2021年上海高考数学冲刺直通车06 数列(专练)学生版

考点06 数列

数列的概念及简单表示方法

一、单选题

1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a 为有穷数列，共95项，且满足

2003200(6)2

n n n

n a C -=，则数列{}n a 中的整数项的个数为（ ） A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

2．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2+3,n

n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数

，若{}

n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个 B ．5个

C ．6个

D ．无数个

二、填空题

3．（2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足+11=34,1n n a a a +=，则n a =__________. 4．（2020·上海虹口区·高三一模）已知数列{}n a 满足12a =-，且3

2

n n S a n =

+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.

三、解答题

5．（2020·上海高三专题练习）数列{}n a 中，12a =-，121

2n n n

a a a +-=-，求n a 的通项公式.

6．（2020·上海高三专题练习）设函数2()(0,0)ax bx c

f x a e ex f

++=

≠≠+有两个不同的不动点12,x x ，且由1()n n u f u +=确定着数列{}n u ，那么当且仅当0,2b e a ==时，122

1112n n n n u x u x u x u x ++⎛⎫

--= ⎪--⎝⎭

.

等差数列及其前n 项和

一、单选题

1．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A ．3d ≥

B ．n 的值可能为奇数

C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<

D ．m 的可能取值为11

二、填空题

2．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）设数列{}n a 满足12n n a a --=，2n ≥，*n N ∈，前n 项和为n S ，则1

lim n

n n n S a a →∞+=______.

三、解答题

3．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()y f x =，{}n a 是首项

115a =、公差0d ≠的等差数列，数列{}n b 满足：()n n b f a =.

（1）若2d =，()21f x x =-，求{}n b 的前n 项和n S ；

（2）若1d =-，()x

f x e =，123

n n T b b b b =⋅⋅⋅⋅，问n 取何值时，n T 的值最大？

等比数列及其前

n 项和

一、单选题

1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（ ） A ．

1

3

B ．

25

C ．

23

D ．

32

二、填空题

2．（2020·上海市三林中学高三期中）数列{}()*

n a n N ∈中，数列前n 项和为n

S

，若11a =，12n n a a +=，

则10S =________.

三、解答题

3．（2020·上海崇明区·高三一模）对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.

（1）若数列1，2，x ，8是P 数列，求实数x 的取值范围；

（2）设数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，10a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；

（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b 、{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T 、2T ，求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列.

数列求和及数列的综合应用

一、单选题

1．（2020·上海高三专题练习）设{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，记12n n b b b M a a a =+++，则{}n M 中不超过2009的项的个数为（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

2．（2019·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足(

)2

*

110,n n n a a a a ta n N

+=>=-+∈，若存在实数

t ，使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是（ ）

A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

二、填空题

3．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列{}n a 中*111,tan tan ()n n n a d b a n N a +===⋅∈，则数列{}

n b 的前n 项和n S =___.

4．（2019·上海华师大二附中高三期中）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点()0,1，接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点______.

三、解答题

5．（2020·上海高三专题练习）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，其中2

*

,,

,n S kn pn n N k p =+∈是常数．

（1）求证：数列{}n a 为等差数列；

（2）若1p =且对于任意的*24,

,,m m m m N a a a ∈成等比数列，求k 的值；

（3）设1231,0,(1)n n n k p T a a a a ===-+-+

+-，若对一切正数n ，不等式

11

1(1)2n n n n n T a a λ+-+⎡⎤<+-⋅⎣⎦

恒成立，求实数λ的取值范围．