定积分讲义

一、复习定积分的定义

二、定积分的元素法

步骤：

1、在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，即寻找微分表达式

2、计算x x f F b

a d )(⎰= 三、定积分的应用——求平面图形的面积

1、由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线a x =与b x =( b a < )与x 轴所围成的曲边梯形面积A

2、由曲线)(x f y =与)(x g y =及直线a x =，b x =( b a < )且)()(x g x f ≥所围成的图形面A

四、例题

例1. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积.

解：1、先画所围的图形简图

解方程 ⎩⎨⎧-==4

22x y x y ,得交点：)2,2(- 和 )4,8(.

2、选择积分变量并定区间

选取x 为积分变量，则80≤≤x

3、给出面积元素

在20≤≤x 上， dx x dx

x x dA 22])2(2[=--=

在82≤≤x 上， dx x x dx

x x dA )24(])4(2[-+=--=

4、列定积分表达式

28

3322202422214332x x x x ⎛⎡⎤=++- ⎢⎥⎝⎣⎦=18

另解：若选取y 为积分变量，则 42≤≤-y