数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
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数值分析第五版李庆扬王能超课件第3章(2)
2
复化求积公式
h2 h2 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2 n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
Romberg
T1 = T0( 0 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
T2 = T0( 1 )
S1 = T1( 0 )
S2 = T1 S4 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2 C2 = T2
(0) (1)
<?
………………
R1 = T3
第二讲
§1. 复化求积公式
§2. 龙贝格求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低 次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复 合求积公式。
§ 1. 复化求积公式 § 1.拉格朗日插值
2.1 复化梯形公式 1.1 拉格朗日插值
1.2 复化辛普森公式
1.1 复化梯形公式
ba 复合梯形公式： h , xk a k h n
4T2 n Tn 4 1 T2 n Tn 来计算 I 效果是否好些？ 4 1 3 3 Romberg 序列
4 1 T8 T4 = 3.141592502 = S 4 3 3 4T2 n Tn 42 S2n Sn Sn 一般有： Cn 2 41 4 1
复化求积公式
h2 h2 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2 n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
Romberg
T1 = T0( 0 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
T2 = T0( 1 )
S1 = T1( 0 )
S2 = T1 S4 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2 C2 = T2
(0) (1)
<?
………………
R1 = T3
第二讲
§1. 复化求积公式
§2. 龙贝格求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低 次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复 合求积公式。
§ 1. 复化求积公式 § 1.拉格朗日插值
2.1 复化梯形公式 1.1 拉格朗日插值
1.2 复化辛普森公式
1.1 复化梯形公式
ba 复合梯形公式： h , xk a k h n
4T2 n Tn 4 1 T2 n Tn 来计算 I 效果是否好些？ 4 1 3 3 Romberg 序列
4 1 T8 T4 = 3.141592502 = S 4 3 3 4T2 n Tn 42 S2n Sn Sn 一般有： Cn 2 41 4 1
龙贝格求 积分
龙贝格(Romberg ）求积法1.算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法。
由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b ］逐次分半k －1次，（k ＝1，2,……,n)区间长度（步长)为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ，误差为)(2k h O 的一个近似公式，因而，复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++kkh K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2。
误差及收敛性分析（1）误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差,然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
(2）收敛性,记h x i =∆，由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知，只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时,也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。
4.4龙贝格求积公式
4 1 T1 ( k − 1) = T0 ( k ) − T0 ( k − 1) 3 3 16 1 T2 ( k − 1) = T1 ( k ) − T1 ( k − 1) 15 15 64 1 T3 ( k − 1) = T2 ( k ) − T2 ( k − 1) 63 63
k = 1 ,2 ,L
因此有如下递推公式 b−a [ f ( a ) + f (b )] T0 (0) = 2
1 T0 (k ) = T0 (k − 1) + hk 2
2 k −1 −1 j =0
∑ f (a + (2 j + 1)h )
k
k = 1, 2 ,L
上式称为递推的梯形公式
思考
递推梯形公式加上一个控制精度,即 可成为自动选取步长的复合梯形公式
带权）正交。 不大于n 不大于 的多项式 P(x) （带权）正交。
k =0
n
x 证明： 证明： “⇒”0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 ∫a ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk ) k=0 次代数精度。 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于 的多项式 不大于n 对任意次数不大于 ⇔ 求w(x) Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数 ， 的次数 求 Gauss 点 不大于2n+1，则代入公式应精确成立： 精确成立： 不大于 ，则代入公式应精确成立 n 0 b ∫ ρ ( x ) Pm ( x ) w ( x )dx = ∑ Ak Pm ( x k ) w ( x k ) = 0
外推加速公式
由复合梯形公式的余项公式
I − T2 n 1 ≈ I − Tn 4 1 I − T2 n ≈ (T2 n − Tn ) 3 4 1 I ≈ T2 n − Tn 3 3 1 f ( x 1 )) − Tn j+ 3 2
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
起来加以考虑 . 注意到每个子区间 [xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
龙贝格(Romberg)求积法
数值计算方法
龙贝格（Romberg）求积法
复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的 方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出 步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长 太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在 实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次 分半，直至达到某种精度为止。
1.1变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，
)
0.9397933
进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值
f
(
1 4
)
0.9896158
,
f
(
3 4
)
0.9088516
有
T4
1 2 T2
1 4
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)
0.9445135
这样不断二分下去，计算结果如P139列表所 示。积分的准确值为0.9460831，从表中可
看出用变步长二分10次可得此结果。
的考积察分T值与nS等n 。份辛卜生公式 S n之间的关系。将
复化梯形公式
Tn
h 2
f
(a)
2
n1 k 1
f
(xk ) f (b)
梯形变步长公式
T2 n
Tn 2
h n1
2 k 0
f (xk1 ) 2
代入(6.9) T 表达式得
h
n1
n1
T
6 f (a) 4k0
f
(
x k
1
)
2
（
2
输入 a,b,ε
）
变
b-ah,
h 2
f(a)+f(b)T1
龙贝格（Romberg）求积法
复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的 方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出 步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长 太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在 实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次 分半，直至达到某种精度为止。
1.1变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，
)
0.9397933
进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值
f
(
1 4
)
0.9896158
,
f
(
3 4
)
0.9088516
有
T4
1 2 T2
1 4
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)
0.9445135
这样不断二分下去，计算结果如P139列表所 示。积分的准确值为0.9460831，从表中可
看出用变步长二分10次可得此结果。
的考积察分T值与nS等n 。份辛卜生公式 S n之间的关系。将
复化梯形公式
Tn
h 2
f
(a)
2
n1 k 1
f
(xk ) f (b)
梯形变步长公式
T2 n
Tn 2
h n1
2 k 0
f (xk1 ) 2
代入(6.9) T 表达式得
h
n1
n1
T
6 f (a) 4k0
f
(
x k
1
)
2
（
2
输入 a,b,ε
）
变
b-ah,
h 2
f(a)+f(b)T1
6b复合求积公式龙贝格算法
步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1]
n1
xi xi +1/2 xi +1
h T2 n f ( xi ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 n1 h f ( xi ) 2 f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 h n1 h n1 1 h n1 f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi 1 2 ) Tn f ( xi 1 2 ) 4 i 0 2 i 0 2 2 i 0 13
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3
I Tn 4( I T2n )
3I 4T2n Tn
1 3
验后误差估计式 I T2 n (T2 n Tn )
当
T2n Tn 时，T2n即为所求的近似值。
1 (T2 n Tn ) 3
是T2n 的修正项，它与T2n 之和比T2n 、 Tn更接近与真值，即它是一种补偿。
|| T T2-T|< 2-T1|<
输出T2
16
举例
计算精度满足 | T2n Tn | 107
I [ f ]=0.946083070367
例：用梯形法的递推公式计算定积分 解：
1
0
sin( x ) dx , 要求 x
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T (k)
梯形法递推公式
1 h n1 1 h n1 T2 n Tn f ( xi 1 2 ) Tn f ( a ih 0.5h) 2 2 i 0 2 2 i 0
第五讲 复化求积公式
四、自动选取积分步长
事前确定步长的问题 (1) 高阶导数的估计往往是很困难的； (2) 这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。 为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法” “事后估计法”的基本思想是 (1) 求数值积分时，将区间逐次分半； (2) 利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求， 从而确定n. 下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法
1 h n1 T f (x ), n k1 2 2 2k0
如何根据Tn和T2n来确定误差是否满足要求？
(ba ) 2 I Tn ( h f ) 1 2 ba h 2 I T2n ( ( ) f ) 1 2 2
则有
如果二阶导数在区 间[a,b]上变化不大
n 1
R (Tn )
复化simpson公式的截断误差
（ 4 ） 若 函 数 f ( x )[ 在 a ,] b 上 连 续 ， 则
ba 4 (4) h5 (4) hf ( ) R ( S n ) f ( k ) I Sn 2 8 8 0 8 8 0 k0 2
0 . 9 4 6 0 8 3 2
1 1 C2 [ 7 f( 0 ) [ 3 2 f( x 1) 1 2 f( x 2) 3 2 f( x 3) ] k k k 1 8 0 k 0 4 4 4
1 4 f( x 7 f( 1 ) ] k)
k 1
1
0 . 9 4 6 0 8 3 0
n 1 h [ 7 f ( x ) 3 2 f ( x ) 1 2 f ( x ) 3 2 f ( x ) 7 f ( x ) ] k 1 2 3 k 1 k k k 9 0 k 0 4 4 4
数值分析中的龙贝格积分法详解
数值分析中的龙贝格积分法详解数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，其在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中有着广泛的应用。
而龙贝格积分法则是数值分析中常用的一种数值积分方法。
本文将详细介绍龙贝格积分法的原理、计算步骤以及应用场景。
一、龙贝格积分法的原理龙贝格积分法是一种数值积分方法，用于计算给定函数在一定区间上的积分值。
其基本思想是通过逐步逼近积分值，从而提高计算结果的精度。
具体而言，龙贝格积分法通过构造一系列逼近积分值的数列，并利用数列的收敛性质，最终得到所需的积分值。
二、龙贝格积分法的计算步骤1. 确定积分区间[a, b]以及需要计算积分的函数f(x)。
2. 将积分区间[a, b]等分为n个子区间，其中n为正整数。
即将[a, b]分为[a, x1,x2, ..., xn-1, b]。
3. 计算每个子区间的步长h = (b-a)/n。
4. 利用复化梯形公式计算第一级逼近积分值T(1)：T(1) = (h/2) * [f(a) + f(b) + 2 * (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1))]5. 构造递推公式，利用已知的逼近积分值T(k-1)计算第k级逼近积分值T(k)：T(k) = (1/2^k) * (4^(k-1) * T(k-1) - T(k-1))6. 判断逼近积分值T(k)的精度是否满足要求，若满足则返回T(k)作为最终的积分值；若不满足，则重复步骤5，计算下一级逼近积分值。
7. 重复步骤5和步骤6，直到满足精度要求或达到迭代次数为止。
三、龙贝格积分法的应用场景龙贝格积分法在数值分析中有着广泛的应用，特别是在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中。
以下是一些常见的应用场景：1. 科学计算：龙贝格积分法可以用于计算数学物理模型中的积分，如计算波函数的归一化常数、计算量子力学中的期望值等。
2. 工程计算：在工程领域中，往往需要对曲线或曲面进行积分计算。
龙贝格求积法
根据梯形法的误差公式可知积分值的截断误差大致与成正比因此当步长二分后截断误差将减至原有误差的根据梯形法的误差公式可知积分值的截断误差大致与成正比因此当步长二分后截断误差将减至原有误差的14即有将上式移项整理可得即有将上式移项整理可得nt2h412???nntiti3122nnnttti???443由此可见只要二分前后的两个积分值与相当接近就可以保nt2nt由此可见只要分前后的两个积分值与相当接近就可以保证计算结果的误差很小
h p
)
Fk
q pk 1
(h)
,k
0,1, 2,L
定义的序列{Fk(h)}有
Fk (h) F (0) an(n)1h pn1
a h (n) pn2 n2
a h (n) pn3 n3
L
,
其中an(n)k (k 1, 2, 3,L )与h 无关，q>1.
Richardson外推法应用非常广泛且有效，下面介绍应用 于数值积分的情形。
16 15
S4
1 15
S2
3.1415946
64 1 R1 63 C2 63 C1 3.141586292
1 sin x
算例结2 果用见R表om4-b5(ekr代g算表法二计分算次I数)。0 计x算值dx.的得误到差的不梯超形过值，计
0.510-6.
表4-5
k
T2k
S k 1 2
§4.4 外推原理与Romberg求积方法
4.4.1 外推原理
在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值 积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我 们可以通过外推技巧提高计算精度。
例1 计算的近似值。
h p
)
Fk
q pk 1
(h)
,k
0,1, 2,L
定义的序列{Fk(h)}有
Fk (h) F (0) an(n)1h pn1
a h (n) pn2 n2
a h (n) pn3 n3
L
,
其中an(n)k (k 1, 2, 3,L )与h 无关，q>1.
Richardson外推法应用非常广泛且有效，下面介绍应用 于数值积分的情形。
16 15
S4
1 15
S2
3.1415946
64 1 R1 63 C2 63 C1 3.141586292
1 sin x
算例结2 果用见R表om4-b5(ekr代g算表法二计分算次I数)。0 计x算值dx.的得误到差的不梯超形过值，计
0.510-6.
表4-5
k
T2k
S k 1 2
§4.4 外推原理与Romberg求积方法
4.4.1 外推原理
在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值 积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我 们可以通过外推技巧提高计算精度。
例1 计算的近似值。
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
第二节复化求积公式和龙贝格求积公式
Tn )
对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到
I
S2n
1 42 1(S2n
Sn )
1 I C2n 43 1 (C2n Cn )
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
I
T2n
1 4 1(T2n
Tn )
n1
Sn (
f
)
6
f
(a)
4
k0
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
( xk )
f
(b)
复化梯形公式(n
=
8)，h
1 8
0.946083070367
T8 (
f
)
1
2
8
f
(0)
2
f
1 (
)
8
f
(
1 )
4
3 f( )
8
f
(1) 2
f (5) 8
f
(3) 4
f
(
7 8
)
f
(1)
0.945692
复化辛蒲生公式(n
=
4)，h
1 4
S4 (
f
)
1 64
f
(0)
4
f (1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
《龙贝格求积》课件
龙贝格求积法的精度较高，且计算量相对较小，因此在 数值计算中广泛应用。
龙贝格求积法的历史背景
01
龙贝格求积法是由瑞典数学 家龙贝格在19世纪末提出的
。
02
它的出现为数值积分的发展 奠定了基础，成为数学领域
的一项重要成果。
03
随着计算机技术的发展，龙 贝格求积法在科学计算、工 程技术和数据分析等领域得
缺点
计算量大
对于大规模问题，龙贝格求积法可 能需要较大的计算资源和时间，因 为需要进行多次迭代和数值逼近。
对初值敏感
该方法对初值的选择比较敏感，如 果初值选择不当，可能会导致算法
不收敛或者收敛到非期望的解。
需要选择合适的参数
龙贝格求积法的精度和稳定性与参 数的选择密切相关，需要仔细选择 合适的参数值。
通过差商的方式计算插值多项式的导数。
导数在数值分析中的应用
用于估计函数的局部变化趋势，提高数值计算的精度。
龙贝格求积公式的推导
03
龙贝格求积公式的定义
龙贝格求积公式的推导过程
龙贝格求积公式的应用
利用插值多项式及其导数构造求积公式， 用于数值积分。
通过构造插值多项式和其导数，利用牛顿 -莱布尼茨公式推导得出。
对未来研究的展望
01
入 ，未来可以对龙贝格求积法进 行进一步的改进和优化，以提 高其计算效率和适用范围。
02
与其他方法的比较研究
可以开展龙贝格求积法与其他 积分方法的比较研究，深入探 讨各种方法的优缺点和应用场 景，为实际应用提供更加全面
的理论支持。
03
扩展应用领域
对不规则区域处理困难
对于不规则积分区域，龙贝格求积 法可能需要进行额外的处理和调整 ，增加了计算的复杂度。
龙贝格求积法的历史背景
01
龙贝格求积法是由瑞典数学 家龙贝格在19世纪末提出的
。
02
它的出现为数值积分的发展 奠定了基础，成为数学领域
的一项重要成果。
03
随着计算机技术的发展，龙 贝格求积法在科学计算、工 程技术和数据分析等领域得
缺点
计算量大
对于大规模问题，龙贝格求积法可 能需要较大的计算资源和时间，因 为需要进行多次迭代和数值逼近。
对初值敏感
该方法对初值的选择比较敏感，如 果初值选择不当，可能会导致算法
不收敛或者收敛到非期望的解。
需要选择合适的参数
龙贝格求积法的精度和稳定性与参 数的选择密切相关，需要仔细选择 合适的参数值。
通过差商的方式计算插值多项式的导数。
导数在数值分析中的应用
用于估计函数的局部变化趋势，提高数值计算的精度。
龙贝格求积公式的推导
03
龙贝格求积公式的定义
龙贝格求积公式的推导过程
龙贝格求积公式的应用
利用插值多项式及其导数构造求积公式， 用于数值积分。
通过构造插值多项式和其导数，利用牛顿 -莱布尼茨公式推导得出。
对未来研究的展望
01
入 ，未来可以对龙贝格求积法进 行进一步的改进和优化，以提 高其计算效率和适用范围。
02
与其他方法的比较研究
可以开展龙贝格求积法与其他 积分方法的比较研究，深入探 讨各种方法的优缺点和应用场 景，为实际应用提供更加全面
的理论支持。
03
扩展应用领域
对不规则区域处理困难
对于不规则积分区域，龙贝格求积 法可能需要进行额外的处理和调整 ，增加了计算的复杂度。
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
RT ≤ n× h 0.5 1 ×3 = × 2 = 7.92101 × 10 8 12 4 n
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
数值计算方法 龙贝格求积公式 - 龙贝格求积公式
类似地可验证：
3
S2
4
4
1
T4
4
1
1
T2
龙
贝 格 算 法
Sn
4
4
1
T2
n
4
1
1
Tn
即
Sn
4 3 T2n
1 3
Tn
Sn __ 辛 普 森 积 分 值
注 意 复 化 辛 普 森 求 积 公式 的 余 项
3
Rn
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( )
O(h4
)
龙 贝 格
R2 n
I
S2n
T4
1 2
T2
1 4
[
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)]
0.9445135
典型例题
例2
用复化梯形公式计算积分I 1 dx
0 (1 x ) x
精确至三位有效数字
I
1 dx 0 (1 x )
x t x
1 2dt 0 1 t2
1
g(t )dt
0
T1
1 [g(0) 2
g(1)] 1.5
T2
1 2
[T1
1
g(0.5)] 1.55
T4
1 2
[T2
1 ( g(0.25) 2
g(0.75))] 1.5656
典型例题
T8
1 2 [T4
1 ( g(0.125) 4
g(0.375)
g(0.625)
g(0.875))]
1.5695
注意到:
T8 T4
数值计算方法第五章第二节 复化求积公式
h Tk ( f ( xk ) f ( xk 1 )) 2
复化梯形公式为
n 1
k 0,1,
,n 1
n 1 h Tn Tk ( f (a ) f (b)) h f ( xk ) 2 k 0 k 1
数值分析
数值分析
截断误差分析：
h3 '' 在区间 xk , xk 1 上，Rk f (k ), k xk , xk 1 12 n1 n1 h3 '' 整体误差为 Rn Rk ( ) f (k ) 12 k 0 k 0
b a 1 n1 '' 利用 h 和 f (k ) f '' ( ) a, b n n k 0
得到复化梯形公式的截断误差是： b a 2 '' R(Tn ) h f ( ) O( h2 ) 12
数值分析
数值分析
2、复化Simpson公式
在每个小区间 xk , xk 1 上用Simpson公式 h Sk ( f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )) k 6 2
n 1
复化Simpson公式为
h 2 n1 1 n1 Sn Sk ( f (a ) f (b)) h f ( x 1 ) h f ( xk ) k 6 3 k 0 3 k 1 k 0 2 n 1 1 2 Tn H n , 其中H n h f ( x 1 ) k 3 3 k 0 2
用复化梯形公式n至少取68，节点至少取n 1 69个。
数值分析
数值分析
例：当用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 1 1 x -4 0 e dx的近似值时，若要求误差不超过 2 10 ， 问至少各取多少个节点？
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将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 即将每一个区间
[xk, xk+1]经过二等分增加了一个分点
x k ?1/2
?
1 2
(
x
k
?
x k?1)
在每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 辛普森公式 , 得
?x k ? 1 xk
f (x)dx ?
h 6
[
f
(
xk
)
?
4
f
(
xk
? 1/2
)
?
f (xk?1)]
?
(b ? a)5 2880n4
f
(4) (? )
?6.3.2 复化辛普森公式
将积分区间 [a, b] 划分为2n等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
x2k? 2 f ( x )d x
a
k ? 0 x2k
每个子区间 [x2k, x2k+2]上的积分用 辛普森公式 , 得
?x2 k ? 2 x2k
称为复化辛普森公式 . 记
? ? h
n?1
n?1
Sn ?
[f 6
(a) ?
4
k?0
f
( x k ? 1/2 ) ?
2
k ?1
f
(xk ) ?
f (b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a
n
Rn ( f ?
b ? a ( h )4 180 2
f (4) (? ) ?
f (b)]
称为复化梯形公式 . 记
? h
n?1
Tn
?
[ f (a) ? 2
2
k ?1
f (xk ) ?
f (b)]
若 f(x)? C2[a,b], 其求积余项 Rn(f )为(p239)
? ? Rn ( f
)?
I
? Tn
?
n?1
[?
k?0
h3 12
f
?(?? k )] ?
?
h2 ?b ? a n?1 12 n k ? 0
为了提高精度，通常在实际应用中往往采用 将积 分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次 的求积公式 (梯形公式或抛物形公式 )，然后再利用积 分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的 求积公式，这就是复化求积公式的基本思想 . 我们仅 讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积 公式.
f
( x2k
)
?
4
f
(
x2k?1 )
?
f ( x 2k? 2 )]
? ? h
n?1
n?1
?
[ f (a) ? 3
2
k?1
f (x2k ) ? 4
k?0
f ( x 2k?1 ) ? f (b)]
称为复化辛普森公式 . 记
? ? h
n?1
n?1
Sn
?
[ f (a) ? 3
2
k ?1
f (x2k ) ? 4
f ?(??
k)
Rn (
f
)
?
?
b? a 12
h2
f
??(?
),
? ? [a, b], h ? b ? a .
n
可以看出误差是 h2 阶，且由误差公式得到，当
f(x)? C2[a, b] 时，则有
b
? lim
n? ?
Tn
?
f ( x )dx .
a
即复化梯形公式是 收敛的. 事实上只要 f(x)? C[a, b], 则可得到收敛，因为只要把 Tn改写为
k?0
f (x2k?1) ? f
(b)]
若 f(x)? C 4[a,b], 其求积余项 为 h ? b ? a 2n
Rn( f
)?
I
? Sn
?
?
b ? a ( 2h )4 180 2
f (4) (? ) ?
?
(b ? a)5 2880n4
f (4) (? )
例1 对于函数 f(x)=sin x/x，给出n=8的函数表，
f (x)dx
?
2h 6
[
f
(
x2k
)
?
4
f
(
x2k
?
1
)
?
f ( x2k?2 )]
? I
?
2h 6
n?1
[
k?0
f
( x2k
)
?
4
f
( x2k ?1 )
?
f ( x2k ? 2 )]
? ?
h 3
n?1
[
k?0
f
(
x2k
)
?
4
f
(
x2k
?1)
?
f ( x2k ? 2 )]
? I
?
h 3
n?1
[
k?0
?
h 2
[
f
(
x
k
)
?
f ( x k ?1 )]
? ? ? n?1
I?
k?0
xk ?1 xk
f ( x )dx
?
n?1 k?0
h[
2
f
(
xk
)
?
f ( x k ?1 )]
? ? n?1 h
h
n?1
I
?
k?0 2[f (xk ) ?
f (xk?1)] ?
[ f (a) ? 2
2
k?1
f (xk) ?
就得到整个区间上积分 I 的近似值。
6.3.1 复化梯形公式
将积分区间 [a, b]划分为 n 等分, 则
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )dx
a
k ? 0 xk
每个子区间 [xk, xk+1]上的积分用 梯形公式 , 得
?x k ? 1 xk
f ( x )dx
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk ?1 f ( x )dx
a
k?0 xk
?h n?1
I
?
6
[
k?0
f
(
xk
)
?
4
f
( x k ? 1/2
)
?
f ( x k?1 )]
? ? h
n?1
n?1
?
[f 6
(a) ?
4
k?0
f
( x k ? 1/2 ) ?
2
k?1
f
(xk ) ?
f (b)]
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数 所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也 越高.另一方面，插值节点的增多 (n的增大)，在使用 牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数 (当n≥8 时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数 )，即牛顿 -柯特 斯公式是不稳定的， 不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度 .
试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分
1 sin x
I ? ?0 x dx .
解 将积分区间 [0,1]划分为8 等分，用复化梯形公式求得
x
f(x)
0
1
1/8 0.9973978
1/4 0.9896158
T8 ? 0.9456909. 而将积分区间 [0, 1]划分为2×4等 分，用复化辛普森公式求得
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
? ? Tn
?
1 ?b ? a n?1
2
? ?
n
k?0
f (xk )?
b? a n
n k ?1
? f ( x k )?.
?
当n →∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数
的积分，所以复化梯形公式收敛 . 此外，Tn 的求积系 数均为正，由定理 2知复化梯形公式是稳定的 .
6.3.2 复化辛普森公式