专题11 《相似三角形》全章复习巩固(提高)-(沪教版)

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沪教版九年级数学暑假同步讲义第9讲相似三角形的章节复习(解析版)

相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。

比例线段运算法则比例的性质向量的分解平行向量定理运算律实数与向量相乘向量的线性组合向量的线性运算相似三角形的概念相似三角形的预备定理相似三角形的判定定理相似三角形的性质定理三角形一边的平行线性质定理及推论三角形一边的平行线判定定理及推论平行线分线段成比例定理相似形相似三角形单元练习：相似三角形内容分析知识结构步同级年九2 / 17A B CDO【练习1】下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（） A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组【答案】A【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似．【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不可．【练习2】若a cb d=，下列各式中正确的个数有（） ①a c d b =；②::d c b a =；③22a a b b =；④55a c b d +=+；⑤a a c b a d +=+；⑥c ma d mb=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是0m ≠．【总结】考查比和比例的基本性质．【练习3】已知AB //CD ，AD 、BC 相交于点O ，下列比例式中正确的是（）A ．AB OA CD AD = B ．OA OBOD BC= C ．AB OB CD OC= D ．BC OBAD OD= 【答案】C【解析】∵AB CD ，∴AB AO BODC DO CO ==,对应关系要弄清楚．【总结】考查“平行型”的A 字模型．【练习4】下列条件中能判定ABC ∆∽DEF ∆的有（）①45A ∠=︒，12AB =，15AC =，45D ∠=︒，16DE =，40DF =； ②12AB =，15BC =，24AC =，20DE =，25EF =，40DF =；选择题DA BCPA B C DE 1 2③47A ∠=︒，15AB =，20AC =，47E ∠=︒，28DE =，21EF =． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】对应角相等，但对应边不成比例，①不成立；三边对应成比例，可以判定②成立；两边对应成比例及夹角相等判定③成立．【总结】考查相似三角形的判定定理．【练习5】如图，已知12∠=∠，那么添加一个条件后，仍无法判定ABC ∆∽ADE ∆的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BCAD DE=C ．BD ∠=∠D ．C AED ∠=∠【答案】B【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成比例需要对应角的夹边成比例．【总结】考查相似三角形判定定理．【练习6】如图，已知，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB = 2m ，CD = 5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是（）A ．56mB ．67mC ．65mD ．103m【答案】C【解析】相似比等于对应高之比，设P 到AB 的距离为xcm ，列等量关系253x =，解得65x =．【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比．【练习7】如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（）A ．14B ．41C ．13D【答案】CABCOAB CD E 【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是13．【总结】考查相似三角形的性质．【练习8】如图，在O中，向量OB，OC，AO是（）A．有相同起点的向量B．单位向量C．长度相等的向量D．相等的向量【答案】C【解析】同圆的半径相等，所以OB，OC，AO的长度是相等的．【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念．【练习9】若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式中，正确的是（）①a b>；②a//b；③0a>；④1b=±．A．①④B．③C．①②③D．②③【答案】B【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的，b是单位向量，但并没有讲是向量a方向上的单位向量，所以②是不对的．【总结】考查单位向量的概念．【练习10】如图，在ABC∆中，DE//BC，BC = 6cm，:1:4ADE ABCS S∆∆=，那么DE的长为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm【答案】D【解析】∵:1:4ADE ABCS S∆∆=，∴12DEBC=，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．【总结】考查相似三角形性质的应用．a x cb A ．B ．a xc b C ．axc b D ．axc bAB CP【练习11】已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使bx = ac ，以下方法中不正确的是（）【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A 、C 、D 都成立，B 选项不成立的原因是从作图的角度看，不能保证延长线段a 与线段c 相交成的线段长度一定为所求作x ．【总结】考查利用比例线段求作第四条线段的作图方法．【练习12】如图，若P 为ABC ∆的边AB 上一点（AB >AC ），则下列条件不一定能保证ACP ∆∽ABC ∆的有（）A ．ACPB ∠=∠B ．APC ACB ∠=∠C ．AC AP AB AC =D ．PC AC BC AB=【答案】D【解析】如图，两个三角形已经有一组公共角，添加角度条件一定可以判定相似，若是添加对应边成比例不能使用到公共角的对边，所以D 选项不能判定ACP ∆∽ABC ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理．【练习13】过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】过三角形一边上一点画直线与另一边相交，截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多可画4条，每条边上两条，其中包括“平行型”和“斜交型”，如图所示．（当这个点是直角三角形斜边上一点时，最多可以画三条符合题意的直线）【总结】考查相似基本图形．【练习14】已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP <PB ，则（）A ．2AP AB PB = B ．2AB AP PB =C ．2PB AP AB =D ．222AP BP AB +=【答案】C【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系，=较短较长较长全长，即AP BPBP AB =,即2BP AP AB =．【总结】考查线段的黄金分割．AB CDEOOB DC C 'A【练习15】如图，在ABC ∆中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（）A ．CO CE CD CA =B ．AD AC AE AB = C ．OE OC OD OB =D ．CO DO BO EO =【答案】D【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似，都可以用“AA”来判定，ABD ACE OBE OCD ∆∆∆∆，对应边成比例换成等积式，其中D 选项比例关系不对．【总结】考查相似模型之“双垂型”．【练习16】如图，AD 是ABC ∆的中线，45ADC ∠=︒，把ADC ∆沿AD 对折，点C 落在'C 的位置，则'BC BC 的值为（）A ．14B ．13 CD ．1 【答案】C【解析】联结'CC ,因为翻折，所以'CC AD ⊥，设交点为O ，因为∠ADC ＝45°，所以∠OCD ＝45°，又因为',DB DC DC ==根据三角形内角和可以证明'90BC C ∠=，所以'BC C ∆为等腰直角三角形，即'BC BC =．【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质．【练习17】把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A ．一条线段B ．一个圆面C ．圆上的一群孤点D ．一个圆【答案】D【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．【总结】考查单位向量的性质及圆的定义．【练习18】下面几个命题中，真命题的个数是（）（1）若a b =，则a b =；（2）两个向量a 、b 相等，则a b =，a //b ；（3）若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；（4）若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =；（5）若a b =，b c =，则a c =；（6）若a //b ，b //c ，则a //c ． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正确；若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A 、B 、C 、D 四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的．【总结】考查平面向量的有关概念与性质．AB CP【练习19】 A 、B 两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1 : 1000000，则A 、B两地在地图上的距离是______厘米．【答案】20厘米．【解析】厘米和千米的进率为：1100000km cm =，设图上距离为x 厘米，由题意，得1:1000000:20000000x =，解得20x =．【总结】考查比例尺的运用．【练习20】 2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______．【答案】152．【解析】设这个数为x ，若其它三个比例项分别为,,a b c ，且abx c=，要使x 最大，则ab 取最大值，c 取最小值，所以351522x ⨯==，若x 的取值没有要求，这样的x （与2、3、5组成比例式）有三个．【总结】考查比例的基本性质．【练习21】若x : y : z = 2 : 7 : 5，且x - 2y + 3z = 6，则x =____，y =____，z =____．【答案】41410x y z ===，，．【解析】∵::2:7:5x y z =，设275x k y k z k ===，，，则227356k k k -⨯+⨯=，解得2k =，∴4,14,10x y z ===．【总结】考查学生对设“k ”法的理解应用．【练习22】已知线段a = 8厘米，b = 9厘米，则线段a 和b 的比例中项是______．【答案】62cm ．【解析】a b ，的比例中项c ab =±，当a b ，为线段长时，c 取正值．【总结】考查比例中项的定义．【练习23】如图，已知ACP B ∠=∠，AC = 4，AP = 2，则AB = ______．【答案】AB ＝8．【解析】∵ACP B ∠=∠，且A A ∠=∠，∴ACP ABC ∆∆填空题8米4米0．8米hABD 则AC APAB AC=,∵42AC AP==，，∴8AB=．【总结】考查相似三角形的判定与性质．【练习24】如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是0．8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米．【答案】2.4米．【解析】根据平行线分线段成比例，得0.8412h=，解得 2.4h=．【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解h．【练习25】如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，BD长55厘米，则梯子长为______．【答案】440厘米．【解析】设,AB x=根据平行线分线段成比例，得70,80ADAB=即5578xx-=，解得440x=，所以梯子的长为440厘米．【总结】考查平行线分线段成比例的应用．【练习26】若两个相似三角形的面积比为2 : 9，则这两个三角形的对应中线的比是______．3．．【总结】考查相似三角形的性质：面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比．【练习27】在边长为1的正方形ABCD 中，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++=______；a c b +-=______；c a b --=______．【答案】20；．【解析】（1）2a b c AB BC AC AC ++=++=,因为正方形边长为1，所以AC =即a b c ++=（2）2a c b AB AC BC AB AC CB AB +-=+-=++=,即2a c b +-=；（3）0c a b AC AB BC BC BC --=--=-=，即0c a b --=．【总结】考查平面向量的线性运算．【练习28】计算：()()325232a b a b +--=______．【答案】19b ．【解析】()()325232a b a b +--=6156419a b a b b +-+=．【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算．【练习29】若()()::a b x y x y =+-，则:x y =______．【答案】a ba b+-．【解析】设()()a b k x y a b k x y +=+-=-，，解得22a b x k a b y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以:a b x y a b +=-．【总结】考查设“k ”法的理解应用．【练习30】点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP =2，则AB =______．31+．【解析】（1）当AP为较长的线段时，AP AB =1AB ；（2）当AP为较短的线段时，AP BP =解得1BP =，123AB =+=．【总结】考查线段的黄金分割，等量关系=短长长全，一条线段的黄金分割点有两个，需要学生具有分类讨论的思想．【练习31】过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线．【答案】3条；4条．【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示．【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”．ABCD EF KH【练习32】如图，AD = DE = EC ，且AB // DF // EH ，AH 交DF 于K ，则EHKF=______．【答案】23EH KF =．【解析】∵DK EH ，∴AD DKAE EH =， ∵EH DF ，∴CE EHCD DF=, ∵AD DE EC ==, ∴1122DK EH EH DF ==，, 设DK k =，则24EH k DF k ==，， ∴23EH KF =．【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用．【练习33】在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE // BC ，如果BC = 8厘米，AD : AB = 1 : 4，那么ADE ∆的周长为_________．【答案】6厘米．【解析】∵DE BC ,∴ADE ABC ∆∆，∵:1:4AD AB =，∴:1:4ADE ABC C C ∆∆=,因为8BC =，所以24ABC C ∆=，12464ADE C ∆=⨯=．【总结】考查相似三角形的性质运用．【练习34】如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为______．【答案】6．【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到直角顶点的距离是斜边中线的23．【总结】考查直角三角形重心的性质运用．AB CD【练习35】如图，在平行四边形ABCD中，AB a=，CB b=，则向量AO为______．（结果用a和b表示）【答案】1122a b-．【解析】∵平行四边形对角线互相平分，∴11()22AO AC AB BC==+，∵AB a CB b==，，∴1122AO a b=-．【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质．【练习36】如图，将①BAD C∠=∠；②ADB CAB∠=∠；③2AB BD BC=；④CA ABAD DB=；⑤BC ACBA DA=；⑥BC DABA AC=中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号）【答案】答案不唯一，比如条件是①，结论是③．【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：（1）当条件为①时，结论可以是②③④⑤；（2）当条件为②时，结论可以是①③④⑤；（3）当条件为③时，结论可以是①②④⑤．【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用．A BCDOAB CD【练习1】已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值．【答案】27b d f ++=．【解析】∵203a c e b d f b d f ===++≠，，∴23a c eb d f ++=++，又∵18ac e ++=， ∴27bd f ++=．【总结】考查等比性质的运用．【练习2】已知b c c a a bx a b c+++===，求x 的值．【答案】21x =-或．【解析】（1）当0a b c ++=时，b c a c a b a b c +=-+=-+=-，，，∴1ax a-==-；（2）当0a b c ++≠时，b c c a a bx a b c+++===，根据等比性质， 2()2b c c a a b a b c x a b c a b c+++++++===++++；综上，12x =-或．【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想．【练习3】如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求ACAB的值．【答案】12AC AB =．【解析】∵,ACD B A A ∠=∠∠=∠,∴ACD ABC∆∆ ∵:1:3ACD BCD S S ∆∆=，∴:1:4ACD ABC S S ∆∆=，∴12AC AB =．【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关系．【练习4】如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3cm ，AB = 6cm ，矩形ABCD 的周长为28cm ，求CF 的长．解答题AB CDEFAB CDE FOPAB CDEF【答案】52CF cm=．【解析】∵矩形ABCD，628AB C==，周长，∴8BC=，∵AE EF⊥,AB BC DC BC⊥⊥，，可证ABE ECF∆∆,∴AB BEEC EC=，∵63835AB BE EC===-=，，，∴52CF cm=．【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型．【练习5】如图，已知ABC∆中，AB = AC，CD是边AB上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF是正方形．CEF∆和BDC∆相似吗？试证明你的结论．【答案】CEF BDC∆∆，证明略．【解析】1290AD CD ADC AC==∠=∴=，，，1AB AC AB BD=∴==，，1ABCD BD DE EF∴===正方形，，∴21)3CE=-=∴BDEC==CDEF=，即BD CDEC EF=，又∵90BDC CEF∠=∠=，∴BDC CEF∆∆．【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底．【练习6】如图，D、E、F分别是ABC∆的边BC、AB、AC的中点，AD与EF相交于点O，线段CO的延长线交AB于点P．求证：AB = 3AP．【答案】证明略．【解析】∵E F AB AC、分别是、的中点，∴12EF BC EF BC=，，ABCEF∴12AE EO AB BD ==，∵D 是BC 的中点，∴14EO BC =， ∵EO BC ，∴14PE EO PB BC ==，设PE k =，则4PB k =，3BE k =，∴26AB EB k ==，2AP AB PB k =-=，∴:6:23AB AP k k ==，即3AB AP =．【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用．【练习7】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3cm ．（1）求证：ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．【答案】（1）证明略；（2）AB =【解析】（1）∵90,ACB ∠=D AB 为的中点，∴DA DC =，∴A ECF ∠=∠,∵BE CD ⊥,∴90FCB CFB ∠+∠=，∵90FCE ECF ∠+∠=，∴ECF CBF ∠=∠， ∴A CBE ∠=∠,∵ECB BCA ∠=∠,∴ECB BCA ∆∆；（2）∵ECB BCA ∆∆，∴EC CBBC CA=,∵14EC AC AE EC ==+=，，∴2BC =， ∵90ACB ∠=，∴AB = 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用．。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结相似三角形的复习教案

相似三角形复习（2）教学内容：相似三角形复习课第二节（相似三角形判定定理）教学目标： 1、进一步理解和掌握相似三角形的判定定理、灵活应用这些定理去探索问题和解决问题。

2、培养在基本图形中运用知识的能力。

体会在发现中学习，在学习中发现。

发展学生的数学思维能力。

渗透图形运动、类比、分类讨论等数学思想。

3、提倡学生主动学习、积极参与教学，用所学的知识解决问题，提高学数学的热情。

在师生互动过程中，培养团结协作的精神。

教学重点：相似三角形判定定理的应用。

教学难点：能在复杂图形背景下、识别和判定三角形的相似，并正确推理论证，关注数学的严密性。

设计思想：本节课是在学习了相似三角形判定定理后的一节复习课。

一方面，抓住基本图形的特征，将基本图形通过平移、旋转、翻折、分解、组合成各种图形。

鼓励学生联想，培养学生创新意识。

另一方面，让学生进一步形成学习的主体意识、探究意识和合作意识。

教学过程：教师活动学生活动教学设计意图我们已经认识了相似三角形，学习了相似三角形的判定，这节课我们要巩固我们所学的知识，并把所学的有关判定定理应用到实际的例题中，去探索和解决一些问题。

一；相似三角形基本图形以及判定定理的回顾。

问1：若DE//BC ，则可以判定哪两个个三角形形相似？用哪条判定定理？预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

这类基本图形我们称为平行线型生：△ADE ∽△ABC ，用预备定理生：△ADC ∽△ACB通过回忆使学生掌握相似三角形的所有的判定方法．1A BCD E 1AECBD三边对应成比例，两三角形相似。

这类网格型的题目还可以用那种判定方法。

通常网格类的相似，还可以用哪个判定定理？最后，我们来回顾一下直角三角形相似的判定方法：问5：若BDACBE AB =，∠C=∠D=90°则可以判定哪两个三角形形相似？用哪条判定定理直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似上面我们回顾了相似三角形判定定理及重要的基本图形，下面我们要应用这些定理来解决一些几何问题。

九年级数学上册第二十四章第3节相似三角形复习沪教版五四制.doc

相似三角形填空题：1.____________________________ 若 2m = 3n,那么 n ： m二.2.已知线段a= 4cm , h =9 cm,则线段a、b的比例中项是 __________ .3.如图，已知 AD ： DB = AE ： EC, AD = 15, AB 二 40, AC = 28 ,则 AE = _______4.如上题图，DE//BC, AD : DB= 2 : 3 ,则A ADE与A ABC的周长之比为__________ .面积之比为_______ .如DE平分△ ABC的面积，那么AD : AB二 __________ .5.图纸上某个零件的长是32 mm,如果比例尺是1 ： 20,这个零件的实际长是__________6.如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC = ___________ .8.已知/ABC 中，P 是 AB 上的一点，ZACP =ZB, AB=9, AC=6,那么 AP二 ___________________________________ .9.在NABC中，AB-4, AC=7, D是AB中点，E是AC上的点，若NADE与原三角形相似，那么AE的长为 __________ . 10・两个相似三角形的相似比为3 : 2,如果它们的面积Z差为10,那么这两个相似三角形的而积分别是 .11.如图，AABC 中，DE〃BC,高 AM 交 DE 于 N, S“DE：S“BC=4： 5,如果 AM二 15,那么 AN 的长为_________ .12.在矩形ABCD中，AB= 10, BC =12, E为CD的中点，连接B、E,作AF丄BE,垂足为F,则AF= ______________________________________________________________________________________________ .在比例尺1：若厶ABC^AA^ C f , ZA二40° , ZC二110° ,则ZB'等于15.在厶ABC屮，点D、E分别在AB、BC边上，DE//AC.如果AD = 6皿，AB = 9皿，DE = 4⑵，那么AC= ______ cm.16.在△PABH」，点C、D分别在PA、PB±,要使APAB S APCD,那么需要添加的一个条件是 ______________________ .17.如图，点 D 在AABC 的 AC 边上，ZABD=ZC, AB二2, CD二3,则 AD二______ .18.已知RtAABC与RtADEF相似，RtAABC的两条直角边的长为6、8,如RtADEF^大的一条直角边的长为4,那么RtADEF 的较小一条直角边的长为—19.已知AD、BE是AABC的中线，AD、BE相交于G,若BE二9c仍，则BG二________ c m.20.如果两个相似三角形的面积比是9 ： 4,那么它们的周长比是________ .21.P为线段昇〃的黄金分割点，昇〃的长为6cm,则较长的线段长为___________ cm.22.如图：HABC申,D为AB上,若ZACD-ZB,那么△九疋.23.如图：』/为平行四边形必⑦的忧边的中点，AM交BD于点、P,若P冶2,则//七________________第(7)题第(8)题第(6)题7.如图，/ABC中, ZC = 90°, CD±AB, AD = 9, BD = 4,则 CD =C.AC=13.C24.__________________________________________________ 如图：点&是的重心，那么必AD- .第24题25. 26. 27. 2& 29.30. 第23题如果两个相似三角形的对应边长的比是4 ： 9,那么它们的周长比是 ______________ . 如果两个相似三角形的而积的比是4 ： 9,那么它们对应边长的比是 ______________・若直角三角形的重心到直角顶点的距离为3朋米，则这个总角三角形的斜边上的中线长为在比例尺为1： 10000的地图上，相距4厘米的两地力、〃的实际距离为 _____________ 米. 如图，1 1/77 1//1 3, 如图，在中，EF//BQAB = 2, AC = 5, DF 二 FD//AB,倨18,IC选择题：1.如果C 是线段AB 的黄金分割点(AOBC) (A) V5-I(B) 3-石2 22 .下列图形一定相似的是()(A)冇一个锐角相等的两个直角三角形(C)有两边成比例的两个直角三角形3.在下列命题中，真命题的个数有((C) 那么AC : CB 的值为( 亦+1 (D) 3+石2"V(B)冇一个介相等的两个等腰三角形(D)有两边成比例的两个等腰三和形 )①所有的等边三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的菱形都相似.(A) 0个； (B) 1个； 4•下列说法中,正确的是( (A)直角三角形都是相似形(C)有一个角相等的等腰三角形都是相似形(C) 2个; (D) 3 个. (B) (D) 5.如图,在Z1ABC 中，DF 〃EG 〃BC,且 AD=DE=EB, (A) 1 ： 1 ： 1(B) 1 ： 2 ： 3 (C) 1 ： 4 ： 9 (D)如图，点C 、是线段川〃的黄金分割点，M AOCB y 则下列说法正确的是(6. A . AC 2= AB ・ BC; B. BC 2 AB • AC\ C. 等腰三角形都是相似形等腰直角三角形都是相似形则DF, EG 分AABC 成三部份的而积世为()°1 ： 3 ： 5 AB'.BO BC: AC; 7.在△血疋中，〃、 (心旦DF BCD. AC'.BO AB: BC.F 分别在肋、ACk, DE//BC, EF//CD 交肋于〃；z x AF AD , 、、 DF AF(B) --- = ---- (C) ---------- = -----BD AB DB DF 那么下列比例式中正确的是( 「、 EF DE(D) ---- = ---- CD BC 8. 如图，已知〃是'ABC 中的边初上的一点，\AC2'ABC 、AD=4f 妙5,那么这两个相似三角形的相似比是 ( ).(A) 4 : 5 (B) 4 ： 9 (C) 2 ： 3 (D) 5 ： 99. 如图，在锐角△ ABC'p,高CD 、BE 相交于点H,则图屮所有与ACEH 相似(除△ CEH 日身外)的三角形的个数是((A) 1 个(C) 3 个 )(R) 2 个(D) 4 个（第7题）（第8题）10.在△初C 中，点〃、F 分别在边初、化上，由下列比例式不能得到DE//BC 的是（）.三、简答题：1、如图，已知/ABC 中，ZC 的平分线交AB 于点D,过D 作BC 的平行线交AC 于E,若AC 二6, BC =12,求DE的长. 4sinB=-, /乍4；〃是化的延长线上的一个动点，ZEDQB,5AE// BC.（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）设CXx, 求y 关于JV 的函数解析式，并写出函数的定义域;（3）当△血疗为等腰三角形时，求〃E 的长.3. 已知一次函数y =丄兀+加的图像分别交无轴、y 轴于久〃两点（如图），且与反比例函数4y =—的图像在第一彖限交于点（4, 〃），Q 丄；f 轴于几兀（1）求仍、刀的值；（2）如果点P 在x 轴上，并在点昇与点〃之间，点Q 在线段化上，且A&CQ,那么当△昇％与厶初C 和似时，求点0的坐标.ADDE AD AEBD CE (A) AB _ _BC (B) BD CE (C) AB _ _ AC11. 下列四个命题中，真命题是（）.（A ）直角三角形都相似（C ）相似三角形角平分线的比等于相似比12. 已知△ ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.4 相似三角形判定的复习教案

课题相似三角形判定的复习课型复习课教时/累计教时教学目标1、知识、技能2、过程、方法3、情感、价值掌握一般相似三角形的判定方法，会从复杂图形中分离基本图形。

经历问题的解决过程，领会逻辑推理的方法。

在自主整理、交流合作等学习过程中，养成自觉梳理知识的习惯。

和手段教学策略1、教学重点2、教学难点3、教学手段一般相似三角形的判定方法从复杂图形中分离基本图形从基本图形到复杂图形，由复杂图形分解成基本图形教学程序和内容教师活动学生活动备注一、课前复习反馈本课目标介绍课前复习单讲解结合学生完成情况进行整理归类并全班反馈；请学生回答课前复习单问题，其他学生可补充学生简单讲解，答案不唯一，其他学生补充二、例题精讲试一试：如图，ABC中，DE//BC，DE 交AB、AC分别于D、E，DC、BE相交于点O，图中相似的三角形有：____________________________ 。

请学生讲解，并简述理由学生根据判定写出相似三角形并简述相似理由例1、如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，ADE=ACB，CD与BE相交于点O，写出图中各对相似的三角形，并简述理由。

由原图分解出基本图形请学生上台讲解，教师板书要点由原图分解出基本图形理解识记相似三角形的基本图形学生根据判定独立思考和书写小组进行讨论后回答学生上台讲解例2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD,BE、CD相交于点G．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：△AED∽△ABC；（3）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．三、拓展提高1、（2014•奉贤区二模）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．(1)(2)题请学生口答，简单讲述理由巡视，了解各组情况，个别辅导由原图分解出基本图形视时间情况处理学生独立思考学生口答，并讲述理由学生独立思考，全班展示交流（1）（2）小题思路。

沪教版九年级数学-三角形相似的总复习-带答案

第 1 页共 3 页创新三维学习法，高效学习加速度知识精要一比例的性质1. 比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=2. 合比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b nmf e d c b a 则ban f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++.4. 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项.二平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBCDE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2．三角形一边平行线的性质定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.1. 三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.2. 推论: 如果一条直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC辅助线当然是添加平行线. 但如图（2）, 如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。

因此应过D做DG∥AC 交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC.解: 过D做DG∥AC交BF于G∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5 则DG:CF=2:5 设DG=2x CF=5 xAE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x=3:4 AF=1.5x AF:FC=1.5x:5x=3:10 三相似三角形的判定及性质1. 相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2. 直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.3. 相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)第 1 页共3 页创新三维学习法，高效学习加速度第 1 页共 3 页创新三维学习法，高效学习加速度一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列图形一定是相似图形的是…………………………（ B ）（A ）两个矩形；（B ）两个正方形；（C ）两个直角三角形；（D ）两个等腰三角形． 2．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ） A ．45米B ．40米C ．90米D ． 80米3．下列各组线段中，成比例线段的一组是…………………（ B ）（A ）1，2，3，4；（B ）2，3，4，6；（C ）1，3，5，7；（D ）2，4，6，8；4．如图，下列条件中不能．．判定ABC ACD △∽△的是（ C ） A ．B ACD ∠=∠； B ．ADC ACB ∠=∠； C ．AC ABCD BC=； D ．AB AD AC •=2．5．如图，已知D 是△ABC 中的边BC 上的一点，∠BAD =∠C ，∠ABC 的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ C ）（A ）△BAC ∽△BDA ；（B ）△BF A ∽△BEC ；（C ）△BDF ∽△BEC ；（D ）△BDF ∽△BAE ．B6.下列四个三角形中，与右图中△ABC 相似的是（ B ）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么x y y+= __ 5/3 __． 8．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离为 400 米9．已知在△A BC 中，AD 是中线，G 是重心，如果GD =3cm ，那么AG =6cm ．A C ED F第5题BAD CDCBA第4题第 1 页共 3 页创新三维学习法，高效学习加速度10．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知,5001=∠=∠A A 070=∠B ，要使ABC ∆和111C B A ∆相似，只要._________1=∠B 70或者6011．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD =1，AB =3，则ABC ADE S S ∆∆:= 1:9 ．12．如图：M 为平行四边形ABCD 的BC 边的中点，AM 交BD 于点P ，若PM =4，则AP =____8_________．13．已知点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），如果AB=2，那么AD 的长为 √5−1 ．14．如图，在∆Rt ABC 中，∠ACB = 90，CD ⊥AB ，垂足是D ，53=AC AD ，⊿ABC 的周长是25，那么⊿ACD 的周长是 15 ．15．如图，请在方格图中画出一个与 ABC 相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点）．略16、如图,在ABC ∆中，6=BC ，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，则GH 的长为___2__.H CBGAPMDCBA第12题第 1 页共 3 页创新三维学习法，高效学习加速度17．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝___05___cm18．已知三角形纸片（△ABC ）中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 40/13 ．三、（本大题共7题，满分78分）19、如图，在ABC ∆中有一个内接矩形EFGD ，边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，AB CQ ⊥于点Q ，CQ 交ED 于H ，10=AB ，6=CQ ，ED 的长比EF 多2，求ED 的长。

沪教版相似三角形知识点+例题+练习

第1节比例线段【学习目标】1．理解比例线段的概念，能说出比例关系中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于未知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题 4．理解黄金分割的概念，知道黄金分割数，会利用黄金分割数，进行简单的运算.【内容剖析】知识点一比例线段一般来说，两个数与两个量a 与b 相除，叫做a 与b 的比.记作b a :(或ba)，其中0≠b .a 除以b 所得的商叫做比值.如果b a :的比值等于k (即k ba=)，那么kb a =. 如果d c b a ::=(或dcb a =)，那么就说dc b a 、、、成比例. 两条线段长度的比叫做两条线段的比.求两条线段长度的比时，对这两条一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正数，所以这两条线段的比值总是正数.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.已知四条线段d c b a 、、、，如果d c b a ::=(或d cb a =)，那么线段d c b a 、、、叫做成比例线段，那么线段d a 、是比例外项，线段c b 、是比例内项，线段d 是c b a 、、的第四比例项. 如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即c b b a ::=(或cbb a =)，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项.已知4=a ，9=b ，c 是b a 、的比例中项，则=c .已知线段4=a cm ，9=b cm ，线段c 是b a 、的比例中项，则=c .第二十四章相似三角形判断四条线段是否成比例的方法：①将四条线段的单位化为一致；②取四条线段中最长与最短线段相乘，乘积如果与其它两项乘积相等就是比例线段，否则它们不是比例线段. 例1例2注意：四条线段成比例是有顺序的，不能随意颠倒已知d c b 、、是线段，它们的长度分别为1=a mm ，8.0=b cm ，02.0=c cm ，4.0=d dm ，它们是不是比例线段？知识点二比例的基本性质①比例的内项之积等于外项之积如果d c b a =，那么bc ad =；反之，如果bc ad =，那么d c b a =或d b c a =.①合比性质如果d cb a =，那么dd c b b a ±=±. 证明：令k dcb a ==，则kb a =，kdc =，那么等式左边：1±=±=±k b bkb b b a等式右边：1±=±=±k ddkd d d c等式左边=等式右边 ∴d dc b b a ±=± （1）已知83=-b b a ，求证：811=b a .（2）已知d c b a =(0≠±d b )，求证：db db c a c a -+=-+①等比性质类似地，若k d c b a ==(0≠±d b )，可得kb a =，kd c =，则k db kd kb d bc a =++=++. 于是，我们有了比例的等比性质：如果k d c b a ==，那么k d cb a d bc a ===++(0≠±d b ) 进一步推广可以得到：如果==d c b a …k nm==，其中++d b …0≠+n ，那么=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n d b m c a ...==dc b a .k n m==已知c b a 、、是非零实数，且满足acb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值.知识点三黄金分割如图，在线段AB 上存在一点P 将线段AB 分割成大小两条线段AP 、BP ，满足BP AP >且ABAPAP BP =，则它们的比值是多少？我们将上述这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，215-称为黄金分割数. 【基础过关】1. 如果B A 、两地的实际距离为50米，画在地图上的距离5''=B A 厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A.10:1B. 100:1C. 1000:1D. 10000:12. 已知线段30=a mm ，2=b cm ，54=c cm ，12=d mm ，试判断d c b a 、、、是否是成比例线段.3. 已知有四条线段成比例，其中三条线段的长度分别是2cm 、3cm 、4cm ，求第四边的长度.解析：设线段的长为，，则∵，∴整理得：解得：∵为线段，不能取负，∴∴注意一条线段的黄金点有两个分割点有两个.4. 已知线段5=AB 厘米，20=CD 毫米，求：（1）CDAB的值；（2）线段CD AB 、的比例中项. 5. 若32==d c b a (其中0≠+d b )，求d b ca ++的值.6. 若0432≠==z y x ，求z yx 32+的值.7. 若线段AB 的长为4，P 是线段AB 的一个黄金分割点，求PA 的长.8. 如图，在矩形ABCD 中截取正方形ABMN ，已知MN 是BC 和CM 的比例中项，53-=CM ，求AD的长.9. 若m y xz x z y z y x =+=+=+333333，求m 的值.【综合培优】一、选择题1. 下列四条线段成比例的是（）A. 2=a cm ，3=b cm ，3=c cm ，4=d cmB. 1=a cm ，2=b cm ，3=c dm ，6=d cmC. 5=a cm ，53=b cm ，3=c cm ，5=d cmD. 5=a cm ，1=b cm ，6=c cm ，3=d cm2. 线段22=a cm ，32=b cm ，6=c cm ，则c b a 、、的第四比例项是（） A. 33cm B. 3cm C. 3dm D. 3cm3. 已知cd ab =（d c b a 、、、不为零），下列各式中正确的是（）A. d c b a =B. cd c a b a +=+ C. d d b a c a +=+ D. c a bd ac = 4. 已知线段3=a ，6=b ，4=c ，那么下面说法正确的是（）A. 线段c b a 、、的第四比例项是b a +B. 线段b a 、的比例中项是a 23C. 线段c b a 、、的第四比例项是b a +32D. 线段a 2是线段b 和c 的比例中项5. 点P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A. 2B.15+或15-C. 2或15+D. 2或15-二、填空题6. 已知：032=-y x ，则=+-yx yx 23 . 7. 若25=a b ，则=+a a b ；若34===e f c d a b ，若042≠+-e c a ，则=+-+-e c a f d b 4242 . 8. 若453z y x ==，则=+++zx zy x 2 .9. 线段4=AB cm ，点C 在直线AB 上，且BC AC 3=，则=BC .10. 线段cm AB 20=，点P 是线段AB 的黄金分割点，且BP AP >，则=AP ，=BP . 11. 已知5:3)2(:)2(=--b a b a ，则=b a : .12. 点P 是线段AB 的黄金分割点，4=AB ，则=AP . 三、解答题13. 已知：234cb a ==，162=-+c b a ，求c b a +-34的值.14. 已知c b a 、、是ABC ∆的三边，且60=++c b a cm ，5:4:3::=c b a ，求ABC ∆的面积和最长边上的高.15. 若点M 在线段AB 上，点N 在线段AB 的反向延长线上，20=AB cm ，且32==NB AN MB AM ，求线段MN 的长.16. 如图，线段AB ，点C 是AB 的黄金分割点（BC AC <），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求ACCD 的值。

相似三角形的判定压轴题型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(沪教版)(解析版)

相似三角形的判定压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形判定定理的识别】 (1)【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)【考点三相似三角形判定定理的应用】 (2)【考点四相似三角形的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一相似三角形判定定理的识别】，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与V A ．C ADE ∠=∠ B ．B D ∠=∠C ． AD DE = D ． AD AE = 【答案】C【分析】根据12∠=∠得到DAE BAC ∠=∠，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若添加C AED ∠=∠或B D ∠=∠或AB AC AD AE =都可以得到ABC 与ADE V 相似，故A 、B 、D 不符合题意，若添加AB BC AD DE =，不能得到ABC 与ADE V 相似，故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式1】下列命题中假命题是（） A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B. 任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C. 等边三个角都相等，故两三角形相似；D. 任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=.则图中相似三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=，180180727236ABC C A =︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴∠，180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，AED ABC ∠=∠，//ED BC ∴，36EDB DBC ∴∠=∠=︒，1801803636108BED EBD EDB ∴∠=−∠−∠=−︒−︒=︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AED ABD ∠=∠，ADE ACB ∠=∠，AED ABC \，AED C ∠=∠，ADE BDC ∠=∠，AED BCD ∴，ABD C ∠=∠，ACB BDC ∠=∠，BCD ABC ∴，A EBD ∠=∠，ADB BED ∠=∠，EBD DAB ∴．故相似的三角形对数为4对：故选：C ．【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键．【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．所以有2个．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（）A ．5条B ．4条C ．3条D ．2条【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽△△；如图，画直线∥DE A C 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽；∴这样的直线最多可以画4条．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点三相似三角形判定定理的应用】【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．CD AB ⊥，90CDA BDC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴△∽△．根据作图痕迹可知，A 选项中，CD 是ACB ∠的角平分线，不符合题意；B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；C 选项中，CD 是AB 的垂线，符合题意；D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】A 、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，B 、633972−=−，9362=，A A ∠=∠，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，C 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，D 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．【变式2】如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE B ∠=∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：ABD DCE △△；乙同学：若AD DE =，则BD CE =；丙同学：当DE AC ⊥时，D 为BC 的中点．则下列说法正确的是（）A ．只有甲同学正确B ．乙和丙同学都正确C ．甲和丙同学正确D ．三个同学都正确【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD =【详解】解：在ABC 中，AB AC =，40C B ∴∠=∠=︒，B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠，40ADE B ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，ABD DCE ∴~，甲同学正确；C B ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，AD DE =，ABD DCE ∴≌，BD CE ∴=，乙同学正确；当DE AC ⊥时，90DEC ∴∠=︒，9050EDC C ∴∠=︒−∠=︒，90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，AD BC ∴⊥，AB AC =，BD CD ∴=，D 为BC 的中点，丙同学正确；综上所述：三个同学都正确故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【考点四相似三角形的拓展提高】【答案】3【分析】根据矩形性质得到OA OB OC ==，利用三角形的三线合一得AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，则有OQF AEF ∽，OQP BEP ∽，计算即可．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OA OB OC ==，∵F 是OC 的中点，∴1122OF OC OA ==，又∵OA OB =，OE AB ⊥∴AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，∴OQF AEF ∽，OQP BEP ∽， ∴13OP OQ OQ OF PB BE AE OA ====，故答案为：13．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键． A ．22B ．【答案】C 【分析】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，然后设=AB x ，AD y =， =BF k ， =2GC k ，得出1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y '，==BF FB k '，=AEF GEF ∠∠，求出==EG FG y k −3，接着推出CG GA CF FB =''，求出1=2ET k ，532EG k k k ＝﹣＝，最后利用勾股定理求出AB ，即可得出结果．【详解】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，设=AB x ，AD y =，12BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，点E 是AD 中点，∴1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y'，==BF FB k'，=AEF GEF∠∠，//AD CB，∴=AEF EFG∠∠，∴=GEF GFE∠∠，∴==EG FG y k−3，∴()11=3322GA y y k k y'−−=−，C，A'，B'共线，//GA FB''，∴CG GACF FB=''，∴1322k yky k k−=−，∴227100y y k−+=，∴2y k=（舍去）或=5y k，∴5==2AE DE k，四边形CDTG是矩形，∴==2CG DT k，1=2ET k，∴532EG k k k＝﹣＝，∴==AB CD GT=，∴ADAB=．故答案为：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．【变式2】30．已知：如图，ABC是以AB，BC为腰的等腰直角三角形，现将ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt ADE△，连接BD，CE．(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，进而得到AD AB AE AC =，问题得证；（2）如图，根据等腰直角三角形性质得到45BAC BCA ∠=∠=︒，根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，进而得到4267.5∠=∠=︒，即可求出45BFE ∠=︒，再求得22.5BCF ∠=︒，22.5FBC ∠=︒即可得证；（3）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，先证明DEM BCN △≌△，由全等三角形的性质得到EM CN =，进而证明FEM FCN △≌△，即可证明EF CF =．【详解】（1）证明：∵将ABC 绕点A 逆时针旋一个角度α得到Rt ADE △，∴AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，∴AD AB AE AC =， ∴ABD ACE ∽．（2）证明：如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，则45BAC BCA ∠=∠=︒，由旋转的性质可知：AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，∴1267.5∠=∠=︒，367.5ACE ∠=∠=︒，∴2467.5∠=∠=︒，∴1803445BFE ∠=︒−∠−∠=︒，∴135BFC ∠=︒．∵67.54522.5BCF ACE ACB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，∴BCF FBC ∠=∠．（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒−∠=︒，∴3=4∠∠，∴()AAS DEM BCN ≌△△，∴EM CN =，又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，∴()AAS FEM FCN ≌△△，∴EF CF =，即F 是CE 的中点．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．【过关检测】 1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）AED CED ∽ B ．ABE ACB ∽ C ．ABC EDC ∽ D ．AED CBA ∽【答案】C【分析】先根据题意，推出BC AC CD CE =，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案．【详解】解：4BE =，18CE = ，21AD =，12CD =，22BC BE CE ∴=+=，33AC AD CD =+=，2211126BC CD ==，3311186AC CE ==，BC AC CD CE ∴=，ACB ECD ∠=∠，ABC EDC ∴∽，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）A ．ACD ABC △△∽B ．ADE ACG ∽C ．ACE ABG ∽△△ D ．ADE CGE ∽△△【答案】D【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【详解】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△，故C 正确，不符合题意；在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 3. 如图，ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，写出一个与ACD 相似的三角形，这个三角形可以是．【答案】AOE △（答案不唯一）【分析】根据已知条件得90ADC AEO ∠=∠=︒，CAD OAE ∠=∠，推出ACD AOE ∼，其他同理.【详解】解： ACD AOE ∼；证明：∵ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，∴90ADC AEO ∠=∠=︒，∵CAD OAE ∠=∠，∴ACD AOE ∼；故答案为：AOE △（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似. 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，中线AD BE 、相交于点O ．若4AC =，3CB =，则OB 的长为．【分析】先运用勾股定理求出BE ，再根据三角形的中位线得到12DE AB DE AB =，，进而得到ODE OAB ∽解题即可．【详解】解：∵E 为AC 的中点，∴122CE AC ==∴BE =连接ED ，则ED 是ABC 的中位线，∴12DE AB DE AB =，， ∴OED EBA ∠=∠，ODE DAB ∠=∠，∴ODE OAB ∽∴12OE DE OB AB ==，∴23OB BE ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 5. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是．【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，⑤AGH ，其中与⑤相似的三角形是（只填序号）．【答案】①③/③①【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则①ABC 的各边长分别为1②ACD 的各边长分别为1③ADE V 的各边长分别为2、④AEF △的各边长分别为6；⑤AGH 2∴ABC AGH V V ∽，ADE AGH V V ∽，故答案为：①③．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC >，过AC 边上一点D 作直线DE 交AB 边于点E ，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作条．【答案】2【分析】本题可分2种情况：①作ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽，因此DE 符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D 作DE BC '∥，那么DE '符合所求直线的要求．【详解】解：如图；①作ADE ABC =∠∠；∵ADE ABC =∠∠，A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽； ②作DE BC '∥．∵DE BC '∥，∵AE D ABC '∠=∠，A A ∠=∠∴AE D ABC '∽因此共有2种作法，故答案为：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．与CMN 相似【答案】2或4/4或2【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB =，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，1CM CN ，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．9．如图，在ABC 中，P 为AB 上的一点，补充条件，能使APC ACB V :V ，这个条件可以是．（写出一个即可）【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角A ∠，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：PAC CAB ∠=∠，∴当ACP B ∠=∠时，APC ACB V :V ，故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用APC ∆和ACB ∆的公共角是关键．．如图，在ABC 中，点中的一个，不能得出ABC 和△【答案】③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意；②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意；③BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DB AC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意，故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．11．如图，点E 在▱ABCD 的边CD 的延长线上，连接BE 分别交AD 、AC 于F 、G ．图中相似的两个三角形共有对．答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥DC∵△ABG ∽△CEG ，△AGF ∽△CGB ，△EFD ∽△EBC ，△ABF ∽△DEF ，△ABF ∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC ≌△ADC ，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．在ABC 中，【答案】见解析【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．【详解】解：点M 即为所作，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM CAM ∠=∠，∵2BAC B ∠=∠，∴B CAM ∠=∠，∵MCA ACB ∠=∠，∴~CMA CAB ．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠，BDG DEG ∴∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．(1)求证：AEB BCD ；(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；（2）先根据直角三角形的性质可得152DH CD ==，再根据平行线的性质、等量代换可得30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线、60C ABD DBC ︒=+∠=∠∠，进而说明90BAD ∠=︒，最后根据角平分线的判定定理即可解答．【详解】（1）解：∵ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，ABD E ∠=∠，∴DBC EAB ∠=∠，∵C E ∠=∠，∴AEB BCD ．（2）解：作 DH BC ⊥ 于 H ．∵30C ∠=︒，10CD =，∴152DH CD ==，∵AE BD ∥，∴ CBD E ∠=∠，∵C E ∠=∠∴30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线，∴60C ADB DBC ︒=+∠=∠∠，∵30ABD ∠=︒∴90BAD ∠=︒,∵BD 是ABC ∠的角平分线，DA BA ⊥，DH BC ⊥，∴5DA DH ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．，ABC 为等边三角形， (1)求证：ABD DCE ∽△△； (2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到BAD CDE ∠=∠，再利用两角相等的三角形相似求解．（2）由题意易得AD BC ⊥，1102BD CD BC ===，然后可得30∠=︒CDE ，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：三角形ABC 是等边三角形， 60B C ∠=∠=︒∴，ADC B BAD ∠=∠+∠，ADC ADE CDE ∠=∠+∠，B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，B C ∠=∠，ABD DCE ∴∽；（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，1102BD CD BC ===， 90ADC ∴∠=︒，60ADE ∠=︒，30CDE ∴∠=︒，60C ∠=︒，90DEC ∴∠=︒，152CE CD ∴==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．边上一点，BCE 沿BE (1)求证：ABFDFE ； (2)若2sin 3DFE ∠=，6AF =【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据矩形的性质可知90A D ∠=∠=︒，在ABF △中可得90ABF AFB ∠+∠=︒，再由90BFE ∠=︒可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得ABF DFE =∠∠即可证明结论；（2）由ABFDFE 可得DFE ABF ∠=∠，然后说明2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=可得23AF BF =，然后将6AF =代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒．在ABF △中，90ABF AFB ∠+∠=︒，∵90BFE ∠=︒，∴90AFB DFE ∠+∠=︒，∴ABF DFE =∠∠，∴ABF DFE ．（2）解：∵ABF DFE ， ∴DFE ABF ∠=∠， ∵2sin 3DFE ∠=，6AF =， ∴2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=， ∴23AF BF =， ∴623BF =，∴9BF =．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 18．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；【答案】(1)45︒(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得902BAC α∠=︒−，452CAD α∠=︒−，即可得BAD ∠的度数；（2）①由题意可得45CBD BAD ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质可得∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，进而可得45AEC ∠=︒，可证()SAS ACE DCE △≌△，易得45DEC AEC ∠=∠=︒，可得90AED BCD ∠=∠=︒，可证结论；②延长ED 至G ，使得DG BC =，先证CBE CDG ∠=∠，进而可证()SAS CBE CDG △≌△，可得45BEC G ∠=∠=︒，CEG 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】（1）解：设ACB α∠=，∵AC BC =，∴180********ACB BAC ABC αα︒−∠︒−∠=∠===︒−，由旋转可知，90BCD ∠=︒，AC BC DC ==，∴90ACD α∠=︒+∴1804522DCA CAD CDA α︒−∠∠=∠==︒−，∴45BAD BAC CAD ∠=∠−∠=︒；（2）①证明：∵AC BC DC ==，90BCD ∠=︒，∴45CBD BAD ∠=∠=︒，又∵CE 平分ACD ∠，∴∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，则90AFE ∠=︒∴45AEC ∠=︒，又∵CE CE =，∴()SAS ACE DCE △≌△，∴45DEC AEC ∠=∠=︒，∴90AED BCD ∠=∠=︒，∴BCD AED ∽；②证明：延长ED 至G ，使得DG BE =，∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌，∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，∴CBE CDG ∠=∠，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴45BEC G ∠=∠=︒，∴CEG 是等腰直角三角形，∴EG DE DG DE BE =+=+，DE BE =+．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结相似三角形的判定复习课教案

《相似三角形的判定》复习课一、复习提问问：证明两个三角形相似的判定方法有哪些？学生口答：A 、预备定理B 、判定定理1、2、3.C 、直角三角形相似的判定定理二、精选习题，整合已学知识例1、如图，∆ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 、AC 分别于D 、E ，DC 、BE 相交于点O ，图中相似的三角形有多少对？为什么？分析：学生易发现：∆ADE ∽∆ABC 和∆DOE ∽∆COB 。

我进一步问：是否还有其他的相似三角形？教学目标：1.掌握相似三角形的判定定理，并能准确运用。

2.认识几种常见的基本图形，提高识图能力。

3.通过题目的分析、推导，提高逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力。

教学重难点：重难点：相似三角形的判定及其应用。

OE E A BD D OE BD（让学生思考）再问：∆DOB与∆EOC是否相似？【设计意图】：此题难度较小，学生基本都能看出相似三角形，通过此题，让学生回顾相似三角形中的最基本图形，即“正A型”和“正X型”。

再次追问的目的是让学生思考在运用“两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似”这个判定时要清楚什么叫对应边成比例，此处是学生的易错点，故我特意强调，并让学生多加思考。

练习1：如图，AC‖DF，∠B=∠F，图中有多少对相似三角形？理由是什么？分析：学生容易发现由AC//DF得到△BDE∽△BAC、△AMC∽△MEF，以及已知∠B=∠F得到△BDE∽△FME。

教师引导学生进一步观察图形，找出图中“斜A”型，初步判断是否相似，然后找满足相似的条件，进而找到△BAC∽△AMC，△BDE∽△AMC。

【设计意图】：此题较基础，重点在于通过题目让学生熟练掌握基本图形，能快速看出“A 型”和“X型”，能快速找到证明相似的条件，准确运用判定定理。

例2、如图1，在∆ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠ACB.(1)证明：△ADE∽△ACB.(2)如图2，连接CD、BE，CD与BE相交于点O.证明：∆ABE∽∆ACD.ABCA BCB(3)问： △DOB 与△EOC 是否相似.理由是什么？ (4)问： △DOE 与△BOC 是否相似. 理由是什么？图1 图2分析：（1）学生容易找到证明∆ADE ∽∆ACB 的条件，由判定定理1即可证明，要求学生自主完成。

沪教版(上海)2021年中考复习数学相似三角形综合复习

FGED CBA AB CDO① ②③④2021年中考复习数学相似三角形综合复习一、选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1:2，那么它们的周长比是（）(A) 1:2(B) 1:4(C) 1:2(D) 2:12. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（）（A ）1.5；（B ）2；（C ）2.5；（D ）3． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，若E 为CD 中点，且AE 与BD 交于点F ，则△EDF 与△ABF 的周长比为（） A . 1:2； B . 1:4； C . 1:3；D . 1:9．4. 在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，下列条件中不能．．判定△AED ∽△ABC 是（）A . ∠ADE=∠C ；B .∠AED=∠B ；C . AD AC AEAB=； D .AD ACBCDE=．5. 下列四个命题中，假命题是( )（A ）有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；（B ）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（C ）底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；（D ）斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 6．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是（）A ．①和②相似；B ．①和③相似；C ．①和④相似；D ．②和④相似； 7．如图，平行四边形ABCD 中，F 是CD 上一点，BF 交AD 的延长线于G ，则图中的相似三角形对数共有（）A ．8对；B ． 6对；C ．4对；D ．2对．二、填空题8.已知两个相似三角形的面积比是4:1，则这两个三角形的周长比是 .GDEFC BAFED CBA 9．如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2:3，则它们的周长比是． 10．如果两个相似三角形的周长之比是2︰3，其中小三角形一角的角平分线长是6cm ，那么大三角形对应角的角平分线长是 cm ；11．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ C =∠ F =90°，当AC =3，AB =5，DE =10，EF =8时， Rt △ABC 和Rt △DEF 是的．（填“相似”或者“不相似”） 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若DE ：EC =2:3，则S △DEF ：S △ABF = .13．如图，在边长为1的正方形网格上有点P 、A 、B 、C ，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．14.如图，在△ABC 中，若AB =AC =3，D 是边AC 上一点，且BD=BC=2，则线段AD 的长为 .15．如图，在△ABC 与△ADE 中，EDAEBC AB ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是．16．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，若AD =9，BD =4，则AC = ． 17．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =12，AD =18，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG =82，则△CEF 的周长是． 18. 新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”.已知等边三角形的一条弦的长度为2cm ，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm .19.如图，△ABC 是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的AB CD EACBP DBDCBA面积是 .20.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .21. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP=BR = ． 22．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．23.的长为 .24．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O = ．25．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中，AB =6，BC =7，AC =5，△A 1B 1C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△A 2B 2C （点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边A (B 1)A 1EBAABF 1CD EFB 1A2B2的长为．三、解答题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，E.2.如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC.（1）求证: EF∥BC；（2.3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．(1)求证：△CP A∽△APB；(2)试求tan∠PCB的值．BAEC D BAB CP4．如图，已知在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，AD //BC ，AD =8，DC =6，点E 在BC 上，点F 在AC 上，且DFC AEB ∠=∠，AF =4.（1）求线段CE 的长；（2）若43sin =B ，求线段BE 的长．5.已知：如图，△ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点， CD 平分∠ECB ，且2BC BD BA =⋅．（1）求证： △CED ∽△ACD ；（2）求证： AB CEBC ED=．FAC BDF E DCB A6．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结ADDC=3﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE7．在△ABC中，∠BAC=90°, ∠EAF=90°，（1）求证：△AGC∽△DGB；（2）若点F为CG的中点，AB=3，AC=4求DF的长．AE FGDBC8D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BEAG ．（1（29．如图，已知CD 是△ABC 中∠ACB 的角平分线，E 是ACAD =6，AE =4．(1) 求证：△BCD ∽△DCE ； (2) 求证：△ADE ∽△ACD ； (3) 求CE 的长．BDAGECABCDE10．如图，已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，点E 、点D 是底边所在直线上的两点，联接AE 、AD ，若求证：（1）△ADC ∽△EDA ；（211.在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ， EC 与AD 相交于点F ．（1）求证：△ABC ∽△FCD ；（2）若DE =3，BC =8，求△FCD 的面积．BAD。

沪教版初三上册396660《相似三角形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , , ,之一成立，则DE//BC.基本图形(3):若, , , , ,之一成立，则AC//DB.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.A型 X型常用的比例式：.（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、黄金分割1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.2.黄金分割的求法①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根据求根公式，得：x＝∴ (不合题意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，则C点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB，求作：线段AB的黄金分割点C.作法：如图：(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.则点C就是所求的黄金分割点.证明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C点是线段AB的黄金分割点.要点诠释：①一条线段有两个黄金分割点.②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.要点三、相似三角形1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.(4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF ∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点四、实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、比例线段1.已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案与解析】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,问题得解.举一反三：【变式】已知：，求的值.【答案】根据等比性质：由得.2．如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求.【答案与解析】分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,ADBC,∵E为AB中点，∴AE=BE，∵AD//BC，∴∠AFE=∠H.在△AEF和△BEH中：∴△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH，∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K，∵AD//BC，即AF//HC.∴∴【总结升华】欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.举一反三：【变式】如图，在是两条中线，则（）A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4【答案】由题意可知，为的中位线，则△CED∽△CAB，∴，故选D．类型二、相似三角形3．（2016•南平）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案与解析】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∴DE===4【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出=是解题关键．举一反三：【变式】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC与△DG 的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D.设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在Rt△FC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证Rt△FC∽Rt△DG，所以S△FC与S△DG的面积比为（：1）2=.类型三、实数与向量相乘4．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.【答案】②、④.【解析】掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.【总结升华】应用向量的运算性质.类型四、向量的线性运算5．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设=，=，请用向量、表示．【答案与解析】（1）证明：∵AD=DE=EB，∴==，∵DF∥BC，EG∥AC，∴==，，∴，∴FG∥AB；（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，∴，，∴FG=AB，∵与同向，∴=，∵=，=，∴=﹣，∴=．【总结升华】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．解题时注意掌握数形结合思想的应用．类型五、相似与其它知识综合问题6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.【答案与解析】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG.∴BG=AC+AG，∵BG=AB－AG，∴BG==，（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－，∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD，又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∠FDG=∠EDG，∴DG平分∠EDF ，（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.【总结升华】这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.举一反三：【变式】如图，在口ABCD中，的平分线分别与、交于点、．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）如图，在口ABCD中，，∴．∵是的平分线，∴．∴．∴．（2）∴△∽△，∴，∴．。

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案(考点梳理)

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，，下列说法错误的是（）A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心C.点B 与点D.点C与点E是对应位似点 D．是相似比2、△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则△ABC与△DEF的相似比为（）A.2：3B.4：9C.16：81D.9：43、如图，已知直线l∥m∥n，直线a分别与l，m，n交于点A，B，C，过点B 作直线b交直线l，n于点D，E，若AB=2，BC=1，BD=3，则BE的长为（）A.4B.2C.D.4、若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。

如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径（为不等于0的常数）那么下面四个结论：①∠AOB＝∠ A1O1B1；②△AOB∽△ A1O1B1；③ A1B1=k；④扇形AOB与扇形 A1O1B1的面积之比为。

成立的个数为：（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（）A.0B.1C.2D.36、如图，在中，，，BD是的角平分线，点E 在上，若，BD=6，则BE的长为（）A.4B.C.D.37、已知，而且和的方向相反，那么下列结论中正确是（）A. B. C. D. .8、下列各组线段，能成比例的是（）A.3，6，9，18B.2，5，6，8C.1，2，3，4D.3，6，7，99、如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．添加一个条件使△ACP与△ABC相似．下列添加的条件中不正确的是（）A.∠APC=∠ACBB.∠ACP=∠BC.AC 2=AP·ABD.AC：PC=AB：BC10、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（）A.△ACDB.△ADFC.△BDFD.△CDE11、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB 方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A. B.2 C.2 D.312、如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点.已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（）A. B. C. D.13、下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是35°的两个等腰三角形C.两个正方形D.两个圆14、若，且，则的值是（）A.2B.4C.6D.815、如图，在中，，，, 为边上的高，，两边分别交、于点、，则为( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2cm，CD=5cm，点P到CD的距离是3cm，则点P到AB的距离是________。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.5 相似三角形复习教案

1课题：相似三角形复习教案(二)一、教学目标1、进一步巩固与掌握相似三角形的判定与性质定理。

2、熟练运用相似三角形的判定和性质解决有关问题，并在探究过程中运用一题多解、运动转化、图形化归等数学思想方法。

3、通过例题的分析、研究，揭示基本图形的变化，提高分析问题和解决问题的能力，养成在自主探究的过程中，仔细观察、大胆猜想、严格推理、合作解决问题的精神。

二、重点与难点1、重点：利用相似三角形的判定与性质解决有关问题。

2、难点：灵活运用相似形的判定与性质，探究运动变化过程中图形的基本特征。

三、教学技术与学习资源：多媒体辅助教学(几何画板) 四、教学过程（一）基本图形回顾：[问题设置] 如图△ABC 中，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上（点D 不与点A 、B 重合，点E 不与点A 、C 重合）问题1、请添上一个条件，使得以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似。

（学生口答）总结归纳并画出示意图：添加以下任意一个条件，都可以使得以点A 、D 、E 为顶点与△ABC 相似①DE//BC ②∠ADE=∠B ③∠AED=∠C ④∠B+∠BDE=180°⑤∠DEC+∠C=180° ⑥AD AE =BD EC ⑥AD AE =AB AC ⑦BD CE=AB AC⑧∠ADE=∠C ⑨∠AED=∠B ⑩AD AE=AC AB。

ABD E2问题2、将图2的线段DE 向下平移，使得点E 与点C 重合，如图3所示，若△ACD ∽△ABC ，则线段AC 、AD 、AB 满足怎样的数量关系呢？接下来，我们在图3的基础上继续探索。

（二）典型例题[例题设置1] 如图1直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是△ABC 的高，试问图中有几对相似三角形？变式1：如果△ABC 是钝角三角形，∠ACB 为钝角（如图2）， CD 、BE 是△ABC 的高，DC 、BE 的延长线相交于点O ，则图中有几对相似三角形？变式2：如果△ABC 是锐角三角形（如图3），△ABC 的高CD 、BE 相交于点O ，连接DE ，则（1）图中有几对相似三角形？（2）若∠A ＝60°，则ED ：BC 的值＝（3）若△ADE 与△ACB 的面积之比为1：4，则∠A ＝度[例题设置2] 如图四边形ABCD 中，点E 、F分（1）（３））B）(E)3别是线段AB 、AC 上两点，且AD//EF//BC 若AD=10，BC=16，ΑΕ1=ΕΒ2，求线段EF 的长。

沪教版初三C专题(中考冲刺：因动点产生的相似三角形问题3星)巩固基础

-------------压轴题突破1：因动点产生的相似三角形问题（★★★）1. 掌握相似三角形的分类2. 学会利用几何方法快速计算知识结构1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：相似三角形的分类按角分按边分几何方法代数方法1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（★★★）图1答案：（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4b)．（2）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QAQA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

沪科版九年级数学上册相似三角形知识点大总结

沪科版九年级数学上册相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写b a ,n m ,nmb a =成．注：在求线段比时，线段单位要统一。

n m b a ::=（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，d c b a ,,,b a 和d c 和d c b a ,,,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb ,,．②a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，a d cb =()ac a b cd b d==在比例式：：中，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有a b b d =：：。

2b ad =（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即AB )(,BC AC BC AC >AC BC AB 和，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中2AC AB BC =⋅AB C AB ≈0.618．即简记为：AB AC 215-=AB AC BC AB AC ==长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除bc ad =了可化为，还可化为，d c b a ::=d b c a ::=，，，，，．b a dc ::=c ad b ::=c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．a cb d b da c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d±±=⇔=注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a（5）等比性质：如果，那么．)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ba n f db m ec a =++++++++ 注：①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例k 计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322032≠+-f d b 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等. AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

沪教版九年级数学相似三角形复习

ABCDEFG相似三角形复习课前测试【题目】课前测试已知，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的延长线上一点，CE = 2，联结AE ，与CD 交于点F ，联结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为______．【答案】453BG =【解析】延长,AD BG 相交于点H ，∵正方形ABCD ，∴90ADC DCE ∠=∠=， ∵2AD CE AFD EFC ==∠=∠，，∴AFD EFC ∆≅∆，∴AF EF DF CF ==，， ∵AH ∥BE , ∴1DH DFBC CF==，∴DH BC =， ∵AH ∥BE ,∴12DH DG HG BE GE BG ===, ∴23BG BH =，∵2490AB AH BAH ==∠=，，，∴25BH =， ∴453BG =．A DB CE F P Q总结：本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生综合运用知识的能力．【难度】3【题目】课前测试如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD a =，BC b =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长．【答案】abPQ a b=+．【解析】AD //BC ， AE PE ED EQBF BP FC QC∴==，．又E 、F 分别是AD 、BC 的中点， AE DE BF FC ∴==，， PE EQBP QC∴=， ////PQ BC AD ∴．PQ EP PQ PF PB BC EB AD AF EB ∴===，，1PQ PQAD BC∴+=．代入，求得：abPQ a b=+．总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再判定．由三线平行模型可得出结论．【难度】4知识定位适用范围：沪教版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型适用对象：成绩中等以及中等以下注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听相似三角形章节复习重点选讲：①相似形与比例线段②三角形一边的平行线定理③相似三角形的判定与性质定理知识梳理知识梳理1：相似形与比例线段1. 相似形（1）相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．（2）相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．2. 比例线段及性质（1）比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项．3.如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项． 4. 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．（2）比例的性质1.基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=．2.合比性质：如果a c b d =，那么a b c db d ++=；如果a cb d =，那么a bc db d --=．3.等比性质：如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d +===+（b+d≠0）等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形：如果，则（b+d+f+……+n ≠0）知识梳理2：三角形一边的平行线1.三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．2.三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么DE AD AE BC AB AC==3.重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．4. 三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC．7.平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．知识梳理3：相似三角形的性质与判定1. 相似三角形预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．2、相似三角形判定定理（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似3. 相似三角形性质定理（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．（2）相似三角形周长的比等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方例题精讲【题目】题型1：相似形与比例线段下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A ）3组（B ）4组（C ）5组（D ）6组【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．总结：考查相似图形的特征，形状完全相同，【难度】2【题目】题型1变式练习1：题型1：相似形与比例线段（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，求APAB的值．（2）b 是9和4的比例中项，则b =；（3）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是．【答案】（1512-352-．（2）6±；（3）46cm ．【解析】（1）根据黄金分割点的定义，2AP BP AB =⋅，即()2AP AB AP AB =-⋅，两边同时除以2AB ，可解得AP AB 2BP AP BC =⋅，类似的可得AP AB ．（2）由题意可知29436b =⨯=，可解得6b =±；（3）a 、b =总结：注意线段的黄金分割点有两个．注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【难度】2【题目】题型1变式练习2：题型1：相似形与比例线段已知a b ck b c a c a b===+++，则一次函数3y kx =-的图像一定经过第几象限？【答案】三、四．【解析】（1）a+b+c≠0时，根据比例的等比性()122a b c k a b c ++==++，此时一次函数132y x =- 经过一、三、四象限；（2）0a b c ++=时，可得b c a +=-，则1ak a==--，此时一次函数3y x =--经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限．总结：考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．【难度】3A BCDEFM 【题目】题型2：三角形一边的平行线定理及其推论如图，M 为AB 的中点，EF //AB ，联结EM 、FM 分别交AF 、BE 于点C 和点D ．求证：CD //AB ．【答案】见解析【解析】证明：EF //AB ，EF EC EF DFAMCM BM DM∴==，． M 为AB 的中点， AM BM ∴=．EC DFCM DM∴=， ∴CD //AB ．总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用【难度】2【题目】题型2变式训练1：三角形一边的平行线定理及其推论如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．【答案】92EC = 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =总结：相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【难度】2PNE GH F M D C BAABCDE【题目】题型2变式训练2：三角形一边的平行线性质定理及其推论如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【答案】 13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=．由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=．总结：夹在平行线间的线段对应成比例．【难度】3【题目】题型3：相似三角形性质及判定定理如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】见解析【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB AD AE =•，即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠．MPAB CDEF又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．总结：本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【难度】2【题目】题型3变式练习1：相似三角形性质及判定定理如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒， 1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3 【解析】AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=． 90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=，30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．总结：本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【难度】3ABCPQ 【题目】题型3变式练习2：相似三角形性质及判定定理如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？【答案】4811s 或325s 【解析】设两动点运动时间为t ，则2AP t =，BQ t =，16AQ t =-．（1）AQP ∆∽ABC ∆时，则有AQ APAB AC=，即1621612t t -=，解得：4811t s =．（2）APQ ∆∽ABC ∆时，则有AP AQAB AC=，即2161612t t -=，解得：325t s =．总结：解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可．【难度】3【题目】兴趣篇1已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 和点E ．求证：1AD AEDC EB+=．【答案】HG【解析】过点A作//GH BC分别交CE 、BD的延长线于点G、H．MN是中位线，//.AM MB AN NC MN BC∴==，，////GH BC MN∴．∴AM GPMB PC=GP PC∴=//GH BC∴GH GPBC PC=GH BC∴=；//GH BC∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+=．总结：本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．【难度】3【题目】兴趣篇2如图，AD是ABC∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=【答案】见解析【解析】过点C作//CM AB交AD的延长线于点M．//CM AB∴AB BDCM DC=，BAD M∠=∠AD是角平分线∴BAD DAC∠=∠；∴M DAC∠=∠∴AC CM=AB CDEPNMAB CDMAB CDE F G H P∴AB BDAC DC=．总结：本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【难度】3【题目】备选试题1如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【答案】2:15【解析】过点A 作//AM BC 交CF 的延长线于点M ，根据三角形一边平行线的性质定理，则有13AM AE DC ED ==．又23BD DC =，即()23BC DC DC -=．可得25DC BC =，则215AM BC =．由//AM BC 可得：::2:15AF BF AM BC ==．总结：考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行【难度】3【题目】备选试题2如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、 A C 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABDCE FA B CD EF【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ， //DG BC ，DG AD APBC AB AH∴==． 406040x x -∴=，24x ∴=， ∴正方形EFGD 的边长为24．总结：本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．【难度】3【题目】备选试题3如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是腰AB 上的一点，过点E 作BC 的平行线交CD于点F ，已知AD = 2，BC = 6．（1）如果2=3AE EB ，试求EF 的长；（2）如果2=3AEFD EBCF S S 梯形梯形，试求EF 的长【答案】（1）185EF =；（2）21055EF =．【解析】（1）过点A 作//AN DC 交BC 于点N ，交EF 于点M ． ////AD NC FE ，∴四边形ANCD 是平行四边形，四边形AMFD 是平行四边形， 2AD MF NC ∴===，6BC =，4BN ∴=．//EF BC ，AE EM AB BN ∴=，23AE EB =，25AE AB ∴=，25ME NB ∴=，85EM ∴=，185EF ∴=． A BCD EFMNA D EFGAB CDE （2）分别延长BA 、CD 交于点G ． //AD BC ，∴219ADG GBC S AD S CB ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设2AEFD S a =梯形，3EBCF S a =梯形，则5ABCD S a =梯形，∴159GDA GDA ADG ADG ABCD S S S S S a ∆∆∆∆==++梯形，∴58ADG S a ∆=，∴55852128GDA GEF a S S a a ∆∆==+，//EF AD ，∴222521ADG GEF S AD S EF EF ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21055EF =．总结：本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有相似三角形的性质及判定等知识．【难度】3【题目】备选试题4如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【答案】24 【解析】90ABC ∠=，//AB CD ，∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽． ∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，A B CDEFM∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=．在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．总结：本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．【难度】3【题目】备选试题5如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（） A ．53B ．35C ．43D ．34【答案】C【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．5CB CD ∴==， 3CE CF ==，BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=．在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．90ECF ∠=， 90ECD DCF ∴∠+∠=．又90DCF FDC ∠+∠=ECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴43DM DF MC EC ∴==．总结：本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．【难度】3。

沪教版相似三角形专题复习教案设计

相似三角形综合复习一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

相似三角形(知识导图+2个考点清单+4种题型解读)解析版—24-25学年九年级数学上学期期中(沪教版

相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）【清单01】相似三角形的判定相似三角形的123Rt .ìïïïïíïïïD ïî预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角，两个三形；判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相两边对应成比例夹角相等三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似【清单02】相似三角形的性质123ìïïíïïî基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应中线的比为( )A ．1:16B ．1:2C ．1:4D ．【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1:4，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的相似比为1:4．\它们的对应中线的比为1:4，故选：C ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的对应边的比1:4=．故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为4，那么△111A B C 与△333A B C 的相似比为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：Q △111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为41122:2:1A B A B \=，2233:4:1A B A B =，设33A B x =，则221148A B xA B x ==，1133:8:1A B A B \=，\△111A B C 与△333A B C 的相似比为8．故选：D ．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm ，大三角形的周长是 cm ．【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解．【解答】解：根据题意得，相似比为5:7，\大三角形的周长是52028()7cm ¸=，故答案为：28．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为　．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为4:9，\相似比为4:9，\这两个相似三角形的面积比为16:81，故答案为：16:81．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是平方分米．【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a 分米，b 分米，3:64:5:a b \==，8a \=，10b =，\其他两条边的长分别是8分米，10分米，2226810+=Q ，\做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，\做出的三角形的面积为168242´´=（平方分米）．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问题的关键．【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在ABC D 中，6AC =，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是．【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．【解答】解：如图，当APQ ABC D D ∽时，\21(2APQ ABCS AP S AB D D ==，\只要满足AP AQ AB AC ==如图，当APQ ABC D D ∽时，Q 直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，12APQ ABC S S D D \=，\21()2APQ ABCS AP S AC D D ==，\APAC=，AP \==，AQ =，APAB Q …，AQ AC …，AB \…6AB …，AB \…，当6AB AC ==时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况，6AB \¹，综上所述，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是AB…且6AB ¹．故答案为：AB …且6AB ¹．【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，如果5AC =，4CD=，那么ACD D 与CBD D 的相似比k = ．【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解．【解答】解：CDQ是AB边上的高，90ADC\Ð=°，5AC=Q，4CD=，3AD\==，90ACBÐ=°Q，CD是AB边上的高，90ADC BDC\Ð=Ð=°，90A ACD BCD ACDÐ+Ð=Ð+Ð=°Q，A BCD\Ð=Ð，ACD CBD\D D∽，ACD\D与CBDD的相似比34ADkCD==．故答案为：34．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义．【考点题型二】7小题）【例2】（2023秋•金山区期末）如图在41´的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，ABCD就是一个格点三角形，现从ABCD的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与ABCD相似的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得，AD ==，AC ==，BC ==BE ==，CF =，又2AB =Q ，2CD =，1BF =，\1AD CB =，1CDAB =，1ACAC =，AB BC =，AC BE ==，BC CE ==，BCBF=，AB BC ==AC CF =，\AD CD AC CB AB AC ==，AB AC BC BC BE CE ==，BC AB AC BF BC CF==，ABC CDA \D D ∽，ABC BCE D D ∽，ABC CBF D D ∽，故选：C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将ABC D 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A 、C 的对应点分别为D 、E ，边DE 交BC 于点F ，联结CE ．下列两个三角形不一定相似的是( )A ．BAD D 与BCE DB ．BDF D 与ECF DC ．DCFD 与BEF D D ．DBF D 与DEBD 【分析】根据旋转的性质得到AB DB =，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，ABC DBE D @D ，AB DB \=，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，ABD CBE \Ð=Ð，AB DBBC BE=，BAD BCE \D D ∽，故A 不符合题意；ABD CBE Ð=ÐQ ，AB AD =，BC BE =，A BDA BCE BEC \Ð=Ð=Ð=Ð，BDF ECF \Ð=Ð，又BFD EFC Ð=ÐQ ，BDF ECF \D D ∽，故B 不符合题意；DCF BEF Ð=ÐQ ，DFC BFE Ð=Ð，DCF BEF \D D ∽，故C 不符合题意；根据题意，无法求解DBF D 与DEB D 相似，故D 符合题意；故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是( )A ．两个直角三角形B ．两个等腰三角形C ．两个等边三角形D ．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A 、B 、D 中的两个三角形不一定相似，故A 、B 、D 不符合题意；C 、两个等边三角形相似，故C 符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知ABC D 与BDE D 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与BDF D 相似的三角形是( )A ．BEF DB ．BDA DC ．BDCD D ．AFDD 【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：ABC D Q 与BDE D 都是等边三角形，60E BDE EBD \Ð=Ð=Ð=°，C A ABC Ð=Ð=Ð．A 、只有60E BDF Ð=Ð=°，BEF D 和BDF D 不一定相似，故A 不符合题意；B 、由60BDF A Ð=Ð=°，DBF ABD Ð=Ð，推出BDF BAD D D ∽，故B 符合题意；C 、只有60BDF C Ð=Ð=°，BDFD 和BCD D 不一定相似，故C 不符合题意；D 、只有60BDF A Ð=Ð=°，BDF D 和AFD D 不一定相似，故D 不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN D 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC D ；②ABD D ．关于这两个三角形，下列判断正确的是( )A ．只有①是B ．只有②是C ．①和②都是D ．①和②都不是【分析】根据勾股定理求出ABD D 、ABC D 、AMN D 的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断即可．【解答】解：由图形可知，2AM =，4AN =，MN ==，AB ==AC ==，BC ==，AD ==，BD ==，QAB BD ADAM AN MN===，ABD MAN \D D ∽；QAB ACAM AN¹，ABC \D 与AMN D 不相似，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-5】（2024•ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =×．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ×=×，求证：ABE ACD D D ∽．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出AOD COB D D ∽，得出OA OD OC OB =，证出OA OEOC OD=，得出//AF CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出AED BDC Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，得出BE BFBD BC=，证出AEB ADC Ð=Ð．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF CD =，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：2OD OE OB =×Q ，\OE OD OD OB=，//AD BC Q ，AOD COB \D D ∽，\OA OD OC OB =\OA OE OC OD=//AF CD \，\四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD Q ，AED BDC \Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，\BE BF BD BC=，BC BD =Q ，BE BF \=，BDC BCD Ð=Ð，AED BCD \Ð=Ð．180AEB AED Ð=°-ÐQ ，ADC BCD Ð°-Ð，AEB ADC \Ð=Ð．AE AF AD BF ×=×Q ，\AE AD BF AF=，Q 四边形AFCD 是平行四边形，AF CD \=，\AE AD BE DC=，ABE ADC \D D ∽．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，EB 平分DEC Ð．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AE BC AC=，求证：ABE ACB D D ∽．【分析】（1）根据平行线的性质得出AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，则AC AB CE BD=，根据角平分线定义及平行线的性质得到CBE BEC Ð=Ð，则BC CE =，根据相似三角形的判定与性质得出AE DE DE AC BC CE ==，根据比例的性质及等量代换即可得解；（2）结合（1）及题意推出BE DE CE BE=，结合BED BEC Ð=Ð，推出BED CEB D D ∽，根据相似三角形的性质得出DBE BCE Ð=Ð，结合BAE CAB Ð=Ð，即可判定ABE ACB D D ∽．【解答】证明：（1）//DE BC Q ，\AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，\11AE AD CE BD +=+，\AC AB CE BD=，EB Q 平分DEC Ð，BED BEC \Ð=Ð，CBE BEC \Ð=Ð，BC CE \=，//DE BC Q ，ADE ABC \D ∽，\AE DE DE AC BC CE ==，\AE AC DE CE=，Q AC AB CE BD=，\AE AB DE BD =；（2）Q 22BE AE BC AC =，BC CE =，AE DE AC CE=，\22BE DE CE CE=，\BE DE CE BE=，又BED BEC Ð=Ð，BED CEB \D D ∽，DBE BCE \Ð=Ð，即ABE ACB Ð=Ð，又BAE CAB Ð=Ð，ABE ACB \D D ∽．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点D 、E 分别在ABC D 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出//(DE BC )A ．23AD BD =，23CE AE =B ．22,33AD DE AB BC ==C ．32AB AD =，12EC AE =D ．44,33AB AE AD EC ==【分析】对于选项C ，证明DAE BAC D D ∽，根据相似三角形的性质得到ADE ABC Ð=Ð，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A 、不能推出//DE BC ，不符合题意；B 、不能推出//DE BC ，不符合题意；C 、Q 12EC AE =，\32AC AE =，Q 32AB AD =，\AC AB AE AD =，A A Ð=ÐQ ，DAE BAC \D D ∽，ADE ABC \Ð=Ð，//DE BC \，本选项符合题意；D 、不能推出//DE BC ，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在ABC D 与△A B C ¢¢¢中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ¢¢上，（点D 不与点B 、C 重合，点D ¢不与点B ¢、C ¢重合）．如果ADC D 与△A D C ¢¢¢相似，点A 、D 分别对应点A ¢、D ¢，那么添加下列条件可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似的是( )①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线，BAD CAD \Ð=Ð，B A D C A D ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，CAD C A D ¢¢¢\Ð=Ð，C C ¢Ð=Ð，BAC B A C ¢¢¢\Ð=Ð，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件①可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线，BD CD \=，B D C D ¢¢¢¢=，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，ADC A D C ¢¢¢\Ð=Ð，AD CD A D C D =¢¢¢¢，\AD A D BD B D ¢¢=¢¢，ADB A D B ¢¢¢Ð=Ð，ABD \D ∽△A B D ¢¢¢，B B ¢\Ð=Ð，又C C ¢Ð=ÐQ ，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件②可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高，ADC D ∽△A D C ¢¢¢，由图形可知，ABC D 与△A B C ¢¢¢不相似，故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在ABC D 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，联结DE 、DF ，如果//DE AC ，//DF AB ，且:1:2AE EB =，那么:AF FC 的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．12【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：如图：//DE AC Q ，:1:2AE EB =，\12AE CD BE BD ==，\2BD CD=，//DF AB Q ，\2AF BD FC CD==，故选：C ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果:1:2AE ED =，那么:DF FB 为( )A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:5【分析】由平行四边形的性质得//AD CB ，AD CB =，由:1:2AE ED =，得23ED ED CB AD ==，再证明DFE BFC D D ∽，得23DF ED FB CB ==，于是得到问题的答案．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD CB \，AD CB =，:1:2AE ED =Q ，\23ED ED CB AD ==，//ED CB Q ，DFE BFC \D D ∽，\23DF ED FB CB ==，故选：C ．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DFE BFC D D ∽是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足//DE BC ，//EF AB ，那么下列等式中，成立的是( )A ．DE AE EF EC =B ．AD BF DB FC =C ．DE AB EF BC =D ．AD BF DB BC=【分析】由题意可证四边形BDEF 是平行四边形，可得BD EF =，DE BF =，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：//DE BC Q 、//EF AB ，ADE B EFC \Ð=Ð=Ð，AED C Ð=Ð，\△ADE ∽△EFC ，\DE AE CF EC =，故A 错误；AD DE EF CF=，//DE BC Q 、//EF AB ，\四边形BDEF 是平行四边形，BD EF \=，DE BF =，\AD BF BD FC =，故B 正确；\AB AD BC DE=，故C 错误；AD AE BF DB CE CF==，故D 错误，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点D 是ABC D 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果AD AE DE AB AC BC==，那么下列结论正确的是( )A ．//CE ADB ．BD AD =C ．ABE CBE Ð=ÐD ．BO AE AO BC ×=×．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：Q AD AE DE AB AC BC==，ADE ABC \D D ∽，ACB AED \Ð=Ð，BAC DAE Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，AOE BOC Ð=ÐQ ，AOE BOC \D D ∽，\AO BO AE BC=，BO AE AO BC \×=×．D \选项的结论正确．Q AD AE AB AC=，BAD CAE \D D ∽，ABE ACE \Ð=Ð，显然OE 与OC 不一定相等，ACE \Ð与BEC Ð不一定相等，CE \与BD 不一定平行，A \，C 不一定正确，BD Q 与AD 不一定相等，B \不一定正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点D 、E 分别在ABC D 边AB 、AC 上，3AB AE AD CE==，且AED B Ð=Ð，那么AD AC的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．23【分析】根据题意，可以先设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，再根据题意可以得到DAE CAB D D ∽，然后即可得到AD AC的值．【解答】解：Q3AB AE AD CE ==，\设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，则4AC b =，AED B Ð=ÐQ ，DAE CAB Ð=Ð，DAE CAB \D D ∽，\AD AE AC AB =，即343a b b a=，解得2a b =，\112442AD a AC b ==´=，故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△ABC 的顶点C 作任一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，过点D 作//DM FC 交AB 于点M ．（1）若:2:3AEF MDEF S S =V 四边形，求:AE ED ．（2）试说明2AE FB AF ED ×=×．【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【解答】（1）解：//EF DM Q ，\△AEF ∽△ADM ，:2:3AEF MDEF S S =V Q 四边形，\AE AD ==\AE DE ==．（2）证明：DC DB =Q ，12FM MB FB \==，//DM CF Q ，::AE ED AF FM \=，即1::2AE ED AF FB =，:2:AE ED AF FB \=，2AE FB AF ED \×=×．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD AB =，边BC 的垂直平分线EF 交边AC 于点E ，BE 交AD 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△CBA ；（2）如果△ADC 的面积为180，且18AB =，6DG =，求△ABG 的面积．【分析】（1）由AB AD =得到ABD ADB Ð=Ð，根据线段垂直平分线的性质得到EB EC =，则EBC C Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG ∽△CBA ，可得DG BD AB BC =，而18AB =，6DG =，即可得12BD CD =，12ABD ACD S S =V V ，又180ADC S =V ，故90ABD S =V ，因12AG =，12DG AG =，即得22906033ABG ABD S S ==´=V V ．【解答】（1）证明：AB AD =Q ，ABD ADB \Ð=Ð，EF Q 垂直平分BC ，EB EC \=，EBC C \Ð=Ð，GBD C Ð=ÐQ ，BDG CBA Ð=Ð，\△BDG ∽△CBA ；（2）解：由（1）知△BDG ∽△CBA ，\DG BD AB BC=，18AB =Q ，6DG =，\61183BD BC ==，\12BD CD =，\12ABD ACD S S =V V ，180ADC S =V Q ，90ABD S \=V ，18AD AB ==Q ，6DG =，12AG \=，\12DG AG =，\12BDG ABG S S =V V ，22906033ABG ABD S S \==´=V V ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =×．（1）求证：AE CD ^；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB Ð=Ð．【分析】（1）先根据题意得出ACB ECA D D ∽，再由直角三角形的性质得出CD AD =，由90CAD ABC Ð+Ð=°可得出90ACD EAC Ð+Ð=°，进而可得出90AFC Ð=°；（2）根据AE CD ^可得出90EFC Ð=°，ACE EFC Ð=Ð，故可得出ECF EAC D D ∽，再由点E 是BC的中点可知CE BE =，故BE EF EA BE=，根据BEF AEB Ð=Ð得出BEF AEB D D ∽，进而可得出结论．【解答】证明：（1）2AC CE CB =×Q ，\AC CB CE AC=．又90ACB ECA Ð=Ð=°Q ACB ECA \D D ∽，ABC EAC \Ð=Ð．Q 点D 是AB 的中点，CD AD \=，ACD CAD\Ð=Ð90CAD ABC Ð+Ð=°Q ，90ACD EAC \Ð+Ð=°90AFC \Ð=°，AE CD\^（2）AE CD ^Q ，90EFC \Ð=°，ACE EFC\Ð=Ð又AEC CEF Ð=ÐQ ，ECF EAC\D D ∽\EC EF EA EC=Q 点E 是BC 的中点，CE BE \=，\BE EF EA BE=BEF AEB Ð=ÐQ ，BEF AEB\D D ∽EBF EAB \Ð=Ð．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边CB 、AC 的延长线上，且DAB EBC Ð=Ð，EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求证：DBF EBC D D ∽；（2）如果AB BC =，求证：2EC DF DA =×．【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到D E Ð=Ð，即可证明DBF EBC D D ∽；（2）先证明DBF DAB D D ∽得到2DB DA DF =×，再根据AAS 证明ADB BEC D @D ，即可证明．【解答】证明：（1）AB AC =Q ABC ACB \Ð=Ð．ABC ÐQ 、ACB Ð分别是ADB D 和BCE D 的外角，ABC DAB D \Ð=Ð+Ð，ACB EBC E Ð=Ð+Ð，DAB EBC Ð=ÐQ ，D E \Ð=Ð．又DBF EBC Ð=Ð，DBF EBC \D D ∽．（2）DBF EBC Ð=ÐQ ，DAB EBC Ð=Ð，DBF DAB \Ð=Ð．D D Ð=ÐQ ，DBF DAB \D D ∽，\DB DF DA DB=，即2DB DA DF =×．在ADB D 和BEC D 中，D E DAB EBC AB BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADB BEC AAS \D @D ，BD EC \=，2EC DF DA \=×．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ^，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE Ð=Ð；（2）求证：2CD DG BD =×．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，12AE AB \=，12AD AC =，AB AC =Q ，AD AE \=．在ADB D 和AEC D 中，AD AE BAD CAE AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADB AEC SAS \D @D ，ABD ACE \Ð=Ð；（2）DF AC ^Q ，点D 是边AC 的中点，DF \是AC 的垂直平分线，FA FC \=，FAC ACE \Ð=Ð．由（1）知：ABD ACE Ð=Ð，FAC ABD \Ð=Ð．ADG BDA Ð=ÐQ ，ADG BDA \D D ∽，\AD BD DG AD=，2AD DG BD \=×．Q 点D 是边的中点，12AD AC CD \==，2CD DG BD \=×．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE AB =，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．联结BD ．（1）求证：BND CNM D D ∽；（2）如果2AD AB AF =×，求证：CM AB DM CN ×=×．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB CD =，//AB CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到//BD CE ，根据相似三角形的判定方法，由//CM DB 可判断BND CNM D D ∽；（2）先利用2AD AB AF =×可证明ADB AFD D D ∽，则1F Ð=Ð，再根据平行线的性质得4F Ð=Ð，23Ð=Ð，所以34Ð=Ð，加上NMC CMD Ð=Ð，于是可判断MNC MCD D D ∽，所以::MC MD CN CD =，然后利用CD AB =和比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD \=，//AB CD ，而BE AB =，BE CD \=，而//BE CD ，\四边形BECD 为平行四边形，//BD CE \，//CM DB Q ，BND CNM \D D ∽；（2）2AD AB AF =×Q ，::AD AB AF AD \=，而DAB FAD Ð=Ð，ADB AFD \D D ∽，1F \Ð=Ð，//CD AF Q ，//BD CE ，4F \Ð=Ð，23Ð=Ð，34\Ð=Ð，而NMC CMD Ð=Ð，MNC MCD \D D ∽，::MC MD CN CD \=，MC CD MD CN \×=×，而CD AB =，CM AB DM CN \×=×．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是 m ．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．【解答】解：设旗杆的高度为x ，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：1.518x =，1.58121x m ´\==，\旗杆的高度是12m ．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板(Rt ACB)D 上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若:1:3AF AC =，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为．【分析】设AF x =，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明AEF ABC D D ∽，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF x =，则3AC x =，Q 四边形CDEF 为正方形，2EF CF x \==，//EF BC ，AEF ABC \D D ∽，\13EF AF BC AC ==，6BC x \=，在Rt ABC D 中，222AB AC BC =+，即22230(3)(6)x x =+，解得，x =，AC \=，BC =，\剩余部分的面积21100()2cm =´-=，故答案为：2100cm ．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳1(,)3OC OD AD BC OB OA ===测量某个零件的内孔直径AB ，量得CD 长度为6cm ，则AB 等于 cm ．AB 的长．【解答】解：Q 13OC OD OB OA ==，COD AOB Ð=Ð，COD AOB \D D ∽，:3AB CD \=，6CD cm =Q ，6318()AB cm \=´=，故答案为：18．【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB 的值是解答本题的关键．【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB = ．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解答】解：如图：过O作OM CD^，垂足为M，过O作ON AB^，垂足为N，//CD ABQ，CDO ABO\D∽，即相似比为CD AB，\CD OMAB ON=，1578() OM cm=-=Q，1174()ON cm=-=，\684 AB=，3 AB cm\=，故答案为：3cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．（1）求BC和底边上的高；（2）求加工成的正方形纸片DEFG的边长．【分析】（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，根据题意得出方程组求出BC和AH；（2）设DG DE x==cm，再由平行线得出ADG ABCD D∽，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，DG DE x==cm，根据题意得：1001200a bab+=ìí=î，解得：6040ab=ìí=î，或4060ab=ìí=î（不合题意，舍去），60BC cm\=，40AH b cm==；（2）//DG BCQ，ADG ABC\D D∽，\AN DGAM BC=，即404060x x-=，解得：24x=，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，ABCD表示这块空地，36BC=米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）如果矩形花坛的边:1:2DG DE=，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的59？请作出判断并说明理由．【分析】（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，根据题意可得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，再根据矩形的性质可得//DE BC ，从而可得ADE ABC Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，然后证明A 字模型相似ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）设DG x =米，利用（1）的结论可得：ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质可得(364)DE x =-米，然后根据题目的已知可得25136492x x BC AN -=´×，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，由题意得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，Q 四边形DGHE 是矩形，//DE BC \，:1:2DG DE =Q ，2DE DG \=，//DE BC Q ，ADE ABC \Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，ADE ABC \D D ∽，\AM DE AN BC =，\92936DG DG -=，解得：6DG =，212DE DG \==，\这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的59，理由：设DG x =米，。

专题11 《相似三角形》全章复习巩固(提高)-(沪教版)

沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第9讲 相似三角形的章节复习(解析版)

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 相似三角形的复习 教案