法向量，由100BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即11111230302x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2=m ，cos ,⋅===⋅m nn m m n， 如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --． 20．（12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【解析】（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A玩偶的个数可以分三类情况， 1A ，2A ，3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ，3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种； 1A ，2A ，3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C A C 种， 故()22232134264263136266C C C C C C A 3A C 20327P E ++==． 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=． （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+， ∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列， ∴1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．21．（12分）已知椭圆()222210x y a ba b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，上顶点为A ，左顶点为B ，且 ||||10FA FB ⋅=+ （1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C -，()4,0D ，点P 在椭圆上，直线PC ，PD 分别与椭圆交于另一点M ，N ，若CP CM λ=，DP DN μ=，求证：λμ+为定值．【答案】（1）221105x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）设(),0F c ，由题意得||FA a =，||FB a c =+，2c a =，222a b c =+， ()||||10FA FB a a c ∴⋅=+=+210a =，25b =，∴椭圆的方程为221105x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 由CP CM λ=，DP DN μ=，得()()00114,4,x y x y λ+=+，()()00224,4,x y x y μ-=-，()010141x x y y λλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241x x y y μμμ⎧-=-⎨=⎩，()1284x x λμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111105105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01y y λ=，得()()01012110x x x x λλλ-+=-，()01512x x λλ∴+=-+．② 同理，由220022222221105105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02y y μ=，得()()22002110x x x x μμμ-+=-，()02512x x μμ∴+=+．③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-．④联立①④得263λμ+=，λμ∴+为定值263． 22．（12分）已知函数2()1()x f x ax a e=++∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明．【答案】（1）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点，证明见解析．【解析】（1）2()xf x a e '=-， 由题意得()0f x '≥，即2x a e ≥在区间(1,)+∞上恒成立． 当(1,)x ∈+∞时，220,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2a e≥， 故实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由已知得2()2x g x ax a e =+--，则22()x x x ae g x a e e-'=-=． 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又(0)0g a =->，2(1)20eg =-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2ln x a<，函数()g x 单调递减； 令()0g x '>，得2ln x a >，函数()g x 单调递增， 而222ln ln 0g a a a a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220a aa g a e ++⎛⎫=> ⎪⎝⎭， （ln x x <在(0,)+∞上恒成立）由于ln x x >，所以222ln a a a a +>>，所以()g x 在22ln ,a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点．又2222ln ln 22a a g a a a a ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，且222ln ln 2a a a <++， 设22()ln 2a a h a a ++=-，则222211()1022a a a h a a a a a +-+'=-=>++++在(0,)+∞上恒成立， 故()h a 在(0,)+∞上单调递增．而(0)0h =，所以()0>h a 在(0,)+∞上恒成立，所以22ln 02g a a ⎛⎫> ⎪++⎝⎭， 所以()g x 在222ln ,ln 2a a a ⎛⎫ ⎪++⎝⎭上存在一个零点． 综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2021届高考冲刺金卷(新课改5月)数学试题(解析版)

2021届高考冲刺金卷(新课改5月)数学试题(解析版)

2021届高考冲刺金卷（新课改5月）数学试题一、单选题1．若1zi i =-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i --C ．1i -D ．1i -+【答案】C【分析】先由复数的乘法化简复数z ，再根据共轭复数的概念可得选项. 【详解】因为2zi i i i ⋅=-，1z i -=--，所以1z i =+，所以1z i =-． 故选：C ． 2．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}0 2.5B x N x =∈≤<，则A B =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}02x x ≤<C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}0 2.50,1,2B x N x =∈≤<=，所以{}{}{}020,1,20,1A B x x ⋂=≤<⋂=. 故选:C ．3．火车站流动旅客较多，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某火车站安排6名防疫工作人员每天分别在A ，B ，C 三个进出口对旅客进行防护宣传与检查工作，每名工作人员只去1个进出口，A 进出口安排1名，B 进出口安排2名，剩下的人员到C 进出口，则不同的安排方法共有（ ） A ．48种 B ．60种 C ．100种 D ．120种【答案】B【分析】应用分步计数，首先从6人选1人去A ，再从5人选2人去B ，最后安排C ，由乘法公式求不同的安排方法数.【详解】1、从6名工作人员中选1名去A 进出口，方法数有16C ； 2、从其余5名工作人员中选2名去B 进出口，方法数有25C ； 3、剩下的3名工作人员去C 进出口，方法数有33C ．∴故不同的安排方法共有12365360C C C ⋅⋅=种．故选：B ．4．在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--【答案】B【分析】连接AC 与BD 交于O ，根据F 为三角形ACD 的重心，结合向量的运算法则，即可求解.【详解】连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点， 因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心， 所以()()112333a bAF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.5．已知圆柱1OO 中，点A ，B ，C 为底面圆周上的三点，CD 为圆柱的母线，2AC =，60ACB ∠=︒，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．1C 3D 3【答案】A【分析】由圆柱母线的性质易得CD ⊥平面ABC ，过点A 作AE BC ⊥，根据面面垂直的判定及性质可知AE 为点A 到平面BCD 的距离，由sin ∠=AEACB AC结合已知，即可求AE .【详解】如图所示，由题意知：CD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面BCD ， ∴平面BCD ⊥平面ABC ，又面BCD面ABC BC =，∴过点A 作AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，即AE 为点A 到平面BCD 的距离，在△ABC 中，sin ∠=AEACB AC，故sin 2sin603=⋅∠=⨯︒=AE AC ACB ， 故选：A6．已知双曲线2213-=-x y m m()03m <<的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，O 为坐标原点，1230PF F ∠=︒，1212OP F F =，则m 的值为（ ） A ．32B ．332C ．1D ．2【答案】B【分析】由题知12PF PF ⊥，进而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题知223,a m b m =-=，所以3c =， 因为1212OP F F =，所以12PF PF ⊥， 又1230PF F ∠=︒，所以13PF =，23PF =，所以由双曲线的定义可知123323-=-=-PF PF m ，解得332m =. 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得12PF PF ⊥，进而结合双曲线的定义求解.7．2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【分析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的． 故选：A.【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明. 8．已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是以下错误的为（ ）A ．01p ≤≤B ．()203-==pP ξη C ．()()2=+E E ηξ D ．()()()E E E ηξξη+=+【答案】C【分析】根据分布列的性质，以及概率的计算和期望的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由分布列的性质，可得2031020302p p p p -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎪⎨⎪≥⎪⎪⎪≥⎩，解得01p ≤≤，所以A 正确．对于B 中，()()2003-====pP P ξηξ，所以B 正确． 对于C 中，()13-=p E ξ，()32+=pE η，所以()()15322332-+++=+=≠=p p pE E ξη，所以C 错误． 对于D 中，()()11101,1326+===-==⨯=P P ξηξη，()3216-+==pP ξη，()2226-++==p p P ξη，()22336-++==p p P ξη，()246+==p P ξη， 计算得()576++=p E ξη，所以()()()E E E ξηξη+=+，所以D 正确. 故选：C ．二、多选题9．若21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ） A ．5n =B ．展开式中含4x 的系数为270C ．展开式的第4项为90-xD ．展开式中含有常数项【答案】ABC【分析】令1x =，可得21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和()1232-==n na ，解之求得n ；可判断A 选项，再运用二项式的展开式的通项公式可判断BCD 选项.【详解】令1x =，由题意可得()1232-==nna ，∴5n =，3a =．∴二项式为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭x x ，∴A对； ∴()()5251031551C 331C ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭rrr rr r rr T xxx ，令2r ，计算可知展开式中含4x 的系数为270，∴B 对；令3r =，所以()353310334531C 90T x x --⨯=⋅-⋅⋅=-，所以展开式的第4项为90-x ．∴C 对；令1030r -=，解得103r =，而r N *∉，所以展开式中不含有常数项， 故选：ABC ．【点睛】方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．10．流行病学调查，简称“流调”，是疫情防控工作中的重要一环，它为描绘清晰的病毒传播链、判定密切接触者、采取隔离措施以及划定消毒范围提供了科学依据．下图是某地183名“新冠”病例年龄分布“流调”数据，以下关于“流调”说法正确的是（ ）A ．51～60岁的中年人感染风险最高B ．年龄的中位数在51～60岁之间C ．婴幼儿抵抗能力较强D ．“隔离”相关人员是防止病毒传播的重要措施之一 【答案】ABD【分析】根据图表中的数据，逐项判定，即可求解.【详解】由图可知，51~60岁感染46人最多，所以A 正确；由于183********++=<，1833153446982+++=>， 所以年龄的中位数在51至60岁之间，故B 正确；中老年人外出较多，因此感染的风险就越高，而婴儿和外界接触少是感染者少的主要原因，并不是因为抵抗力强，所以C 错误， D 正确． 故选：ABD ．11．函数()()cos f x x ωϕ=+()02π≤<ϕ的部分图象如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．6π5=ϕ C ．函数()f x 在3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 图象的对称轴方程为ππ315=-k x ()k Z ∈ 【答案】AD【分析】由图象可得函数的周期2π3T =，求得3ω=，判定A 正确；根据五点对应法求得π5ϕ=，可判定B 错，由三角函数的图象与性质，可判定C 错，D 正确． 【详解】由图象可得函数的周期13ππ2π2π230103⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭T ω，解得3ω=，所以A正确；由五点对应法得ππ32π102⋅+=+k ϕ()k Z ∈，因为0πϕ≤<2，所以π5ϕ=，所以B 错，所以()πcos 35⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 当π2π32ππ5≤+≤+k x k ()k Z ∈时，函数()f x 单调递减， 取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图象的对称轴方程为π3π5+=x k ()k Z ∈，即ππ315=-k x ()k Z ∈，所以D 对． 故选：AD.12．设函数()f x 满足：①()21,0,log ,02,x f x x x =⎧=⎨<≤⎩；②()()22f x f x +=-；③()()22f x f x +=-．当0x >时，函数()f x 与函数y kx b =+[)(),0,1∈k b 交点的横坐标从左到右依次构成数列{}n a ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为0,1 B ．函数()f x 是偶函数C ．对任意的k ，[)0,1b ∈，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠D ．当0k =，0b ≠时，满足1128=>∑nii a的n 的最小值为17【答案】BCD【分析】A 应用特殊值直接判断正误；B 由递推关系判断()()f x f x -=是否成立；C 根据题设描述，直线与()f x 在0x >上恒有交点，可判断正误；D 结合图象，利用函数的对称性易知42=-x m ()m *∈N 为对称轴，即可判断正误.【详解】A ：当13x =时，得2211log log 3133⎛⎫==> ⎪⎝⎭f ，错误；B ：设0x <，0x ->，则()()()()()()()()222222-=-+-=-++=--+=f x f x f x f x f x ，故函数()f x 是偶函数，正确；C ：对∀k ，[)0,1b ∈，由y kx b =+总与()f x 图象在第一象限有交点，如下图示，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠，正确；D ：由②③可知，函数()f x 是周期为4的周期函数，且42=-x m ()m *∈N 为周期内的对称轴．而()0,1b ∈时()1614261014128==⨯+++=∑ii a．要使1128=>∑ni i a ，则n 取到的最小值为17，正确.故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：对于D 选项，根据()f x 的周期性及对称性，易知在每个周期内与y b =的交点横坐标关于42=-x m 对称，即可求1i ni a =∑，进而判断选项的正误.三、填空题13．已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，(),n n x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为24=-+y x ，若数据1x ，2x ，3x ，…n x 2计数据1y ，2y ，3y ，…n y 的均值为______． 【答案】2【分析】根据题意求得2x =2y =，即可得到答案.【详解】因为回归方程为24=-+y x ，且数据1x ，2x ，3x ，…，n x 2即2x =把x =42y ==，所以可以估计数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的均值为2． 故答案为：2．14．过点()1,1P -作斜率为k 的直线l 与圆()22:29C x y -+=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则k 的值为______．【答案】2-或12【分析】设直线l 的方程为()11y k x -=+，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】依题可设直线l 的方程为()11y k x -=+，即10kx y k -++=， 设圆()2,0C 到直线l 的距离为d，则d =所以==AB所以4=，解得2k =-或12. 故答案为：2-或12． 15．已知133log 80a =，=b 4log 102=c ，则a ，b ，c 的大小关系为______．【答案】b a c <<【分析】由对数运算得380log 3a =，进而得23a <<，5log 242b =<，3c =>，进而得答案.【详解】因为133380log log 803a ==，3332780812log log log 3333=<<=，所以23a <<，55log 24log 252==<=b ，4log 10log 223==>c ，所以b a c <<．故答案为：b a c <<【点睛】本题考查对数式的大小比较，对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用对数运算性质化简,,a b c ，进而借助中间量2,3实现大小比较.四、双空题16．飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有4辆飞车A 、B 、C 、D ，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车D 飞行在上圆周，飞车A 、B 、C 飞行在下圆周，且满足30BAC ∠=，4m =BC ，则ABCS的最大值为______2m ；若三棱锥D ABC -的最大体积为()31683m +，则球形飞车大棚的直径约为______m ．【答案】843+ 10【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得AB AC ⋅的最大值，进而可求得ABCS的最大值，求出ABC 的外接圆半径以及三棱锥D ABC -的高h 的最大值，利用球的截面圆的性质得出2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求出球形飞车大棚的半径，由此可得出结果.【详解】由余弦定理可得：(22162cos3023=+-⋅⋅︒≥⋅⋅AB AC AB AC AB AC ， 111sin 3084322223=⋅⋅︒≤=+-ABC S AB AC △ 设三棱锥D ABC -的高为hm ，由题中最大体积知，(142316833⨯+⋅=+h 6h =．由正弦定理可得：截面圆的直径428sin 30r ==，所以4r =．由球的截面性质可知球的半径R 满足222169252⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭h R r ，故5R =，球形飞车大棚的直径大约为10m ． 故答案为：843+10.【点睛】思路点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且636S =，______请在①35a =；②24621a a a ++=，③749=S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】选择见解析；（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-． 【分析】（1）由636S =，得到12512a d +=，分别选择①②③，列出方程组求得1,a d 的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2133-=n n na n ，利用乘公比错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-． 选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =， 所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =-=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）由（1）可得2133-=n n na n ， 所以23135213333-=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+-+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+-+++⋅⋅⋅+-=+n n n n T23411111112123333333+-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-- ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=⨯--=--n n n n n所以113n nn T +=-． 【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.18．在梯形ABCD 中，//AB CD ，<AB CD ．对角线AC ，BD 交于点O，且有AC =π4BDC ∠=，ACD α∠=． （1）用关于α的函数分别表示BD ，AB CD +； （2）若32AB =，52CD =，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值和ABC 的面积．【答案】（1）=BD α，+=AB CD αα；（2）210sin cos 5αα+=；34． 【分析】（1）过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理得25sin =AE α，π25sin 10sin 10cos 4⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα，进而得答案；（2）由题知210sin cos 5αα+=，此外由余弦定理222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅得2BD =，进而得34ABD S =△，所以34ABCS =. 【详解】解（1）如图，过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，则π4∠=∠=AED BDC ，AB ED =，BD AE =， 在三角形ACE 中，由正弦定理得，sin sin sin ==∠∠∠AE АC ECACD AEC CAE，所以10ππsin sin sin 44==⎛⎫+ ⎪⎝⎭AE ECαα， 所以25sin =AE α，π2510104⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα， 所以25sin =BD α，1010+=AB CD αα． （2）因为35422=+=+=EC AB CD ，10104=+=EC αα， 所以210sin cos 5αα+=； 因为4=+=+=CE DC DE DC AB ，AE BD =，代入余弦定理有222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅，即221610=28BD BD+-， 解得2BD =或32BD =， 当32BD =，此时322πsin sin 242525==>=BD α，与π4<α矛盾，所以2BD =， 所以11323sin 222224=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=ABD S AB BD ABD △．由于ABD △与ABC 等底等高，故ABD ABC S S =△△ 所以34ABCS=. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于过点A 作//AE BD 交CD 的延长线于E ，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理求解.19．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度H （单位：m ）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度H （m ）服从正态分布()2,0.122N μ，其中μ近似为样本平均数x ．记X 为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间()2.122,2.244的数量，求()E X ；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）附：若()2~,H N μσ，则()0.6827-<<+=P H μσμσ，()220.9545-<<+=P H μσμσ．【答案】（1）()2m ；（2）()1359E X =；（3）0.919．【分析】（1）根据直方图中各矩形的面积之和为1，可求得抽取树木高度为1.95 2.05-的频率，再运用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得样本的平均值；（2）根据（1）估计得2μ=，由正态分布密度曲线的性质求得概率()2.122 2.244P H <<，依题意知()~10000,0.1359X B ，从而根据二项分布的期望公式可得答案． （3）根据独立重复实验的概率公式可求得答案． 【详解】（1）抽取树木高度为1.95 2.05-的频率为()10.10.20.9 2.2 2.40.80.20.33-⨯+++++=，所以样本均值()1.70.02 1.80.09 1.90.222.00.33 2.10.24 2.20.08 2.30.022m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．（2）由第一问估计2μ=，()()2.122 2.24420.122220.122<<=+<<+⨯P H P H()0.95450.682720.13592-=+<<+==P H μσμσ，一棵树的高度位于区间()2.122,2.244的概率为0.1359，依题意知()~10000,0.1359X B ，所以()100000.13591359=⨯=E X ． （3）记移植五棵树中成活了Y 棵．()()()4455445C 0.90.10.90.919≥==+==⨯⨯+≈P Y P Y P Y ．【点睛】方法点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．如图，等腰直角ACD △的斜边AC 为直角ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将ACD △沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面DEF ⊥平面ABC ．已知2AC =，30B ∠=，（1）证明：//EF 平面ABD ；（2）若2DF =，求二面角A BC D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）由面面垂直和下面垂直的性质可得DG AC ⊥，DE AC ⊥，从而得到AC ⊥平面DEF ，根据线面垂直性质知AC EF ⊥，从而得到//EF AB ，由线面平行的判定可得结论；（2）以E 为坐标原点可建立空间直角坐标系，在根据角度和长度关系求得所需点的坐标和向量坐标后，根据二面角的向量求法可直接求得结果. 【详解】（1）证明：过D 做DG EF ⊥，垂足为G ，平面DEF ⊥平面ABC ，平面DEF ⋂平面ABC EF =，DG ⊂平面DEF ，∴DG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴DG AC ⊥，E 是等腰直角三角形ADC 斜边AC 的中点，∴DE AC ⊥，又DEDG D =，,DE DG ⊂平面DEF ，AC ∴⊥平面DEF ，又EF ⊂平面DEF ，∴AC EF ⊥， AC AB ⊥，∴//EF AB ，EF ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，//EF ∴平面ABD ．（2）在等腰直角ADC 中，2AC =，∴112DE AC ==， 由（1）可知：EF 为直角三角形BAC 的中位线，30B ∠=，32AB AC EF ∴==，3EF ∴=，2DF =，222EF DE DF ∴=+，DE DF ∴⊥，∴63DG =，33EG =． 以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0C ，()3,0F ，36⎛ ⎝⎭D ， ∴()3,0=-CF ，361,33⎛=- ⎝⎭CD ， 设平面CDF 的法向量(),,n x y z =，则3603330n CD x y z n CF x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1y =，解得：3x =2z =(3,1,2n ∴=，显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，23cos ,6m n m n m n⋅∴<>===⋅， 由图形知：二面角A BC D --为锐二面角，∴二面角A BC D --3【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线243y x =的焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交的弦长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，直线l 交椭圆C 于点A 、B ，直线m 交椭圆C 于点C 、D ，求22CD AB的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）)(21,2⎡⋃⎣． 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 为()12y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得AB ，同理可得CD ，分0k >、0k <两种情况讨论，利用基本不等式与不等式的基本性质可求得22CD AB的取值范围.【详解】（1）抛物线2y =的焦点为)F ，准线方程为x =设c =c =由椭圆的定义可得122a =，则2a =，1b ==，则椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）因为两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，所以可设直线l 为()1y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程代入椭圆方程2214x y +=得()()2222148420++-+--=k x k x k ，所以12+=x x，12=x x ，所以12=-==AB x同理214=+CD k所以2221116==-=-++CDAB k k， 当0k >时，所以1111216k k >-≥==++ 当且仅当16k k=时，即k =时，不等式中的等号成立， 所以22CDAB的取值范围为)2⎡⎣；当0k <时，所以111216<-≤=+++k k ， 当且仅当16k k =，即k =时，不等式中的等号成立，所以22CD AB 的取值范围为(1,2+， 综上，22CDAB的取值范围为)(21,2⎡⋃+⎣．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2e =+-xf x ax x ，()a R ∈1310e 3.67⎛⎫≈ ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明：()35f x >在()0,∞+恒成立． 【答案】（1）2ln 22a ≥-；（2）证明见解析．【分析】（1）求得()e 2'=+-x f x a x ，令()()g x f x '=，得到()e 2xg x '=-，求得函数()g x 的单调性，得到()()ln 2g x g ≥，由()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，即可求解；（2）当1a =-时，求得()e 12'=--xf x x ，由（1）得到()()min ln 20f x f ''=<，得到存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=，得出函数的单调性，求得()200min 1f x x x =-++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由()2e =+-x f x ax x ，可得()e 2'=+-xf x a x ， 记()()e 2'==+-xg x f x a x ，则()e 2xg x '=-， 当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()()ln222ln2≥=+-g x g a ，因为()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，又当0x >时，且12a x +<时，()e 2120'=+->+->x f x a x a x ， 所以()0f x '≥，即22ln 20+-≥a ，解得2ln 22a ≥-．（2）当1a =-时，()2e =--x f x x x ，所以()e 12'=--x f x x ，由（1）知()f x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以()()min ln212ln20''==-<f x f ．又因为()00f '=，()130f e '=-<，13 3.67 3.6010⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭f ，所以存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=， 所以当()00,x x ∈，()00f x '<，当()0,x x ∈+∞，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，且()000e 120'=--=xf x x ， 所以()()2220000000min 15e 124⎛⎫==--=-++=--+ ⎪⎝⎭xf x f x x x x x x ， 又因为0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以2201513156132410241005⎛⎫⎛⎫--+>--+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ， 所以()min 35>f x ，所以()35f x >恒成立． 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

备战2021(上海版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含答案解析)

备战2021(上海版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含答案解析)

备战2021（上海版）高考数学分项汇编专题06 数列（含答案解析）专题06 数列一．基础题组1. 【2021上海,文10】设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1?lim(a3?a4??)，则q= .n??【答案】?1?5 2【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2021上海,文2】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______. 【答案】153. 【2021上海,文7】设常数a?R.若(x?【答案】－22a5)的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝______. x4. 【2021上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，12Vn，…，则lim(V1?V2?…?Vn)?__________.n??【答案】8 75. 【2021上海,文8】在(x－【答案】－2016)的二项展开式中，常数项等于__________． x 16. 【2021上海,文14】已知f(x)?则a20＋a11的值是__________．【答案】1，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，1?x3?135 267. 【2021上海,文18】若Sn?sin是( )A．16 B．72 C．86 D．100 【答案】 Cπ2πnπ*?sin?…?sin(n∈N)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数77728. 【2021上海,文14】若数列?an?是首项为1，公比为a?则a的值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．【答案】B3的无穷等比数列，且?an?各项的和为a， 215 Ｄ． 24?1，1≤n≤1000，??n29. 【2021上海,文14】数列?an?中，an?? 则数列?an?的极限值（） 2?n，n≥1001，??n2?2nＡ.等于0 【答案】BＢ.等于1Ｃ.等于0或1Ｄ.不存在二．能力题组1. 【2021上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{an}满足（1）若a21an?an?1?3an,n?N*,a1?1. 3?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围；1，正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的仅比； 1000（2）若{an}是等比数列，且am?（3）若a1,a2,,a100成等差数列，求数列a1,a2,,a100的公差的取值范围. 3感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021高考数学(文科)复习小题提速练6(含答案)

2021高考数学(文科)复习小题提速练6(含答案)

高考数学（文科）复习小题提速练6（含答案）小题提速练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，2)D ．(1，2]解析：选C.由log 2(x －1)＜0可得log 2(x －1)＜log 21，再由函数的定义域和单调性可得0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，从而A ＝(1，2)，A ∩B ＝A ＝(1，2)，选C.2．若复数z 满足z －i1＋i＝3＋i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由z －i1＋i＝3＋i ，可得z －i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即z ＝2＋5i ，其在复平面内所对应的点(2，5)位于第一象限．3．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π，故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分而不必要条件，选A.4．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“2x 2－3x ≤0”发生的概率为( ) A.23 B ．34 C.13D ．14解析：选B.由2x 2－3x ≤0，得0≤x ≤32，故所求概率P ＝32－02－0＝34，选B.5．cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选D.解法一：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63° sin(90°＋87°)＋sin(180°＋63°)sin 87°＝cos 63°cos 87°－sin 63°sin 87°＝cos(63°＋87°)＝cos 150°＝－32. 解法二：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63°sin(180°－3°)＋sin(180°＋63°)sin(90°－3°)＝cos 63°sin 3°－sin 63°cos 3°＝sin(3°－63°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 6．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点到渐近线的距离为125，且其一个焦点坐标为(5，0)，则双曲线Γ的方程为( )A.x 216－y 29＝1B ．x 219－y 26＝1 C.x 213－y 212＝1 D ．x 221－y 24＝1 解析：选A.双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个顶点坐标为(a ，0)，由题有|ba －a ·0|a 2＋b 2＝125，而c 2＝a 2＋b 2且c ＝5，于是ab ＝12，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，且注意到a ＞b ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.所以双曲线Γ的方程为x 216－y 29＝1.7．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝40，则输出的i 的值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5解析：选D.运行该程序，i ＝0，n ＝40，n 不是奇数，则n ＝20，i ＝1，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝10，i ＝2，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝5，i ＝3，n ≠1；n 是奇数，则n ＝5－12＝2，i ＝4，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝1，i ＝5，此时n ＝1，循环结束．故输出的i 的值是5.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心为坐标原点O ，一个焦点为F ，若以O 为圆心，|OF |为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选A.由于以O 为圆心，以b 为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c ≥b ，c 2≥b 2＝a 2－c 2，2c 2≥a 2，e ≥22，又0＜e ＜1，所以22≤e ＜1，故选A. 9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．10 cm 2B ．272cm 2C.3172cm 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋133＋612cm 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，其中底面是底边长为4，高为3的等腰三角形，后侧面是底边长为4，高为2的三角形，左边一个侧面是等腰三角形，还有一个侧面是非特殊三角形，所以表面积S ＝12×4×3＋12×4×2＋12×14×382＋12×5×13×6165＝10＋133＋612(cm 2)． 10．若函数f (x )＝ln x －ax 2－4x (a ≠0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，则实数a 的最大值为( )A.32 B ．－32C ．－12D ．12解析：选B.解法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x －2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x(x ＞0)．①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a ，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a 上单调递增，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13，无解，故a 不存在； ②当－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a 或x ＞－4＋2a －22a， 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋2a －22a ，＋∞上单调递增， 因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13或－4＋2a －22a ≤14，所以－2＜a ≤－32；③当a ≤－2时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 综上所述，a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.解法二：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x－2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x (x ＞0)．依题意，得f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，即2ax 2＋4x －1≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，所以a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－4x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，因为1x ∈(3，4)，所以a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.11．某土木工程建筑公司有A ，B 两种型号的工程车，A ，B 两种型号的工程车的载重分别为32吨和48吨，该公司承建的工程项目需要将工地的土石从甲地运到乙地．已知A ，B 两种型号的工程车每次从甲地去乙地的营运成本分别为2 000元/辆和2 500元/辆，公司拟组建一个不超过25辆车的车队，并要求B 型车不多于A 型车10辆，若车队每次运送土石不少于880吨，且使公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小，那么应配备A 型车的辆数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设应配备A ，B 型车分别为x ，y 辆，公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本为z 元，则z ＝2 000x ＋2 500y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25，y ≤x ＋10，32x ＋48y ≥880，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，15)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫152，352，R (20，5)．作出直线4x ＋5y ＝0，平移该直线，当直线经过点P (5，15)时，z 最小．又5，15恰为整数，故应配备A 型车5辆，B 型车15辆，可以满足公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小．12．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上有A ，B 两点满足OA ⊥OB ，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ． 5 C.1＋32D ． 3通解：选A.显然直线OA ，OB 的斜率均存在，且不为0，过点O 向AB 作垂线，垂足为H .设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，与双曲线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝k 21a 2－k 2b 2，则x 2＝11a 2－k 2b 2，因而|OA |2＝1＋k21a 2－k 2b2，同理|OB |2＝1＋1k 21a 2－1k 2b 2＝1＋k 2k 2a 2－1b2，由|OA |×|OB |＝|AB |×|OH |及|OA |2＋|OB |2＝|AB |2可得，|OH |＝|OA ||OB ||OA |2＋|OB |2，即1|OH |2＝1|OA |2＋1|OB |2， 因而1c 2＝1a 2－k 2b 21＋k 2＋k 2a 2－1b 21＋k 2，即1c 2＝1a 2－1b 2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.优解：设|OA |＝m ＞0，|OB |＝n ＞0，直线OA 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则直线OB 的倾斜角为π2＋α，不妨取A (m cos α，m sin α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，因为A ，B 均在双曲线上，所以m 2cos 2αa 2－m 2sin 2αb 2＝1，n 2sin 2αa 2－n 2cos 2αb 2＝1，所以1m2＋1n2＝1a 2－1b 2，又m 2＋n 2×c ＝mn ，所以1c 2＝1m 2＋1n 2＝1a 2－1b2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，n ＝(1，0)，若m ⊥(m －λn )，则实数λ＝________．解析：解法一：由m ⊥(m －λn )可得m ·(m －λn )＝0，即m 2＝λm ·n ，而m 2＝1，m·n ＝12，所以λ＝2.解法二：易知m ，n 都是单位向量，故可将其放在单位圆中，如图所示，设OM →＝m ，ON →＝λn ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，m ，n 的夹角为60°，则要使m ⊥(m －λn )，只需∠OMN ＝90°，此时λ＝2.答案：214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ，x ＞1，3x ＋1，x ≤1，若f (f (1))＞4a 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知f (1)＝3＋1＝4，f (f (1))＝f (4)＝16＋12a ，若f (f (1))＞4a 2，则16＋12a ＞4a 2，即a 2－3a －4＜0，解得－1＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(－1，4)．答案：(－1，4)15．过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点Q (－2，2)，则直线l 的方程为________．解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l ：my ＝x －2，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －16＝0，其中Δ＝64m 2＋64＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，依题意得QA →＝(x 1＋2，y 1－2)，QB →＝(x 2＋2，y 2－2)，则QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2，易知QA →⊥QB →，则QA →·QB →＝0，即4(2m －1)2＝0，解得m ＝12，所以直线l 的方程为2x －y －4＝0.答案：2x －y －4＝016．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则sin B sin C ＝________．解析：由题意可得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(cos A ＋2)(2cos A －1)＝0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由S ＝12bc sin A ＝534c ＝53，得c ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋42－2×5×4cos π3＝21⇒a ＝21，由正弦定理可得sin B ＝sin Aab ，sin C ＝sin A ac ，所以sin B sin C ＝sin 2Aa2bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×5×4＝57.答案：57。

2021年上海高考数学冲刺直通车06 数列(详解)教师版

2021年上海高考数学冲刺直通车06 数列(详解)教师版

考点06 数列等差数列与等比数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样；客观题重点考查等差数列、等比数列基本量运算以及数列的递推关系。

主观题随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，但以数学核心素养立意在知识的交汇点命题使客观题难度加大趋势明显；试题类型以新定义数列为背景，考查证明、判断数列是等差（等比）数列、数列探索性以及范围最值问题。

一、数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N+递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、等差数列及其前n 项和1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N +，d 为常数).(2)如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N +)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.三、等比数列及其前n 项和1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项，其中G2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .四、数列求和及数列的综合应用1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.数列的概念及简单表示方法一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立.故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.2．（2020·上海黄浦区·高三二模）已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，21n f a n ⋅=+，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）．A ．单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B．单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C ．单调递增数列且lim 2n n b →∞= D ．单调递减数列且lim 2n n b →∞= 【答案】A【分析】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n a x y =，设向量f 与n a 夹角为n θ,则可求n x ，n y ，则可得到tan 21n n n n y n b x n θ===+，从而得到答案. 【详解】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n OP a x y ==，设向量f 与n a 夹角为n θ. 则tan n n b θ=，(),n n P x y 由n e a n ⋅=，可得n y n =，由21n f a n ⋅=+，可得21n x n =+ 所以tan 21n n n n y nb x n θ===+所以()()()+1110211212321n nn n b b n n n n +-=-=>+++++ 所以数列{}n b 是单调递增数列，又1lim lim122n n n n b n →∞→∞=+=.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题. 二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）已知数列{},{}n n a b 满足111,a b ==对任何正整数n 均有221,n n n n n a a b a b +=+++221n n n nn b a b a b +=++，设113()n n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2020项之和为________. 【答案】202133-【分析】由已知两个式子相乘或相加得到数列{}n n a b +和{}n n a b 是等比数列，并写出通项公式，并代入求数列{}n c 的通项公式，并求2020S .【详解】1n n n a a b +=++①，1n n n b a b +=+， 两式相加可得()112n n n n a b a b +++=+，∴数列{}n n a b +是公比为2的等比数列，首项112a b +=，*2,n n n a b n N ∴+=∈，两式相乘可得()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，∴数列{}n n a b 是公比为2，首项111a b =的等比数列，1*2,n n n a b n N -∴=∈，113323n n n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13n nc c +∴=，即数列{}n c 是首项为6，公比为3的等比数列，()2020202120206133313S -==--.故答案为：202133-【点睛】本题考查数列的递推公式求通项公式，考查转化与计算能力，属于中档题型.关键点点睛：本题的关键是对两个已知等式的变形，相加变形和相乘变形，根据等比数列的定义求等比数列的通项公式.4．（2020·上海高三专题练习）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞． 【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)nn n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列，故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题． 三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =且4212614(1)n n n n n a a a a a +++=+，求数列{}n a 的通项. 【答案】11443131n n n a --+=-【分析】通过对递推关系式4212614(1)n n n n n a a a a a +++=+，变形可知412(1)4(11)n n n n a a a a +=+++，同理可知412(1)4(11)n n n n a a a a +=+--，作商可知4111111n n n n a a a a ++⎛⎫+= ⎪-⎝⎭+-，两边取对数可知数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解14131n n n a a -+=-，从而得到n a . 【详解】4222212261(1)44(1)4(1)n n n nn n n n n a a a a a a a a a +++++==++，2222241222(1)4(112)(1)14(1)4(1)4(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++∴=+==++++ 同理可知：2222241222(1)4(12)(1)14(1)4(1)114()n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++--=-==+++- 两式作商可得：442414412(1)4(1)(1)1(1)(1)14(1)11n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫+++=== ⎪---⎝-⎭++ 两边取对数得：41111ln ln 4ln 1111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫++==+- ⎪--⎝⎭又12a =，则111ln ln 31a a +=-所以数列1ln1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln3，公比为4的等比数列 1141ln 4ln 3ln 31n n n n a a --+∴=⨯=-，即14131n n n a a -+=-，整理得：11443131n n n a --+=-所以11443131n n n a --+=-. 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.6．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，2122n n na a a ++=，求n a 的通项公式.【答案】))221111nnn a +=-【分析】通过对递推关系式2122n n na a a ++=，变形可知(212nn na a a ++=，(212nn na aa +-=，两者作商，整理变形可知数列⎧⎪⎨⎪⎩为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】2122n n na a a ++=，(222122222nn n n n n n na a a a a a a ++++∴=+==，同理可知，(212nn na aa +-=(()222n naa⎛==两边同时取对数运算得：2ln ln 2ln ⎛⎫==又12a =，则()6lnln ln ln 32ln12+===+=⎧⎪∴⎨⎪⎩是首项为)2ln1+，公比为2的等比数列，))22ln1ln1nn∴==)21n=，整理得：()()22221221nnn n a a ++=+⋅-，即()()222112211nnn a ++=⋅+-故答案为：()()222112211nnn a ++=⋅+-【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.等差数列及其前n 项和一、单选题1．（2021·上海高三专题练习）椭圆221168x y +=上有10个不同的点1210,,,P P P ，若点T 坐标为(1,0)，数列{}(1,2,,10)=n TP n 是公差为d 的等差数列，则d 的最大值为（ ）A ．29B ．89C 57- D 57+【答案】C【分析】设椭圆上一点(,)P x y ，可知[4,4]x ∈-，则可求出||7,5]∈TP ，即可求出d 的最大值为max min||||101TP TP --.【详解】设椭圆上一点(,)P x y ，其中221168x y +=且[4,4]x ∈-，则2222221||(1)(1)81(2)7[7,25]162⎛⎫=-+=-+-=-+∈ ⎪⎝⎭x TP x y x x ，∴||∈TP ，∴max min max ||||101-==-TP TP d .故选：C . 【点睛】本题考查椭圆上点到定点距离的取值范围，考查等差数列的性质，属于中档题. 2．（2020·上海高三专题练习）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，()()()1255f a f a f a π+++=，则()2323f a a a -=⎡⎤⎣⎦( )A ．0B ．2116π C ．218πD ．21316π 【答案】D【分析】由()2cos f x x x =-，又{}n a 是公差为8π的等差数列，可求得12533()()()10(1f a f a f a a a ++⋯+=-，由题意可求得32a π=，从而可求得答案．【详解】()2cos f x x x =-，125125125()()()2()(cos cos cos )f a f a f a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯+-++⋯+，{}n a 是公差为8π的等差数列，12535a a a a ∴++⋯+=，由和差化积公式可得， 125cos cos cos a a a ++⋯+15243(cos cos )(cos cos )cos a a a a a =++++33333[cos(2)cos(2)][cos()cos()]cos 8888a a a a a ππππ=-⨯++⨯+-+++ 333333333()()()()()()()()888844442cos cos 2cos cos cos 2222a a a a a a a a a ππππππππ-++--+-++--+=++ 33322cos 2cos cos()cos 28a a a π=+-+3(1a =，125()()()5f a f a f a π++⋯+=，3310(15a a π∴-=，设333()10(1g a a a =-，所以33()10+(10g a a '=>，所以函数3()g a 在定义域内单调递增.所以方程3310(15a a π-=最多只有一个解. 当32a π=时，3310(15a a π-=.所以32a π=.∴2323[()]f a a a -2()282ππππ=--22316ππ=- 21316π=． 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角恒等变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列，222,,r s t a a a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为___________. 【答案】45【分析】利用等比数列的定义得s t r s a a a a =，2222s t r s a a a a =，由比例性质得s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==s r=，从而得1a d =，然后计算1111(1)99099099012(1)22n nn n a na d S S n a a n d n -+++==+++-，求出9901()22n f n n =++的最小值即可．【详解】设1(1)n a a n d =+-，0d ≠，由题意,,r s t a a a 成等比数列，s t r s a a a a =，所以s t s t r s r s a a a a s ta a a a r s--===--， 222,,r s t a a a 也成等比数列，2222s t r sa a a a =，所以222222222222s t s t r s r s a a a a s t s ta a a a r s r s ---====---， 所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==，所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==2222s s r r a a s s sa a r r r--===--，1111(1)(1)s r a a s d a d sd s a a r d a d rd r+--+===+--+，所以10a d -=，1d a =． 1111(1)99099099012(1)22nnn n a na dS S n a a n d n -+++==+++-，4445<<， 设9901()22n f n n =++，由勾形函数性质知()f n在上递减，在)+∞上递增，又*n N ∈，(45)45f =，990441(44)454422f =++=，所以()f n 的最小值为45．即1990nnS S a +的最小值为45．故答案为：45．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，等差数列的前n 项和，解题关键是由等比数列得出比例，由比例性质及等差数列的通项公式推导出1a d =，然后计算1990nnS S a +，并利用勾形函数的单调性得出最小值．4．（2020·上海高三其他模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()*112n n nS a n N +=+∈.已知1F ，2F 是双曲线C ：2214x y -=的左右焦点，()*1,2n n n S P n n N a ⎛⎫-∈ ⎪+⎝⎭，若12n n t P F P F ≥-对*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是______. 【答案】4t ≥【分析】根据题意，求得24a =，类比()*112n n n S a n N +=+∈写出2n ≥，()*1112n n n S a n N --=+∈，两式作差，整理得出12212n n a a a n n +===+，得到3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，进而求得3,1(1)1,2n n S n n n =⎧=⎨++≥⎩，点()1,22n n n S P n n a ⎛⎫-≥ ⎪+⎝⎭可化为,2n n P n ⎛⎫⎪⎝⎭落在双曲线的渐近线2x y =上，结合双曲线的定义以及渐近线的性质，得到结果.【详解】1n =，12112a a =+，∵13a =，∴24a =，2n ≥，()*1112n n n S a n N --=+∈， 作差得，11(2)22n n n n n a a a n +-=-≥12(2)212n n n a a a a n n n n +⇒=≥⇒==+， ∴3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，3,1(1)1,2n n S n n n =⎧=⎨++≥⎩，()1F，)2F ，1n =，121,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，1112 1.96PF PF -≈，2n ≥，设线段2n P F 与双曲线交于点G ，()12121224n n n n P F P F P F P G GF GF GF a -=-+<-==，1,2n n n S P n a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭得坐标可化为,2n n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，落在双曲线C ：2214x y -=的渐近线2x y =上，当n →∞时，,2n n P n ⎛⎫⎪⎝⎭可近似看成第一象限双曲线上的点，1224n n P F P F a -→=， ∴4t ≥.故答案为：4t ≥.【点睛】该题考查的是有关数列与双曲线的综合题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项以及前n 项和，双曲线的性质，极限思想，属于较难题目.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且1n n a a d +-=（*N n ∈），其中d 为常数且0d ≠．（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n na →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S ⋅中的项k k S ⋅<条件k 的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =．【答案】（1）n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n na →∞-=1；（2）存在；k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8；（3）证明见解析．【分析】（1）利用已知条件得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列，求出通项公式，取极限即可；（2）利用等差数列的前n 项和公式先得到4a ，再求出1a ，利用等差数列的前n 项和公式得到328n n S n n ⋅=-，即3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-<，即可求出满足条件k 的所有值；（3）①先证必要性：存在k ，使得s t k a a a +=，利用等差数列的通项公式得到1(1)a k s t d =--+，故存在m ，使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈．运用反证法．证明即可；②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈，任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），利用等差数列的通项公式得到11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=满足题意.【详解】（1）由11n n a a +-=，得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列．故n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n n a →∞-=1lim(1)1n n→∞-=．（2）{}n a 是等差数列，7477S a ==-，得41a =-，又因为2d =，所以17a =-．故221()822n d dS n a n n n =+-=-，所以328n n S n n ⋅=-（*N n ∈），3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-<，当k =1,2,3,4,5,6,7,8时，0k k S ⋅≤<29,k k k S k ≥⋅≥> 所以满足条件的所有的k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8．（3）①先证必要性：任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），存在k ，使得s t k a a a +=， 则112(2)(1)a s t d a k d ++-=+-，得1(1)a k s t d =--+，故存在m ，使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈．再证1m ≥-：运用反证法．假设当0d ≠时，1m ≥-不成立，则1m <-恒成立． 对于不同的两项1a 、2a ，应存在l a ，使得12l a a a +=，即(21)(1)m d md l d +=+-， 故2l m =+，又因为m 是小于1-的整数，故0l ≤．所以假设不成立，故1m ≥-．②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈，任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），s t a a +=112(2)(2)a s t d a s t m d ++-=+++-，因为20s t m ++-≥且2s t m Z ++-∈，所以11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=，综上①②可得，等差数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =得证．【点睛】关键点睛：熟练掌握等差数列的通向公式以及等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，证明充要条件时要分别证明充分性和必要性两种情况.6．（2020·上海高三专题练习）{}n a 是等差数列，n S 为数列前n 项和()10≠a ．求：（1）lim nn nna S →∞； （2）11lim+→∞-++n n n n n S S S S ． 【答案】（1）0d ≠时为2，0d =时为1；（2）1【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n 项和公式，求得nn na S 的表达式，由此求得lim n n nna S →∞. （2）利用等差数列前n 项和公式，求得11n n n n S S S S +-++的表达式，由此求得11lim +→∞-++n n n n n S S S S . 【详解】（1）当0d =时，1n a a =，所以111n n na na S na ==，lim 1n n nnaS →∞=.当0d ≠时，()()()()111111111111222n n a d n a n d a n d na n a d n n n S na d a d n +⎡⎤+-+-⎣⎦-===--+++-， 所以111lim lim 212n n n n a dna n a d S n →∞→∞+-==+-. 综上所述，当0d ≠时，lim2n n n na S →∞=；当0d =时，lim 1n n nnaS →∞=.（2）11n n n n S S S S +-++()()()()()()()111111122112122n n n n na d n a d n n n n na d n a d -+++++=---++-+ ()()()21212211221212112111a d n a n d n n n a n d a dn n n ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==-+-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2112121limlim 2121111n n n n n n a d n n a d n n n S S S S +→∞→∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+ 【点睛】本小题主要考查数列的极限，属于中档题.7．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 中，11a =-，112n na a +=-，求n a 的通项公式. 【答案】2121n a n =-- 【分析】通过对递推关系式112n n a a +=-，变形可知111111n n a a +-=---，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式即可求解.【详解】112n na a +=-， 111111111122n n n n na a a a a +∴===-------，即111111n n a a +-=---又11a =-，则11112a =-- 11n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项为12-，公差为1-的等差数列，111(1)(1)122n a n n ∴=-+-⨯-=--，即322321122121n n n a n n n --===----， 故答案为：2121n a n =-- 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的定义和等差数列的通项公式，及构造法求通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.8．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，143n n S a +=+，求201920182a a -的值和n a .【答案】20192019201822a a -=，()1221n n a n -=-【分析】利用n a 与n S 的关系，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，整理变形可得1144n n n a a a +-=-，即11222n nn n a a a a +--=-，可知数列{}12n n a a +-为等比数列，由等比数列的通项公式计算得1122n n n a a ++-=，令2018=n ，可求得201920182a a -；再对1122n n n a a ++-=变形得11122n nn n a a ++-=，可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再由等差数列的通项公式求解可得.【详解】当1n =时，11a =，212143S a a a =+=+，解得：26a =当2n ≥时，由143n n S a +=+可知，143n n S a -=+两式作差可得：1144n n n a a a +-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，即11222n nn n a a a a +--=- 又2124a a -=，所以数列{}12n n a a +-是首项为4，公比为2的等比数列，1112422n n n n a a -++∴-=⨯=，20192019201822a a ∴-=由1122n n n a a ++-=，两边同除以12n +，得11122n nn na a ++-= 又11122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列，121(1)222n na n n -∴=+-=，整理得()1221n n a n -=- 所以20192019201822a a -=，()1221n n a n -=-【点睛】方法点睛：本题考查等差、等比数列的定义和等差、等比数列的通项公式，及构造法求通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为a n ＋1－a n ＝f (n )型，则采用累加法；若为a n ＋1a n ＝f (n )型，则采用累乘法.等比数列及其前n 项和一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列【答案】C【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.【详解】对于A ，若24nn a =，则2n n a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C.【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断.2．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由题意，函数2()sin f x x x =⋅是奇函数，只需考查函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的性质，此时2y x ，sin y x=都是增函数，所以2()sin f x x x =⋅在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上也是增函数，即120x x +≠时，1212([()()])0x x f x f x +⋅+>，对于（1），132,022x x x ππ≤-=-=≤，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数()f x 的单调性，即可判断；【详解】由题意得22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，所以2()sin f x x x =⋅是奇函数，只需考查函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的性质，此时2y x ，sin y x =都是增函数，所以2()sin f x x x =⋅在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上也是增函数，即函数2()sin f x x x =⋅在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上也是增函数，设12,2,2x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若120x x +<，则12x x <-，()()()122f x x f x f -∴=<-，即()()120f x f x +< 若120x x +>，则12x x >-，()()()122f x f x f x ∴>-=-，即()()120f x f x +> 所以120x x +≠时，1212([()()])0x x f x f x +⋅+>， 对于（1），取132,022x x x ππ≤-=-=≤，331212(3)([()()()])F x x x f x f x f x =++⋅++0=，故（1）正确；对于（2），*1()()2n n x n N =-∈，1211122111132021nn n x x x +++=<-⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎣⎦∴=--- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦- ⎪⎝⎭又212(21)212222sin si 1111()()2222n k k kkk k f x f x -⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+212122221211111sin sin 4sin si 114242n 422k k k kkk k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令2211122,2k k αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭==⎭，则212114sin sin 4sin 2si 2n 2k ky αα-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=-++⎭=-8sin cos sin sin (18cos )ααααα=-+=-又k *∈N ，知104α<≤，则1sin 0,cos cos 14αα>≤<，则1718cos 18cos 4α-<-≤-，1coscos cos cos sin sin 1234343448πππππππ⎛⎫=-=+=> ⎪⎝⎭， 又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，1coscos 412π∴>，即11cos 48>，118cos 04∴-< sin (18cos )0αα∴-<，即212114sin sin 022k k-⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212()()0k k f x f x -+<，由k 的任意性可知，122()()()0k f x f x f x +++<，又1220k x x x +++<，所以122122(2)([()()()])0k k F k x x x f x f x f x =+++⋅+++>，故（2）正确；对于（3），数列{}n x 是等差数列，若120n x x x +++=，则()0F n =；若10n x x +>，即1n x x >-，又()f x 是奇函数也是增函数有1()()()n n f x f x f x >-=-，可得1()()0n f x f x +>；同理：若-210n x x +>，可得2-1()()0n f x f x +>；若-320n x x +>，可得3-2()()0n f x f x +>；相加可得：若210n x x x +++>，可得12()()()0n f x f x f x +++>，即()0F n >；同理若210n x x x +++<，可得12()()()0n f x f x f x +++<，即()0F n >，故（3）正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.3．（2020·上海杨浦区·复旦附中高三期末）用1nkk x=∑表示n 个实数12,,...,n x x x 的和，设11nk n k a q-==∑，1nk n n k k A C a ==∑，其中()()3,00,1q ∈-⋃，则lim2nnn A →∞的值为（ ）A ．1qB ．11q- C ．qD ．1q -【答案】B【分析】先根据等比数列前n 项和公式求n a ，再利用二项式定理求解1nk n nkk A C a==∑，之后根据q 的范围求极限即可.【详解】解：∵ ()()3,00,1q ∈-⋃，∴ 1211111n nk n n k q a qq q qq--=-==+++⋅⋅⋅+=-∑， ∴ 2121111=111n nknn nk n n n k q q q A C a C C C q q q =---=++⋅⋅⋅+---∑ ()()121221=1n n n n n n n n n C C C C q C q C q q ⎡⎤++-++⋅⋅⎣⎦-⋅+⋅⋅⋅+ ()1=211n n q q⎡⎤-+⎣⎦-， ∴ 1111=22n n nq q A ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又 ∵ ()()3,00,1q ∈-⋃，∴ 1012q +≤<，∴ lim 11=2n n n A q →∞-. 故选：B.【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.二、填空题4．（2020·上海市进才中学高三期中）已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 【答案】94【分析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到n S ，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，所以121331331112322313nn n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，331223n nS ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递减，因为*n N ∈，所以13312223n S S ≤=+⋅=，又33132232nn S ⎛⎫=+⋅> ⎪⎝⎭，所以322n S <≤；当n 为偶数时，331223n nS ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递增，因为*n N ∈，所以233142293n S S ≥=-⋅=，又33132232nn S ⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭，所以4332n S ≤<，综上，对任意的*n N ∈，都有423n S ≤≤，所以436n S ≤≤，11324n S ≤≤，则31142n S -≤-≤-， 所以31143642n n S S -≤-≤-，即13111342n n S S ≤-≤，因此对任意的*n N ∈，都有13111342n n S S ≤-≤； 为使对任意的*n N ∈，均有13n n A S B S ≤-≤恒成立，只需112B ≥，134A ≤，所以B A -的最小值为11139244-=.故答案为：94.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出n S 后，利用分类讨论的方法，根据n S 的单调性，求n S 的最值，进而即可求解.5．（2020·上海高三专题练习）已知点列11223311(1,),(2,),(3,),,(1,)n n P y P y P y P n y +++在x 轴的投影为1231,,,,n Q Q Q Q +，且点1n P +满足11y =，直线1n n P P +的斜率12n n n P P k +=．则多边形1111n n PQ Q P ++的面积为____．【答案】323n n ⨯--【分析】根据题意，得出12n n n y y +-=，运用累加法和等比数列的求和公式，求出21nn y =-，得出第n 个梯形的面积113212n n n n y y S -++==⨯-，最后利用分组求和法以及等比数列的求和公式，即可求出多边形的面积.【详解】解：由题可知，直线1n n P P +的斜率12n n nP P k +=，即()121n n ny y n n+-=+-，可得12n n n y y +-=，则112n n n y y ---=，2122n n n y y ----=，，2322y y -=，1212y y -=，累加后，得()12311121222222212n n n n yy ++--=++++==--，即11122n n y y ++-=-，而11y =，可以求得1121n n y ++=-，则21nn y =-，根据题意，可以将该多边形分成n 个直角梯形来算，且从左往右，第n 个梯形的面积为：111212132122n n n n n n y y S +-++-+-===⨯-，得01321S =⨯-，12321S =⨯-，，1321n n S -=⨯-，所以多边形的面积为：121n n S S S S S -=++++，则()()()()0121321321321321n n S --=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-即()()()01211232222332112nn n nS n n n ---=⨯++++-=⨯-=⨯---，所以多边形的面积为：3(21)323nnS n n =⨯--=⨯--.故答案为：323n n ⨯--.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及利用累加法求数列通项公式和利用分组求和法对数列进行求和，进而求出多边形的面积，考查转化思想和运算能力.三、解答题6．（2020·上海高三专题练习）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11,221,214n n n a n k a a n k +⎧=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩*k N ∈，记2114n n b a -=-，1,2,3,n =．（1）求23,a a ；（2）判断{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求()12lim n n b b b →∞+++．【答案】（1）23111,428=+=+a a a a ；（2）是等比数列，证明详见解析；（3）()121lim 22n n b b b a →∞+++=-【分析】（1）利用数列{}n a 的递推公式可计算出2a 、3a ；（2）证明出1n nb b +为非零常数，即可证明出数列{}n b 是等比数列；（3）求出数列{}n b 的前n 项和，利用极限的运算法则可计算出所求极限值.【详解】（1）()*11,221,214nn n a n k a k N a n k +⎧=⎪⎪=∈⎨⎪+=-⎪⎩， 211144a a a ∴=+=+，32111228a a a ==+； （2）12122121211111111111142424428242n n n n n n n b a a a a a b ++---⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，112n n b b +=，且1111044b a a =-=-≠，所以，数列{}n b 是等比数列； （3）由（2）知，数列{}n b 是以14a -为首项，以12为公比的等比数列，所以，112111122112212nn n b b b b a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++==-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因此，()122l 1im l m 1112i 222n n n n a a b b b →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++.【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了等比数列的证明以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足条件：121,(0)==>a a r r ，且{}1n n a a +是公比为(0)q q >的等比数列，设212(1,2,)-=+=n n n b a a n .（1）求出使不等式()*11223++++++>∈N n n n n n n a a a a a a n 成立的q 的取值范围；（2）求n b 和1lim →∞n nS ，其中12n n S b b b =+++；（3）设19.2121,2=-=r q ，求数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 的最大项和最小项的值.【答案】（1）0q <<；（2）()()11011(1),lim 101n n x n qq b r q r s q -→∞-⎧<<⎪=+=+⎨⎪≥⎩；（3）数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 有最大值2.25；数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 有最小值4-.【分析】(1)利用数列{}n a 满足条件:11a =，2(0)a r r =>，且{}1n n a a +是公比为(0)q q >的等比数列，可得公比的不等式，故可求q 的取值范围；(2)先考虑相邻项的关系,可知比值为常数，故可知数列{}n b 是等比数列，由于公比不定，故要进行分类讨论； (3)先求数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 的通项，再利用单调性,研究其最值.【详解】(1)由题意得11n n n a a rq -+=，则不等式()*11223++++++>∈Nn n n n n n a a a a a a n 即为11n n n rqrq rq -++>，由题设0r >，0q >，故从上式可得 210q q --<,0q >，故0q <<；(2) 由（1）得1221n n n n n na a a q a a a ++++==，所以12111n n n a a q q ---==，1212n n n a q a q r --==， 所以+12+12+212121++n nn n n n n n n n b a a q rq q b r q qa a ---+===+， 110b r =+≠，所以{}n b 是首项为1r +，公比为q 的等比数列，所以1(1)n n b r q -=+，当1q =时，(1)n S n r =+，()11lim lim 01+n n nS n r →∞→∞==；当01q <<时，()()111lim lim 11+1n n n n q q S r r q →∞→∞--==+-； 当1q >时，()()11lim lim 01+1n n n n q S r q →∞→∞-==-；()()11011(1),lim 101n n x n q q b r q r s q -→∞-⎧<<⎪∴=+=+⎨⎪≥⎩，(3)从上式可知,设()()22212221log log log 19.21()1log log log 19.2120.21+1+n n n n b n f b r q r n n q n +--==++=-+-+=， 当21n ≥时,()f n 递减，max ()(21)()(21) 2.25f n f f n f ∴≤∴==，当020n <≤时，()f n 递减,()(20)f n f ∴≥，min ()(20)4f n f ==-， 所以当21n =时，数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 有最大值2.25；当20n =时，数列212log log +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n b b 有最小值4-.【点睛】本题以等比数列为依托，考查数列的和的极限，考查数列中的最大与最小项，综合性强，关键在于由递推项之间的关系得出所求数列的通项，运用数列的单调性求最值，属于难题.1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论.数列求和及数列的综合应用一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）设n 为满足不等式01222008nn n n n C C C nC ⋅+⋅<⋅+++的最大正整数，则n 的值为（ ）． A ．11 B ．10 C ．9 D ．8【答案】D【分析】利用倒序相加法可求得0121221n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅+，进而解不等式求得最大正整数n . 【详解】设0122nn n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+，则()()12012n n n n nn n S nC n C n C C --=+-+-+⋅⋅⋅+，又r n rn n C C -=，012102222n n n n n n n n n S nC nC nC nC nC C n -∴=++++++=⋅+，121n S n -∴=⋅+，由2008S <得：122007n n -⋅<，72128=，82256=，∴78210242007⨯=<，89223042007⨯=>，n ∴的值为8.故选：D .【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前n 项和的问题，属于中档题.。

2021年最新高考冲刺压轴卷 理数(含答案)

2021年最新高考冲刺压轴卷 理数(含答案)

2021年最新高考冲刺压轴卷理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足()()202220221i 2i z -=，则z =（ ）A ．1B ．20222C ．10112D ．10112-【答案】C【解析】依题意()202220222i 1i 1i z ⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭，202210112z ==，故选C ．2．已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|0lg 1000B x x =<≤，|2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，若()A B C {|03}x x =≤<，则a =（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】C【解析】因为集合{}{}2|20|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}|0lg 1000|13B x x x x =<≤=<≤，所以{}|03AB x x =≤≤，又|2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，(){|03}A B C x x =≤<，所以32a=，解得6a =，故选C ． 3．“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直， 所以1()(1)0a a ⨯+⨯-=，所以a ∈R ．所以1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分条件； 当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立， 所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的非必要条件， 所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分非必要条件，故选A ．4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．三科总体的标准差相同B ．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小【答案】D【解析】由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙，故选D ． 5．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】∵log log ma a mb b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===，777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===，7log 66c =， 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>， 故选B ．6．已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则此函数的“π4LD -”区间为（ ） A ．()πππ,π612k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()7ππ,π312πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()πππ,π123k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7π5ππ,π126k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C【解析】对于函数()3sin 2π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6s 26πco f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，对于函数()ππππ3sin 23sin 24463g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()π6cos 23g x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则此函数的“π4LD -”区间满足： 6cos 2066cos π3π20x x ⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即ππππ+63,7ππππ1212k x k k k x k ⎧-≤≤⎪⎪∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩Z ， ∴ππππ,123k x k k +≤≤+∈Z ，故选C ． 7．函数2()ln 1f x x x =--的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，函数()2ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)+∞，设()ln 1g x x x =--，则()10g =，()11g x x'=-， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 可得()()10g x g >=，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且()0f x >，故选D ． 8．已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）． A ．1n a n =+ B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】A【解析】由题已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()g x g x -=-， 代入得11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，令12t x =-，则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+，即()1=+n a n ，故选A ．9．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．2B ．2C ．π16D 【答案】A【解析】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连接,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥，又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥， 而1DMD D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥， 又AEAF A =，所以1D M ⊥平面AEF ，因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而2EF =，所以动点P 的轨迹的长度为2，故选A ．10．已知函数()12x f x +=可以表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之差，若()2h x +⎡⎤⎣⎦()1ag x ≥对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()()()12x f x g x h x +=-=，有()()()()()22x f x g x h x g x h x -=---=+=， 解得()22xxg x -=+，()22xx h x -=-，()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦，可化为()()222221x x x xa ---++≥，有()()442221x xx x a --+-++≥，有()()2225220x xx x a --+-++≥，得()52222x xx xa --≥-++， 又由222x x -+≥，有51222a ≥-=，故选C ． 11．已知圆()()222:0M x m y m m ++=>在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内部，点A为C 上一动点．过A 作圆M 的一条切线，交C 于另一点B ，切点为D ，当D 为AB 的中点时，直线MD 的斜率为-C 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+．将A ，B 的坐标分别代入C 的方程，得22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，得()()222212122211x x y y a b-=--， 所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即()()21202120y y y b x x x a -=--．当D 为AB的中点时，MD k =-14AB MDk k =-=，故12124y y x x -=-．如图，设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，所以22tan tan tan 21tan DOMDME DOM DOM∠∠=∠==-∠2tan 0DOM DOM ∠+∠=，解得tan 2DOM ∠=或tan DOM ∠=，则00tan ODy k DOM x =-∠==，所以2242b a ⎛⨯-=- ⎝⎭，所以2214b a =， 故C的离心率2e ==，故选C ．12．若()f x 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[],A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[],A B 与[],B A 视为同一个“友情点对”）若()32,0,0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0-【答案】A【解析】根据题意，若要求“友情点对”，可把0x <时的函数图象关于原点对称， 研究对称过去的图象和0x ≥时的图象有两交点即可，2(0)y ax x =<关于原点对称的解析式为2(0)y ax x =->，考查3x x y e=的图象和2(0)y ax x =->的交点，可得32x x ax e=-，x x a e =-，令()x x g x e =-，1()0xx g x e -'==， 所以(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数；(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，1(1)g e=-，其图象为故若要xx a e =-有两解，只要10a e-<<即可，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．612a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为________． 【答案】320-【解析】令1x =，可得612a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为6(1)(12)3a +⋅-=，2a ∴=．6612122a x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6224461111(2)(126016024016064)x x x x x x x=+-+-+⋅-+，故该展开式中常数项为()2160320⨯-=-，故答案为320-． 14．某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了100名物理成绩在6090分(满分为100分)之间的学生进行调查，将这100名学生的物理成绩分成了六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90，绘成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[)70,80的学生中任抽取2人，则成绩在[)75,80的学生恰好有一人的概率为_______．【答案】2449【解析】从频率分布直方图中可知，成绩在[)70,75的人数为0.04510020⨯⨯=人， 成绩在[)75,80的人数为0.06510030⨯⨯=人．成绩在[)75,80的学生恰好有一人的概率为112030250C C 24C 49P ==，故答案为2449． 15．已知点P ，Q 是圆221x y +=上的动点，若直线0:x y l b ++=上存在点A ，使得PAQ ∠=π2，则b 的取值范围是_________． 【答案】[2,2]-【解析】如图，过圆221x y +=上任意两点P ，Q 分别作与坐标轴平行的直线， 两直线交于一点A ，则点A 满足题意，可知正方形区域内（含边界），对于任意两点P ，Q 均存在满足题意的A 点． 当直线0x y b ++=过正方形右上顶点时，b 取得最小值2-； 当直线0x y b ++=过正方形左下顶点时，b 取得最大值2， 故b 的取值范围为[2,2]-，故答案为[2,2]-．16．已知ABC △的外心为O ，34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B的取值范围是___________．【答案】,13⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ， 因为ABC △的外心为O ，则ODBC ，因为()++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，又()()()()2222111+222AD BC AB AC AC AB AC AB b c ⋅=⋅-==--， 所以()2212AO BC b c ⋅=-，同理可得()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，所以34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅化为()()()22222211134222b c a c b a ⨯-=⨯+--，即22232a c b +=．由余弦定理得()22222222212123cos 2232a c a c a c b a c B acac ac+-+=+-=⨯+=，又22222+a c ac ac≥=c =时，取等号，又0πB <<，所以cos 13B ≤<．故答案为⎫⎪⎪⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34nT <． 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， 在332n n a a =-中，令1n =，得3132a a =-， 即11232a d a +=-，故11a d =+①．由5324S S a -=，得4524a a a +=，所以123a d =②． 由①②解得13a =，2d =．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+． （2）由（1）可得()12(321)222n n n a a n n S n n +++===+， 所以211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以11113231221242(1)(2)n n T n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭． 因为2302(1)(2)n n n +>++，所以34n T <．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB ==，2BC =，E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，点F 在棱11A B 上，且12B F =．（1）证明：1//A P 平面EFC ；（2）若1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，求二面角P CF E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）证明：如图，连接1PB 交CE 于点D ，连接DF ，EP ，1CB ．因为E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点， 故11//2EP CB ，故112PD DB =． 又12B F =，113A B =，故1112A F FB =，故1//FD A P ． 又FD ⊂平面EFC ，所以1//A P 平面EFC ．（2）由题意知AB ，BC ，1BB 两两垂直，以B 为坐标原点，以1BB 的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -．则()0,2,0C ，()10,0,3B ，()2,0,3F ，()0,1,3E ，30,2,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设()111,,x y z =n 为平面EFC 的法向量，则00EF EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11112030x y y z -=⎧⎨-=⎩，可取3,3,12⎛⎫= ⎪⎝⎭n ．设()222,,x y z =m 为平面PFC 的法向量，则00PF PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即222232202302x y z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取()1,1,0=m ，所以33cos ,14+⋅===n m n m n m ， 由题意知二面角P CF E --为锐角，所以二面角P CF E --的余弦值为14． 19．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得到下表数据：请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x的线性回归方程ˆˆˆya bx=+； （2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为25，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为m ，14，23，其中01m <<，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时m 的取值范围． 参考公式：①线性相关系数ni ix y nxyr -=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．②对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）相关系数0.99r ≈，y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，回归直线方程ˆ 2.30.7y x =-+；（2）17,160⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据表格中的数据，可得689101295x ++++==，2345645y ++++==，511224365072194i ii x y==++++=∑，521366481100144425i i x ==++++=∑，5214916253690ii y==++++=∑，可得相关系数0.990.95r ==≈>， 故y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，又由1221194594ˆ0.7425581ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，可得ˆ490.7 2.3a =-⨯=-，综上回归直线方程ˆ 2.30.7yx =-+． （2）通过甲大学的考试科目数23,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()26355E X =⨯=，设通过乙大学的考试科目数为Y ，则Y 可能的取值为0，1，2，3， 则()()()12101111434P Y m m ⎛⎫⎛⎫==---=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()121212711111111434343123P Y m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-⨯⨯-+-⨯-⨯=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()121212152111434343612P Y m m m m ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1213436P Y m m ==⨯⨯=，所以()711511123123612612E Y m m m m ⎛⎫=-+++⨯=+ ⎪⎝⎭， 因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以()()E Y E X >，即116125m +>， 又由01m <<，解得17160m <<， 即为该考生更希望通过乙大学的笔试时m 的范围为17,160⎛⎫⎪⎝⎭． 20．（12分）已知抛物线Ω的标准方程是()220x py p =>，过点()0,2M p 的直线l 与抛物线Ω相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足1264y y ⋅=．（1）求抛物线Ω的标准方程及准线方程；（2）设垂直于l 的直线1l 和抛物线Ω有两个不同的公共点C ，D ，当C ，D 均在以AB 为直径的圆上时，求直线l 的斜率．【答案】（1）抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-；（2）1或1-． 【解析】（1）由题意可知，直线l 的斜率存在， 设其斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx p =+，由222x py y kx p⎧=⎨=+⎩，消元得22240x pkx p --=． 122x x pk +∴=，2124x x p ⋅=-，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线Ω上，2112x py =∴，2222x py =，22212124x x p y y =∴，212464y y p ⋅==∴，解得4p =，∴抛物线Ω的标准方程为28x y =，准线方程为2y =-．（2）由（1）得：抛物线Ω的方程为28x y =，若0k =，则直线1l 与抛物线仅有一个交点，不合题意，0k ∴≠， 设()33,C x y ，()44,D x y ，143344318l y y x x k x x k -+∴===--，则348x x k+=-， ,C D 在以AB 为直径的圆上，CA CB ∴⊥，DA DB ⊥，即0CA CB ⋅=，0DA DB ⋅=，()()()()()()()()222231323132222241424142064064x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧--⎪--+=⎪∴⎨--⎪--+=⎪⎩，整理得()()()()31324142640640x x x x x x x x ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩，由（1）知128x x k +=，1264x x ⋅=-，2332448080x kx x kx ⎧+=∴⎨+=⎩，两式作差得348x x k +=-， 又348x x k +=-，88k k∴-=-，解得1k =±，∴直线l 的斜率为1或1-．21．（12分）已知函数21()()2xf x e ax a =-∈R ． （1）若曲线()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：2aM <． 【答案】（1）(],e -∞；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得()0xf x e ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，即xe a x≤在区间()0,∞+内恒成立，令()x e g x x =，则()()221xx x x exe e g x x x--'==． 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1内单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在区间()1,+∞内单调递增， 故()()min 1g x g e ==，所以a e ≤， 所以a 的取值范围为(],e -∞．（2）由（1）知当a e ≤时，()f x 在区间()0,∞+内单调递增，则不存在极大值． 当a e >时，1ln a <．()x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()x h x e a '=-，令()0h x '=，则ln x a =，则易知函数()f x '在区间()0,ln a 内单调递减，在区间()ln ,a +∞内单调递增． 又()010f '=>，()10f e a '=-<，()()ln ln ln 1ln 0a f a e a a a a ==-'-<（易知1ln 0a -<）， ()()2ln 22ln 2ln 2ln 2ln a f a e a a a a a a a a '=-=-=-，令()2ln a a a ϕ=-，()2210a a a aϕ-'=-=>，所以()a ϕ在(),a +∞上单调递增， 所以()()2ln 20a a a e e ϕϕ=->=->， 所以()()2ln 2ln 0f a a a a '=->，故存在()10,1x ∈，使得()1110xf x e ax '=-=，存在()2ln ,2ln x a a ∈，使得()20f x '=， 则当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间()10,x 内单调递增，在区间()12,x x 内单调递减，在区间()2,x +∞内单调递增，所以当1x x =时，()f x 取得极大值，即12112x M e ax =-． 由101x <<，得1102x ->，11122x x ≠-， 由110xe ax -=，得11xe ax =，故1211221111122111222122222x x x x x a M e ax ax ax a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-=-=⋅-<= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以2aM <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，P 为曲线122cos :1sin 2x C y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)上的动点，将P 点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q ，记点Q 的轨迹为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且()1,A ρθ，2,6πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求|||OA OB 的取值范围．【答案】（1） 2cos ρθ=；（2）[)2,1-．【解析】（1）曲线21cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，化为普通方程为()2211x y -+=， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （2）设()1,A ρθ，2ππ,0,623πB ρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，122cos 2sin 6ππ6OA ρθθθ⎛⎫==-+=- ⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，因为,23ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以23π66ππ,θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 |||OA OB 的取值范围是[)2,1-． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()212f x x x =++-． （1）求()f x 的最小值m ；（2）若a 、b 均为正实数，且满足3323a b m +=，求证：2a b +≤． 【答案】（1）3m =；（2）证明见解析．【解析】（1）当1x <-时，()()2123f x x x x =-++-=-，此时函数()f x 单调递减，且()3f x >；当12x -≤≤时，()()2124f x x x x =++-=+，此时函数()f x 单调递增，且()[]3,6f x ∈；当2x >时，()()2123f x x x x =++-=，此时函数()f x 单调递增，且()6f x >， 综上所述，3m =．（2）由已知可知，0a >，0b >且33223a b m +==，由三元均值不等式可得3113a a ++≥=，3113b b ++≥=，所以333346a b a b +≤++=，即2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立，故原不等式得证．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2021年高考数学三轮冲刺 数列课时提升训练(3)

2021年高考数学三轮冲刺 数列课时提升训练(3)

2021年高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（3）1、已知数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，则A．1 B． C．D．2、已知等差数列，首项，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是（）A．2011 B．xx C．4023 D．4022 3、（xx年高考（湖北理））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:①; ②; ③; ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④4、（xx年高考（北京文））已知为等比数列.下面结论中正确的是（）A． B． C．若,则 D．若,则5、（xx年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．926、（xx年高考（上海理））设,. 在中,正数的个数是（）A．25. B．50. C．75. D．100.7、（xx年高考（四川理））设函数,是公差为的等差数列,,则（）A． B． C． D．8、在等差数列{}中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列{}的前18项和的值是（ ）A ．24B ．48C ．60D ．849、已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列．则有A 、B 、C 、D 、10、已知数列满足：，那么使成立的的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）2511、设数列为等差数列，其前n 项和为S n ，已知，若对任意，都有成立，则k 的值为（ ）A ．22B ．21C ．20D ．1912、等差数列{a n }中，a 5<0,a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列正确的是 （ ）A ．S 1,S 2,S 3均小于0, S 4,S 5…均大于0B ．S 1,S 2,…S 5均小于0 ,S 4,S 5 …均大于0C ．S 1,S 2,S 3…S 9均小于0 , S 10,S 11 …均大于0D ．S 1,S 2,S 3…S 11均小于0 ,S 12,S 13 …均大于013、若，则 （ ）A ．0B ．－2C ．－1D ．214、已知是等差数列,为其前项和,若,为坐标原点,点,,则( ).A. B. C.D.15、定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前xx项和的最小值为A．-xx B．-xx C-2011 D．-xx16、已知等差数列的前n项和为，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），等于（） A．10 B．15 C．20 D．40则S2017、已知数列的通项公式是,若对于，都有成立，则实数的取值范围是（） A． B． C ． D．18、已知不等式对一切大于1的自然数n都成立，则的取值范围是（）A． B. C. D.19、已知数列为等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D.无法判断20、已知数列满足，则的值是 A．-5 B． C． D．21、设等差数列的前项和为，若，，则，，，中最大的是A． B．C． D．22、设数列{a n}的前n项和为S n，令，称T n为数列a1,a2,…,a n的“理想数”．已知a1,a2,…,a500的“理想数”为1002，那么数列3,a1,a2,…．a500的“理想数”为（） A．1001 B．1003C．1004 D．100523、数列的前项和，则当时，有( )（A）（B）（C）（D）24、已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数，给出结论：①与可能同时成立；②与可能同时成立；③若，则；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③25、已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的自然数n有A. 最大值15B. 最小值15C. 最大值16D. 最小值1626、已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的自然数有A. 最大值15B. 最小值15 C. 最大值16 D. 最小值1627、若数列满足为常数，，则称数列为等方比数列．已知甲：是等方比数列，乙：为等比数列，则命题甲是命题乙的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件28、已知函数的图象在点处的切线L与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（）A. B. C.D.29、在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是（）A．① B．①②③ C．③④ D．①④30、设是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，记+ … +，则数列中不超过xx的项的个数为（）A．8B．9 C．10 D．1131、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B＋cosB＋cos(A－C)＝1，则A．a，b，c成等差数列 B．a，b，c成等比数列C．a，c，b成等差数列 D．a，c，b成等比数列32、已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（）A． B．C． D．33、数列满足下列条件：，且对于任意的正整数，恒有，则的值为（）A．B．2991D．C．210034、设｛a n｝是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)35、在等差数列中，若，则的值为 ( )A．14 B．15 C．16 D．1736、在等比数列中，若则=（）A． B． C． D．，已知，若对任意，都有成立，则k的值为（）37、设数列为等差数列，其前n项和为SnA．22 B．21 C．20 D．1938、已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）939、已知数列的前项和，则数列的奇数项的前项和为A. B. C. D.40、若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．1、D2、D3、C考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.解析:等比数列性质,,①; ②;③;④.选C4、B 【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.5、B6、D【解析】对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数. 当26≤k≤49时,令,则,画出ka终边如右, 其终边两两关于x轴对称,即有, 所以+++++0 +++=++++++,其中k=26,27,,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.7、D 【解析】∵数列{an}是公差为的等差数列,且∴∴即得∴8、C 9、．C 10、C 11、答案:C 12、C 13、 C 14、A 15、A 16、A 17、D 18、A 19、B 20、A 21、B 22、B 23、D 24、B25、D 26、D 27、C 28、D 29、D 30、C 31、B 32、A 33、34、D35、C 36、B 37、C 38、D 39、C 40、A 9G27824 6CB0 沰KFd39264 9960 饠n25677 644D 摍 622551 5817 堗23891 5D53 嵓 i。

2021年高考数学复习之专题突破训练06数列含解析

2021年高考数学复习之专题突破训练06数列含解析

数列1．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N〔a＞0且a≠1〕．log a〔MN〕＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．2．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+〔n﹣1〕d；前n项和公式S n＝na1+n〔n﹣1〕d或者S n＝2、等比数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n＝＝〔q≠1〕3、用函数的观点理解等差数列、等比数列〔1〕对于等差数列，a n＝a1+〔n﹣1〕d＝dn+〔a1﹣d〕，当d≠0时，a n是n的一次函数，对应的点〔n，a n〕是位于直线上的假如干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．假如等差数列的前n项和为S n，如此S n＝pn2+qn〔p、q∈R〕．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．〔2〕对于等比数列：a n＝a1q n﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满足a n＝n2+kn+2，假如不等式a n≥a4恒成立，如此实数k的取值X围是〔〕A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．〔﹣9，﹣8〕D．〔﹣9，﹣7〕解：a n＝n2+kn+2＝，∵不等式a n≥a4恒成立，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，应当选：B．典例2：设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0〔n∈N*〕，其前n项和为S n，假如数列{}也为等差数列，如此的最大值是〔〕A．310 B．212 C．180 D．121解：∵等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0〔n∈N*〕，设公差为d，如此a n＝1+〔n﹣1〕d，其前n项和为S n＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴S n+10＝〔n+10〕2，＝〔2n﹣1〕2，∴＝＝，由于为单调递减数列，∴≤＝112＝121，应当选：D．3．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n ＝a1+〔n﹣1〕d；前n项和公式为：S n＝na1+n〔n﹣1〕或S n＝〔n∈N+〕，另一重要特征是假如p+q＝2m，如此有2a m＝a p+a q〔p，q，m都为自然数〕例：等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．〔1〕求此数列{a n}的通项公式；〔2〕268是不是此数列中的项？假如是，是第多少项？假如不是，说明理由．解：〔1〕由条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+〔n﹣1〕×2＝2n﹣4〔n∈N*〕．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．〔2〕令268＝2n﹣4〔n∈N*〕，解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+〔n﹣1〕d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】〔1〕假如公差d＞0，如此为递增等差数列；假如公差d＜0，如此为递减等差数列；假如公差d＝0，如此为常数列；〔2〕有穷等差数列中，与首末两端“等距离〞的两项和相等，并且等于首末两项之和；〔3〕m，n∈N+，如此a m＝a n+〔m﹣n〕d；〔4〕假如s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，如此a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；〔5〕假如数列{a n}，{b n}均是等差数列，如此数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．〔6〕a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．〔7〕从第二项开始起，每一项为哪一项与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，〔n≥m+1，n，m∈N+〕〔8〕a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd〔首项不一定选a1〕．4．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+〔n﹣1〕d，或者第m项为a m，如此第n项为a n＝a m+〔n﹣m〕d．【例题解析】eg1：数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣〔n﹣1〕2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7如此这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2〔2a+1〕＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+〔n﹣1〕×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．5．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为S n＝na1+n〔n﹣1〕d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，假如公差d＝1，S5＝15，如此S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，如此S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝〔4n2﹣25n〕﹣[4〔n﹣1〕2﹣25〔n﹣1〕]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：此题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比拟常见，单独考察等差数列的题也比拟简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．6．等比数列的性质【等比数列】〔又名几何数列〕，是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示〔q≠0〕．注：q＝1 时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③假如m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，如此y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，如此18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．此题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】〔1〕通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，〔n，m∈N*〕．〔2〕假如{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，〔k，l，m，n∈N*〕，如此a k•a l＝a m•a n 〔3〕假如{a n}，{b n}〔项数一样〕是等比数列，如此{λa n}〔λ≠0〕，{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．〔4〕单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．7．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示〔q≠0〕．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，如此它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b〔ab≠0〕4．等比数列的常用性质〔1〕通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，〔n，m∈N*〕．〔2〕假如{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，〔k，l，m，n∈N*〕，如此a k•a l＝a m•a n 〔3〕假如{a n}，{b n}〔项数一样〕是等比数列，如此{λa n}〔λ≠0〕，{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．〔4〕单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．8．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q〔q≠0〕，其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，如此S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．9．数列的应用【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．10．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：〔1〕公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n〔n﹣1〕d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：〔2〕错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．〔3〕裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝〔〕．〔4〕倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个〔a1+a n〕．〔5〕分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．〔Ⅰ〕求a n与S n；〔Ⅱ〕令b n＝〔n∈N*〕，求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2〔n﹣1〕＝2n+1；S n＝＝n2+2n．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和根本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最根本的方法，即便是放缩也要往这里面考．11．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果数列{a n}的第1项〔或前几项〕，且任一项a n与它的前一项a n﹣1〔或前几项〕间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：〔1〕用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？〔n≥2，当n＝1时，a1＝S1〕；假如a1适合由a n的表达式，如此a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．〔2〕一般地当条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：〔1〕公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．〔2〕S n〔即a1+a2+…+a n＝f〔n〕〕求a n，用作差法：a n＝．一般地当条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将条件转化为只含或的关系式，然后再求解．〔3〕a1•a2…a n＝f〔n〕求a n，用作商法：a n，＝．〔4〕假如a n+1﹣a n＝f〔n〕求a n，用累加法：a n＝〔a n﹣a n﹣1〕+〔a n﹣1﹣a n﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1〔n≥2〕．〔5〕＝f〔n〕求a n，用累乘法：a n＝〔n≥2〕．〔6〕递推关系求a n，有时也可以用构造法〔构造等差、等比数列〕．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n〔k，b为常数〕的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．〔7〕求通项公式，也可以由数列的前几项进展归纳猜测，再利用数学归纳法进展证明．12．数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉与五个量a1，a n，q，n，S n，知三求二，表现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以与特例分析法，一般递推法，数列求和与求通项等方法来分析、解决问题．二、解题步骤：1．在解决有关数列的具体应用问题时：〔1〕要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；〔2〕准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；〔3〕根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；〔4〕最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：〔1〕直接用公式求和时，注意公式的应用X围和公式的推导过程．〔2〕注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的根底上，或分解为根本数列求和，或转化为根本数列求和．〔3〕求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式〔尤其是在处理客观题目时〕时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否如此会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【典型例题分析】典例：f〔x〕＝log a x〔a＞0，a≠1〕，设数列f〔a1〕，f〔a2〕，f〔a3〕，…，f〔a n〕…是首项为4，公差为2的等差数列．〔I〕设a为常数，求证：{a n}成等比数列；〔II〕设b n＝a n f〔a n〕，数列{b n}前n项和是S n，当时，求S n．分析：〔I〕先利用条件求出f〔a n〕的表达式，进而求出{a n}的通项公式，再用定义来证{a n}是等比数列即可；〔II〕先求出数列{b n}的通项公式，再对数列{b n}利用错位相减法求和即可．解答：证明：〔I〕f〔a n〕＝4+〔n﹣1〕×2＝2n+2，即log a a n＝2n+2，可得a n＝a2n+2．∴＝＝为定值．∴{a n}为等比数列．〔5分〕〔II〕解：b n＝a n f〔a n〕＝a2n+2log a a2n+2＝〔2n+2〕a2n+2．〔7分〕当时，．〔8分〕S n＝2×23+3×24+4×25++〔n+1〕•2n+2 ①2S n＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+〔n+1〕•2n+3 ②①﹣②得﹣S n＝2×23+24+25++2n+2﹣〔n+1〕•2n+3〔12分〕＝﹣〔n+1〕•2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．∴S n＝n•2n+3．〔14分〕点评：此题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．13．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{a n}的项a n无限趋近于某个常数a〔即|a n ﹣a|无限地接近于0〕，那么就说数列{a n}以a为极限，记作a n＝a．〔注：a不一定是{a n}中的项〕2、几个重要极限：3、数列极限的运算法如此：4、无穷等比数列的各项和：〔1〕公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝S n．〔2〕【典型例题分析】典例1：数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中S n 表示数列{a n}的前n项和．如此＝〔〕A．0 B．1 C．D．2解：∵4S1＝4a1＝〔a1+1〕2，∴a1＝1．当n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝〔a n+1〕2﹣〔a n﹣1+1〕2，∴2〔a n+a n﹣1〕＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．∴＝＝＝．应当选：C．典例2：点P n〔a n，b n〕在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{a n}的公差为1〔n∈N*〕．〔1〕求数列{a n}、{b n}的通项公式；〔2〕设＝，求的值；〔3〕假如d n＝2d n﹣1+a n﹣1〔n≥2〕，且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：〔1〕∵点P n〔a n，b n〕在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为1〔n∈N*〕，∴a n＝0+〔n﹣1〕＝n﹣1．b n＝2〔n﹣1〕+1＝2n﹣1．〔2〕解：由〔1〕可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n|＝＝＝〔n≥2〕．∴＝＝＝，∴c2+c3+…+＝…+＝，∴＝＝；〔3〕证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2〔d n﹣1+n﹣1〕，∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为2，∴，∴．【解题方法点拨】〔1〕只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．〔2〕运用数列极限的运算法如此求数列极限应注意法如此适应的前提条件．〔参与运算的数列都有极限，运算法如此适应有限个数列情形〕〔3〕求数列极限最后往往转化为〔m∈N〕或q n〔|q|＜1〕型的极限．〔4〕求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m或a n．②求和〔或积〕的极限一般先求和〔或积〕再求极限．③利用数列极限〔如等〕．④含参数问题应对参数进展分类讨论求极限．⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四如此运算求极限．14．等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质〔1〕假如公差d＞0，如此为递增等差数列；假如公差d＜0，如此为递减等差数列；假如公差d＝0，如此为常数列；〔2〕有穷等差数列中，与首末两端“等距离〞的两项和相等，并且等于首末两项之和；〔3〕m，n∈N+，如此a m＝a n+〔m﹣n〕d；〔4〕假如s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，如此a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；〔5〕假如数列{a n}，{b n}均是等差数列，如此数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．〔6〕a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．〔7〕从第二项开始起，每一项为哪一项与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，〔n≥m+1，n，m∈N+〕〔8〕a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd〔首项不一定选a1〕．2、等比数列的性质．〔1〕通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，〔n，m∈N*〕．〔2〕假如{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，〔k，l，m，n∈N*〕，如此a k•a l＝a m•a n 〔3〕假如{a n}，{b n}〔项数一样〕是等比数列，如此{λa n}〔λ≠0〕，{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．〔4〕单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．。

2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》学生版

2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》学生版

2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》一、选择题1.已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11=－33，b 1＋b 6＋b 11=7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A.－ 3 B.－1 C.－33D. 3 2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a=507B.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c=507C.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a=507D.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c=5073.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，其前n 项和为S n ，若S 4=2S 2＋1，则S 6的最小值为( )A.9B.3－2 3C.3＋2 3D.3＋ 64.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( B )A.210B.220C.216D.2155.定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n =a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11=( ) A.111 B.112 C.1011 D.11126.已知正项等比数列{a n }满足a 3=1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( ) A.4 B.2 C.12 D.14 7.等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n+1（n ∈N*），其中a 是常数，则a=（ ）A.﹣2B.﹣1C.1D.28. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=( )A.－4B.－6C.－8D.－1010.在数列{a n }中，已知a 1=3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 D.(－∞，1] 11.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2=0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A.－2＋22B.－ 2C. 2D.－2或 2 12.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1·a n =2n (n ∈N *)，则S 2 018=( )A.22 018－1B.3×21 009－3C.3×21 009－1D.3×21 008－213.已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6=( )A.80B.85C.90D.9514.数列{a n }满足a 1=1，na n ＋1=(n ＋1)a n ＋n(n ＋1)，且b n =a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24=( )A.294B.174C.470D.304二、填空题15.设f(x)=4x 4x ＋2，若S=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S= . 16.已知数列{a n }中，a 1=－1，a n ＋1=2a n ＋3n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n =________.17.各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1=1，a 2=3，则数列{a n }的通项公式为 a n = .18.已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12=7S 4，则S 8S 4= . 19.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =2·3n －1(n ∈N *)，若b n =a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n = . 20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n ＋a n ＋1=12n (n=1,2,3，…)，则S 2n ＋3= .。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》全集汇编含答案

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》全集汇编含答案

新数学《数列》专题解析一、选择题1．设函数()mf x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn + B ．21nn + C ．21nn - D ．()21n n+ 【答案】B 【解析】 【分析】函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和即可．【详解】Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，112()()(1)221f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5nf ()*n N ∈的前2020项的和为（ ）A ．101051+B ．1010514-C ．1010512-D ．101051-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．4．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}(1)nn a -的前40项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}(1)nn a -，两两组合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362a a S +== ，∴134a a +=，①∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，∴{}(1)nn a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，故选：B . 【点睛】本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题6．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.7．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值.【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7C ．8D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.11．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，得810216a q a ==，得q 2＝2. ∴4624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()1111161111442b b S b+⨯===.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.12．设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.13．在数列{}n a 中，()111,1nn n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ） A ．2017⨯1008B ．2017⨯1009C ．2018⨯1008D ．2018⨯1009【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件()nn 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】()nn 1n a a n 1+-=+-,()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,-=+--=+-=+--=+⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)201710092+=⨯，故选：B. 【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.14．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．15．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用16．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++L 的值 A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 【答案】A 【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ，所以1111(1)1n a n n n n==--- 所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.17．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ）A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】 【分析】由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 【详解】 由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 故选C ． 【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.18．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3i =，12112x ==-，13222S =-+=；4i =，1112x ==--，31(1)22S =+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a +++=L （ ）A ．20152016B ．40322017C ．40342017D ．20162017【答案】B【解析】【分析】 首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016111a a a +++L 的值. 【详解】因为111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，用累加法求数列{}n a 的通项得：()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-()1122n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.20．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】 ∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ， ∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．。

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考点06 数列数列的概念及简单表示方法一、单选题1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a 为有穷数列，共95项，且满足2003200(6)2n n nn a C -=，则数列{}n a 中的整数项的个数为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．162．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．无数个二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足+11=34,1n n a a a +=，则n a =__________. 4．（2020·上海虹口区·高三一模）已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式.6．（2020·上海高三专题练习）设函数2()(0,0)ax bx cf x a e ex f++=≠≠+有两个不同的不动点12,x x ，且由1()n n u f u +=确定着数列{}n u ，那么当且仅当0,2b e a ==时，1221112n n n n u x u x u x u x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭.等差数列及其前n 项和一、单选题1．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为11二、填空题2．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）设数列{}n a 满足12n n a a --=，2n ≥，*n N ∈，前n 项和为n S ，则1lim nn n n S a a →∞+=______.三、解答题3．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()y f x =，{}n a 是首项115a =、公差0d ≠的等差数列，数列{}n b 满足：()n n b f a =.（1）若2d =，()21f x x =-，求{}n b 的前n 项和n S ；（2）若1d =-，()xf x e =，123n n T b b b b =⋅⋅⋅⋅，问n 取何值时，n T 的值最大？等比数列及其前n 项和一、单选题1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（ ） A ．13B ．25C ．23D ．32二、填空题2．（2020·上海市三林中学高三期中）数列{}()*n a n N ∈中，数列前n 项和为nS，若11a =，12n n a a +=，则10S =________.三、解答题3．（2020·上海崇明区·高三一模）对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.（1）若数列1，2，x ，8是P 数列，求实数x 的取值范围；（2）设数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，10a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b 、{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T 、2T ，求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列.数列求和及数列的综合应用一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）设{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，记12n n b b b M a a a =+++，则{}n M 中不超过2009的项的个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．（2019·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4二、填空题3．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列{}n a 中*111,tan tan ()n n n a d b a n N a +===⋅∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =___.4．（2019·上海华师大二附中高三期中）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点()0,1，接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点______.三、解答题5．（2020·上海高三专题练习）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，其中2*,,,n S kn pn n N k p =+∈是常数．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若1p =且对于任意的*24,,,m m m m N a a a ∈成等比数列，求k 的值；（3）设1231,0,(1)n n n k p T a a a a ===-+-++-，若对一切正数n ，不等式111(1)2n n n n n T a a λ+-+⎡⎤<+-⋅⎣⎦恒成立，求实数λ的取值范围．一、单选题1．（2020·上海市七宝中学高三期中）单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a 满足2134n n n a a a +=-+，13a =，则下列选项错误的是（ ） A ．数列{}n a 单调递增B ．不存在正数M ，使得n a M <恒成立C ．111lim 111n n a a →∞+⋅⋅⎛⎫⋅⎝--⎪⎭+= D ．100101a =3．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈，则下列选项错误的是（ ）. A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列 B ．1ln 3n n a a ++≤ C ．2020670S < D ．212n n a a -≤ 二、填空题4．（2019·上海杨浦区·高三二模）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________5．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上） 三、解答题6．（2020·上海高三专题练习）若有穷数列{}n a 满足()12:0,3k a a a k N k *≤<<<∈≥且对任意的,(1)i j i j k ≤≤≤，j i j i a a a a +-与至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P （1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为(,3)k k N k *∈≥的数列{}n a 具有性质P ，求证：()1212k k k ka a a a a -=++++；（3）若项数为(,3)k k N k *∈≥的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4k =时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4k >时，数列{}n a 是等差数列一、单选题1．（2020·上海松江区·高三一模）记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14] B ．(14,18] C ．(18,20]D ．81(18,]42．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题3．（2020·上海青浦区·高三一模）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2lim nn na S →∞=___________. 4．（2020·上海杨浦区·高三一模）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y (其中0n y >，n *∈N )是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim →∞=n n d ____________. 5．（2020·上海浦东新区·高三一模）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________．.6．（2020·上海闵行区·高三一模）已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________.7．（2020·上海嘉定区·高三一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，若对任意的*n N ∈，总存在*k ∈N ，使21(21)k n S k S -=-.则3k n -的最小值为___________.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：11a =，2321a a +=，则数列{}n a 的各项的和为___________.9．（2020·上海崇明区·高三一模）计算：123lim (2)n nn n →∞+++⋅⋅⋅+=+________三、解答题10．（2020·上海松江区·高三一模）对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ､B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”， （1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否为“满集”，请说明理由； （2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为d (*d ∈N )的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11,a =1d =或2；（3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”11．（2020·上海虹口区·高三一模）设x 是实数，n 是整数，若12x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数.（1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a数；（3）n T 是首项为2，公比为23的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋅⋅⋅+.12．（2020·上海长宁区·高三一模）若对于数列{}n a 中的任意两项i a ､j a ()i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”；若对于数列{}n a 中的任意一项()3n a n ≥，在{}n a 中都存在两项k a ､()l a k l >，使得2kn la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”.（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 的前n 项和()21nn S n =-∈*N，求证：数列{}na 为“Y 数列”；（3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1234,,,a a a a 成等比数列.。

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