2017级软件工科数学分析上 期末考试题(A卷)

2

n +

+

2. 求不定积分

1sin

1cos

x

x

e dx

x

+

+

⎰

3. 计算定积分

2

4

a

a

dx

x

⎰

三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）

()()111

,2,1,2,n n n x x x ax n a

+<<=-=，证明{}n x 收敛，并求其极限。

2. 求函数()(1f x x =-的单调区间及及拐点（要求列表）。

3. 求旋轮线 ()()

()sin 021cos x a t t t y a t π=-⎧⎪≤≤⎨=-⎪⎩上斜率为1的切线方程，并求22d y

dx

。

4. 求曲线()()12y x x =--和x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的立体的体积。

四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）

1. 设)f x 在[],a b 上满足李普希兹条件：()()[](),,f x f y L x y x y a b -≤-∀∈，

其中L 为常数。证明：()f x 在[],a b 上一致连续。

2. 设函数()f x 在[]1,1-上有三阶连续导数，且()()()10,11,00f f f '-===，证明： 至少存在()1,1,ξ∈-使得()3f ξ'''=。

五、应用题（本题9分）

问当a 在0,

2π⎛⎫ ⎪⎝⎭

内取何值时，曲线()sin 02y x a x π⎛

⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴，y 轴及直线2x π=所

围图形的面积最小，并求此最小面积。