华南理工数值分析试题

华南理工大学研究生课程考试

《数值分析》试卷C

2012年1月6日

1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；

所有答案请按要求填写在试卷上；

课程代码：S0003004

考试形式：闭卷

考生类别：硕士研究生

本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一、（12分）解答下列问题：

x>，x的相对误差为δ，试证明ln x的绝对误差近似为δ。

1）设近似值0

2）利用秦九韶算法求多项式

542

=-+-+

()341

p x x x x x

x=时的值。

在3

（1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。

（2）利用插值方法推导出恒等式： 33

220,0[

]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。

（1）设{}∞

=0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。

（2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合：

四、（14分）对积分()10I f x dx =

⎰，试 （1）构造一个以012113,,424

x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度；

（3）用所得数值求积公式计算积分1

203x dx ⎰的精确值；

（4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。

五、（12分）解答下列问题：

（1）设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

六、（13分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量形式的迭代格式

(1)()(

)1),1,2,,n k k k i i i ij j j ii x x b a x i n a ω+==+-=∑（

(ⅰ) 试导出其矩阵形式的迭代格式及迭代矩阵；

(ⅱ) 证明：当A 是严格对角占优阵且12

ω=

时，此迭代格式收敛。

（1）证明：设方程f(x)=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限为0.001，则至少要二分9次．

a 的Newton迭代公式，并判定该迭代公式的收敛阶。

（2）试写出求(0)

(1) 试分别运用Taylor 展开的方法和以差商离散导数项的方法推导出求解

y ’ = f (x , y), y (x 0) = y 0 的Euler 公式：

y n+1 = y n + h f (x n , y n )，n = 0,1,2…

(2) 若用Euler 公式解初值问题

试推导出该数值方法的绝对稳定条件。

2(0)3

y y y '=-⎧⎨=⎩