素数漫谈 数学和数学家的故事

素数漫谈

——兼谈最大的素数

素数（Prime number）是具有这样性质的大于1的正整数P。除了1和自身P以外，再找不到其他小于他的正数能整除它。

我们在小学时就知道小于10的素数有：2，3，5，7这四个素数。在这之后，小于20的素数有：11，13，17，19四个。在这之后小于30的素数有：23，29两个。如果你试试找在这之后到40之间的素数，你发现共有两个，它们是：31，37。

你如果看以上的实际例子，你可能会猜想每十个整数间隔，会有两个或四个的素数出现。让我们看看你的猜想是否正确？

从40到 50之间我们有：41，43，47三个素数！哎呀！我们的猜想是错了。实际上，我们是可能找到十个整数间隔，没有一个数是素数。素数的分布是杂乱无章，像是没有规律可寻，可是数学家却发现它们有许多奇妙的性质。

2500百多年前，希腊有一个叫欧几里得（Euclid）的数学家发现了在正整数的集合里素数的个数是有无穷多。在他的著名的著作《几何原本》一书里，他证明了算术基本原理：“任何自然数都能唯一的表示成为素数的乘积。”

例如 4=2×2，6=2×3，9=3×3，18=2×3×3，10005= 3×5×23×29．

因此对于自然数以及乘法运算来说：素数是建立自然数的基本成分，它是不能再分解的最小的基本粒子（elementary Parti cle）。

两千多年来，有无数喜欢探索数字世界奥秘的数学家竟为素数而折腰。我们这里就说古道今，讲一点这方面的故事和最近的一些新结果。

首先我们看小于10的三个素数：3，5，7后面的数和前面的数相差为2，因此我们可以这样写：5=3＋2，7=5＋2=3＋2 ＋2=3＋2×2，我们说3，5，7组成一个等差级数，它们的公差是2，首项是3。

现在请看另外一大串的素数：7，37，67，97，127，157，这是以首项为7，公差为30的等差级数，如果用T（n）表示第n项，我们可以用公式T（n）=30n-23来表示。

我们再看另外一串的由素数组成的等差级数：199，409，619，829，1039，1249，1459，1669，1879，2089。我们的首项是199，公差是210。如果我们写

T（1）=199

T（2）=199＋210=T（1）＋210

T（n）=T（n-1）＋210

把这等式的左边及右边各加起来，我们得到：

T（1）＋T（2）＋…＋T（n）

=199＋[T（1）＋210]＋…＋[T（n-1）+210]

T（n）=199＋（n-1）×210=210n-11

因此我们很自然会想到是否能找到一个公式f（n）=an＋b，这里a和b都是整数，使到我们用任何正整数n代进公式都能得到一个素数，这样我们就可以取得任意长的由素数组成的等差级数了，而这也证明了素数的个数有无穷。很不幸，事与愿违，我们没法子找到这样的公式！因为假定存在这样的公式：f（n）=an＋b，第1项f（1）=a＋b是一个素数P，我们看f（1＋p） =a（1＋p）＋b=a ＋ap＋b=p＋ap=p（1＋a），很明显的这项不会是素数！

既然我们找不到能生成素数的一元一次方程式，是否我们能找到 a，b， c 三个整数，及公式 f（n）=an2＋bn＋c，使得当我们用所有的正整数n代进去，我们都能得素数？

让我们看几个例子：

例1如果f（n）=n2＋21n＋1，我们分别用1，2，3，…，17代进去，可以分别得f（1）=23，f（2）=47，f（3）=73，…，f（17）=647这些都是素数。可是当您用n=18代进公式，你得到f（18）=703=37×19这不是素数了！

例2著名的数学家欧拉（L．Euler 1707—1783）发现公式 f（n）=n2＋n ＋41用1，2，3，…，39代进去都得到素数，如果用-40，-39，-38，…，-1，0来代入也能得到素数。可是当n=40时，我们有

f（40）=40×（40＋1）＋41=41×41这不是素数！

很难猜想是否能找到 f（n）=an2＋bn＋c，使得对所有的正整数n，f（n）都是素数？假定存在这样的二次方程，我们用1 代入得

f（1）=a＋b＋c=p

现在我们以n＝1＋p代入得

a（1＋p）2＋b（1＋p）＋c

=a（1＋2p＋p2）＋b（1＋p）＋c

=ap2＋2ap＋bp＋（a＋b＋c）

=p（ap＋2a＋b＋1）

因此f（1＋p）不是素数，这和我们的假设矛盾。因此我们不可能找到一元二次方程使得f（n）对任何n都能给出素数。

事实上欧拉后来发现了下面的欧拉定理。

欧拉定理对于任何k≥2，不存在一元k次元方程式 f（n），使得f（n）对所有的正整数都是素数。

这个证明不太难，读者可以模仿一次、二次方程的证明，试试找出一般证明。

在例2欧拉给出的公式，我们从n=-40，一直增加到 n=39，总共可以连续得到80个素数。有人曾经想找类似欧拉的公式，像

g（n）=n2＋n＋A，A＞41

是否能有从n=0，1，一直到A-2都能给出素数来？在1967年有人证明这是不可能的。

德国数学家狄利克雷（Drichlet 1805—1859）在1837年证明了给定任何两个整数a，b，如果a和b没有公共因子（即其最大公约数GCD（a，b）=1）那么由公式 f（n）=an＋b生成的数列会包含无穷多素数。这是数论中一个非常美丽的结果。

〔未解决问题1〕公式 g（n）=n2＋1生成的数列是否能包含无穷多素数呢？

〔未解决问题2〕是否存在一个一元二次方程

h（n）=an2＋bn＋c，及一个k使得h（k），h（k＋1），h（k＋2），…，h （k＋m）

都是素数，而m≥80？（即你能否找到一个比欧拉还要好的公式能连续生出八十个以上的素数。有许多人认为这是不可能的，但是还没法子证明。）

〔未解决问题3〕公式 f（n）=2n＋1有这样的性质；能找出无穷多素数n（2，3，5，11在这里面）使得f（n）也是素数。

〔未解决问题4〕人们相信公式 f（n）=n2-2给出无穷多的素数。

古代的希腊数学家发现有一些整数像6，28，496，8128。有这样奇妙的性质：把它的所有小于本身的因子取出然后求和可以还原得回原来的数。如：

6=1＋2＋3