数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (b)]
称为复化梯形公式 . 记
? h
n?1
Tn
?
[ f (a) ? 2
2
k ?1
f (xk ) ?
f (b)]
若 f(x)? C2[a,b], 其求积余项 Rn(f )为(p239)
? ? Rn ( f
)?
I
? Tn
?
n?1
[?
k?0
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f
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x
k
)
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Rn (
f
)
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b? a 12
h2
f
??(?
),
? ? [a, b], h ? b ? a .
n
可以看出误差是 h2 阶，且由误差公式得到，当
f(x)? C2[a, b] 时，则有
b
? lim
n? ?
Tn
?
f ( x )dx .
a
即复化梯形公式是 收敛的. 事实上只要 f(x)? C[a, b], 则可得到收敛，因为只要把 Tn改写为
?
(b ? a)5 2880n4
f
(4) (? )
?6.3.2 复化辛普森公式
将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
x2k? 2 f ( x )d x
a
k ? 0 x2k
每个子区间 [x2k, x2k+2]上的积分用 辛普森公式 , 得
?x2 k ? 2 x2k
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分
1 sin x
I ? ?0 x dx .
解 将积分区间 [0,1]划分为8 等分，用复化梯形公式求得
x
f(x)
0
1
1/8 0.9973978
1/4 0.9896158
T8 ? 0.9456909. 而将积分区间 [0, 1]划分为2×4等 分，用复化辛普森公式求得
称为复化辛普森公式 . 记
? ? h
n?1
n?1
Sn ?
[f 6
(a) ?
4
k?0
f
( x k ? 1/2 ) ?
2
k ?1
f
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f (b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a
n
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I
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2
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n
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n k ?1
? f ( x k )?.
?
当n →∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数
的积分，所以复化梯形公式收敛 . 此外，Tn 的求积系 数均为正，由定理 2知复化梯形公式是稳定的 .
6.3.2 复化辛普森公式
为了提高精度，通常在实际应用中往往采用 将积 分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次 的求积公式 (梯形公式或抛物形公式 )，然后再利用积 分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的 求积公式，这就是复化求积公式的基本思想 . 我们仅 讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积 公式.
k?0
f (x2k?1) ? f
(b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a 2n
Rn( f
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I
? Sn
?
?
b ? a ( 2h )4 180 2
f (4) (? ) ?
?
(b ? a)5 2880n4
f (4) (? )
例1 对于函数 f(x)=sin x/x，给出n=8的函数表，
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk ?1 f ( x )dx
a
k?0 xk
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I
?
6
[
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f
(
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)
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4
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)
?
f ( x k?1 )]
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4
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2
k?1
f
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f (b)]
将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 即将每一个区间
[xk, xk+1]经过二等分增加了一个分点
x k ?1/2
?
1 2
(
x
k
?
x k?1)
在每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 辛普森公式 , 得
?x k ? 1 xk
f (x)dx ?
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[
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f
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x2k
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?
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n?1
[
k?0
就得到整个区间上积分 I 的近似值。
6.3.1 复化梯形公式
将积分区间 [a, b]划分为 n 等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )dx
a
k ? 0 xk
每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 梯形公式 , 得
?x k ? 1 xk
f ( x )dx
f
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)
?
4
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(
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n?1
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[ f (a) ? 3
2
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f ( x 2k?1 ) ? f (b)]
称为复化辛普森公式 . 记
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n?1
n?1
Sn
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[ f (a) ? 3
2
k ?1
f (x2k ) ? 4
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数 所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也 越高.另一方面，插值节点的增多 (n的增大)，在使用 牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数 (当n≥8 时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数 )，即牛顿 -柯特 斯公式是不稳定的， 不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度 .
f (b)]
称为复化梯形公式 . 记
? h
n?1
Tn
?
[ f (a) ? 2
2
k ?1
f (xk ) ?
f (b)]
若 f(x)? C2[a,b], 其求积余项 Rn(f )为(p239)
? ? Rn ( f
)?
I
? Tn
?
n?1
[?
k?0
h3 12
f
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[
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(
x
k
)
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k?0
xk ?1 xk
f ( x )dx
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2
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h
n?1
I
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f (xk?1)] ?
[ f (a) ? 2
2
k?1
f (xk) ?
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k)
Rn (
f
)
?
?
b? a 12
h2
f
??(?
),
? ? [a, b], h ? b ? a .
n
可以看出误差是 h2 阶，且由误差公式得到，当
f(x)? C2[a, b] 时，则有
b
? lim
n? ?
Tn
?
f ( x )dx .
a
即复化梯形公式是 收敛的. 事实上只要 f(x)? C[a, b], 则可得到收敛，因为只要把 Tn改写为
?
(b ? a)5 2880n4
f
(4) (? )
?6.3.2 复化辛普森公式
将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
x2k? 2 f ( x )d x
a
k ? 0 x2k
每个子区间 [x2k, x2k+2]上的积分用 辛普森公式 , 得
?x2 k ? 2 x2k
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分
1 sin x
I ? ?0 x dx .
解 将积分区间 [0,1]划分为8 等分，用复化梯形公式求得
x
f(x)
0
1
1/8 0.9973978
1/4 0.9896158
T8 ? 0.9456909. 而将积分区间 [0, 1]划分为2×4等 分，用复化辛普森公式求得
称为复化辛普森公式 . 记
? ? h
n?1
n?1
Sn ?
[f 6
(a) ?
4
k?0
f
( x k ? 1/2 ) ?
2
k ?1
f
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f (b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a
n
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I
?
Sn
?
?
b ? a ( h )4 180 2
f (4) (? ) ?
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?
1 ?b ? a n?1
2
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n
k?0
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b? a n
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? f ( x k )?.
?
当n →∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数
的积分，所以复化梯形公式收敛 . 此外，Tn 的求积系 数均为正，由定理 2知复化梯形公式是稳定的 .
6.3.2 复化辛普森公式
为了提高精度，通常在实际应用中往往采用 将积 分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次 的求积公式 (梯形公式或抛物形公式 )，然后再利用积 分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的 求积公式，这就是复化求积公式的基本思想 . 我们仅 讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积 公式.
k?0
f (x2k?1) ? f
(b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a 2n
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I
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?
?
b ? a ( 2h )4 180 2
f (4) (? ) ?
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(b ? a)5 2880n4
f (4) (? )
例1 对于函数 f(x)=sin x/x，给出n=8的函数表，
? ? ? I ?
b
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f ( x )dx ?
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将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 即将每一个区间
[xk, xk+1]经过二等分增加了一个分点
x k ?1/2
?
1 2
(
x
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?
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在每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 辛普森公式 , 得
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f
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n?1
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x2k
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f ( x2k ? 2 )]
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?
h 3
n?1
[
k?0
就得到整个区间上积分 I 的近似值。
6.3.1 复化梯形公式
将积分区间 [a, b]划分为 n 等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )dx
a
k ? 0 xk
每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 梯形公式 , 得
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f ( x )dx
f
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)
?
4
f
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x2k?1 )
?
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?
[ f (a) ? 3
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称为复化辛普森公式 . 记
? ? h
n?1
n?1
Sn
?
[ f (a) ? 3
2
k ?1
f (x2k ) ? 4
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数 所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也 越高.另一方面，插值节点的增多 (n的增大)，在使用 牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数 (当n≥8 时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数 )，即牛顿 -柯特 斯公式是不稳定的， 不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度 .