高中数学必修函数模型及其应用优秀课件
-函数模型及其应用(人教A版必修1)课件
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
天数
回报/元
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.
第十一节函数模型及其应用ppt课件
合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均
购地费用＝
购地总费用 建筑总面积
)
◆高考总复习•数学•(文科)◆
解析：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则
fx＝560＋48x＋2
160×10 2 000x
000
＝560＋48x＋10 x800x≥10，x∈N*，
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(单位：元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式，并写出这 个函数的定义域．
(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年 内利润y(单位：元)最大？求出这个最大值．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
解析：(1)依题意，
y＝[2
[2
000＋40020－x]x－7，1＜x≤20，x∈N*， 000－100x－20]x－7，20＜x＜40，x∈N*，
② ，比较①②知t＝15，∴m＝15－5＝10.
答案：10
◆高考总复习•数学•(文科)◆
考点探究
考点一 二次函数模型应用题
【例1】 2012年伦敦奥运会中国跳水 队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运 动员进行10 米跳台跳水训练时，身体(看成一 点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐 标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下 运动员在空中的最高点距水面10 2 米，入水 处距池边4 米，同时运动员在距水3 面5 米或5 米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调 整好入水姿势，否则就会出现失误．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(1)求这个抛物线的解析式． (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的 抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 3 米，问：此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由．
新人教A版必修一函数模型的应用课件(21张)
题型一
题型二
题型三
已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度
是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1θ0)e-kt求得,这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某
种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温
∴2=
e2 ; ∴k=2ln
2,∴y=e2tln 2=22t.
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2
1 024
题型一
题型二
题型三
建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有
1
数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函
数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检
验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记
鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现
− 2 log3 100
= 1.
1
∴ 2 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
题型一
题型二
题型三
易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
高中数学课件-第11讲 函数模型及其应用
第11讲 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.考试要求理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.01聚焦必备知识1.指数、对数、幂函数模型性质比较知识梳理 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调______单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型与对数函数相关的模f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)提醒实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢.常用结论1.回源教材(1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A.40万元B.60万元C.80万元D.120万元夯基诊断D D 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).(2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝a e－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝( )C 2.易错自纠(1)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A.f (x )>g (x )>h (x )B.g (x )>f (x )>h (x )C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )B B 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ).(2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少C是( )A.8B.9C.10D.1102突破核心命题1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间 t (年)的函数图象正确的是( )考 点 一利用函数图象刻画实际问题的变化过程A A 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确.2.如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为( )D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.考 点 二已知函数模型解决实际问题ABC已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.反思感悟C 例2 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元考 点 三构造函数模型解决实际问题考向 1构建二次函数模型C C 设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.2构建分段函数模型例3 某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.例4 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.3构建对勾函数模型答案：5在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.反思感悟训练2 (2024·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且(1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)03限时规范训练(十六)A级 基础落实练1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的B 一个是( )x 1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.04187.51218.01B 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝k log3(x ＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)( )B A.1530只B.1636只C.1830只D.1930只3.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为D 获得最大利润，销售价应定为( )A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶C.12元/瓶D.6元/瓶4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到BD 乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( ) ArrayA.甲同学从家出发到乙同学家走了60 minB.甲从家到公园的时间是30 minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快B 由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时.故选B.6.(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为B 使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A.8B.10C.12D.13。
高中数学人教版高一必修《函数模型及应用》教育教学课件
解 （1）方法一 ∵f（1）=12-3×1-18=-20<0， f（8）=82-3×8-18=22>0， ∴f(1)· f(8)<0， 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8]. ∴(x-6)(x+3)=0， ∴x=6∈[1，8],x=-3 [1，8]， ∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一 ∵f（1）=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0, ∴f（1）· f（3）<0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，
从图象中可以看出当1≤x≤3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1，3]存在零点.
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，肯定区间［a，b］，验证__f_(_a_)·_f_(b__)<_0____,给定精确度 ；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
第三步，运算_f_(_x__1)__： ①若f_(_x__1)__=_0，则x1就是函数的零点； ②若_f_(_a_)_·___f_(_x_1_)_<，0则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若_f_(_x_1_)_·___f(__b_)_<_0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));
函数的运用
人教版高中必修一
基础知识 自主学习（要点梳理）
高中数学人教版必修1函数模型及其应用 课件PPT
函数的单调性的运用——解不等式
例8.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)， 求a的取值范围.
y f (x)在区间Ｄ上是增函数，则当x1,x2 D时,若x1<x2， 则f (x1) f (x2 ), 若x1>x2，则f (x1) f (x2 )； 若f (x1) f (x2 )，则x1<x2, 若f (x1) f (x2 )，则x1>x2. 减函数也类此.
.
a
.
.
x0 b
由于 a b 2.53125 2.5390625 0.0078125 0.01,
所以 x0 a b a 0.01, x0 b a b 0.01,
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的 近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
所以方程的近似解为 x 2.53125
值的步骤如下:
1.确定区间a,b ,验证f a f b 0,给定精确度 ;
2.求区间a, b 的中点c ； 3.计算 f c ；
（1）若f c 0 ,则 c就是函数的零点；
（2）若f a f c 0 ,则令 b c（此时零点 x0 a, c）. （3）若f c f b 0 ,则令 a c(此时零点 x0 c, b）.
导图
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0有实根
函数y=f(x)的图像 与x轴有交点
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)·f(b)<0
4.5.3 函数模型的应用(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共38张PPT)
2
于是
1 1 p 5730
2
所以
y
k
5730
1 2
x
由样本中碳 14 的残余量约为初始量的 55.2%可知，
x
x
y
k
5730
1 2
55.2%k
，即
5730
1 2
0.552
，解得
x
log
5730
1
0.552
.有计算工具的
2
x 4912 .
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前 2902年建成的．
分析:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属 于指数衰减，所以应选择函数 ykax(kR,k 0;a0,a1) 建立数学 模型
问题解答
设样本中碳 14 的初始量为 k，衰减率为 p(0<p<1)，经过 x 年后，残余量为 y，根据 问题的实际意义，可选择如下模型:
y k(1 p)x (k R, 且k 0;0 p 1; x 0). 由碳 14 的半衰期方 5730 年，得
4.5.3 函数模型的应用
稻壳老师
学习目标
1.会通过具体的函数模型分析实际问题 2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型
学习重点
应用函数模型解决实际问题
学习难点
选择合适的数学模型解决问题
新课导入
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变 化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如 何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方 案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案?
函数模型及其应用2226张PPT新必修1
2,
n 2k, k N *
数列的通项公式不唯一 。
4、作数列的图像，你会得到什么结论？
an 作an=n+3（ n N） 的图象
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
O 1234567
数列图象 是一些点
n
an an2n1(n N )的图像
8
这些点是 孤立的！
4
2 1
例2.观察下面数列的特点，写出每个数列 的一个通项公式
(1) 1,7, 13,19,L
(2a)n7, 7(71, 7)n7(76n, 7757)7, n, 777N7*7,L
这是一个循环数列,先联想数列1,11,111,1111, …的
通项,它又与9,99,999,9999, …的通项有关,
为数列的通项公式。
从映射、函数的观点来看，数列也可以 看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有 限子集{1,2,3,…,n})的函数，当自变量从小 到大依次取值时对应的一列函数值，数列的 通项公式就是相应函数的解析式.
四、思考以下问题
1.数列如何分类？ 有穷数列 (1)按项的多少来分: 无穷递数增列数列
大家好!欢迎 光临指导!
课题: 数列的概念
第三章 数列
3.1 数列的概念
考纲要求
理解数列的概念,了解数列通项公式 的意义,了解递推公式是给出数列的
一种方法,并能根据递推公式写出 数列的前几项.
一.观 察 分 析
(1)1, 2, 22 , 23 ,...，263
(2) 1,7, 13,19.
题型2 已知数列递推公式求通项公式
已知数列的递推关系式,可将已知递推关系式整理、变形 为新的等差或等比数列等办法,再求其通项.
高中数学 3.2函数模型及其应用课件1 新人教A版必修1
2
2
2
例2：在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9， 则log3a1+log3a2+……+log3a10=
（ A ） 1； 2B ） （ 1； 0C ） （ 8D ） lo5g 3
ppt精选
3
1、解答（思路）
例1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该 曲线的离心率为
（ A ） 3；B （ ） 6；C （ ） 3；D （ ） 2
（A）0；
（B）1；
（C）2；
（D）-1
解答： a=0、1、2都不行
ppt精选
选D
12
9、解答（思路）
例9：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行的充分必要条件是
（ A ） a 1 ； B ） a （ 1 ； C ） a （ 1 ； D ） a （ 1
2
2
解答： a=1不平行，a=1/2 平行
ppt精选
21
14、解答（思路）
例16：在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9， 则log3a1+log3a2+……+log3a10=
（ A ） 1； 2B ） （ 1； 0C ） （ 8D ） lo5g 3 解答：取an=a，得a=3，选B
ppt精选
22
16、解答（思路）
例16：一个平行四边形的两邻边分别为a,b，若分别依 次绕这两边旋转，则所得旋转体体积之比等于
3
7
（C）7 或 5
5
7
例13：若loga2<logb2<0,则
（B）7 或 4
4
7
（D）7 或 6
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将y=400代入得x=860.
4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)
的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t
取正值,则下午3时温度为
（B ）
A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃
解析 由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.
5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文
减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附
加税额不少于112万元，则x的最小值为
（A）
A.2
B.6
C.8
D.10
解析 依题意 (1001x0)•70 • x 11, 2 100
解得2≤x≤8,则x的最小值为2.
2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利
息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人
间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800
元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,
单价应该是 A.820元 B.840元
C.860元
（C） D.880元
解析 依题意，可设y与x的函数关系式为
y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000,
可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000,
4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为
5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.
基础自测
1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税
外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，
不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100
元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量
4 则当 x
ab 4
时，S有最大值
(a b)2 ; 8
若 a b b,即a>3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，
4
此时当x=b时，S有最大值为 Nhomakorabea2(bab)2(ab)2a bb2,
4
8
综上可知，当a≤3b时，x a b 时，
四边形面积Smax=
(a b)2 , 8
4
当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
题型分类 深度剖析
题型一 一次、二次函数模型 【例1】如图所示，在矩形
ABCD中，已知AB=a，BC=b （b<a）,在AB，AD，CD， CB上分别截取AE，AH,CG, CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积. 思维启迪 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值 问题求出S的最大值.
探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.
知能迁移1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所 示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在 边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由 单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色 阴影部分成四边形EFGH.
（2）对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会__慢__于__y=xn的增长速度,因而在定义域 内总存在一个实数x0,使x>x0时有_l_o_g_a_x_<_x_n____. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函
(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， a≠0)； (4)指数函数模型 f(x)=a·bx+c （a、b、c为常数， a≠0,b>0,b≠1）； (5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m ≠0, a>0,a≠1）; (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0, n≠1).
2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，
到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,
则该存款人的本金介于
A.3万~4万元
B.4万~5万元
（A）
C.5万~6万元
D.2万~3万元
解析 设存入的本金为x，
则x·2%·20%=138.64，
x13864003466.0 40
3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之
解 设四边形EFGH的面积为S，
则S△AEH=S△CFG=
1 2
x2,
S△BEF=S△DGH=
1 2
(a-x)(b-x)，
Sab2[1x21(ax)(bx)] 22
2x2(ab)x2(xab)2(ab)2,
4
8
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b< a b , 2
若 a b ≤b,即a≤3b时，
数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,
因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 __a_x>_x_n_>_l_o_g_ax___.
3.常用的几类函数模型
(1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k≠0);
(2)反比例函数模型 y k b (k、b为常数,k≠0); x
已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受
方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为
“14”，则原发的明文是___4___. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4.
高中数学必修函数 模型及其应用
随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 图象的变化 表现为与 渐表现为与 化而不同
__y_轴___平行 __x_轴___平行
2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_快__于__y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有__a_x>_x_n__.