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2015年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)

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2014年上海市金山区中考数学一模试卷---

2014年上海市金山区中考数学一模试卷---

2014年上海市金山区中考数学一模试卷2014年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）2．（4分）（2014•金山区一模）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为．C D．24．（4分）（2014•金山区一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到D．6．（4分）（2014•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•金山区一模）如果2x=3y，那么=_________．8．（4分）（2014•金山区一模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，=，那么的值等于_________．9．（4分）（2014•金山区一模）计算：=_________．10．（4分）（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是_________．11．（4分）（2014•金山区一模）二次函数y=2x2+t的图象向下平移2个单位后经过点（1，3），那么t=_________．12．（4分）（2014•金山区一模）已知在△ABC中，∠C=90°，AB=12，点G为△ABC的重心，那么CG=_________．13．（4分）（2014•金山区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=_________度．14．（4分）（2014•金山区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=，BC=3，那么AC=_________．15．（4分）（2014•金山区一模）已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为_________．16．（4分）（2014•金山区一模）如果正n边形的每一个内角都等于144°，那么n=_________．17．（4分）（2014•金山区一模）正六边形的边长为a，面积为S，那么S关于a的函数关系式是_________．18．（4分）（2014•金山区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•金山区一模）计算：．20．（10分）（2014•金山区一模）已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，1）和（﹣1，6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．21．（10分）（2014•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．22．（10分）（2014•金山区一模）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）23．（12分）（2014•金山区一模）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求证：AB=3FG；（2）若AB：AC=：，求证：DF2=DG•DA．24．（12分）（2014•金山区一模）已知，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（﹣5，0）和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．25．（14分）（2014•金山区一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．2014年上海市金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）2．（4分）（2014•金山区一模）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为．C D．与单位向量方向相反，且长度为向量与单位向量方向相反，且长度为，∴24．（4分）（2014•金山区一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到D．sinA=，代入求出即可．sinA=，AB==6．（4分）（2014•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•金山区一模）如果2x=3y，那么=2．∴==28．（4分）（2014•金山区一模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，=，那么的值等于．==；然后利用比例的性质求得的值．∴；=∴，∴；故答案是：9．（4分）（2014•金山区一模）计算：=．=2+4=2．+10．（4分）（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是直线x=﹣1．；抛物线与11．（4分）（2014•金山区一模）二次函数y=2x2+t的图象向下平移2个单位后经过点（1，3），那么t=3．12．（4分）（2014•金山区一模）已知在△ABC中，∠C=90°，AB=12，点G为△ABC的重心，那么CG=4．×=413．（4分）（2014•金山区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=60度．tanA=tanA==14．（4分）（2014•金山区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=，BC=3，那么AC=9．，AC==15．（4分）（2014•金山区一模）已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为10．16．（4分）（2014•金山区一模）如果正n边形的每一个内角都等于144°，那么n=10．=1017．（4分）（2014•金山区一模）正六边形的边长为a，面积为S，那么S关于a的函数关系式是．×故答案为：18．（4分）（2014•金山区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=．cosB==xH=BH=xcosB=，设cosB==BH=xH=BH=x∴，即，∴．故答案为三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•金山区一模）计算：．=．20．（10分）（2014•金山区一模）已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，1）和（﹣1，6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．）由题意得，21．（10分）（2014•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．OD=2OA=422．（10分）（2014•金山区一模）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）∴23．（12分）（2014•金山区一模）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求证：AB=3FG；（2）若AB：AC=：，求证：DF2=DG•DA．）平行四边形的性质、线段中点的定义推知，所以）根据已知条件可以设，，，所以∴∴∴）设，∴∴∴24．（12分）（2014•金山区一模）已知，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（﹣5，0）和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．AB=）根据题意得解这个方程组，得二次函数的解析式是由题意得，那么，那么AP=，）或（，25．（14分）（2014•金山区一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．﹣x+3，根据两圆外切的性质得到﹣x+3﹣BQ=x x+4x x+16得到，，由此得到的长为PQ=x x=得到﹣=，由于＜的长为AB=∴x+3）∴，即=，﹣﹣外切时，﹣x+4=x+（﹣，即的长为﹣﹣﹣（﹣x+3=（x+4∴﹣，的长为；﹣（﹣x﹣（﹣x+3=（x=﹣∴﹣（舍去）或菁优网 ©2010-2014 菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；zcx ；zjx111；nhx600；gsls ；zhjh ；sjzx ；caicl ；dbz1018（排名不分先后） 菁优网2014年3月16日。

2015年上海市中考数学试卷答案与解析

2015年上海市中考数学试卷答案与解析

2015 年上海市中考数学试卷答案与分析2015 年上海市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题1．（4 分）（2015?上海）以下实数中，是有理数的为（）A ．B．C．πD．0考实数．点：分依占有理数能写成有限小数和无穷循环小析：数，而无理数只好写成无穷不循环小数进行判断即可．解解：是无理数，A不正确；答：是无理数，B不正确；π是无理数， C 不正确；0 是有理数， D 正确；应选： D．点本题主要考察了无理数和有理数的差别，解评：答本题的重点是要明确：有理数能写成有限小数和无穷循环小数，而无理数只好写成无穷不循环小数．2．（4 分）（2015?上海）当 a＞0 时，以下对于幂的运算正确的选项是（）A ．a0=1B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）D．a=2=﹣a2考负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数点：幂；零指数幂．分分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的析：性质和分数指数幂的性质分别剖析求出即可．解解： A 、a0=1（a＞0），正确；答： B、a﹣1= ，故此选项错误；C、（﹣ a）2=a2，故此选项错误；D、a =（a＞0），故此选项错误．应选： A．点本题主要考察了零指数幂的性质以及负指评：数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确掌握有关性质是解题重点．3．（4 分）（2015?上海）以下 y 对于 x 的函数中，是正比率函数的为（）3考正比率函数的定义．点：分依据正比率函数的定义来判断即可得出答析：案．解解：A、y 是 x 的二次函数，故 A 选项错误；答： B、y 是 x 的反比率函数，故B 选项错误；C、y 是 x 的正比率函数，故 C 选项正确；D、y是 x 的一次函数，故 D 选项错误；应选 C．点本题考察了正比率函数的定义：一般地，两评：个变量 x，y 之间的关系式能够表示成形如 y=kx （k 为常数，且 k ≠0）的函数，那么 y就叫做 x 的正比率函数．4．（4 分）（2015?上海）假如一个正多边形的中心角为 72°，那么这个多边形的边数是（）A ．4B．5C．6D．7考多边形内角与外角．点：分依据正多边形的中心角和为360°和正多边析：形的中心角相等，列式计算即可．解解：这个多边形的边数是360÷72=5，答：应选： B．点本题考察的是正多边形的中心角的有关计评：算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的重点．5．（4 分）（2015?上海）以下各统计量中，表示一组数据颠簸程度的量是（）A ．均匀数 B．众数C．方差D．频次考统计量的选择．点：分依据均匀数、众数、中位数反应一组数据的析：集中趋向，而方差、标准差反应一组数据的失散程度或颠簸大小进行选择．解解：能反应一组数据颠簸程度的是方差或标答：准差，应选 C．点本题考察了标准差的意义，颠簸越大，标准评：差越大，数据越不稳固，反之也建立．6．（4 分）（2015?上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要增添一个条件，这个条件能够是（）A．A D= B．OD= C．∠CAD= ∠ D．∠OCA= ∠BD CD CBD OCB考菱形的判断；垂径定理．点：分利用对角线相互垂直且相互均分的四边形析：是菱形，从而求出即可．解解：∵在⊙ O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB ，答：∴AD=DB ，当 DO=CD ，则 AD=BD ，DO=CD ，AB ⊥CO，故四边形 OACB 为菱形．应选： B．点本题主要考察了菱形的判断以及垂径定评：理，娴熟掌握菱形的判断方法是解题重点．二、填空题7．（4 分）（2015?上海）计算： |﹣2|+2= 4．考有理数的加法；绝对值．点：分先计算 |﹣2|，再加上 2 即可．析：解解：原式 =2+2答： =4．故答案为 4．点本题考察了有理数的加法，以及绝对值的求评：法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4 分）（2015?上海）方程=2 的解是x=2．考无理方程．点：分第一依据乘方法消去方程中的根号，而后根析：据一元一次方程的求解方法，求出 x 的值是多少，最后验根，求出方程=2 的解是多少即可．解解：∵=2，答：∴3x﹣2=4，∴x=2，当 x=2 时，左侧=，右侧 =2，∵左侧 =右侧，∴方程=2 的解是： x=2．故答案为： x=2．点本题主要考察了无理方程的求解，要娴熟掌评：握，解答本题的重点是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转变为有理方程来解，在变形时要注意依据方程的结构特色选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设协助元素法，利用比率性质法等．（2）注意：用乘方法（马上方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，常常会产生增根，应注意验根．9．（4 分）（2015?上海）假如分式存心义，那么 x 的取值范围是 x≠﹣ 3 ．考分式存心义的条件．点：分依据分式存心义的条件是分母不为0，列出析：算式，计算获得答案．解解：由题意得， x+3≠0，答：即 x≠﹣ 3，故答案为： x≠﹣ 3．点本题考察的是分式存心义的条件，从以下三评：个方面透辟理解分式的观点：（1）分式无心义? 分母为零；（2）分式存心义 ? 分母不为零；（3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零．10．（4 分）（2015?上海）假如对于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 m＜﹣ 4 ．考根的鉴别式．点：分依据对于x 的一元二次方程x2+4x﹣m=0 没析：有实数根，得出△ =16﹣4（﹣ m）＜ 0，从而求出 m 的取值范围．解解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0 没有实数答：根，∴△ =16﹣4（﹣ m）＜ 0，∴m＜﹣ 4，故答案为 m＜﹣ 4．点本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0评：（a≠0）的根的鉴别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．11．（4 分）（2015?上海）同一温度的华氏度数y （℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= x+32，假如某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．考函数值．点：分把 x 的值代入函数关系式计算求出y 值即析：可．解解：当 x=25°时，答： y= ×25+32=77，故答案为： 77．点本题考察的是求函数值，理解函数值的观评论：并正确代入正确计算是解题的重点．12．（ 4 分）（2015?上海）假如将抛物线y=x 2+2x ﹣1 向上平移，使它经过点 A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 y=x 2+2x+3 ．考二次函数图象与几何变换．点：分设平移后的抛物线分析式为 y=x2+2x﹣析：1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可获得b的值．解解：设平移后的抛物线分析式为y=x2+2x﹣答：1+b，把 A（0， 3）代入，得3=﹣1+b，解得 b=4，则该函数分析式为y=x2 +2x+3．故答案是： y=x2+2x+3．点主要考察了函数图象的平移，要求娴熟掌握评：平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数分析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4 分）（2015?上海）某校学生会倡导双休日到养老院参加服务活动，初次活动需要 7 位同学参加，现有包含小杰在内的 50 位同学报名，所以学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加初次活动的概率是．考概率公式．点：分由某校学生会倡导双休日到养老院参加服析：务活动，初次活动需要7 位同学参加，现有包含小杰在内的 50 位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．解解：∵学生会将从这50 位同学中随机抽取答：7 位，∴小杰被抽到参加初次活动的概率是：．故答案为：．点本题考察了概率公式的应用．用到的知识评论：为：概率 =所讨状况数与总状况数之比．14．（4 分）（2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年纪与人数状况以下表所示：年纪 11 12 13 14 15（岁）人数5516 1512那么“科技创新社团”成员年纪的中位数是14岁．考中位数．点：分一共有 53 个数据，依据中位数的定义，把析：它们按从小到大的次序摆列，第 27 名成员的年纪就是这个小构成员年纪的中位数．解解：从小到大摆列此数据，第27 名成员的答：年纪是 14 岁，所以这个小构成员年纪的中位数是14．故答案为 14．点本题属于基础题，考察了确立一组数据的中评：位数的能力．注意找中位数的时候必定要先排好次序，而后再依据奇数和偶数个来确立中位数，假如数占有奇数个，则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的均匀数．15．（4 分）（2015?上海）如图，已知在△ ABC 中， D、E 分别是边 AB 、边 AC 的中点， = ，= ，那么向量用向量，表示为﹣．考 * 平面向量．点：分由 = ， = ，利用三角形法例求解即可求析：得，又由在△ ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC 的中点，可得 DE 是△ ABC 的中位线，而后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解解：∵ =， =，答：∴=﹣=﹣，∵在△ ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC的中点，∴= =（﹣）= ﹣．故答案为：﹣．点本题考察了平面向量的知识以及三角形中评：位线的性质．注意掌握三角形法例的应用．16．（4 分）（2015?上海）已知 E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E作AC 的垂线，交边CD 于点F，那么∠FAD= 22.5 度．考正方形的性质；全等三角形的判断与性质．点：分依据正方形的性质可得∠DAC=45 °，再由析：AD=AE 易证△ADF ≌△AEF，求出∠FAD．解解：如图，答：在 Rt △AEF 和 Rt△ADF 中，∴R t △AEF ≌Rt △ADF ，∴∠ DAF= ∠EAF ，∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ CAD=45 °，∴∠ FAD=22.5°．故答案为： 22.5．点本题考察了正方形的性质，全等三角形的判评：定与性质，求证 Rt △AEF ≌Rt △ADF 是解本题的重点．17．（4 分）（2015?上海）在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，点 A 在⊙ B 上，假如⊙ D 与⊙ B 订交，且点B 在⊙ D 内，那么⊙ D 的半径长能够等于14（答案不独一）．（只要写出一个切合要求的数）考圆与圆的地点关系；点与圆的地点关系．点：专开放型．题：分第一求得矩形的对角线的长，而后依据点A析：在⊙B 上获得⊙ B 的半径为 5，再依据⊙ D 与⊙ B 订交，获得⊙ D 的半径 R 知足 8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解解：∵矩形 ABCD 中， AB=5 ，BC=12，答：∴AC=BD=13 ，∵点 A 在⊙B 上，∴⊙ B 的半径为 5，∵假如⊙ D 与⊙ B 订交，∴⊙ D 的半径 R 知足 8＜R＜18，∵点 B 在⊙D 内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14 切合要求，故答案为： 14（答案不独一）．点本题考察了圆与圆的地点关系、点与圆的位评：置关系，解题的重点是第一确立⊙ B 的半径，而后确立⊙ D 的半径的取值范围，难度不大．18．（4 分）（2015?上海）已知在△ ABC 中，AB=AC=8 ，∠ BAC=30 °，将△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC 的点 C 处，此时点 C落在点 D 处，延伸线段 AD ，交原△ ABC 的边BC 的延伸线于点 E，那么线段 DE 的长等于4﹣4．考解直角三角形；等腰三角形的性质．点：专计算题．题：分作 CH ⊥AE 于 H ，依据等腰三角形的性质析：和三角形内角和定理可计算出∠ ACB=（180°﹣∠ BAC ）=75°，再依据旋转的性质得 AD=AB=8 ，∠CAD= ∠BAC=30 °，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在 Rt△ACH 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 CH= AC=4 ，AH= CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，而后在Rt △CEH 中利用∠E=45°获得 EH=CH=4 ，于是可得 DE=EH ﹣DH=4﹣4．解解：作 CH ⊥AE 于 H，如图，答：∵AB=AC=8 ，∴∠ B=∠ACB= （180°﹣∠ BAC ）=（180°﹣ 30°） =75°，∵△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ABC 的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，∴A D=AB=8 ，∠CAD= ∠BAC=30 °，∵∠ ACB= ∠CAD+ ∠E，∴∠ E=75°﹣ 30° =45°，在 Rt △ACH 中，∵∠ CAH=30 °，∴CH= AC=4 ，AH= CH=4 ，∴DH=AD ﹣AH=8 ﹣4 ，在 Rt △CEH 中，∵∠ E=45°，∴EH=CH=4 ，∴DE=EH ﹣DH=4 ﹣（ 8﹣4 ）=4 ﹣4．故答案为 4 ﹣4．点本题考察认识直角三角形：在直角三角形评：中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考察了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10 分）（2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，此中x=﹣1．考分式的化简求值．点：分先依据分式混淆运算的法例把原式进行化析：简，再把 x 的值代入进行计算即可．解解：原式=? ﹣答：=﹣=，当 x= ﹣1 时，原式 == ﹣1．点本题考察的是分式的化简求值，熟知分式混评：合运算的法例是解答本题的重点．20．（10 分）（2015?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式点：的解集．分先求出每个不等式的解集，再依据找不等式析：组解集的规律找出不等式组的解集即可．解解：答：∵解不等式①得： x＞﹣ 3，解不等式②得： x≤2，∴不等式组的解集为﹣ 3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．点本题考察认识一元一次不等式组，在数轴上评：表示不等式组的解集的应用，解本题的重点是能依据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（10 分）（2015?上海）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比率函数 y= x 的图象经过点 A ，点 A 的纵坐标为 4，反比率函数 y= 的图象也经过点 A，第一象限内的点 B 在这个反比率函数的图象上，过点 B 作 BC∥x 轴，交 y 轴于点C，且 AC=AB ．求：（1）这个反比率函数的分析式；（2）直线 AB 的表达式．考反比率函数与一次函数的交点问题．点：分（1）依据正比率函数 y= x 的图象经过点析：A，点 A 的纵坐标为 4，求出点 A 的坐标，依据反比率函数y= 的图象经过点 A ，求出m的值；（2）依据点A 的坐标和等腰三角形的性质求出点 B 的坐标，运用待定系数法求出直线AB 的表达式．解解：∵正比率函数 y= x 的图象经过点 A，答：点 A 的纵坐标为 4，∴点 A 的坐标为（ 3，4），∵反比率函数 y= 的图象经过点 A ，∴m=12，∴反比率函数的分析式为：y=；（2）如图，连结 AC 、AB ，作 AD ⊥BC 于D，∵A C=AB ，AD ⊥BC，∴B C=2CD=6 ，∴点 B 的坐标为：（6，2），设直线 AB 的表达式为： y=kx+b ，由题意得，，解得，，∴直线 AB 的表达式为： y=﹣ x+6．点本题主要考察了待定系数法求反比率函数评：与一次函数的分析式和一次函数与反比率函数的解得的求法，注意数形联合的思想在解题中的应用．22．（10 分）（2015?上海）如图， MN 表示一段笔挺的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN 的距离为 15 米，BA 的延伸线与 MN 订交于点 D，且∠ BDN=30 °，假定汽车在高速道路上行驶时，四周 39 米之内会遇到噪音（ XRS ）的影响．（1）过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H，假如汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶，当汽车抵达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板起码需要多少米长？（精准到 1 米）（参照数据：≈1.7）考解直角三角形的应用；勾股定理的应用．点：分（1）连结 PA．在直角△ PAH 中利用勾股析：定理来求 PH 的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．经过解 Rt △ADH 、Rt △CDQ 分别求得DH 、DQ 的长度，而后联合图形获得：PQ=PH+DQ ﹣ DH，把有关线段的长度代入求值即可．解解：（1）如图，连结 PA．由题意知，AP=39m．答：在直角△ APH 中， PH== =36 （米）；（2）由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度．在 Rt △ADH 中， DH=AH ?cot30°=15（米）．在 Rt △CDQ 中， DQ===78（米）．则 PQ=PH+HQ=PH+DQ ﹣DH=36+78 ﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板起码需要 89米．25点本题考察认识直角三角形的应用、勾股定理评：的应用．依据题目已知特色采用适合锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，获得数学识题的答案，再转变获得实质问题的答案．23．（12 分）（2015?上海）已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线订交于点 O，点 E 在边BC 的延伸线上，且 OE=OB ，连结 DE．（1）求证： DE ⊥BE；（2）假如 OE⊥CD，求证： BD?CE=CD ?DE ．考相像三角形的判断与性质；等腰三角形的性点：质；平行四边形的性质．专证明题．题：分（1）由平行四边形的性质获得 BO= BD，析：由等量代换推出 OE= BD，依据平行四边形的判断即可获得结论；26（2）依据等角的余角相等，获得∠CEO= ∠CDE，推出△ BDE ∽△ CDE，即可获得结论．解证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，答：∴BO= BD，∵OE=OB ，∴OE= BD，∴∠ BED=90 °，∴DE⊥BE；（2）∵ OE⊥CD∴∠ CEO+ ∠DCE= ∠CDE+ ∠DCE=90 °，∴∠ CEO= ∠CDE ，∵OB=OE ，∴∠ DBE= ∠CDE ，∵∠ BED= ∠BED ，∴△ BDE ∽△ CDE ，∴，∴BD?CE=CD ?DE．点本题考察了相像三角形的判断和性质，直角评：三角形的判断和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的重点．24．（12 分）（2015?上海）已知在平面直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax2﹣4 与 x 轴的负半轴（ XRS）订交于点 A，与 y 轴订交于点 B，AB=2 ，点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点 C，线段 BP 与 x 轴订交于点 D，设点 P 的横坐标为 m．（1）求这条抛物线的分析式；（2）用含 m 的代数式表示线段 CO 的长；（3）当 tan∠ODC= 时，求∠ PAD 的正弦值．考二次函数综合题．点：分（1）依据已知条件先求出 OB 的长，再根析：据勾股定理得出 OA=2 ，求出点 A 的坐标，再把点 A 的坐标代入 y=ax2﹣4，求出 a 的值，从而求出分析式；（2）依据点P 的横坐标得出点P 的坐标，过点P 作PE⊥x 轴于点E，得出OE=m ，PE=m 2﹣4，从而求出 AE=2+m ，再依据=，求出 OC；（3）依据 tan ∠ODC= ，得出 = ，求出OD 和 OC ，再依据△ ODB ∽△ EDP，得出=，求出 OC，求出∠ PAD=45°，从而求出∠ PAD 的正弦值．解解：（1）∵抛物线 y=ax2﹣4 与 y 轴订交于答：点 B，∴点 B 的坐标是（ 0，﹣ 4），∴O B=4 ，∵A B=2 ，∴OA==2，∴点 A 的坐标为（﹣ 2，0），把（﹣ 2，0）代入 y=ax2﹣4 得： 0=4a﹣4，解得： a=1，则抛物线的分析式是：y=x2﹣4；（2）∵点 P 的横坐标为 m，∴点P 的坐标为（ m，m2﹣4），过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，∴OE=m ，PE=m 2﹣4，∴A E=2+m ，∵ = ，∴= ，∴CO=2m ﹣4；（3）∵ tan ∠ODC= ，∴ = ，∴OD= OC= ×（ 2m﹣4）=，∵△ ODB ∽△ EDP ，∴= ，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴O C=2×3﹣4=2，∵OA=2 ，∴O A=OC ，∴∠ PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．点本题考察了二次函数的综合，用到的知识评论：是相像三角形的判断与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，重点是依据题意作出协助线，结构相像三角形．25．（14 分）（2015?上海）已知，如图， AB 是半圆 O 的直径，弦 CD ∥AB ，动点 P，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ=OP ，AP 的延伸线与射线 OQ 订交于点 E，与弦 CD 订交于点 F（点 F 与点 C，D 不重合），AB=20 ，cos∠AOC= ，设 OP=x ，△ CPF 的面积为y．（1）求证： AP=OQ ；（2）求 y 对于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ OPE 是直角三角形时，求线段 OP 的长．考圆的综合题．点：分（1）连结 OD，证得△ AOP ≌△ ODQ 后即析：可证得 AP=OQ ；（2）作 PH⊥OA ，依据 cos∠AOC= 获得OH= PO= x，从而获得 S△AOP = AO ?PH=3x ，利用△ PFC ∽△ PAO 适合对应边的比相等即可获得函数分析式；（3）分当∠ POE=90°时、当∠ OPE=90°时、当∠ OEP=90°时三种状况议论即可获得正确的结论．解解：（1）连结 OD ，答：在△ AOP 和△ ODQ 中，，∴△ AOP ≌△ ODQ ，∴AP=OQ ；（2）作 PH⊥OA ，∵cos∠AOC= ，∴OH= PO= x，∴S△AOP = AO ?PH=3x ，又∵△ PFC ∽△ PAO，∴==（）2，整理得： y=（＜x＜10）；（3）当∠ POE=90°时， CQ== ，PO=DQ=CD ﹣CQ= （舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO ?cos∠COA=8 ；当∠ OEP=90°时，∠AOQ= ∠DQO= ∠APO ，∴∠ AOC= ∠AEO ，即∠ OEP= ∠COA ，此种状况不存在，∴线段 OP 的长为 8．点本题考察了圆的综合知识、相像三角形的判评：定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类议论更是本题的难点．。

2015年上海市各区中考一模数学试题(全含答案)

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2015年##市六区联考初三一模数学试卷〔满分150分,时间100分钟〕 2015.1一. 选择题〔本大题满分4×6＝24分〕1. 如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍,那么锐角A 的四个三角比的值〔 〕 A. 都扩大到原来的2倍； B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；2. 将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为〔 〕 A. 2(1)y x =+； B. 2(3)y x =-； C. 2(1)2y x =-+； D. 2(1)2y x =--；3. 一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h 〔米〕和运行时间t 〔秒〕的函数解析式为25101h t t =-++,那么小球到达最高点时距离地面的高度是〔 〕A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；4. 如图,已知AB ∥CD ∥EF ,:3:5AD AF =,12BE =,那么CE 的长等于〔 〕 A. 2； B. 4； C.245； D. 365； 5. 已知在△ABC 中,AB AC m ==,B α∠=,那么边BC 的长等于〔 〕A. 2sin m α⋅；B. 2cos m α⋅；C. 2tan m α⋅；D. 2cot m α⋅； 6. 如图,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,2BC AD =,如果对角线AC 与BD 相交于点O ,△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ,那么下列结论中,不正确的是〔 〕A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅； 二. 填空题〔本大题满分4×12＝48分〕 7. 已知34x y =,那么22x yx y-=+； 8. 计算：33()22a ab -+-=； 9. 已知线段4a cm =,9b cm =,那么线段a 、b 的比例中项等于cm 10. 二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为； 11. 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,如果6AB =,2cos 3A =,那么AC =； 12. 如图,已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点,2AE =,3CE =,要使DE ∥AB ,那么:BC CD 应等于；13. 如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限,那么a 的取值X 围是； 14. 已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心,那么△AGC 的面积等于；15. 如图,当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时,小杰实际上升的高度AC =米〔结论可保留根号〕16. 已知二次函数的图像经过点(1,3),对称轴为直线1x =-,由此可知这个二次函数的图像一定经过除点(1,3)外的另一点,这点的坐标是；17. 已知不等臂跷跷板AB 长为3米,当AB 的一端点A 碰到地面时〔如图1〕,AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时〔如图2〕,AB 与地面的夹角的正弦值为13,那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH =米18. 把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小〔这个顶点不变〕,我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换,这个顶点称为T-变换中心,旋转角称为T-变换角,三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内,点(0,1)A -,(3,2)B -,(0,2)C ,将△ABC 进行T-变换,T-变换中心为点A ,T-变换角为60°,T-变换比为23,那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为；三. 解答题〔本大题满分10＋10＋10＋10＋12＋12＋14＝78分〕19. 已知在直角坐标平面内,抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ,点B 的坐标为(3,0),与y 轴相交于点C ；〔1〕求抛物线的表达式； 〔2〕求△ABC 的面积；20. 如图,已知在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,设BA a =,BC b =； 〔1〕求AD 〔用向量,a b 的式子表示〕〔2〕如果点E 在中线AD 上,求作BE 在,BA BC 方向上的分向量；〔不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的分向量〕21. 如图,某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ,小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪,测角仪的高度AB 为1.5米,并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°,上端D的仰角为45°,求旗杆CD 的长度；〔结果精确到0.1米,参考数据：sin 400.64︒≈,cos400.77︒≈,tan 400.84︒≈〕22. 用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比与其组合可以表示某些实数,如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料,完成下列问题：〔1〕用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32,即 填空：32====…； 〔2〕用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比,结合加、减、乘、除四种运算,设计一个等式,要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比,上述四种运算都至少出现一次,且这个等式的结果等于1,即填空：1=23. 已知如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DE ∥BC ,交边AC 于点E ,延长DE 至点F ,使EF DE =,联结BF ,交边AC 于点G ,联结CF〔1〕求证：AE EGAC CG=； 〔2〕如果2CF FG FB =⋅,求证：CG CE BC DE ⋅=⋅24. 已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+的图像经过点(1,3)-和点(1,5)-； 〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕将这个二次函数的图像向上平移,交y 轴于点C ,其纵坐标为m ,请用m 的代数式表示平移后函数图象顶点M 的坐标；〔3〕在第〔2〕小题的条件下,如果点P 的坐标为(2,3),CM 平分PCO ∠,求m 的值；25. 已知在矩形ABCD 中,P 是边AD 上的一动点,联结BP 、CP ,过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ,交边AD 于点M ,且使得ABE CBP ∠=∠,如果2AB =,5BC =,AP x =,PM y =； 〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域； 〔2〕当4AP =时,求EBP ∠的正切值；〔3〕如果△EBC 是以EBC ∠为底角的等腰三角形,求AP 的长；2015年##市六区联考初三一模数学试卷参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. C5. B6. B 二.填空题7.15 8. 1322a b -- 9. 6 10. (0,3) 11. 4 12. 5313. 3a <- 14. 9 15.26 16. (3,3)- 17.3518. (3,0)- 三. 解答题19.〔1〕256y x x =-+； 〔2〕(2,0)A ,(3,0)B ,(0,6)C ,3ABC S ∆=；20.〔1〕12b a -； 〔2〕略； 21. 3.84CD m ≈22.〔1〕sin 60︒,cos30︒,tan 45sin60︒⋅︒； 〔2〕(sin 30cos60)tan 45cot 45︒+︒⋅︒÷︒； 23. 略；24.〔1〕24y x x =-； 〔2〕(2,4)M m -； 〔3〕92m =；25.〔1〕4y x x =-〔25x <≤〕； 〔2〕3tan 4EBP ∠=； 〔3〕53+；崇明县2014学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学〔测试时间： 100分钟,满分：150分〕一、选择题〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕1、已知52a b =,那么下列等式中,不一定正确的是………………………………〔 〕 <A>25a b = <B>52a b = <C>7a b += <D>72a b b += 2、在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,下列等式中不一定成立的是 ……………………………………………………………………〔 〕<A>tan b a B = <B>cos a c B = <C>sin ac A =<D>cos a b A =3、如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,那么下列判断中,不正确的是………〔 〕<A>0a ><B>0b ><C>0c <<D>240b ac ->4、将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位,再向右平移1个单位后所得图像的函数表达式为…………………………………………………………………………〔 〕 <A>2(1)1y x =++<B>2(1)1y x =+-<C>2(1)1y x =-+<D>2(1)1y x =--5、下列说法正确的是……………………………………………………〔 〕<A> 相切两圆的连心线经过切点 <B> 长度相等的两条弧是等弧<C> 平分弦的直径垂直于弦<D> 相等的圆心角所对的弦相等6、如图,点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点,且DE FG BC ∥∥,若DE 、FG 将ABC ∆的面积三等分,那么下列结论正确的是 ………………………………………〔 〕<A>14DE FG = <B>1DF EGFB GC== <C>ADFB<D>AD DB〔第3题图〕〔第6题图〕二、填空题〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕7、已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >,如果2AB =cm,那么线段AP =cm ．8、如果两个相似三角形的面积比为1:4,那么它们的周长比为． 9、如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点,那么m =． 10、抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是〔填"上升〞或"下降〞〕．11、如果将抛物线23y x =平移,使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2),那么平移后的抛物线的表达式为．12、已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ,那么此抛物线的对称轴是．13、某飞机的飞行高度为1500m,从飞机上测得地面控制点的俯角为60°,此时飞机与这地面控制点的距离为m ．14、已知正六边形的半径为2cm,那么这个正六边形的边心距为cm ．15、如图,已知在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6AC =,点G 为重心,GH BC ⊥,垂足为点H ,那么GH =． 16、半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点,圆心距O 1O 2的长为10cm,那么公共弦AB 的长为cm ．17、如图,水库大坝的横截面是梯形,坝顶AD 宽5米,坝高10米,斜坡CD 的坡角为45︒,斜坡AB 的坡度1:1.5i =,那么坝底BC 的长度为米．18、如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点D 落在AB 边的中点E 处,折痕为FH ,点C 落在Q处,EQ 与BC 交于点G ,那么EBG ∆的周长是cm ．〔第15187题,19、〔本题满分10分〕计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒20、〔本题满分10分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分〕已知：如图,□ABCD 中,E 是AD 中点,BE 交AC 于点F ,设BA a =、BC b =． 〔1〕用,a b 的线性组合表示FA ；〔2〕先化简,再直接在图中求作该向量：1151()()()2424a b a b a b -+-+++．21、〔本题满分10分,其中第<1>小题6分,第<2>小题4分〕ABC DEF G CFEDABC ABCDFGH QE如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,点D 是BC 边上的一点,6CD =,3cos 5ADC ∠=,2tan 3B =．〔1〕求AC 和AB 的长；〔2〕求sin BAD ∠的值．22、〔本题满分10分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分〕 如图,轮船从港口A 出发,沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处,再从B 处沿着北偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． 〔1〕求证：AC AB ⊥；〔2〕轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处,已知港口D 位于港口A 的正东方向,求轮 船还需航行多少海里．23、〔本题满分12分,其中第<1>小题6分,第<2>小题6分〕如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB =,2ABC C ∠=∠,E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点,且有EBF C ∠=∠．（1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时,求:AE ED 的比值．24、〔本题满分12分,其中每小题各4分〕如图,已知抛物线258y x bx c =++经过直线112y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ,点C 为抛物线上的一点,且90ABC ∠=︒． 〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求点C 坐标； 〔3〕直线112y x =-+上是否存在点P ,使得BCP ∆与OAB ∆相似,若存在,请直接写出P 点的坐标；若不存在,请说明理由． 25、〔本题满分14分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分,已知在ABC ∆中,5AB AC ==,6BC =,O 为边AB 上一动点为半径的圆交BC 于点D ,设OB x =,DC y =． 〔1〕如图１,求y 关于x 的函数关系式与定义域；〔2〕当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时,求x 的取值X 〔3〕如图２,若⊙O 与边AC 交于点E 当DEC ∆与ABC ∆相似时,求x 的值.2014学年 DDABCEF北AB C东一. 选择题1. 将抛物线22y x =-向右平移一个单位,再向上平移2个单位后,抛物线的表达式为〔 〕 A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---； C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. 如图,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果:BE BC =2:3,那么下列各式错误的是〔 〕A.2BE EC =；B. 13EC AD =； C.23EF AE =；D. 23BF DF =； 3. 已知Rt △ABC 中,90C ∠=︒,CAB α∠=,7AC =,那么BC 为〔 〕 A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α；4. 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,如果添加下列条件,不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是〔 〕A. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D.DC ABAC BC=； 5. 已知二次函数222y ax x =-+〔0a >〕,那么它的图像一定不经过〔 〕 A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；6. 如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,且DE ∥BC ,如果:1:4AE EC =, 那么:ADE BEC S S ∆∆=〔 〕A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16； 二. 填空题 7. 如果53a b =,那么a ba b -+的值等于； 8. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是；9. 二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线； 10. 计算：cot30sin60︒-︒=；11. 在某一时刻,测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ,同时测得一根旗杆的影长为25m ,那么这根旗杆的高度为m ；12. 若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点,那么1y 与2y 的 大小关系是〔填12y y >,12y y =或12y y <〕；13. 如图,若1l ∥2l ∥3l ,如果6DE =,2EF =, 1.5BC =,那么AC =；14. 如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的高度为6米,斜面的坡比为1:2,则斜坡AB 的长为米〔保留根号〕；15. 如图,正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形,P 、Q 是其中两个小正方形的顶 点,设AB a =,AD b =,则向量PQ =〔用向量a 、b 来表示〕；16. 如图,△ABC 中,90BAC ∠=︒,G 点是△ABC 的重心,如果4AG =,那么BC 的长为；17. 如图,已知4tan 3O =,点P 在边OA 上,5OP =,点M 、N 在边OB 上,PM PN =, 如果2MN =,那么PM =；18. 如图,在△ABC 中,90ABC ∠=︒,6AB =,8BC =,点M 、N 分别在边AB 、BC上,沿直线MN 将△ABC 折叠,点B 落在点P 处,如果AP ∥BC 且4AP =,那么BN =；三. 解答题19. 已知二次函数2y ax bx c =++〔a 、b 、c 为常数,且0a ≠〕经过A 、B 、C 、D 四个点,其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：A B CDx1- 0 13 y1-353〔1〕求二次函数解析式； 〔2〕求△ABD 的面积；20. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB DC =,AC 与BD 交于点O ,:1:2AD BC =； 〔1〕设BA a =,BC b =,试用a ,b 表示BO ； 〔2〕先化简,再求作：3(2)2()2a b a b +-+〔直接作在原图中〕 21. 如图,在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成60°角,在离电线杆6米处安置测角仪AB ,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°,已知测角仪AB 的高为1.5米,求拉线CE 的长；[已知5sin 2313︒≈,12cos 2313︒≈,5tan 2312︒≈,结果保留根号] 22. 如图,MN 经过△ABC 的顶点A ,MN ∥BC ,AM AN =,MC 交AB 于D ,NB 交AC 于E ； 〔1〕求证：DE ∥BC ；〔2〕联结DE ,如果1DE =,3BC =,求MN 的长；23. 已知菱形ABCD 中,8AB =,点G 是对角线BD 上一点,CG 交BA 的延长线于点F ；〔1〕求证：2AG GE GF =⋅； 〔2〕如果12DG GB =,且AG BF ⊥,求cos F ； 24. 已知如图,抛物线21:4C y ax ax c =++的图像开口向上,与x 轴交于点A 、B 〔A 在B 的左边〕,与y 轴交于点C ,顶点为P ,2AB =,且OA OC =； 〔1〕求抛物线1C 的对称轴和函数解析式；〔2〕把抛物线1C 的图像先向右平移3个单位,再向下平移m 个单位得到抛物线2C ,记顶点为M ,并与y 轴交于点(0,1)F -,求抛物线2C 的函数解析式；〔3〕在〔2〕的基础上,点G 是y 轴上一点,当△APF 与△FMG 相似时,求点G 的坐标； 25. 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC BC ⊥,9AD =,12AC =,16BC =,点E 是边BC 上的一个动点,EAF BAC ∠=∠,AF 交CD 于点F ,交BC 延长线于点G ,设BE x =； 〔1〕试用x 的代数式表示FC ； 〔2〕设FGy EF=,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域； 〔3〕当△AEG 是等腰三角形时,直接写出BE 的长； 参考答案1、A2、C3、C4、D5、C6、B7、148、〔1,2〕 9、x ＝2 10、32 11、15 12、12y y > 13、6 14、6515、16、12 171718、19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、所以,BE ＝72014学年##市宝山区初三一模数学试卷一. 选择题〔24分〕1. 如图,在直角△ABC 中,90C ∠=︒,1BC =,2AC =下列判断正确的是〔 〕A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =； D. tan 2A =； 2. 如图,△ABC 中,D 、E 分别为边AB 、AC 上的点,且DE ∥BC ,下列判断错误 的是〔 〕A. AD AE DB EC =；B.AD DE DB BC =；C. AD AE AB AC =；D.AD DE AB BC=； 3. 如果在两个圆中有两条相等的弦,那么〔 〕A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等；4. 已知非零向量a 、b 、c ,下列命题中是假命题的是〔 〕A. 如果2a b =,那么a ∥b ；B. 如果2a b =-,那么a ∥b ；C. 如果||||a b =,那么a ∥b ；D. 如果2a b =,2b c =,那么a ∥c ；5. 已知O 半径为3,M 为直线AB 上一点,若3MO =,则直线AB 与O 的位置关系为〔 〕A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交；6. 如图边长为3的等边△ABC 中,D 为AB 的三等分点〔12AD BD =〕,三角形边上的 动点E 从点A 出发,沿A C B →→的方向运动,到达点B 时停止,设点E 运动的路程为x ,2DE y =,则y 关于x 的函数图像大致为〔 〕A. B. C. D. 二. 填空题〔48分〕7. 线段b 是线段a 和c 的比例中项,若1a =,2b =,则c =；8. 两个相似三角形的相似比为2:3,则它们的面积比为；9. 已知两圆半径分别为3和7,圆心距为d ,若两圆相离,则d 的取值X 围是；10. 已知△ABC 的三边之比为2:3:4,若△DEF 与△ABC 相似,且△DEF 的最大边长为20,则△DEF 的周长为；11. 在△ABC 中,cot A =cos B =那么C ∠=； 12. B 在A 北偏东30°方向〔距A 〕2千米处,C 在B 的正东方向〔距B 〕2千米处,则C 和A 之间的距离为千米；13. 抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是；14. 不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向；15. 已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点,若121x x >>,则1y 2y ； 16. 如图,D 为等边△ABC 边BC 上一点,60ADE ∠=︒,交AC 于E ,若2BD =,3CD =,则CE =；17. 如图,O 的直径AB 垂直弦CD 于M ,且M 是半径OB 的中点,CD =则直径AB 的长为；18. 如图直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,2CD =,AB BC =,1AD =,动点M 、N 分别在AB 边和BC 的延长线运动,而且AM CN =,联结AC 交MN 于E ,MH ⊥AC 于H ,则EH =；三. 解答题〔78分〕19. 计算：2sin 602cot 30cos 602cos 45tan 60︒+︒-︒︒+︒； 20. 如图,已知M 、N 分别是平行四边形ABCD 边DC 、BC 的中点,射线AM 和射线BC 相交于E ,设AB a =,AD b =,试用a 、b 表示AN ,AE ；〔直接写出结果〕21. 已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ,(4,6)C ,求这个抛物线的表达式 以与该抛物线的顶点坐标；22. 如图,D 为等边△ABC 边BC 上一点,DE ⊥AB 于E ,若:2:1BD CD =,DE =求AE ；23. 如图,P 为O 的直径MN 上一点,过P 作弦AC 、BD 使APM BPM ∠=∠,求证： PA PB =；24. 如图,正方形ABCD 中,〔1〕E 为边BC 的中点,AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ,求GF FH ； 〔2〕E 的位置改动为边BC 上一点,且BE k EC =,其他条件不变,求GF FH的值； 25. 〔1〕数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线2y ax bx c =++,系数a 、b 、c 一旦确定,抛物线的形状、大小、位置就不会变化,所以称数a 、b 、c 为抛物线2y ax bx c =++ 的特征数,记作{,,}a b c ；请求出与y 轴交于点(0,3)C -的抛物线22y x x k =-+在单同学 眼中的特征数；〔2〕同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成2()y a x m k =++的顶点式,因此坚持称 a 、m 、k 为抛物线的特征数,记作{,,}a m k ；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数； 〔3〕同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同,为了让两人的研究保持一致,同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{,,}u v w 的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位 后的图像,即此时的特征数{,,}u v w 无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果 是一样的,请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；〔4〕在直角坐标系XOY 中,上述〔1〕中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点〔A 在B 的左 边〕,请直接写出△ABC 的重心坐标；26. 如图在△ABC 中,10AB BC ==,AC =D 为边AB 上一动点〔D 和A 、B不重合〕,过D 作DE ∥BC 交AC 于E ,并以DE 为边向BC 一侧作正方形DEFG ,设AD =x ,〔1〕请用x 的代数式表示正方形DEFG 的面积,并求出当边FG 落在BC 边上时的x 的值； 〔2〕设正方形DEFG 与△ABC 重合部分的面积为y ,求y 关于x 的函数与其定义域；〔3〕点D 在运动过程中,是否存在D 、G 、B 三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上 的情况？若存在,请直接写出此时AD 的值,若不存在,则请说明理由；2014学年第一学期长宁区学习能力诊断卷初三数学 试卷〔时间100分钟 满分150分〕一. 选择题〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕1.如果两个相似三角形的面积比是1:6,那么它们的相似比是〔 〕A ．1:36 B.1:6 C . 1:3 D . 1: 6 2. 在Rt △ABC 中,已知∠C =90°,AC =3,BC =4,那么∠A 的余弦值等于〔 〕A ．35B . 45C . 34D . 433. 如图,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点,为使△DE M ∽△ABC 〔点D 和点A 对应,点B 和E 对应〕,则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的〔 〕A . FB . GC . KD . H第3题图4. 已知两圆半径分别是3和4,若两圆内切,则两圆的圆心距为〔 〕A . 1或7B . 1C . 7D . 25. 抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是〔 〕 A . 开口向下; B . 对称轴是y 轴C . 都有最低点D . y 的值随x 的增大而减小6. 如图,动点P 从点A 出发,沿线段AB 运动至点B 后,立即按原路返回,点P 在运动的过程中速度不变,则以点B 为圆心,线段B P 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为图中的< >A .B .C .D .二. 填空题〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕7. 已知线段a =2c m,c =8c m,则线段a 、c 的比例中项是_________c m.8. 计算：3()3a b a --=_________.9. 已知⊙P 在直角坐标平面内,它的半径是5,圆心P 〔-3,4〕,则坐标原点O 与⊙P 的位置位置关系是_________.10. 如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径,那么直线l 和⊙O 的公共点有________个.11. 抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________.12.抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________.13. 已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8,那么对应自变量x 的值是_________.14. 已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-,当x >1时,y 的值随x 的增大而增大,当x <1时,y 的值随x 的增大而减小,则实数a 的值为_________.15. 某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ,则该厂今年第三月新品研发资金y 〔元〕关于x 的函数关系式为y =_________.16. 如图所示,铁路的路基横断面都是等腰梯形,斜坡AB 的坡度为3,斜坡AB 的水平宽度BE =33m ,则斜坡AB =_________m.17. 如图,已知AD 是△ABC 的中线,G 是△ABC 的重心,联结BG 并延长交AC 于点E ,联结DE ,则S △ABC ：S △GED 的值为_________.18. 如图,正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转,得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分的面积是原正方形面积的14时,1sin '2B AD ∠ _________. 第16题图 第17题图 第18题图三. <本大题共7题,满分78分>19.〔本题满分10分〕计算：201(sin 30)(2015tan 45).sin 60cos60o o o o --+-- 20. 〔本题满分10分〕 如图,已知O 为△ABC 内的一点,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且11,.34AD AE DB AC ==设,,OB m OC n ==试用m 、n 表示DE .21. 〔本题满分10分〕如图,AB 是⊙O 的弦,点C 、D 在弦AB 上,且AD =BC ,联结OC 、OD .求证：△OCD 是等腰三角形.22. 〔本题满分10分〕如图,在△ABC 中,AD 是BC 上的高,点G 在AD 上,过点G 作BC 的平行线分别与AB 、AC 交于P 、Q 两点,过点P 作PE ⊥BC 于点E ,过点Q 作QF ⊥BC 于点F . 设AD =80,BC =120,当四边形PEFQ 为正方形时,试求正方形的边长.23. 〔本题满分12分〕如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C地沿折线A -C -B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC =120千米,∠A =30°,∠B =135°,则隧道开通后,汽车从A地到B 地比原来少走多少千米？〔结果保留根号〕24. 〔本题满分12分〕如图,已知平面直角坐标平面上的△ABC ,AC =CB ,∠ACB =90°,且A 〔-1,0〕,B 〔m,n 〕C 〔3,0〕,若抛物线23y ax bx =+-经过A 、C 两点.（1） 求a 、b 的值（2） 将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ,求新抛物线的解析式.（3） 设〔2〕中的新抛物线的顶点为P 点,Q 为新抛物线上P 点至B 点之间一点,以点Q 为圆心画圆,当⊙Q 与x 轴和直线BC 都相切时,联结PQ 、BQ ,求四边形ABQP 的面积.25. 〔本题满分14分〕如图,已知△ABC 是等边三角形,AB =4,D 是AC 边上一动点〔不与A 、C 重合〕,EF 垂直平分BD ,分别交AB 、BC 于点E 、F ,设CD =x ,AE =y .（1） 求证：△AED ∽△CDF ；（2） 求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域；（3） 过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H ,当EH =1时,求线段CD 的长.F E D2014学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷〔满分150分,考试时间100分钟〕考生注意：1.本试卷含三个大题,共25题；2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：〔本大题共6题,每小题4分,满分24分〕[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．对于抛物线2)2(-=x y ,下列说法正确的是〔▲〕〔A 〕顶点坐标是)0,2(；〔B 〕顶点坐标是)2,0(；〔C 〕顶点坐标是)0,2(-；〔D 〕顶点坐标是)2,0(-．2．已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1所示,那么a 、b 的符号为〔▲〕〔A 〕0>a ,0>b ；〔B 〕0<a ,0>b ；〔C 〕0>a ,0<b ；〔D 〕0<a ,0<b ．3．在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边,下列等式中正确的是〔▲〕〔A 〕c a A =cos ；〔B 〕b c B =sin ；〔C 〕b a B =tan ；〔D 〕a b A =cot ． 4．如图2,已知AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点O , 2:1:=DO AO ,那么下列式子正确的是〔▲〕 〔A 〕2:1:=BC BO ；〔B 〕1:2:=AB CD ；〔C 〕2:1:=BC CO ；〔D 〕1:3:=DO AD ． 5．已知非零向量a 、b 和c ,下列条件中,不能判定a ∥b 的是〔▲〕〔A 〕a =b 2-；〔B 〕c a =,c b 3=；〔C 〕c b a =+2,c b a -=-；〔D=．6．在△ABC 中,︒=∠90C ,cm AC 3=,cm BC 4=．以点A 为圆心,图1 AB C DO图2半径为cm 3的圆记作圆A ,以点B 为圆心,半径为cm 4的圆记作圆B ,则圆A 与圆B 的位置关系是〔▲〕〔A 〕外离；〔B 〕外切；〔C 〕相交；〔D 〕内切.二、填空题：〔本大题共12题,每小题4分,满分48分〕7．如果函数2)1(x a y -=是二次函数,那么a 的取值X 围是 ▲ ．8．在平面直角坐标系中,如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位,那么所得抛物线的表达式为 ▲ ．9．已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ,如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称,那么点N 的坐标是 ▲ ．10．请写出一个经过点)1,0(,且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式,这条抛物线的表达式可以是 ▲ ．11．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项,且1=a ,4=c ,那么=b ▲ ．12．如果两个相似三角形的周长比为2:1,那么它们的对应中线的比为 ▲ ．13．如图3,已知在平行四边形ABCD 中,点E 在边BC 上,射线AE 交DC 的延长线于点F ,2=AB ,EC BE 3=,那么DF 的长为 ▲ ． 14．在△ABC 中,︒=∠90C ,1312sin =A ,12=BC ,那么=AC ▲ ． 15．小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36,那么点B 处的小丽看点A 处的小杰的仰角是 ▲ 度．16．正九边形的中心角等于 ▲ 度．17．如图4,AB 、AC 都是圆O 的弦,AB OM ⊥,AC ON ⊥,垂足分别为点M 、N ,如果6=BC ,那么=MN ▲ ．18．在△ABC 中,9=AB ,5=AC ,AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D 〔如图5〕,△ABD 沿直线AD翻折后,点B 落到点1B 处,如果BAC DC B ∠=∠211,那么=BD ▲ ． 三、解答题：〔本大题共7题,满分78分〕19．〔本题满分10分〕 计算：︒-+︒⋅︒+︒-45cos 21260tan 30cot 2130sin 1． N M O C B A 图4D F A B C D 图520．〔本题满分10分〕已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-,求这个二次函数的解析式,并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．21．〔本题满分10分,每小题各5分〕如图6,已知AB 是圆O 的直径,10=AB ,弦CD 与AB 相交于点N ,︒=∠30ANC ,3:2:=AN ON ,CD OM ⊥,垂足为点M ． 〔1〕求OM 的长；〔2〕求弦CD 的长． 22．〔本题满分10分,每小题各5分〕 如图7,某地下车库的入口处有斜坡AB ,它的坡度为2:1=i ,斜坡AB度为AH 〔BC AH ⊥〕,为了让行车更安全,现将斜坡的坡角改造为︒14〔图中的︒=∠14ACB 〕． 〔1〕求车库的高度AH ；〔2〕求点B 与点C 之间的距离〔结果精确到1米〕． 〔参考数据：24.014sin =︒,97.014cos =︒,25.014tan =︒,01.414cot =︒〕 23．〔本题满分12分,每小题各6分〕已知：如图8,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且DAG BAC ∠=∠,BAD CDG ∠=∠．〔1〕求证：AC AG AB AD =； 〔2〕当BC GC ⊥时,求证：︒=∠90BAC ．24．〔本题满分12分,每小题各4分〕如图9,在平面直角坐标系xoy 中,点A 坐标为)0,8(,点B 在y 轴的正半轴上,且34cot =∠OAB ,抛物线c bx x y ++-=241经过A 、B 两点． 〔1〕求b 、c 的值；〔2〕过点B 作OB CB ⊥,交这个抛物线于点C ,以点C为圆心,CB 为半径长的圆记作圆C ,以点A 为圆心,r为半径长的圆记作圆A ．若圆C 与圆A 外切,求r 的值；〔3〕若点D 在这个抛物线上,△AOB 的面积是△OBD 面积的8倍,求点D 的坐标． 25．〔本题满分14分,其中第〔1〕小题4分,第〔2〕小题5分,第〔3〕小题5分〕已知在△ABC 中,8==AC AB ,4=BC ,点P 是边AC 上的一个动点,ABC APD ∠=∠,AD ∥BC ,联结DC ．图8 B 图6 A BC H图7〔1〕如图10,如果DC ∥AB ,求AP 的长；〔2〕如图11,如果直线DC 与边BA 的延长线交于点E ,设x AP =,y AE =,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域；〔3〕如图12,如果直线DC 与边BA 的反向延长线交于点F ,联结BP ,当△CPD 与△CBF 相似时,试判断线段BP 与线段CF 的数量关系,并说明你的理由．2014学年奉贤区调研测试 九年级数学2015.01 〔满分150分,考试时间100分钟〕 一、选择题：〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕[每小题只有一个正确选项,在答题纸的相应题号的选项上用2 B 铅笔填涂] 1．已知y x 23=,那么下列等式一定成立的是〔▲〕 A ．3,2==y x ；B ．23=y x ；C ．32=y x ；D ．023=+y x ． 2．在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,BC ＝1,AC ＝2,则下列结论正确的是〔▲〕A ．sin A ＝32；B ．tan A ＝12； C ．cos B ＝32； D ．tan B ＝3． 3．抛物线221x y -=的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为〔▲〕 A ．<0,－2> ；B ． <0,2>；C ．<－2,0>；D ．<2,0>．4．在直角坐标平面中,M 〔2,0〕,圆M 的半径为4 ,那么点P 〔-2,3〕与圆M 的位置关系是〔▲〕A ．点P 在圆内；B ．点P 在圆上；C ．点P 在圆外；D ．不能确定．5．一斜坡长为10米,高度为1米,那么坡比为〔▲〕A ．1：3；B ．1：31；C ．1：10；D ．1：1010． 6．在同圆或等圆中,下列说法错误的是〔▲〕A ．相等弦所对的弧相等；B ．相等弦所对的圆心角相等；C ．相等圆心角所对的弧相等；D ．相等圆心角所对的弦相等．二、填空题：〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若→a 与→e 方向相反且长度为3,那么→a =▲→e ；8．若α为锐角,已知cos α=21,那么tan α=▲； 9．△ABC 中,∠C =90°,G 为其重心,若CG =2,那么AB =▲； 10．一个矩形的周长为16,设其一边的长为x ,面积为S ,则S 关于x 的函数解析式是▲；A B C DP 图12 F AB C D P 图10 B A C D P图11 E <第15题图>11．如果抛物线12-+=mx x y 的顶点横坐标为1,那么m 的值为▲； 12．正n 边形的边长与半径的夹角为75°,那么n=▲； 13．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形上看,它最具美感,现在想要制作一X"黄金矩形〞的贺年卡,如果较长的一条边长等于20厘米,那么相邻一条边长等于▲厘米；14．已知抛物线经过点<5,-3>,其对称轴为直线x =4,则抛物线一定经过另一点的坐标是▲；15．如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,若△PEF 的面积为3,那么△PDC 与△PAB 的面积和等于▲；16．已知圆A 与圆B 内切,AB =10,圆A 半径为4,那么圆B 的半径为▲；17．已知抛物线2)1(2++=x a y 过〔0,y 1〕、〔3,y 2〕,若y 1> y 2,那么a 的取值X 围是▲；18．已知在△ABC 中,∠C=90o ,AC=3,BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转,点A 落到A ’,点C 落到C ’,若旋转后点C 的对应点C ’和点A 、点B 正好在同一直线上,那么∠A ’AC ’的正切值等于▲；三、解答题：〔本大题共7题,满分78分〕19．〔本题满分10分〕计算：︒-︒-︒︒60cot 2345tan 60sin 230sin 2 20．〔本题满分10分,第〔1〕小题满分7分,第〔2〕小题满分3分〕一个弓形桥洞截面示意图如图所示,圆心为O ,弦AB 是水底线,OC ⊥AB ,AB =24m ,sin ∠COB =1312,DE 是水位线,DE ∥AB . 〔1〕当水位线DE =304m 时,求此时的水深；〔2〕若水位线以一定的速度下降,当水深8m 时,求此时∠ACD 的余切值.21．〔本题满分10分,每小题满分各5分〕如图,在△ABC 中,AB=AC =12,DC =4,过点C 作CE ∥AB 交BD 的延长线于点E ,→→→→==b BC a AB ,,〔1〕求→BE 〔用向量a 、b 的式子表示〕；<2〕求作向量→→+AC BD 21〔不要求写作法,但要指出所 作图中表示结论的向量〕. 22．〔本题满分10分〕在某反潜演习中,我军舰A 测得潜艇C 的俯角为300,位于军舰A 正上方2000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为680,试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.〔结果保留整数.参考数据：sin680≈0.9,cos680≈0.4,tan680≈2.5,3≈1.7>23．〔本题满分12分,每小题满分各6分〕 如图,在四边形ABCD 中,∠B =∠ACD ,过D 作AC ∥DE 交BC 的延长线于点E ,且2CD AC DE =⋅第20题图 B 第22题图B 第21题图 A D EC B A。

2024届上海市金山区初三一模数学试卷(含答案)

2024届上海市金山区初三一模数学试卷(含答案)

2024届上海市金山区初三一模数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）（2024．1）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把抛物线22y x =向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（▲）（A ）221y x =-；（B ）221y x =+；（C ）()221y x =-；（D ）()221y x =+．2．已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果AE ∶ED =1∶2，那么DF ∶FB 为（▲）（A ）1∶2；（B ）1∶3；（C ）2∶3；（D ）2∶5．3．在直角坐标平面的第一象限内有一点A （a ，b ），如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（▲）（A ）b=a ·tan α；（B ）b=a ·cot α；（C ）b=a ·sin α；（D ）b=a ·cos α．4．抛物线2y ax bx c =++的图像如图所示，下列判断中不正确的是（▲）（A ）a <0；（B ）b <0；（C ）c >0；（D ）a +b +c <0．5．将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是（▲）（A ）2∶1；（B1；（C ）3∶1；（D∶1．6．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从△ABC 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC 相似的有（▲）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果053a b b =≠（），那么a b b-=▲．8．化简：2(3)6a b b -+-=▲．9．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的周长比为▲．10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是▲．yxO 1（第4题图）ABC（第6题图）11．抛物线2233y x =-的顶点坐标是▲．12．如果点A （2，a ）、B （3，b ）在二次函数23y x x =-的图像上，那么a ▲b （填“>”“<”或“=”）．13．如果α是直角三角形的一个锐角，sin α=45，那么tan α=▲．14．如图，已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，△ADE 、△EFC 的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为▲．15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i =1∶2，那么相邻两树间的坡面距离为▲米．16．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A 处向北偏东60°的方向行驶8海里到B 处，再从B 处向南偏东45°方向行驶到发点A 正东方向上的C 处，此时这艘船距离出发点A 处▲海里．17.把矩形ABCD 绕点C 按顺时针旋转90°得到矩形A ´B ´CD ´，其中点A 的对应点A ´在BD 的延长线上，如果AB=1，那么BC=▲．18．在△ABC 中，AC=6，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．20．（本题满分10分）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点A ）所在的铅垂线为y 轴，相应的地面水平线为x 轴，1米为单位长度建立直角坐标系xOy，喷出的抛物线形水柱在最高处（点P ）距离y 轴1米，水柱落地处（点B ）距离y 轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度．1y xO2B4P1A A BC DEF（第14题图）（第15题图）（第16题图）21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，四边形BEGD 是平行四边形．（1）求证DE ∥AC ；（2）设BA a = ，BC b = ，用向量a 、b表示DE =22．（本题满分10分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角∠BAD=75.5°，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAC =∠BDC ．（1）求证：△AOD ∽△BOC ；（2）过点A 作AE ∥CD ，AE 交BD 与点E ，求证：AB AD AE BC ⋅=⋅．ABCDOABC DE24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过点A (-1，0)、B (3，0)、C （0，-3）.(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2)点D 在抛物线对称轴上，∠PAD=90°，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB=QM ，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO=OE ，求新抛物线的表达式.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠CAD=∠ABC ，DC ⊥AC ，AD 与边BC 相交于点P .（1）求证：212AB AD BC =⋅；（2）如果sin ∠ABC=45，求BP ∶PC 的值；（3）如果△BCD 是直角三角形，求∠ABC 的正切值.O11yxABCDP参考答案一、选择题（本大题6 小题，每小题4 分，满分24 分）1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23；8．2a - ；9．2∶3；101-；11．（0，-3）；12．<；13．43；14．4；15．16.4；17．152；18．62623≠≤≤AB AB 且．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22121⎛⎫- ⎪⎝⎭，-----------------------------------------------------------（8分）=0.----------------------------------------------------------------------------------------（2分）20．解：设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠-------------------------------------（1分）由题意得，抛物线经过A （0，2）、B （4，0），顶点P 的横坐标为1，∴2164012c a b c ba ⎛=++= -=⎝-----------------------------------------------------------------------------（3分）解得：11,,242a b c =-==，.-------------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的解析式是211242y x x =-++，顶点P 坐标为（1，2.25）.---------（2分）∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度是2.25米.-----------------------------------（2分）21.（1）证明：∵AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，∴AG=2GM ，---------------------（1分）∵四边形BEGD 是平行四边形，∴DG ∥BE ，EG ∥BD ，∴13BD MG BA MA ==，23BE AG BM MA ==-------------------------------------------------------（2分）∵BM=MC ，∴13BE BC =--------------------------------------------------------------------------（1分）∴BE BDBC BA=--------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE ∥AC ------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）1133DE b a =------------------------------------------------------------------------------------（4分）22.解：作BM ⊥ED ，BN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，-----------------------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∴AN=AB ·cos ∠BAD =4×0.25=1，-----------------------------------------------------------（2分）BN=AB ·sin ∠BAD =4×0.97=3.88，--------------------------------------------------------（2分）∴ND=2，-------------------------------------------------------------------------------------------（1分）在四边形BMDN 中，∠BMD=∠MDA=∠DNB=90°，∴在四边形BMDN 是矩形，∴BM=ND =2，BN=MD=3.88，---------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∠BCM =45°，∴BM=MC=2，------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴CD=MD -MC=1.88≈1.9（米）.-------------------------------------------------------------（1分）答：阴影CD 的长是1.9米.-------------------------------------------------------------------（1分）23.证明：（1）∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，-----------（2分）∴AO DO BO CO=，-----------------------------------------------------------------------------------（1分）∵∠AOD =∠BOC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴△AOD ∽△BOC .------------------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AOB ∽△DOC ，∠BAO =∠CDO ，∵AE ∥CD ，∴∠AED =∠CDO ，-------------------------------------------------------------（1分）∴∠AED =∠BAC ，--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵△AOD ∽△BOC ，∴∠ADE =∠BCA ，-----------------------------------------------------（1分）∴△AED ∽△BAC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴AE AD BA BC=，∴AB AD AE BC ⋅=⋅．--------------------------------------------------------（2分）24.解：（1）由题意得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,解得：a =1，b =1，c =4，∴抛物线的表达式为223y x x =--.-------------------------（2分）∵()222314y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标是（1，-4）.----------------------（2分）（2）抛物线的对称轴为直线1=x ，--------------------------------------------------------------（1分）设点D 的坐标为（1，m ），∵∠PAD=90°，∴222PA AD PD +=，∴222+=，-----------（1分）解得，1m =，点D 的坐标为（1，1）-----------------------------------------------------（2分）（3）由题意，点M 坐标是（1，0），作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，∵QB=QM ，∴MH=HB ，∴点H 的坐标为（2，0），点Q 的横坐标为2，---------（1分）设点Q 的坐标是（2，t ），∵QO=OE ，∴点Q 和点E 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为（-2，-t ），--------（1分）∴()()22223t --⨯--=-，解得5t =-，点Q 的坐标是（2，-5），-------------------（1分）∴新抛物线的表达式是()225y x =--，即241y x x =--.-------------------------------（1分）25.（1）证明：∵∠CAD=∠ACB ，∠ACP=∠BCA ，∴△ACP ∽△BCA ，∴AC CP BC AC =，∴2AC CP BC =⋅.----------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵∠CAD=∠ABC ，∴∠CAD=∠ACB ，∴P A=PC ，--------------------------------------（1分）∵DC ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∠ACB+∠PCD=90°，∴∠ADC=∠PCD ，∴PD=PC ，∴12AP PD PC AD ===，-------------------------------（1分）∴212AB AD BC =⋅-------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）作AH ⊥BC ，垂足为点H ，在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，sin ∠ABC 45AH AB ==，设AH=4k ，AB=5k ，则BH=3k .---------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴BH=HC=3k ，∴BC=6k ，∵2AB CP BC =⋅，∴256CP k =，-------------------------------------------------------------（1分）∴116BP k =，∴BP ∶PC=1125.-----------------------------------------------------------------（2分）（3）显然∠BCD ≠90°，如果∠CBD =90°，∵∠AHB =90°，∴AH ∥BD ，∴PH AP BP PD=，∵AP=PD ，∴PH=BP ，设PH=BP=m ，∴BH=CH=2m ，CP=3m ，BC=4m ，----------------------------------------------------------（1分）∵2AB CP BC =⋅，∴AB =，-----------------------------------------------------------（1分）在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∴AH =，∴tan ∠ABC AHBH==，即∠ABC .-------------------------------------（1分）如果∠CDB =90°，∵∠ACD =90°，∴AC ∥BD ，∴BP PD CP AP=，∵AP=PD ，∴BP=PC ，-------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴四边形ABDC 是正方形，----------------------------------------------------（1分）∴∠ABC=45°，∠ABC 的正切值为1.---------------------------------------------------------（1分）综上所述，如果△BCD 是直角三角形，∠ABC 或1.。

2020年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)

2020年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)
2020 年上海市金山区中考数学一模试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1．（4 分）（2015•唐山二模）抛物线 y=2x2+1 的顶点坐标是（
A． （2，1）
B． （0，1）
C． （1，0）
） D．（1，2）
2．（4 分）（2013•温州）如图，在△ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是（ ）
绕着点 C 旋转 90°，点 A、B 的对应点分别是 D、E，那么 tan∠ADE 的值
．
三、解答题（共 7 小题，满分 78 分）
19．（10 分）（2015•金山区一模）计算：|2sin45°﹣tan45°|+
．
20．（10 分）（2015•金山区一模）如图，△ ABC 中，PC 平分∠ACB，PB=PC． （1）求证：△ APC∽△ACB； （2）若 AP=2，PC=6，求 AC 的长．
22．（10 分）（2015•金山区一模）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移 2 个单位得到抛物线 y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点 A（2，1）． （1）求平移后抛物线的解析式； （2）设原抛物线与 y 轴的交点为 B，顶点为 P，平移后抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M， 求△ BPM 的面积．
A． 10
B． 8
C． 6
D． 5
5．（4 分）（2015•金山区一模）已知⊙M 与⊙N 的半径分别为 1 和 5，若两圆相切，那么这
两圆的圆心距 MN 的长等于（ ）
A． 4
B． 6
C．4 或 5
D．4 或 6
6．（4 分）（2015•金山区一模）已知反比例函数 y= （a≠0），当 x＞0 时，它的图象 y 随 x

2023年上海市金山区初三3月线下中考一模数学试卷含详解

2023年上海市金山区初三3月线下中考一模数学试卷含详解

5上海市金山区2023届初三一模数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是（）A.21y x =+ B.2y x=C.231y x =+ D.y =2.下列各组中的四条线段成比例的是（）A.1cm 2cm 3cm 4cm 、、、B.2cm 3cm 4cm 5cm 、、、C.3cm 4cm 6cm 9cm、、、 D.2cm 3cm 4cm 6cm、、、3.在Rt ABC △中，90,3,4,tan C AC BC B ︒∠====（）A.45B.34C.35 D.434.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝4，那么由下列条件能够判断DE ∥BC 的是()A.AE AC ＝12 B.DE BC ＝13 C.AE AC ＝13D.DE BC ＝125.已知a ，b ，c是非零问量，下列条件中不能判定a ∥b 的是（）A.a ∥c ，b∥c B.3a b= C.||||a b =D.12a c = ，2bc =- 6.如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴直线1x =与x 轴交于点D ，若OA OD <，那么下列判断正确的是（）A.0a b c ++<B.0a b c -+>C.20a b c ++<D.930a b c ++<二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7.已知43a b =，则a b b-=__________．8.已知2()23=-+f x x x ，那么(2)f =_________．9.已知α是锐角，且2cos 2α=，那么α=_________．10.将抛物线22(4)y x =+向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________．11.抛物线2(2)31y k x x =+--有最高点，那么k 的取值范围是_________．12.如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A 到地面底部B 的距离是468米，第二球体点P 处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A 、B 、P 在一直线），且BP AP >，那么底部B 到球体P 之间的距离是_________米（结果保留根号）13.某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB 坡度i 1:=，自动扶梯AB 的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC =_________米．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，tan ∠DCB ＝34，AC ＝12，则BC =___．15.如图，AB 与CD 相交于点E ，AC BD ∥，联结BC ，若2,3AE BE ==，设AC a = ，ED b =，那么BC = _________（用含a b、的式子表示）16.如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果:1:2EAF CDF C C =△△，那么:EAF ABCF S S =△四边形_________．17.我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，直线DE 是Rt ABC △的一条美丽线，直线DE 分别交边AB BC 、于点D 、E ，交AC 延长线于点F ，当,2DE AB BD AD ⊥=时，那么cos F 的值为_________．18.如图，ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC 的重心，E 为线段AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt CDE △（点D 在直线BC 的上方），2G 为Rt CDE △的重心，设12G G 、两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19.计算：24sin 45tan 452cot 30sin 602cos 60︒-+︒︒︒⋅︒．20.如图，已知抛物线2(2)4(0)y a x a =--≠与x 轴交于原点O 与点A ，顶点为点B ．（1）求抛物线的表达式以及点A 的坐标；（2）已知点(2,)(0)P m m >，若PAB 的面积为6，求点P 的坐标．21.如图，已知在四边形ABCD 中，,90,2,6,AD BC A AD BC BD ∠=︒==∥是对角线，BD DC ⊥．（1）求证：ABD DCB △∽△；（2）求CD 的长．22.如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得顶部A 的仰角为31︒，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得顶部A 的仰角为42︒．求凉亭AB 的高度（,,AB BE DE BE FG BE ⊥⊥⊥，结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.60︒≈，sin 420.67︒≈，cos 420.74︒≈，tan 420.90︒≈）23.如图，已知菱形ABCD 中，点E 在边CB 延长线上，联结DE 交边AB 于点F ，联结AE ，过点F 作FG BE ∥交AE 于点G ．（1）求证：FG BF =；（2）联结AC 交DE 于点O ，联结BO ，当FOB DAO ∠=∠时，求证：2DO AB GF =⋅．24.已知抛物线23y ax bx =+-经过点(1,0)A ，(2,3)B --，顶点为点P ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P 的坐标；（2）将抛物线向上平移(0)m m >个单位后，点A 的对应点为点M ，若此时MB AC ，求m 的值；（3）设点D 在抛物线23y ax bx =+-上，且点D 在直线BC 上方，当DBC BAC ∠=∠时，求点D 的坐标．25.已知平行四边形ABCD 中，35,tan 2,5AB ABC BC =∠==，点P 是对角线BD 上一动点，作EPD ABC ∠=∠，射线PE 交射线BA 于点E ，联结AP ．（1）如图1，当点E 与点A 重合时，证明：ABP BCD ∽；（2）如图2，点E 在BA 的延长线上，当EP AD =时，求AE 的长；（3）当APE V 是以AP 为底的等腰三角形时，求AE 的长．5上海市金山区2023届初三一模数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是（）A.21y x =+B.2y x=C.231y x =+ D.y =【答案】C【分析】根据二次函数的定义判断解答即可．【详解】∵21y x =+中x 的指数是1，∴21y x =+是一次函数，∴A 选项不符合题意；∵2y x=中x 的指数是-1，∴2y x=是反比例函数，∴B 选项不符合题意；∵231y x =+中x 的指数是2，且231x +是整式，∴231y x =+是二次函数，∴C 选项符合题意；∵y =∴D 选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．2.下列各组中的四条线段成比例的是（）A.1cm 2cm 3cm 4cm 、、、B.2cm 3cm 4cm 5cm 、、、C.3cm 4cm 6cm 9cm 、、、D.2cm 3cm 4cm 6cm、、、【答案】D【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、∵1423⨯≠⨯，∴四条线段不成比例，不符合题意；B 、∵2534⨯≠⨯，∴四条线段不成比例，不符合题意；C 、∵3946⨯≠⨯，∴四条线段成比例，不符合题意；D 、∵2634⨯=⨯，∴四条线段成比例，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3.在Rt ABC △中，90,3,4,tan C AC BC B ︒∠====（）A.45B.34C.35 D.43【答案】B【分析】根据题意及三角函数直接进行求解即可．【详解】解：如图，由题意得：90,3,4C AC BC ︒∠===，3tan 4AC B BC ∴==；故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．4.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝4，那么由下列条件能够判断DE ∥BC 的是()A.AE AC ＝12B.DE BC ＝13C.AE AC ＝13D.DE BC ＝12【答案】C【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，根据相似推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定得出即可．【详解】只有选项C 正确，理由：如图：∵AD=2，BD=4，AE AC =13，∴AD AB =AE AC =13，∵∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ，根据选项A 、B 、D 的条件都不能推出DE ∥BC ，故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5.已知a，b，c是非零问量，下列条件中不能判定a ∥b的是（）A.a ∥c ，b ∥cB.3a b=C.||||a b =D.12a c = ，2b c=- 【答案】C【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可得出答案．【详解】解： //a c，//b c ，∴//a b，故A 选项能判定//a b ；3a b = ，∴//a b，故B 选项能判定//a b ；||||a b =，不能判断a 与b 方向是否相同，故C 选项不能判定//a b ； 12a c =，2bc =- ，∴14a b =-，∴//a b，故D 选项能判定//a b，故正确答案为：C ．【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6.如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴直线1x =与x 轴交于点D ，若OA OD <，那么下列判断正确的是（）A.0a b c ++<B.0a b c -+>C.20a b c ++<D.930a b c ++<【分析】根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、由图可知：当1x =时，0y a b c =++>，选项错误，不符合题意；B 、由图可知：1OD =，∵OA OD <，∴1OA <，∴点A 的横坐标大于1-，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∴当=1x -时的函数值小于点A 的纵坐标0，即：<0a b c -+，选项错误，不符合题意；C 、∵抛物线的对称轴为12bx a=-=，∴2b a =-，即：20a b +=，由图可知，当0x =时，0y c =>，∴20a b c c ++=>，选项错误，不符合题意；D 、∵01OA <<，1OD =，∴12AD <<，∵,A B 关于对称轴对称，∴12BD <<，即B 点的横坐标在2x =和3x =之间，∵1x >时，y 随x 的增大而减小，∴当3x =时的函数值小于点B 的纵坐标0，即：930a b c ++<，选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7.已知43a b =，则a b b -=__________．【答案】13【分析】将a bb -变形为-a b b b，代入条件即可求值．【详解】41133-=-=-=a b a b b b b 故答案为：13【点睛】本题考查比例的性质，根据式子的特征适当的变形，再采用整体代入是解题的关键．8.已知2()23=-+f x x x ，那么(2)f =_________．【分析】根据把自变量的值代入函数解析式，可得相应的函数值．【详解】解：2222234433f =-⨯+=-+=（）．故答案为：3【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．9.已知α是锐角，且cos 2α=，那么α=_________．【答案】45︒##45度【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答即可．【详解】∵2cos 2α=，∴45α=︒．故答案为：45︒．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．10.将抛物线22(4)y x =+向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________．【答案】22(1)y x =+【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】解：二次函数22(4)y x =+的图象向右平移3个单位，得：222(43)2(1)y x x =+-=+，故答案为：22(1)y x =+．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．11.抛物线2(2)31y k x x =+--有最高点，那么k 的取值范围是_________．【答案】2k <-【分析】根据题意可知20k +<，解不等式即可求解．【详解】解：∵抛物线2(2)31y k x x =+--有最高点，∴20k +<，解得：2k <-，故答案为：2k <-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．12.如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A 到地面底部B 的距离是468米，第二球体点P 处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A 、B 、P 在一直线），且BP AP >，那么底部B 到球体P 之间的距离是_________米（结果保留根号）【答案】(2345234)【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值512⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭叫做黄金比．【详解】解：∵点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且468AB =米，BP AP >，∴51468(2345234)2BP =⨯=米．故答案为：(2345234)．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．13.某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB 坡度i 1:3=，自动扶梯AB 的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC =_________米．【答案】6【分析】如图，由坡度易得BC 与AC 的比为3，设出相应未知数，利用勾股定理可得BC 的长度．【详解】解：设大厅两层之间的高度BC 为x 米，如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，坡度：3i =，12AB =，∴BC 与AC 的比为3，∴BC x =，3AC =，∵222BC AC AB +=，∴)222312x x +=，解得：16x =，26x =-（负值不符合题意，舍去），∴大厅两层之间的高度BC 为6米．故答案为：6．【点睛】本题考查解直角三角形及勾股定理．理解坡度的意义是解题的关键．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，tan ∠DCB ＝34，AC ＝12，则BC =___．【答案】9【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD =∠A ，根据正切的定义计算即可【详解】解：∵∠ACB =90°，∴∠A +∠B =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠BCD +∠B =90°，∴∠BCD =∠A ，在Rt △ACB 中，∵tan A =tan ∠BCD =34=BC AC，∴BC =34AC =34×12=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．15.如图，AB 与CD 相交于点E ，AC BD ∥，联结BC ，若2,3AE BE ==，设AC a = ，ED b = ，那么BC = _________（用含a b 、的式子表示）【答案】3523a b -- 【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的角形法则解答，先求出DE EC 、，然后表示出DC ，再求出BD，然后根据BC BD DC =+ 即可求解．【详解】解：∵AC BD ∥，∴23EC AC AE ED BD EB ===∵ED b = ，AC a = ∴23EC b =- ，32BD a =- ∴2533DC DE EC b b =+=--=- ∴3523BC BD DC a =+=-- 故答案为：3523a b -- 【点睛】本题考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则．16.如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果:1:2EAF CDF C C =△△，那么:EAF ABCF S S =△四边形_________．【答案】18【分析】在平行四边形ABCD 中，根据AB CD ∥，得出EAF CDF ∽ ，根据12EAF CDF C C = ，得出12AF DF =，证明EAF EBC ∽，根据相似三角形的性质得到1=9EAF EBC S S 即可得到1:8EAF ABCF S S =△四边形．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AF BC ∥，AE CD ∥，∴EAF CDF ∽ ，∵12EAF CDF C C = ，∴12AF DF =，∴13AF BC =，∵AF BC ∥，∴EAF EBC ∽，∴2211=39EAF EBC S AF S BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,∴1:8EAF ABCF S S =△四边形，故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．17.我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，直线DE 是Rt ABC △的一条美丽线，直线DE 分别交边AB BC 、于点D 、E ，交AC 延长线于点F ，当,2DE AB BD AD ⊥=时，那么cos F 的值为_________．【答案】223【分析】连接AE ，根据新定义得出13ACE ABE S S =，设CE c =，则3BE c =，根据cos BD BC B BE AB ==得出222a d =，继而得出a d =，即可求得222cos 33a B d ==，进而根据等角的余角相等，得出B F ∠=∠，即可求解．【详解】解：连接AE，依题意，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，直线DE 是Rt ABC △的一条美丽线，∴BDE ACEDS S = 四边形∵,2DE AB BD AD⊥=∴111222AD DE AC CE DE BD ⨯+⨯⨯=⨯设AD a =，DE b =，则2BD a =，.∴11222ACE a b ab S ⨯⨯=+ ∴12ACE ADE S ab S == ，∴13ACE ABE S S =,设CE d =，则3BE d =，∴4BC d =，∵cos BD BC B BE AB ==，即2433a d d a=∴222a d =，∵0,0a d >>∴a d=∴222cos 33a B d ==∵90ACB ∠=︒，,DE AB ⊥∴90B BAC F FAD ∠+∠=∠+∠=︒∴B F ∠=∠，∴22cos cos 3F B ==故答案为：223．【点睛】本题考查了余弦的定义，根据新定义得出13ACE ABE S S =是解题的关键．18.如图，ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC 的重心，E 为线段AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt CDE △（点D 在直线BC 的上方），2G 为Rt CDE △的重心，设12G G 、两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．【答案】0d ≤≤【分析】当点E 与点B 重合时，0d =，当点E 与点A 重合时，d 的值最大，利用重心的性质以及勾股定理求得1CG =，2CG =12CG G BCA ∽△△，推出12CG G △是等腰直角三角形，据此求解即可．【详解】解：当点E 与点B 重合时，0d =，当点E 与点A 重合时，d 的值最大，如图，点FH 分别为BC AC 、的中点，∵ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC 的重心，∴12AF BF FC BC ====，∴113G F AF ==1CG ==，同理11322DH AH HC AC AB =====，∴2113G H DH ==，2CG ==1245BAC G CG ∠=∠=︒，22AC BC ==，2122CG CG ==，即21CG AC CG BC =，∴12CG G BCA ∽△△，∴12CG G △是等腰直角三角形，∴122G G CG ==∴0d ≤≤故答案为：0d ≤≤【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，重心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19.计算：24sin 45tan 452cot 30sin 602cos 60︒-+︒︒︒⋅︒．【答案】4【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的计算即可．【详解】24sin 45tan 452cot 30sin 602cos 60︒-+︒︒︒⋅︒22412321222⎛⨯- ⎝⎭=+⨯⨯141231⨯-=+13=+4=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．20.如图，已知抛物线2(2)4(0)y a x a =--≠与x 轴交于原点O 与点A ，顶点为点B．（1）求抛物线的表达式以及点A 的坐标；（2）已知点(2,)(0)P m m >，若PAB 的面积为6，求点P 的坐标．【答案】（1）24y x x =-，(4,0)A （2）(2,2)P 【分析】（1）将原点代入解析式求出a 即可求出表达式，并令0y =求出点A 坐标；（2）先求出顶点B 的坐标，表示出BP ，根据三角形面积公式列出等式，解得m 即可．【小问1详解】解：∵抛物线经过坐标原点O ，代入得440a -=，解得1a =，∴抛物线解析式为24y x x =-，∵抛物线与x 轴正半轴交于点A ，∴240x x -=，解得10x =（舍去），24x =，∴点(4,0)A ；【小问2详解】设PB 与OA 交于点H，∵抛物线解析式为24y x x =-，∴顶点(2,4)-B ，∵(2,)P m ，∴4,2BP m AH =+=，∵6PAB S =△，即1(4)262m ⋅+⋅=，解得2m =，∴点(2,2)P ．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质．21.如图，已知在四边形ABCD 中，,90,2,6,AD BC A AD BC BD ∠=︒==∥是对角线，BD DC ⊥．（1）求证：ABD DCB △∽△；（2）求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由题意易知90A BDC ∠=∠=︒，由AD BC ∥，可知ADB DBC ∠=∠，即可证明结论；（2）由ABD DCB △∽△，可列比例式BC BD BD AD=，即2BD BC AD =⋅，进而求得BD =，再由勾股定理即可CD 的长度．【小问1详解】解：∵,90BD DC A ⊥∠=︒，90A BDC ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，∴ABD DCB △∽△；【小问2详解】∵ABD DCB△∽△∴BC BD BD AD=，即2BD BC AD =⋅，∵2AD =，6BC =，∴BD =（负值舍去），在Rt BCD 中，=90BDC ∠︒，∴222BD CD BC +=，∴CD =【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握证明两个三角形相似的方法是解决问题的关键．22.如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得顶部A 的仰角为31︒，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得顶部A 的仰角为42︒．求凉亭AB 的高度（,,AB BE DE BE FG BE ⊥⊥⊥，结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.60︒≈，sin 420.67︒≈，cos 420.74︒≈，tan 420.90︒≈）【答案】6.9m【分析】设m CF x =，在Rt ACF 中，根据正切三角函数关系得到tan 420.9(m)AC CF x =⋅︒≈，在Rt ACD △中，根据正切三角函数关系列方程0.90.63x x ≈+，然后解方程求出CF ，最后利用AB AC BC =+关系即可得解．【详解】解：联结DF 并延长，交AB 于点C ，由题意得：DC BE ， 1.5m BC FG DE ===，3m DF GE ==，90ACF ∠=︒，设m CF x =，则(3)m CD CF DF x =+=+，在Rt ACF 中，tan tan 420.9AC AFC CF∠==︒≈，∴tan 420.9(m)AC CF x =⋅︒≈，在Rt ACD △中，tan tan 310.6AC ADC CD ∠==︒≈，∴0.90.63x x ≈+，解得6x =，经检验：6x =是原方程的根，∴0.9 1.5 6.9(m)AB AC BC x =+=+=答：凉亭AB 的高约为6.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.如图，已知菱形ABCD 中，点E 在边CB 延长线上，联结DE 交边AB 于点F ，联结AE ，过点F 作FG BE ∥交AE 于点G ．（1）求证：FG BF =；（2）联结AC 交DE 于点O ，联结BO ，当FOB DAO ∠=∠时，求证：2DO AB GF =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）首先证明GF AD ∥，再证明GF BF AD CD =即可解决问题．（2）证明OFB AOB ∽，可得BO BF AB BO =，即可解决问题．【小问1详解】∵四边形ABCD 是菱形∴,,AD BC AB CD AD CD =∥∥∵GF BE∥∴GF AD∥∴GF EF AD ED =，同理BF EF CD ED=∴GF BF AD CD =∵AD CD=∴GF BF=【小问2详解】∵四边形ABCD 是菱形∴AC 垂直平分BD∴BO DO=∵四边形ABCD 是菱形∴FAO DAO∠=∠∵FOB DAO∠=∠∴FAO FOB∠=∠∵FBO ABO∠=∠∴OFB AOB∽∴BO BF AB BO=即2BO AB BF =⋅∵BO DO =，GF BF=∴2DO AB GF =⋅【点睛】本题考查菱形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．24.已知抛物线23y ax bx =+-经过点(1,0)A ，(2,3)B --，顶点为点P ，与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P 的坐标；（2）将抛物线向上平移(0)m m >个单位后，点A 的对应点为点M ，若此时MB AC ，求m 的值；（3）设点D 在抛物线23y ax bx =+-上，且点D 在直线BC 上方，当DBC BAC ∠=∠时，求点D 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，(1,4)P --（2）6m =（3）17,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）由题意可得(0,3)C -，由此可求得直线AC 的解析式为33y x =-，由MB AC ，可设直线MB 解析式为23y x b =+，进而求得其解析式为33y x =+，由1x M =，代入直线MB 的表达式求得(1,6)M ，即可求得m 的值；（3）由点(1,0)A ，(2,3)B --，(0,3)C -，易知AB =，45ABC ∠=︒，作DH ⊥直线BC 于H ，作CK AB ⊥于K ，在Rt BCK △中，2sin 2CK ABC BC ∠==，进而可求得CK BK ==，AK =，可得1tan 2CAK ∠=，由DBC BAC ∠=∠，可得1tan 2DBC ∠=，在Rt DBH 中，可设DH k =，则2BH k =，可知(22,3)D k k --，将其代入223y x x =+-，求出k 即可得点D 坐标．【小问1详解】∵抛物线经过A 、B ，代入得304233a b a b +-=⎧⎨--=-⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为223y x x =+-，∴顶点(1,4)P --；【小问2详解】令0x =，则=3y -，即(0,3)C -∵直线AC 经过点A 、C ，设其解析式为11y k x b =+，则11103k b b +=⎧⎨=-⎩，解得1133k b =⎧⎨=-⎩∴直线:33AC y x =-，∵MB AC ，且直线MB 经过点(2,3)B --，设解析式为23y x b =+，则()2332b -=⨯-+，解得23b =，∴直线:33MB y x =+，∵点M 是点A 向上平移m 个单位所得∴1x M =，代入直线MB 的表达式，得(1,6)M ∴6m =；【小问3详解】由点(1,0)A ，(2,3)B --，(0,3)C -，则3A B A B x x y y -=-=，易知AB =45ABC ∠=︒，作DH ⊥直线BC 于H ，作CK AB ⊥于K ，在Rt BCK △中，2sin 2CK ABC BC ∠==∴CK BK ==，∵AB =∴AK =，∴在Rt ACK △中，1tan 2CAK ∠=∵DBC BAC ∠=∠，∴1tan 2DBC ∠=，∴在Rt DBH 中，可设DH k =，则2BH k=∴(22,3)D k k --∵点D 在抛物线上，∴2(22)2(22)33k k k -+--=-解得10k =（舍去），254k =，∴17,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移及解直角三角形，熟练掌握函数性质及添加辅助线构造直角三角形是解决问题得关键．25.已知平行四边形ABCD 中，tan 2,5AB ABC BC =∠==，点P 是对角线BD 上一动点，作EPD ABC ∠=∠，射线PE 交射线BA 于点E ，联结AP ．（1）如图1，当点E 与点A 重合时，证明：ABP BCD ∽；（2）如图2，点E 在BA 的延长线上，当EP AD =时，求AE 的长；（3）当APE V 是以AP 为底的等腰三角形时，求AE 的长．【答案】（1）见解析（2）10-（3）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB CD ，则ABP BDC ∠=∠，由角之间的关系得到BAP DBC ∠=∠，即可证明ABP BCD ∽；（2）设AD EP 、交于点O ．先证明EBP DBA △≌△，得到BD BE =，过点D 作DH BC ⊥延长线于H ，由ABCD Y 得到DCH ABC ∠=∠，则tan tan 2DCH ABC ∠=∠=，在Rt DCH 中，cos 5CH DCH CD ∠==，由AB CD ==得到3CH =，6DH =，8BH =，在Rt BDH 中，由勾股定理得到10BD =，则10BE =，即可得到10AE =-；（3）当点E 在边BA 延长线上或在边BA 上两种情况，分别求解即可．【小问1详解】证明：∵ABCD Y ，∴AB CD ，∴ABP BDC ∠=∠，∵ABP BAP APD ∠+∠=∠，又ABP DBC ABC ∠+∠=∠且EPD ABC ∠=∠，∴BAP DBC ∠=∠，∴ABP BCD ∽；【小问2详解】设AD EP 、交于点O ．∵ABCD Y ，∴AD BC ∥，∴EAD ABC ∠=∠，∵EPD ABC∠=∠∴EPD EAD ∠=∠，∵在AOE △中，180EAO AEO AOE ∠+∠+∠=︒，在PDO △中，180DPO PDO DOP ∠+∠+∠=︒，∵AOE DOP ∠=∠，∴AEO PDO ∠=∠，∵EBP DBA ∠=∠，AD PE =，∴EBP DBA △≌△，∴BD BE =，过点D 作DH BC ⊥延长线于H ，∵ABCD Y ，∴AB CD ，∴DCH ABC ∠=∠，∴tan tan 2DCH ABC ∠=∠=，∴在Rt DCH 中，5cos 5CH DCH CD ∠==，∵35AB CD ==∴3CH =，∴6DH =，∵5BC =，∴8BH =，∵在Rt BDH 中，222DH BH BD +=，∴2210BD DH BH =+=，∴10BE =，∴1035AE =-【小问3详解】AEP △是以AP 为底的等腰三角形时，∴当点E 在边BA 延长线上时，设EA EP x ==，则BE x =，由EBP BDC △△∽得，EP BE BC BD=，即35510x x +=，解得x =，∴AE =；当点E 在边BA 上时，设EA EP x ==，则BE x =，由EBP BDC △△∽得，EP BEBC BD =，即510x x -=，解得x =∴AE =，∴综上所述，AE 长为．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

初三数学一模考解读2015.12(定稿)

初三数学一模考解读2015.12(定稿)

C'
D
A
C
第 18 题图
D'
D
A
图5
B
12
11.重心定理： 【例题 1】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点 G 是△ABC 的重心， 如果 AG=4，那么 BC 的长为 ． 【例题 2】已知点 G 是面积为 27cm 的△ABC 的重心， 那么△AGC 的面积等于 cm . G · A
2 2
1 2 x 共有的性质是（ ） 2
B．对称轴是 y 轴; D. y 的值随 x 的值的增大而减小.
7
6. 二次函数的运动（平移） 2 【例题 1】将抛物线 y=－2x 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，抛物线的表达式 为（ ） 2 2 2 2 A．y =－2(x－1) +2； B．y =－2(x－1) －2；C．y =－2(x+1) +2 ；D．y =－2(x+1) － 2
2
A
D
DC AB D． ． AC BC
B
C
【例题 2】在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 AD=2，BD=3，那么由下列条件能 够判定 DE//BC 的是（ ） A）
DE 2 ； BC 3
B）
DE 2 ； BC 5
B）
C）
AE 2 ； AC 3
D）
【例题 3】如图，DE//BC, EF//AB，则下列比例式中，不成立的是（
15
14.圆的相关性质（多在选择题） 【例题 1】如果在两个圆 中有两条相等的弦，那么„„„„„„„„„„„„（ ．．．
）
A．这两条弦所对的圆心角相等； B．这两条弦所对的弧相等； C．这两条弦都被与它垂直的半径平分； D．这两条弦所对的弦心距相等． 【例题 2】正多边形的中心角是 36 º，那么这个正多边形的边数是（ ） （A） 10 ； （B ） 8 ； （C） ；6 （D） 5 ． 【例题 3】下列说法正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ） (A) 相切两圆的连心线经过切点 (B) 长度相等的两条弧是等弧 (C) 平分弦的直径垂直于弦 (D) 相等的圆心角所对的弦相等 【例题 4】 半径分别为 8 cm 与 6 cm 的 O1 与 O2 相交于 A、 B 两点， 圆心距 O1O2 的长为 10 cm， 那么公共弦 AB 的长为 cm．

2023年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析

2023年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析

2023年上海市金山区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．（4分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝C．y＝3x2+1D．y＝2．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm3．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣26．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴直线x＝1与x轴交于点D，若OA＜OD，那么下列判断正确的是（）A．a+b+c＜0B．a﹣b+c＞0C．2a+b+c＜0D．9a+3b+c＜0二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）已知，那么＝．8．（4分）已知f（x）＝x2﹣2x+3，那么f（2）＝．9．（4分）已知α是锐角，且cosα＝，那么α＝．10．（4分）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．11．（4分）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是．12．（4分）∅如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）．13．（4分）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝米．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC＝12，则BC＝．15．（4分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，联结BC，若AE＝2，BE＝3，设，，那么＝（用含、的式子表示）．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝．交于点E，如果C△EAF17．（4分）我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，直线DE是Rt△ABC的一条美丽线，直线DE分别交边AB、BC于点D、E，交AC延长线于点F，当DE⊥AB，BD＝2AD时，那么cos F的值为．18．（4分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E 为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）计算：+2cot30°•sin60°．20．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；（2）已知点P（2，m）（m＞0），若△PAB的面积为6，求点P的坐标．21．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，BC＝6，BD 是对角线，BD⊥DC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）求CD的长．22．（10分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m 的测角仪DE测得顶部A的仰角为31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G 处用高1.5m的测角仪FG测得顶部A的仰角为42°．求凉亭AB的高度（AB⊥BE，DE ⊥BE，FG⊥BE．结果精确到0.1m）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）23．（12分）如图，已知菱形ABCD中，点E在边CB延长线上，联结DE交边AB于点F，联结AE，过点F作FG∥BE交AE于点G．（1）求证：FG＝BF；（2）联结AC交DE于点O，联结BO，当∠FOB＝∠DAO时，求证：DO2＝AB•GF．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．25．（14分）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．2023年上海市金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．【分析】根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2．【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tan B＝＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．4．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD＝2，BD＝4，＝，∴＝＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．【分析】根据二次函数的图象，当x＝1时，y＞0，可以判断A；根据x＝﹣1时，y＜0，可以判断B；根据对称轴可以得到2a和b的关系，根据对称轴与y轴的交点位置，可以得到c的正负，从而可以判断C；再根据x＝3时，y＜0，即可判断D．【解答】解：由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故选项A错误，不符合题意；∵对称轴直线x＝1与x轴交于点D，若OA＜OD，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故选项B错误，不符合题意；当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故选项D正确，符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴2a+b+c＞0，故选项C错误，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．【分析】因为，所以a＝b，代入求解即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴原式＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8．【分析】将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3求解即可．【解答】解：将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3，得f（2）＝4﹣4+3＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了函数值，熟练掌握代入法是解题的关键．9．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：∵α是锐角，且cosα＝，∴α＝45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝2（x+4）2的顶点坐标为（﹣4，0），∵向右平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得到的新抛物线的表达式是y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．11．【分析】由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．【解答】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，故答案为：k＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．【分析】根据黄金分割为和题意，可以求得底部B到球体P之间的距离．【解答】解：由题意可得，底部B到球体P之间的距离是：468×＝（234﹣234）米，故答案为：（234﹣234）．【点评】本题考查黄金分割、认识立体图形，解答本题的关键是掌握黄金比是．13．【分析】根据自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，可以计算出BC的长．【解答】解：∵自动扶梯AB坡度i＝1：，∴＝，设BC＝x米，则AC＝x米，∵∠BCA＝90°，AB＝12米，∴AC2+BC2＝AB2，∴（x）2+x2＝122，解得x1＝6，x2＝﹣6（不合题意，舍去），即BC的长为6米，故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确坡度就是坡角的正切值．14．【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，进而得到tan∠BCD＝tan A，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝，在Rt△ABC中，AC＝12，∴tan A＝＝，则BC＝9，故答案为：9【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．15．【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【解答】解：∵AC∥BD，AE＝2，BE＝3，∴＝＝，＝＝，∴BD＝AC，EC＝ED，∵＝，∴＝＝，∵，∴＝﹣，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣﹣（+）＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．16．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到的值，从：S四边形ABCF的值．而可以得到S△EAF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△EAF∽△CDF，：C△CDF＝1：2，∵C△EAF∴＝，∴＝，∴＝，∵AF∥BC，∴△EAF∽ABC，∴＝（）2＝（）2＝，：S四边形ABCF＝1：8，∴S△EAF故答案为：1：8．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．【分析】根据题意和相似三角形的判定和性质，可以得到BC和BD的关系，再根据锐角三角函数，即可得到cos B的值，然后根据∠B和∠F的关系，即可得到cos F的值．【解答】解：设AD＝x，则BD＝2x，由题意可得，＝，∵∠BDE＝∠BCA，∠DBE＝∠CBA，∴△DBE∽△CBA，∴＝，∴BC＝2x，∴cos B＝＝＝，∵∠BCA＝90°，∠ADF＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，∴cos F＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用、锐角三角函数、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝+2××＝+3＝1+3＝4．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，可知点O（0，0）在该函数图象上，从而可以求得a的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到点A 的坐标；（2）根据（1）中的函数解析式，可以得到点B的坐标，再根据点P（2，m）（m＞0），△PAB的面积为6，点A（4，0），即可求得m的值，从而可以写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，∴0＝a（0﹣2）2﹣4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4，当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣4，解得x1＝0，x2＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵y＝（x﹣2）2﹣4，顶点为B，∴点B的坐标为（2，﹣4），∵点P（2，m）（m＞0），△PAB的面积为6，点A（4，0），∴＝6，解得m＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）根据平行线的性质可以得到∠ADB＝∠DBC，再根据∠A＝90°，BD⊥DC，可以得到∠A＝∠BDC＝90°，结论得证；（2）根据相似三角形的性质，可以求得BD的长，再根据勾股定理即可得到CD的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠A＝90°，BD⊥DC，∴∠A＝∠BDC＝90°，∴△ABD∽△DCB；（2）解：由（1）知：△ABD∽△DCB，∴，∵AD＝2，BC＝6，∴，解得DB＝2，∵∠BDC＝90°，∴BD2+CD2＝BC2，即（2）2+CD2＝62，解得CD＝2．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AC的长，然后即可求得AB的长．【解答】解：延长DF交AB于点C，如图所示，由题意可得，DE＝FG＝1.5m，∠ADC＝31°，∠AFC＝42°，DF＝3m，∵∠ACD＝∠ACF＝90°，∴CD＝，CF＝，∵DF＝CD﹣CF，∴3＝﹣，解得AC≈5.4，∴AB＝AC+BC＝5.4+1.5＝6.9（m），即凉亭AB的高度约为6.9m．【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AC的长．23．【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可以得到，，再根据菱形的性质可以得到AD＝BC，从而可以得到结论成立；（2）根据题意作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定和性质、菱形的性质，可以证明结论成立．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，∵GF∥BE，∴GF∥AD，∴，∵BF∥CD，∴，∴，∴FG＝BF；（2）连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是菱形，∠FAO＝∠DAO，∵∠FOB＝∠DAO，∴∠FOB＝∠FAO，又∵∠FBO＝∠ABO，∴△BOF∽△BAO，∴，∴BO2＝BA•BF，由（1）知：BF＝GF，∵BO＝DO，∴DO2＝AB•GF．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、菱形的性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得顶点坐标；（2）可得出点M为（1，m），C（0，﹣3），利用待定系数法求出AC的解析式，由MB ∥AC可得MB的解析式，将点M（1，m）代入MB的解析式即可求求解；（3）过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，可得∠ABC＝45°，则sin∠ABC ＝，CK＝BK＝，求出AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，根据∠DBC＝∠BAC，得tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，则BH＝2k，得出D（2k﹣2，k﹣3），根据点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上求出k的值，即可得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+c，，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，∵MB∥AC，∴设MB的解析式为y＝3x+d，，∵B（﹣2，﹣3），∴﹣6+d＝﹣3，解得d＝3，∴MB的解析式为y＝3x+3，∵将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，A（1，0），∴点M为（1，m），代入MB的解析式为y＝3x+3得，m＝3+3＝6，∴m的值为6；（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，∵点A（1，0），B（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝＝3，∴sin∠ABC＝，∴CK＝BK＝，∵AB＝3，∴AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，∵∠DBC＝∠BAC，∴tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，∴BH＝2k，∴CH＝2k﹣2，∴D（2k﹣2，k﹣3），∵点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上，∴（2k﹣2）2+2（2k﹣2）﹣3＝k﹣3，解得k＝0（舍去）或，∴点D的坐标为（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，两直线平行的性质，锐角三角函数，解直角三角形等，灵活运用所学知识，数形结合是本题的关键．25．【分析】（1）由平行线边形的性质得∠ABP＝∠BDC，而∠APD＝∠EPD＝∠ABC，所以∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，则∠BAP＝∠DBC，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABP∽△BCD；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，由∠ABC＝∠DCH，得＝cot∠DCH＝cot∠ABC＝，则DH＝2CH，由勾股定理得CH2+（2CH）2＝（3）2，则CH＝3，DH＝6，即可由勾股定理求得BD＝10，因为△BEP∽△DBC，且EP＝AD＝BC，所以EB＝BD＝10，则AE＝EB﹣AB＝10﹣3；（3）分两种情况，一是点E在线段BA的延长线上，由△BEP∽△DBC，得＝，则AE＝3；二是点E在线段AB上，由△BEP∽△DBC，得＝，则AE＝．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABP＝∠BDC，∵点E与点A重合，∴∠APD＝∠EPD＝∠ABC，∴∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，∵∠BAP＝∠APD﹣∠ABP，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABP，∴∠BAP＝∠DBC，∴△ABP∽△BCD．（2）解：如图2，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H＝90°，∵∠ABC＝∠DCH，∴＝cot∠DCH＝cot∠ABC＝，∴DH＝2CH，∵CH2+DH2＝CD2，且CD＝AB＝3，∴CH2+（2CH）2＝（3）2，解得CH＝3或CH＝﹣3（不符合题意，舍去），∴DH＝2×3＝6，∵BC＝5，∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，∴BD＝＝＝10，∵∠EBP＝∠BDC，∠BEP＝∠EPD﹣∠EBP＝∠ABC﹣∠EBP＝∠DBC，∴△BEP∽△DBC，∵EP＝AD＝BC，∴＝＝1，∴EB＝BD＝10，∴AE＝EB﹣AB＝10﹣3，∴AE的长是10﹣3．（3）解：∵△APE是以AP为底的等腰三角形，∴AE＝PE，如图3，点E在线段BA的延长线上，∵△BEP∽△DBC，∴＝，∴＝，解得AE＝3；如图4，点E在线段AB上，∵△BEP∽△DBC，∴＝，∴＝，解得AE＝，综上所述，AE的长是3或．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．。

2015年上海市金山区中考数学二模试卷及答案解析

2015年上海市金山区中考数学二模试卷及答案解析

2015年上海市金山区中考数学二模试卷一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，）1．（4分）（2015•金山区二模）下列各数中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2015•金山区二模）下列代数式中是二次二项式的是（）A．xy﹣1 B．C．x2+xy2D．3．（4分）（2015•金山区二模）若直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得新直线的解析式是（）A．y=x+3 B．y=x﹣3 C．y=x﹣1 D．y=﹣x+14．（4分）（2015•金山区二模）一次数学单元测试中，初三（1）班第一小组的10个学生的成绩分别是：58分、72分、76分、82分、82分、89分、91分、91分、91分、98分，那么这次测试第一小组10个学生成绩的众数和平均数分别是（）A．82分、83分B．83分、89分C．91分、72分D．91分、83分5．（4分）（2015•金山区二模）如图，AB∥CD，∠D=13°，∠B=28°，那么∠E等于（）A．13°B．14°C．15°D．16°6．（4分）（2015•金山区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于（）A．2cm B．2cm C．2cm D．4cm二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2015•金山区二模）计算：|﹣|﹣= ．8．（4分）（2015•金山区二模）已知函数f（x）=，那么f（3）= ．9．（4分）（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= ．10．（4分）（2015•金山区二模）已知不等式≥3，那么这个不等式的解集是．11．（4分）（2015•金山区二模）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，2），那么反比例函数的解析式是．12．（4分）（2015•金山区二模）方程﹣=1的解是．13．（4分）（1997•辽宁）方程的解为．14．（4分）（2015•金山区二模）有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同）现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是．15．（4分）（2015•金山区二模）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．16．（4分）（2015•金山区二模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=BD，AE=2EC．设=，=，那么= （用、的式子表示）17．（4分）（2015•金山区二模）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y=x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为．18．（4分）（2015•金山区二模）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处．若AE=2AM，那么EN的长等于．三、（本题共有7题，满分78分）19．（10分）（2015•金山区二模）化简：（﹣）÷+．20．（10分）（2015•金山区二模）解方程组．21．（10分）（2015•金山区二模）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发分别沿AP，BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．22．（10分）（2015•金山区二模）为了解本区初中学生的视力情况，教育局有关部门采用抽根据图表完成下列问题：（1）填完整表格及补充完整图一；（2）“类型D”在扇形图（图二）中所占的圆心角是度；（3）本次调查数据的中位数落在类型内；（4）视力在5.0以下（不含5.0）均为不良，那么全区视力不良的初中学生估计人．23．（12分）（2015•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：四边形FHCG是正方形；[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．24．（12分）（2015•金山区二模）已知抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y=kx+2与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．25．（14分）（2015•金山区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=（1）求BC的长；（2）点D、E分别是边AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM，交于点O，设MN=x，四边形ADOE的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM=1时，求MN的长．2015年上海市金山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，）1．（4分）（2015•金山区二模）下列各数中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【解答】解：A．正确；B.与不是同类二次根式，故错误；C.，故错误；D.=2，故错误；故选：A．【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．（4分）（2015•金山区二模）下列代数式中是二次二项式的是（）A．xy﹣1 B．C．x2+xy2D．【考点】多项式．【分析】只要次数为2，项数为2即可作出选择．【解答】解：A、xy﹣1是二次二项式，正确；B、是分式，不是整式，错误；C、x2+xy2是三次二项式，错误；D、是根式，不是整式，错误；故选A．【点评】考查了多项式，注意多项式中次数最高项的次数是这个多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项．3．（4分）（2015•金山区二模）若直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得新直线的解析式是（）A．y=x+3 B．y=x﹣3 C．y=x﹣1 D．y=﹣x+1【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y=x+1﹣2=x﹣1，即所得直线的表达式是y=x﹣1．故选C．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．4．（4分）（2015•金山区二模）一次数学单元测试中，初三（1）班第一小组的10个学生的成绩分别是：58分、72分、76分、82分、82分、89分、91分、91分、91分、98分，那么这次测试第一小组10个学生成绩的众数和平均数分别是（）A．82分、83分B．83分、89分C．91分、72分D．91分、83分【考点】众数；加权平均数．【分析】根据众数和平均数的概念求解．【解答】解：这组数据中91出现的次数最多，故众数为91分，平均数为：=83．故选D．【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数可能不唯一．5．（4分）（2015•金山区二模）如图，AB∥CD，∠D=13°，∠B=28°，那么∠E等于（）A．13°B．14°C．15°D．16°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠BCD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=28°，∴∠BCD=∠B=28°．∵∠BCD是△CDE的外角，∠D=13°，∴∠E=∠BCD﹣∠D=28°﹣13°=15°．故选C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．6．（4分）（2015•金山区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于（）A．2cm B．2cm C．2cm D．4cm【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求出BC的长即可．【解答】解：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．∵以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，∴CD=2cm，∵∠B=45°，∴CD=BD=2，∴BC===2（cm）．故选B．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2015•金山区二模）计算：|﹣|﹣= 0 ．【考点】二次根式的加减法．【分析】先进行绝对值的化简，然后合并．【解答】解：原式=﹣=0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握绝对值的化简以及二次根式的加法法则．8．（4分）（2015•金山区二模）已知函数f（x）=，那么f（3）= 1 ．【考点】函数值．【分析】把x的值代入函数关系式进行计算即可得解．【解答】解：f（3）==1．故答案为：1．【点评】本题考查了函数值求解，是基础题，准确计算是解题的关键．9．（4分）（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，=x（x2﹣1），=x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．10．（4分）（2015•金山区二模）已知不等式≥3，那么这个不等式的解集是x≥7 ．【考点】解一元一次不等式．【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：≥3，x﹣1≥6，x≥7．故答案为：x≥7．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的性质正确解一元一次不等式，难度适中．11．（4分）（2015•金山区二模）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，2），那么反比例函数的解析式是y=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，2），∴k=xy=1×2=2，∴反比例函数的解析式是y=．故答案为y=．【点评】此题比较简单，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．12．（4分）（2015•金山区二模）方程﹣=1的解是x=﹣2 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】已知方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程变形得：+=1，去分母得：1+2x=x﹣1，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是分式方程的解．故答案为：x=﹣2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．（4分）（1997•辽宁）方程的解为3 ．【考点】无理方程．【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．【解答】解：两边平方得：2x+3=x2∴x2﹣2x﹣3=0，解方程得：x1=3，x2=﹣1，检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解，当x2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2=﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．14．（4分）（2015•金山区二模）有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同）现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是．【考点】概率公式；轴对称图形．【分析】由有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），其中轴对称图案的是等边三角形、正方形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），其中轴对称图案的是等边三角形、正方形、圆，∴从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4分）（2015•金山区二模）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜且m≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=1﹣4m＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴1﹣4m＞0且m≠0，∴m＜且m≠0，故答案为：m＜且m≠0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．16．（4分）（2015•金山区二模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=BD，AE=2EC．设=，=，那么= ﹣（用、的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=BD ，AE=2EC ，求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=BD ，AE=2EC ，∴==，==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意三角形法则的应用． 17．（4分）（2015•金山区二模）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y=x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣4，1），（0，5） ． 【考点】相切两圆的性质；坐标与图形性质．【分析】如图，与⊙A 外切半径相等且连心线与直线y=x 平行的两个圆分别为⊙B ，⊙C ，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE 、BE 、AF 、CF 的长，进而得到两圆心的坐标．【解答】解：点A 的坐标为（﹣2，3过点A 的直线与y=x 平行并过点A ， ∴过点A 的直线与y=x 平行，∴过点A 的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，∴与⊙A 外切半径相等且连心线与直线y=x 平行的两个圆分别为⊙B ，⊙C如图，△AEB △AFC 都是等腰直角三角形，AB=AC=2，∴AE=BE=AF=CF=2， ∴B （﹣4，1），C （0，5）． 故答案为：（﹣4，1），C （0，5）【点评】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决问题的关键．18．（4分）（2015•金山区二模）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处．若AE=2AM，那么EN的长等于3．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AM=x，表示出EM=BM=6﹣x，AE=2x，再利用勾股定理列出方程求出x，然后求出BM，AE，过点N作NF⊥AD于F，求出△AME和△FEN，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：设AM=x，则EM=BM=6﹣x，AE=2AM=2x，在Rt△AME中，由勾股定理得，AM2+AE2=EM2，即x2+（2x）2=（6﹣x）2，整理得，x2﹣3x+9=0，解得x1=，x2=（舍去），所以，BM=6﹣=，AE=﹣3+3，过点N作NF⊥AD于F，易求△AME∽△FEN，所以，=，即=，解得EN=3．故答案为：3．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于利用勾股定理列方程求出AM的长度．三、（本题共有7题，满分78分）19．（10分）（2015•金山区二模）化简：（﹣）÷+．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后合并即可得到结果．【解答】解：原式=[﹣]•x+=•x+=﹣+==．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2015•金山区二模）解方程组．【考点】高次方程．【分析】用代入法即可解答，即把①化为x=y﹣1，把x=y﹣1代入②得关于y的一元二次方程，解方程求出y，把y代入x=y﹣1求出x即可．【解答】解：由①得，x=y﹣1③，把③代入②得：（y﹣1）2﹣4（y﹣1）×y+4y2=4，即y2+2y﹣3=0，解得：y1=1，y2=﹣3，把y1=1，y2=﹣3代入①得，x1=0，x2=﹣4，故原方程组的解为：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元一次方程变形，即用一个未知数表示另一个未知数，代入二元二次方程，得到一个一元二次方程，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中解方程即可．21．（10分）（2015•金山区二模）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发分别沿AP，BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据题意画出图形，求出PC的长，利用三角函数求出PE的长，再根据勾股定理求出DP的长，从而得到BD的长，进而求出船的速度．【解答】解：设一小时后甲船位于C处，乙船位于D处，∵AC=1×10=10海里，∴PC=50﹣10=40海里，∴PE=40×cos30°=40×=20海里，∴PD==20海里，∴BD=（60﹣20）海里，（60﹣20）÷1=（60﹣20）海里/小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．22．（10分）（2015•金山区二模）为了解本区初中学生的视力情况，教育局有关部门采用抽根据图表完成下列问题：（1）填完整表格及补充完整图一；（2）“类型D”在扇形图（图二）中所占的圆心角是162 度；（3）本次调查数据的中位数落在C 类型内；（4）视力在5.0以下（不含5.0）均为不良，那么全区视力不良的初中学生估计11000 人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数． 【分析】（1）根据C 类人数除以C 类所占的百分比，可得总人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据圆周角乘以D 类所占抽测人数的百分比，可得答案； （3）根据中位数的定义，可得答案；（4）根据有理数的加法，可得A 、B 、C 所占的百分比，根据总人数乘以A 、B 、C 所占百分比，可得答案．（2）162度（3）统计图（2）“类型D ”在扇形图（图二）中所占的圆心角是360°×=162°（3）本次调查数据的中位数落在C 类型内，（4）20000×（++）=11000人，故答案为：162，C ，11000．【点评】本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键．23．（12分）（2015•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：四边形FHCG是正方形；[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】证明题．【分析】（!）根据已知条件利用两边及夹角对应相等得到三角形全等．（2）由（1）证得△BCE≌△ACD，得到对应角相等，利用∠AFE=∠BCE=90°，推出∠BFG=90°，根据CG∥BF，证得∠CGF=∠AFE=90°，因为∠HCE=∠DCG，得到∠GCH=∠ACD=90°，推出四边形FHCG是矩形，通过三角形全等作出一组邻边相等，即可证得结果．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB=90°，∵AC=BC，CE=CD，在△BCE与△ACD中，，∴△BCE△ACD；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠DAC=∠EBC，∵∠AEF=∠CEB，∴∠AFE=∠BCE=90°，∴∠BFG=90°，∵CG∥BF，∴∠CGF=∠AFE=90°，∵∠HCE=∠DCG，∴∠GCH=∠ACD=90°，∴四边形FHCG是矩形，在△CDG与△CEH中，∴△CDG≌△CEH，∴CG=CH，∴四边形FHCG是正方形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，找准全等三角形是解题的关键．24．（12分）（2015•金山区二模）已知抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y=kx+2与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，列出a 和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；（2）设对称轴直线x=1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，先求出AB、PD、AP和BP的长，进而求出AH的长，即可求出sin∠APB的值；（3）△MNC与△AOC相似时，分①∠MNC=∠AOC=90°和②∠NMC=∠AOC=90°，利用相似三角形的性质以及全等三角形的知识求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣8，∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9，∴顶点P坐标为（1，﹣9）；（2）设对称轴直线x=1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，如图1，∵A（﹣2，0），B（4，0），P（1，﹣9），∴AB=6，PD=9，AP=BP=3，∵AB×PD=PB×AH，∴AH=，在Rt△APH中，∴sin∠APB==；（3）∵∠ACO=∠MCN，∴△MNC与△AOC相似时，①∠MNC=∠AOC=90°，∴，∵AO=2，OC=8，NC=10，∴MN=，直线直线AC的解析式是：y=﹣4x﹣8，设M点坐标为（a，﹣4a﹣8），∵MN=，∴a=﹣，∴M（﹣，2），②∠NMC=∠AOC=90°，设MN与x轴交于点E，∵，∴△ENO≌△AOC（AAS），∴OE=OC=8，∴E（﹣8，0），∵A（﹣2，0），C（0，﹣8）∴直线MN的解析式是：y=x+2，直线AC的解析式是：y=﹣4x﹣8，联立∴M（﹣，），综上M点的坐标为（﹣，2）或（﹣，）．【点评】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角形函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质以及相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类思想解决问题，此题有一定的难度．25．（14分）（2015•金山区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=（1）求BC的长；（2）点D、E分别是边AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM，交于点O，设MN=x，四边形ADOE的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM=1时，求MN的长．【考点】相似形综合题．【专题】综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于D，如图1，根据等腰三角形的性质得BH=CH，在Rt△ABH中利用正切的定义的tan∠B==，设AH=4a，BH=3a，由勾股定理得到AB=5a，则5a=10，解得a=2，所以BC=2BH=12；（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，利用三角形中位线性质得到DE∥MN，DE=BC=6，JK=AH=4，则△DOE∽△NOM，根据相似比得OJ=，然后利用三角形面积公式和y=S△ADE+S△DOE得y=（0＜x＜12）；②作EF⊥BC于F，如图2，由于EF=JK=4，CE=AC=5，则CF=3，MF=8，分类讨论：当OM=ON时，根据等腰三角形性质得MK=MN=x，证明△MOK∽△MEF，利用相似比得到OK=x，然后利用△DOE∽△NOM得到=，解得x=10；当OM=MN=x，利用相似比可证得DE=EO=6，接着在Rt△MEF中利用勾股定理计算出MF=4，则x+6=4，所以x=4﹣6；当MN=ON=x时，同理得DO=DE=6，则DN=6+x，作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，GN=BM+MN﹣BG=x﹣2，然后在Rt△DNG中利用勾股定理得到∴42+（x﹣2）2=（x+6）2，解得x=﹣1（舍去），于是得到MN的长为10或4﹣6．【解答】解：（1）作AH⊥BC于D，如图1，∵AB=AC=10∴BH=CH，在Rt△ABH中，tan∠B==，设AH=4a，BH=3a，∴AB==5a，∴5a=10，解得a=2，∴BC=2BH=12；（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥MN，DE=BC=6，JK=AH=4，∴△DOE∽△NOM，∴=，即=，∴OJ=，∴y=S△ADE+S△DOE=×6×4+×6×=（0＜x＜12）；②作EF⊥BC于F，如图2，∵EF=JK=4，CE=AC=5，∴CF==3，∴BF=9，而BM=1，∴MF=8，当OM=ON时，∵OK⊥MN，∴MK=MN=x，∵OK∥EF，∴△MOK∽△MEF，∴=，即=，解得OK=x，∴△DOE∽△NOM，∴=，即=，解得x=10，即MN=10；当OM=MN=x，∵DE∥BC，∴=，∴DE=EO=6，在Rt△MEF中，∵EF=4，MF=8，∴MF==4，而ME=OM+OE，∴x+6=4，解得x=4﹣6，即MN的长为4﹣6；当MN=ON=x时，同理得DO=DE=6，∴DN=6+x，作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，∴GN=BM+MN﹣BG=x+1﹣3=x﹣2，在Rt△DNG中，∵DG2+GN2=DN2，∴42+（x﹣2）2=（x+6）2，解得x=﹣1（舍去），综上所述，MN的长为10或4﹣6．【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；合理添加辅助线构造相似图形，然后利用相似的性质计算相应线段的长；同时会利用勾股定理和三角形中位线定理；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

上海中考数学一模2015年25题汇编(含答案)

上海中考数学一模2015年25题汇编(含答案)

K 満分H分*茎中第(1)小・4拳・0时・55分)(1)矩形AJ3CD 中.ZABCF90Sm = io.\ AF±(T.且点F恳线敕CE的申点kAAE = AC-10.Rl^CBE 中・taiWECB -豆亡=寺./K 口TJJ? - 2710.R T ACBE中,GF«CF• lanZBCB* 寸岂(2)■/ ZABC = ZC*BE = 90a, ^LAGH二Z仇沪.fJG HE AH HC中形ABCD 中*AD HC,(1分》(1分)(1分〉(1分〉(1廿)<1知(I炉2015年上海一模25题集锦1、(2015年一模黄浦25题)25.在矩形ABCD中，= BC = 6.对谢线AC.交于点O,点疋在AB延长线上，联结CE, AF丄CE t分别交线段CE、边BC、对角线*D于点F、G. H(点F不与点C\ E重合｝；(D当点F是线段CE的中点时.求GF的长;(2〉设BE = x, OH = y.求y关于兀的函数解析式，并写出它的定义域;（3） f flH=BG时山丹=人0昇・5+了 = 6*即;二丫 "斛縛工二3.2' gGH=HG 时MD=AH・过点A作从f丄DH・垂足为H.5 * yRtACBE中^cosZADK = 2•二—j— =3 6 5将"粧晋代入⑴解密忑=£3* ^GH = BHBt.DH-AH- A点H ftAD ®fi平分线上. 此时点F与点C 3tf二書（舍）嫌上所迷BE的K<3或#.2、（2015年一模徐汇25题）.如图，梯形ABCD中，AD // BC ,对角线AC _ BC , AD =9 ,AC =12, BC =16，点E是边BC上的一个动点，-EAF - BAC , AF交CD于点F ,交BC 延长线于点G，设BE = x ；（1）试用x的代数式表示FC ；(2)设FGEF-y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;BE的长;［来源学科网］25 (1分) （2分）（1分）BGE3^\DFco\GAl ：7当A是等農三角形若，&\DF 也为等腰三角形动点（D 和A 、B所以，BE = 7二不重合），过 D 作DE // BC 交AC 于E ，并以DE 为边向BC 一侧作正方形 DEFG ，设AD = x3（ 2015年一模宝山26题）.如图在△ ABC 中，AB=BC=10，AC =牛、5，D 为边AB 上一(3) = = t ZG = Zl AD当AF = DF 时，点F 为CD 中点3 Cl = DI0 <16林理得、V100作AH £ DF 于"，易得DH m"丸 EEAiUM'：.^CAr = ^tiAE* AB UL … 20 A-■ ■—r J » 1■AC - r e 12 ~ rcf C- -A5由弘I HEs 川Ci'得,搜1 £卜'5山报：,^Ai'E二90AF AC 123LI ~ H< ~16~ 斗3 15 25 CF -A =—、 -V -——5 22 当 Al ）二w 时， CF =3/. Cl = —A = 6 ? A 5=10(1) 请用X的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值;(2) 设正方形DEFG与厶ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；(3) 点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由;4、( 2015年一模崇明25题)(本题满分14分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4 分)已知在ABC中，AB =AC =5，BC =6，O为边AB上一动点(不与A、B重合)，以0为圆心0B为半径的圆交BC于点D,设OB =x，DC =y .(1)如图1,求y关于x的函数关系式及定义域；(2)当O 0与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2,若O O与边AC交于点E （有两个交点时取靠近当DEC与ABC相似时，求x的值.25, Hfd）如图1联站「AB 亚片GGB H QD代= XODB:.or>//A.c* BO_Bp.王-些'' 5 ' 6「* BD- gjr-"I■工+ 6((KX5)(2)如團氛肖与线段A匚有且只育一亍交点时①®0与播2梱切时作OH_LAC.HK丄AGAM丄BC垂圧井劃为H^K y M,JS^OH#BK.AM=4— -BC・AM-A「FK' - —1g-_'r.BK■習3也-0H…丽-賦C的交点），联结DE ,C（备用图ir C1分1分B（备用图•(图£}（2> A ftGO 内，〔不SQO 内时内：.OB>OA”"”*>■5 一 x•">4•rc 不在£50内 /-OB<AB1分,\y<X<5炀匕当工二器或号VY5时◎。

2015年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)教程

2015年上海市金山区中考数学一模试卷及答案解析(pdf版)教程

8． （4 分） （2015•金山区一模）计算：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣
）= 7 ﹣ 3
．
考点： *平面向量． 分析： 直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时符号的变化． 解答： 解：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）=4 ﹣2 +3 ﹣ =7 ﹣3 ．
菁优网 版 所 权 有
故答案为：7 ﹣3 ． 点评： 此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题 的关键． 9． （4 分） （2015•金山区一模）将抛物线 y=2（x﹣1）2 +1 向上平移 3 个单位，那么平移后 得到的抛物线的解析式是 y=2（x﹣1）2 +4 ． 考点： 二次函数图象与几何变换． 线的解析式．
23． （12 分） （2015•金山区一模）已知⊙O 与⊙O1 相离，OC 与 O1 D 分别是⊙O 与⊙O1 的 半径，OC∥O1 D，直线 CD 交 OO1 于点 P，交⊙O 于点 A，交⊙O1 于点 B． 求证： （1）OA∥O1 B； （2） = ．
24． （12 分） （2015•金山区一模）如图，已知直线 y=2x+6 与 x 轴、y 轴分别交于 A、D 两 点，抛物线 y=ax2 +bx+2（a≠0）经过点 A 和点 B（1，0） ．
A．
B．
C．
D．
考点： 锐角三角函数的定义．
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分析： 利用正弦函数的定义即可直接求解． 解答： 解：sinA= = ． 故选 C． 点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3． （4 分） （2015•金山区一模）已知△ ABC∽△DEF ，点 A、B、C 对应点分别是 D、E、F， AB：DE=9：4，那么 S△ ABC：S△ DEF 等于（ ） A． 3：2 B． 9：4 C． 16：81 考点： 相似三角形的性质． D．81：16

2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷及答案解析

2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷及答案解析
2015 年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．（4 分）（2015•青浦区一模）下列各式中与（﹣a2）3 相等的是（ ）
A． a5
B． a6
C． ﹣a5
D．﹣a6
2．（4 分）（2015•青浦区一模）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．
边的关系中，正确的是（ ）
A． 两条直角边成正比例
B． 两条直角边成反比例
C． 一条直角边与斜边成正比例
D．一条直角边与斜边成反比例
5．（4 分）（2015•青浦区一模）在四边形 ABCD 中，AB=AD，AC 平分∠DAB，AC 与 BD
相交于点 O，要使四边形 ABCD 是菱形，那么还需满足下列条件中的（ ）
解答：解：A、∵△ABD 和△ ACD 同底、同高，则 S△ ABD=S△ ACD， ∴S1=S3，故命题正确； B、∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， 又∵BC=2AD，
∴
=（ ）2= ，
则 S2=2S4 正确．故命题错误； C、作 MN⊥BC 于点 N，交 AD 于点 M． ∵△AOD∽△COB， 又∵BC=2AD，
18．（4 分）（2015•青浦区一模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这 个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的 T﹣变换，这个顶点称为 T﹣变换中 心，旋转角称为 T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为 T﹣变换比；已知△ ABC 在直角坐标平面内，点 A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将△ ABC 进行 T﹣变换，
∴ = = ，即 = ，
∴
=，
则设 S△ OBC=2x，则 S△ ABC=3x，则 S△ AOB=x， 即 S2=2S1，故命题正确； D、设 AD=y，则 BC=2y，设 OM=z，则 ON=2z，

2012-2013学年上海市金山区中考一模数学试卷及参考答案

2012-2013学年上海市金山区中考一模数学试卷及参考答案

2012-2013学年上海市金山区中考一模数学试卷及答案一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把抛物线()2211y x =--+向左平移一个单位，所得到的抛物线解析式为（ ） A ．()2221y x =--+ B ．221y x =-+C ．()2212y x =--+D ．()221y x =--2．比例尺为1:500000的地图上，A 、B 两点的距离为30厘米，那么A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．5000米B ．50千米C ．150千米D ．15千米3．在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么A ∠的正弦值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．454、如图，已知在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，//GE（ ）A ．43B ．2C ．83D ．1635．在下列正多边形中，中心角的度数等于它的一个内角的度数的是（ ） A ．正三边形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形6．已知O 的半径等于5，点A 、B 到圆心的距离分别是6、5，那么直线AB 与O 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交二．填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7．计算：53(2)a a b --=__________________．8．抛物线()2213y x =---的顶点坐标是___________________．9．已知抛物线23y x bx =++经过点()1,2那么抛物线的解析式是_____________________． 10．已知函数()2113a y a x x +=-+是二次函数，那么a ＝__________．11．已知32x y y +=，那么32x yx y-=+_____________． 12．如图，已知//DE BC ，9ADE S =，3AD =，2BD =，那么ABC S =13．在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ∠C ，3sin 5A =，那么tan B =________．14．如图，点P 是直线32y x =在第一象限上一点，那么cot POx ∠=15．已知A 与B 外切，A 的半径为5cm ，圆心距AB 为7cm ，那么B 的半径为____cm ．16．如图，已知AC BC ⊥，斜坡AB 的坡比为30BC =米，那么AC 的高度为_____米．17．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BC 至E ，联结AE 交CD 于F ，2AD =，4AB =，3BE =，那么DF ＝_________．18．已知在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，将边AB 绕着点A 旋转至'AB 位置，且'AB 与AC 边之间的夹角为30︒，那么线段'BB 的长等于_______．三．解答题（本大题共7小题，满分78分）19．计算：22cos 30sin 45cos45tan60sin 30tan 45cot30cot 60︒︒⋅︒︒--︒︒-︒︒2（1）根据表格所提供的数据，请你写出顶点坐标___________，对称轴__________． （2）求出二次函数解析式．第16题第14题21．如图，为了测量一颗被风吹斜了的大树的高度，某人从大树底部B 处往前走20米到C 处，用测角器测得树顶A 的仰角为30°，已知测角器的高CD 为1米，大树与地面成45°的夹角（平面ABCD 垂直于地面），求大树的高（保留根号）22．如图，CD 是半圆O 的一条弦，//CD AB ，延长OA 、OB 至F 、E ，使12AF BE ==，联结FC 、ED ，2CD =，6AB =． （1）求F ∠的正切值；（2）联结DF ，与半径OC 交于H ，求△FHO 的面积．23．如图，已知1O 与2O 相交于点E 、F ，点P是两圆连心线上的一点，分别联结PE 、PF 交2O 于A 、C 两点，并延长交1O 与B、D 两点． 求证：PA PC =．第22题24．如图，已知C 的圆心在x 轴上，且经过()1,0A 、()3,0B -两点，抛物线2y mx bx c =++（0m >）经过A 、B 两点，顶点为P ．（1）求抛物线与y 轴的交点D 的坐标（用m 的代数式表示）； （2）当m 为何值时，直线PD 与圆C 相切？（2）联结PB 、PD 、BD ，当1m =时，求BPD ∠的正切值．25．如图，已知90ABM ∠=︒，AB AC =，过点A 作AG BC ⊥，垂足为G ，延长AG 交BM 于D ，过点A 做//AN BM ，过点C 作//EF AD ，与射线AN 、BM 分别相交于点F 、E ． （1）求证：△BCE ∽△AGC（2）点P 是射线AD 上的一个动点，设AP x =，四边形ACEP 的面积是y ，若5AF =，253AD =． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当点P 在射线AD 上运动时，是否存在这样的点P ，使得△CPE 的周长为最小？若存 在，求出此时y 的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 BCCCBD 二、填空题7、2+6a b 8、(1,3)- 9、223y x x =-+ 10、1- 11、1- 12、2513、43 14、2315、2 16、 17、83 18、4或19 2011(,)24-，对称轴为直线12x =；（2）2y x x =-2122、（1）tan F ∠=；（2）S =23、略24、（1）(0,3)m -；（2）m =时直线与圆相切 ；（3）tan 3BPD ∠= 25、（2）122y x =+ （x ＞0）；（3）当点P 运动到点D 时，B 、P 、E 三点共线时，周长最小为863。

上海中考数学一模2015年25题汇编(含答案)

上海中考数学一模2015年25题汇编(含答案)

K 満分H分*茎中第(1)小・4拳・0时・55分)(1)矩形AJ3CD 中.ZABCF90Sm = io.\ AF±(T.且点F恳线敕CE的申点kAAE = AC-10.Rl^CBE 中・taiWECB -豆亡=寺./K 口TJJ? - 2710.R T ACBE中,GF«CF• lanZBCB* 寸岂(2)■/ ZABC = ZC*BE = 90a, ^LAGH二Z仇沪.fJG HE AH HC中形ABCD 中*AD HC,(1分》(1分)(1分〉(1分〉(1廿)<1知(I炉2015年上海一模25题集锦1、(2015年一模黄浦25题)25.在矩形ABCD中，= BC = 6.对谢线AC.交于点O,点疋在AB延长线上，联结CE, AF丄CE t分别交线段CE、边BC、对角线*D于点F、G. H(点F不与点C\ E重合｝；(D当点F是线段CE的中点时.求GF的长;(2〉设BE = x, OH = y.求y关于兀的函数解析式，并写出它的定义域;（3） f flH=BG时山丹=人0昇・5+了 = 6*即;二丫 "斛縛工二3.2' gGH=HG 时MD=AH・过点A作从f丄DH・垂足为H.5 * yRtACBE中^cosZADK = 2•二—j— =3 6 5将"粧晋代入⑴解密忑=£3* ^GH = BHBt.DH-AH- A点H ftAD ®fi平分线上. 此时点F与点C 3tf二書（舍）嫌上所迷BE的K<3或#.2、（2015年一模徐汇25题）.如图，梯形ABCD中，AD // BC ,对角线AC _ BC , AD =9 ,AC =12, BC =16，点E是边BC上的一个动点，-EAF - BAC , AF交CD于点F ,交BC 延长线于点G，设BE = x ；（1）试用x的代数式表示FC ；(2)设FGEF-y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;BE的长;［来源学科网］25 (1分) （2分）（1分）BGE3^\DFco\GAl ：7当A是等農三角形若，&\DF 也为等腰三角形动点（D 和A 、B所以，BE = 7二不重合），过 D 作DE // BC 交AC 于E ，并以DE 为边向BC 一侧作正方形 DEFG ，设AD = x3（ 2015年一模宝山26题）.如图在△ ABC 中，AB=BC=10，AC =牛、5，D 为边AB 上一(3) = = t ZG = Zl AD当AF = DF 时，点F 为CD 中点3 Cl = DI0 <16林理得、V100作AH £ DF 于"，易得DH m"丸 EEAiUM'：.^CAr = ^tiAE* AB UL … 20 A-■ ■—r J » 1■AC - r e 12 ~ rcf C- -A5由弘I HEs 川Ci'得,搜1 £卜'5山报：,^Ai'E二90AF AC 123LI ~ H< ~16~ 斗3 15 25 CF -A =—、 -V -——5 22 当 Al ）二w 时， CF =3/. Cl = —A = 6 ? A 5=10(1) 请用X的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值;(2) 设正方形DEFG与厶ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；(3) 点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由;4、( 2015年一模崇明25题)(本题满分14分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4 分)已知在ABC中，AB =AC =5，BC =6，O为边AB上一动点(不与A、B重合)，以0为圆心0B为半径的圆交BC于点D,设OB =x，DC =y .(1)如图1,求y关于x的函数关系式及定义域；(2)当O 0与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2,若O O与边AC交于点E （有两个交点时取靠近当DEC与ABC相似时，求x的值.25, Hfd）如图1联站「AB 亚片GGB H QD代= XODB:.or>//A.c* BO_Bp.王-些'' 5 ' 6「* BD- gjr-"I■工+ 6((KX5)(2)如團氛肖与线段A匚有且只育一亍交点时①®0与播2梱切时作OH_LAC.HK丄AGAM丄BC垂圧井劃为H^K y M,JS^OH#BK.AM=4— -BC・AM-A「FK' - —1g-_'r.BK■習3也-0H…丽-賦C的交点），联结DE ,C（备用图ir C1分1分B（备用图•(图£}（2> A ftGO 内，〔不SQO 内时内：.OB>OA”"”*>■5 一 x•">4•rc 不在£50内 /-OB<AB1分,\y<X<5炀匕当工二器或号VY5时◎。

2015年上海市金山区高考数学一模试卷含详解

2015年上海市金山区高考数学一模试卷含详解

2015年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=．2．（4分）计算：=．3．（4分）不等式的解集是．4．（4分）如果复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，则z的共轭复数=．5．（4分）方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是．6．（4分）等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，则数列{a n}的通项公式a n=（n ∈N*）．7．（4分）当a＞0，b＞0且a+b=2时，行列式的值的最大值是．8．（4分）若（x+）12的二项展开式中的常数项为m，则m=．9．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=（克）（用数字作答）．10．（4分）三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC 体积的最大值是．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=．12．（4分）已知点A（﹣3，﹣2）和圆C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x﹣1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C 上一点P，则折线ABP的最短长度是．13．（4分）如图所示，在长方体ABCD﹣EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是．14．（4分）已知点P（x0，y0）在椭圆C：（a＞b＞0）上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q（u，v）是椭圆L外一点（其中u，v为定值），经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＞0C．﹣l＜a＜1D．a＜﹣1或a＞1 16．（5分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个17．（5分）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（）A．3B．C．D．18．（5分）若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是（）A．27B．26C．9D．8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），且∥．已知a=，△ABC 面积为，求b、c的大小．20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（14分）已知a＞0且a≠1，数列{a n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b n}满足b n=a n•lga n（n∈N*）．（1）若a=3，求数列{b n}的前n项和S n；（2）若对于n∈N*，总有b n＜b n+1，求a的取值范围．22．（16分）动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a ﹣1，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；（3）设P1，P2为曲线C的任意两点，满足OP1⊥OP2（O为原点），试问直线P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．23．（18分）设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（2）=3，且g（x）=2x+2﹣x﹣2mf（x）在[2，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2015年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N= [0，5] ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】分别求出M与N中y的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=﹣x2+5≤5，得到M=（﹣∞，5]，由N中y=，x≥﹣2，得到y≥0，即N=[0，+∞），则M∩N=[0，5]，故答案为：[0，5]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）计算：=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接利用数列极限的运算法则，分子分母同除3n，然后求解极限即可．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算法则，基本知识的考查．3．（4分）不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题．【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．4．（4分）如果复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，则z的共轭复数=1﹣i．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用分母实数化化简复数z，由条件求出b的值，代入求出复数z和．【解答】解：由题意知，z===，因为复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，所以2+b=2﹣b，解得b=0，则z=1+i，所以=1﹣i，故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数的基本概念，化简复数的方法：分母实数化，以及共轭复数，属于基础题．5．（4分）方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是或0．【考点】&5：三角方程．【专题】56：三角函数的求值．【分析】sinx+cosx=1，可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，sinxcosx=0，可得sinx=0或cosx=0，利用x∈[0，π]，即可得出．【解答】解：∵sinx+cosx=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，∴sinxcosx=0，∴sinx=0或cosx=0，∵x∈[0，π]，∴或0．故答案为：或0．【点评】本题考查了同角三角函数的关系式、正弦函数与余弦函数的单调性，属于基础题．6．（4分）等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，则数列{a n}的通项公式a n=3n+2（n∈N*）．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，∴，解得a1=5，d=3，∴a n=5+（n﹣1）×3=3n+2．故答案为：3n+2．【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（4分）当a＞0，b＞0且a+b=2时，行列式的值的最大值是0．【考点】7F：基本不等式及其应用；OM：二阶行列式的定义．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】利用行列的性质和均值定理求解．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2时，∴行列式=ab﹣1≤﹣1=1﹣1=0．当且仅当a=b=1时，取“=”，∴行列式的值的最大值为0．故答案为：0．【点评】本题考查行列式的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式性质和均值定理的合理运用．8．（4分）若（x+）12的二项展开式中的常数项为m，则m=7920．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．【解答】解：（x+）12的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣r•=2r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4；∴常数项m=24•=16×=7920．故答案为：7920．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．9．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．【考点】BC：极差、方差与标准差．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意，利用平均数、方差、标准差的公式直接计算即可．【解答】解：由题意得：样本平均数x=（125+124+121+123+127）=124，样本方差s2=（12+02+32+12+32）=4，∴s=2．故答案为2．【点评】本题考查用样本的平均数、方差、标准差来估计总体的平均数、方差、标准差，属基础题，熟记样本的平均数、方差、标准差公式是解答好本题的关键．10．（4分）三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC 体积的最大值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（4分）从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=7．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】，先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件有（k﹣1）（10﹣k），根据古典概率公式即可得到关于k 的方程解得即可【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数的基本事件有=45种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k﹣1）个．比k的大的数有（10﹣k）个，故有=（k﹣1）（10﹣k），所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是P==，解得k=7故答案为：7【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件，属于基础题12．（4分）已知点A（﹣3，﹣2）和圆C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x﹣1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C 上一点P，则折线ABP的最短长度是10．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】求出A点关于直线l：y=x﹣1的对称点D，连接D与圆C的圆心，交圆C于P，则折线ABP的最短长度等于|DC|﹣3．【解答】解：如图：设A（﹣3，﹣2）关于直线l：y=x﹣1的对称点为D（x0，y0），由，解得D（﹣1，﹣4），由圆的方程可知圆心为C（4，8），半径为3．连接DC交圆C于P，则|DC|=．∴折线ABP的最短长度是13﹣3=10．故答案为：10．【点评】本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13．（4分）如图所示，在长方体ABCD﹣EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，利用向量法能求出点M到平面EFGH 的距离．【解答】解：以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，则G（1，2，0），F（1，0，0），H（0，2，0），=（﹣1，b﹣2，c），=（0，﹣2，0），=（﹣1，0，0），cos＜＞=，cos＜＞=，∵∠MGF=∠MGH，∴=，解得b=1．∴=（﹣1，﹣1，c），又平面EFG的法向量=（0，0，1），MG和平面EFG所成角的正切值为，∴|cos＜＞|==，由0≤c≤1，解得c=，∴=（﹣1，﹣2，），∴点M到平面EFGH的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14．（4分）已知点P（x0，y0）在椭圆C：（a＞b＞0）上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q（u，v）是椭圆L外一点（其中u，v为定值），经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设切点A（x1，y1），B（x2，y2），由切线的性质分别写出切线方程，再将点Q代入，由两点确定一条直线，即可得到直线AB的方程．【解答】解：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则由切线的性质可得，切线方程分别为=1，=1，由于椭圆的两条切线都经过点Q（u，v），则有=1，=1，由于过A，B有且只有一条直线，则直线AB的方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查椭圆的切线的性质，考查切点弦方程的求法，考查运算能力，属于基础题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＞0C．﹣l＜a＜1D．a＜﹣1或a＞1【考点】A8：复数的模．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，∴，化为a2＜1，解得a∈（﹣1，1）．故选：C．【点评】本题考查了复数的模的计算公式，属于基础题．16．（5分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】偶数即个位数字只能是2或4【解答】解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选：B．【点评】分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．17．（5分）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（）A．3B．C．D．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，利用四边形OAPB的面积=AB×OP，求得P（3，3）从而求得k值．【解答】解：根据题意画出图形，如图．由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，∴AB⊥OP∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×OP=3，∴OP=3．∴P（3，3）代入f（x）=k（x﹣1）得：k=故选：B．【点评】本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．18．（5分）若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是（）A．27B．26C．9D．8【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；23：新定义．【分析】根据拆分的定义，对A1分以下几种情况讨论：A1=∅，A1={a1}，A1={a1，a2}，A1={a1，a2，a3}．【解答】解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：①若A1=∅，必有A2={a1，a2，a3}，共1种拆分；②若A1={a1}，则A2={a2，a3}或{a1，a2，a3}，共2种拆分；同理A1={a2}，{a3}时，各有2种拆分；③若A1={a1，a2}，则A2={a3}、{a1，a3}、{a2，a3}或{a1，a2，a3}，共4种拆分；同理A1={a1，a3}、{a2，a3}时，各有4种拆分；④若A1={a1，a2，a3}，则A2=∅、{a1}、{a2}、{a3}、{a1，a2}、{a1，a3}、{a2，a3}，{a1，a2，a3}．共8种拆分；∴共有1+2×3+4×3+8=27种不同的拆分．故选：A．【点评】本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），且∥．已知a=，△ABC 面积为，求b、c的大小．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HP：正弦定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由∥，根据共线向量基本定理即可求得sinA=，所以A=60°，根据△ABC的面积即可求得bc=6①，而由余弦定理便可得到b2+c2=13，联立①式即可求出b，c．【解答】解：，，又∥；∴（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（cosA+sinA）（sinA﹣cosA）=0，即：4sin2A﹣3=0；又∠A为锐角，则，所以∠A=60°；因为△ABC面积为，所以bcsinA=，即bc=6 ①；又a=；∴7=b2+c2﹣2bccosA，b2+c2=13 ②；①②联立解得：或．【点评】考查共线向量基本定理，三角形的面积公式，以及余弦定理．20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题．【分析】（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．【解答】解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……（2分）延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD 与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．（5分）在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…（8分）所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（9分）（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…（6分）【点评】本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．21．（14分）已知a＞0且a≠1，数列{a n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b n}满足b n=a n•lga n（n∈N*）．（1）若a=3，求数列{b n}的前n项和S n；（2）若对于n∈N*，总有b n＜b n+1，求a的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】（1）由已知有a n=3n，b n=a n•lga n=n•3n•lg3，由此可得S n=[3+2•32+3•3n+…+n•3n]lg3，用错位相减法求出它的值．（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以，或，而，且，由此解得a的取值范围．【解答】解：（1）由已知有a n=3n，b n=a n•lga n=n•3n•lg3．∴S n=[3+2•32+3•3n+…+n•3n]lg3，∴3S n=[32+2•33+…+（n﹣1）3n+n•3n+1]lg3，∴﹣2S n=[3+32+33+…+3n﹣n•3n+1]lg3=[﹣n•3n+1]lg3，∴S n=•[3+（2n﹣1）•3n+1]．（2）b n＜b n+1，即na n lga＜（n+1）a n+1lga．由a＞0且a≠1，可得nlga＜（n+1）alga．所以，或．即或对任意n∈N*成立，而，且，解得或a＞1，即a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．22．（16分）动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a ﹣1，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；（3）设P1，P2为曲线C的任意两点，满足OP1⊥OP2（O为原点），试问直线P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=﹣1，由此能求出曲线C的方程．（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|=，由此能求出a的值以及取到最小值时点T的坐标．（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，联立，解得P1（，），同理P2（4k，4k2），由此能证明直线P1P2恒过点（0，4）．【解答】解：（1）∵动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，∴根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=﹣1，所以曲线C的方程为x2=4y．…（4分）（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|==，a﹣2＞0，则当y0=a﹣2时，|AT|取得最小值为2，2=a﹣1，a2﹣6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），所以y0=a﹣2=3，x0=±2，所以T坐标为（±2，3）；…（10分）（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，联立，解得P1（，），同理P2（4k，4k2），直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：整理得：k（y﹣4）+（k2﹣1）x=0，所以直线P1P2恒过点（0，4）…（16分）【点评】本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值以及取到最小值时点的坐标的求法，考查直线是否恒过一个定点的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．23．（18分）设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（2）=3，且g（x）=2x+2﹣x﹣2mf（x）在[2，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）运用f（0）=0求解．（2）根据单调性得出不等式x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，（3）化简得出g（x）=2x+2﹣x﹣4m（﹣）=（﹣）2﹣4m（﹣）+2．换元转化：令t=﹣，h（t）=t2﹣4mt+2=（t﹣2m）2+2﹣4m2（t≥）分类讨论求解即可．【解答】解（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，所以2k+（k﹣3）=0，即k=1，检验知，符合条件（2）f（x）=2（a x﹣a ﹣x）（a＞0且a≠1）因为f（2）＜0，＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1因为y=a x单调递减，y=a ﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2﹣x）＜f（﹣tx﹣4）所以x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．（3）因为f（2）=3，所以2（）=3，即2a4﹣3a2﹣2=0，所以a=，所以g（x）=2x+2﹣x﹣4m（﹣）=（﹣）2﹣4m（﹣）+2．令t=﹣，由（1）可知t=﹣为增函数，因为x≥2，所以t≥，令h（t）=t2﹣4mt+2=（t﹣2m）2+2﹣4m2（t≥）若m≥，当t=2m时，h（t）min=2﹣4m2=﹣2，∴m=1若m＜，当t=时，h（t）min=﹣6m=﹣2，解得m=＞，舍去综上可知m=1．【点评】本题考查了函数的性质，运用求解数值，判断单调性求解字母的范围，属于中档题，综合性较大．。

2015年上海市松江、青浦、静安区中考数学一模试卷

2015年上海市松江、青浦、静安区中考数学一模试卷

2015年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题满分4&#215;6=24分）1．（4分）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【解答】C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2B．y=（x﹣3）2C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2【考点】M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），再利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．故选A．【解答】A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（4分）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米【考点】M443 求二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】容易题【分析】直接利用配方法求出二次函数最值，即：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．【解答】D．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2 B．4 C．D．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】根据平行线分线段成比例得到=，即=，可计算出BC=，则CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．【解答】C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．属于中考高频考点，考生要注意！5．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）A．2m•sinαB．2m•cosαC．2m•tanαD．2m•cotα【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】中等题【分析】过点A作AD⊥BC于点D，构建直角△ABD，通过解该直角三角形得到BD=m•cosα．然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求BC=2BD=2m•cosα．故选：B．【解答】B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确区分正弦余弦三角函数是解决问题的关键．6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4【考点】M33O 三角形面积M33M 相似三角形性质、判定M345 梯形的概念【难度】较难题【分析】证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S△ABD=S△ACD，∴S1=S3，故命题正确；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴=（）2=，则S2=2S4正确．故命题错误；C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．∵△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴==，即=，∴=，则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，即S2=2S1，故命题正确；D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，则S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，S△ABC=BC•MN=×2y•3z=3yz，则S1=S3=3yz﹣2yz=yz，则S1•S3=y2z2，S2•S4=y2z2，故S1•S3=S2•S4正确．故选B．【解答】B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，高线的比等于相似比，正确表示出S1、S2、S3、S4，是解决本题的关键．二.填空题（本大题满分4&#215;12=48分）7．（4分）已知=，那么=．【考点】M33H 比例的性质M215 分式的基本性质【难度】容易题【分析】由比例的性质，得x=．当x=时，===，故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质用y表示x是解题关键．8．（4分）计算：=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】先去括号，然后直接进行向量的加减运算即：原式=﹣+﹣=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【解答】﹣﹣．【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的运算是关键．9．（4分）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=4×9，x=±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．【解答】6．【点评】本题要求理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．10．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为．【考点】M416 函数图像的交点问题M417 不同位置的点的坐标的特征M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】根据y轴上点的坐标特征得到二次函数y=﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点的横坐标为0，则当x=0时，y=﹣2x2﹣5x+3=3，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为（0，3）．【解答】（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，∴cosA==，则AC=AB=×6=4，故答案为：4．【解答】4．【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．即：====．故答案为．【解答】．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．（4分）如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．【考点】M236 解一元一次不等式（组）M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口向下，从而确定a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．【解答】a＜﹣3．【点评】考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于．【考点】M33O 三角形面积M33H 比例的性质M33L 三角形重心、内心、外心【难度】中等题【分析】首先根据题意画出图形，由三角形重心的性质得出AG：GD=2：1，则S△AGC=2S△CGD，S△AGC=S△ACD，又D为BC中点，则S△ACD=S△ABC，S△AGC=×S△ABC=S△ABC=×27=9（cm2）．故答案为：9cm2．【解答】9cm2．【点评】此题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据题意得出S△AGC=S△ABC是解题的关键．15．（4分）如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=米．（可以用根号表示）【考点】M124 实数大小比较M241 一元二次方程的概念、解法M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设AC为x，则BC为5x，利用勾股定理可得x2+（5x）2=262，又x＞0，则x=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．16．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是．【考点】M417 不同位置的点的坐标的特征M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】先确定点（1，3）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），然后根据抛物线的对称性求解得这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．【解答】（﹣3，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M362 特殊角的锐角三角函数值M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．具体为：设OH=x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO=2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO=3xm，则AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案为：．【解答】．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为．【考点】M33D 直角三角形的性质和判定M372 图形的旋转与旋转对称图形【难度】较难题【分析】根据题意判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC=30°，根据T﹣变换角为60°，得到经过T﹣变换后点C所对应的点C′在x轴上，又T﹣变换比为，AC=3，则AC′=2，OC′=，∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．【解答】（﹣，0）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化，理解新定义和旋转的概念是解题的关键，注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用．三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．【考点】M33O 三角形面积M414 用待定系数法求函数关系式M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式【难度】容易题【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5， (3)所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6； (5)（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；∴A（2，0），B（3，0），C（0，6）， (8)∴S△ABC=×1×6=3． (10)【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．20．（10分）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果点E在中线AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）由AD是边BC上的中线，=，可求得，然后由三角形法则，求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．【解答】解：（1）∵AD是边BC上的中线，=，∴==， (3)∴=﹣=﹣； (5)（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB， (7)则、分别是在，方向上的分向量． (10)【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．21．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【考点】M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】过点B作BF⊥DE于点F，可得四边形ABFE为矩形，先在△BCF中求出CF的长度，然后在△BDF中求出DF的长度，最后DF﹣CF可求得CD的长度．【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F， (1)则四边形ABFE为矩形，在△BCF中，∵∠CBF=40°，∠CFB=90°，BF=AE=24m，∴=tan40°， (3)∴CF=0.84×24≈20.16（m）， (5)在△BDF中，∵∠DBF=45°，∴DF=24m， (7)则CD=DF﹣CF=24﹣20.16=3.84≈3.8（m）． (9)故旗杆CD的长为3.8m． (10)【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．22．（10分）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：可表示为=sin30°=cos60°=tan45°•sin30°=…；仿照上述材料，完成下列问题：（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空：=== =…；（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】（1）根据30°、45°、60°这三个特殊角的三角比进行填空；（2）因为该等式的要求是：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，所以首先考虑到tan45°=cot45°=1．【解答】解：（1）∵sin60°=cos30°=，tan45°=1，∴=sin60°=cos30°=tan45°•sin60°=…；故答案是：=sin60°；cos30°；tan45°•sin60°； (5)（2）∵=sin30°=cos60°，tan45°=cot45°=1．∴该等式可以是1=（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°．故答案是：（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°（答案不唯一）． (10)【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：=；（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．【考点】M323 平行线的判定、性质M33M 相似三角形性质、判定【难度】中等题【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；此问简单（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得=，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则==，即可证得=，则所证结论即可得到．此问中等【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴=，=， (2)又∵DE=EF，∴=，∴=； (5)（2）∵CF2=FG•FB，∴=， (6)又∵∠CFG=∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴=，∠FCE=∠CBF， (8)又∵DF∥BC，∴∠EFG=∠CBF，∴∠FCE=∠EFG， (10)又∵∠FEG=∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴==，∴=，即CG•CE=BC•DE． (12)【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．【考点】M233 二元一次方程（组）的概念、解法M252 特殊的高次方程（二项方程、双二次方程）M324 角平分线及其性质M33F 全等三角形概念、判定、性质M413 结合图像对函数关系进行分析M414 用待定系数法求函数关系式M41A 函数图像的几何变换M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 求二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】中等题【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；此问简单（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；此问简单（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．此问中等【解答】解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得， (1)解得． (3)二次函数的解析式y=x2﹣4x； (4)（2）y=x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4）， (5)这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）； (7)（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，如图：作MG⊥PC于G，设G（a，a+m）．由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG． (9)在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG=DC=4，MG=DM=2， (10)，化简，得8m=36，解得m=． (12)【点评】本题属于二次函数综合题，属于中考常考题型；注意：（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．均属于中考常考知识点，考生要注意掌握25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【考点】M124 实数大小比较M232 一元一次方程的概念、解法M241 一元二次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M339 等腰三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M711 数学综合与实践【难度】较难题【分析】（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；此问简单（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；此问中等（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．此问较难【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∵∠ABE=∠CBP，∴∠ABM=∠APB． (2)又∵∠A=∠A，∴△ABM∽△APB，∴=，∴=，∴y=x﹣． (4)∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5； (5)（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，∴MP=3，AM=1，∴BM==，BP==2． (6)∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，∴MH==，∴BH==，∴tan∠EBP==； (8)（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，∴∠AMB=∠DPC． (9)在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DPC， (10)∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5，解得：x1=1，x2=4．∵2＜x≤5，∴AP=x=4； (11)②若CE=CB，则∠EBC=∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，∴PC=EC﹣EP=5﹣y， (12)∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，整理得：3x2﹣10x﹣4=0，解得：x3=，x4=（舍负）．∴AP=x=．终上所述：AP的值为4或． (14)【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．。

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AB：DE=9：4，那么 S△ ABC：S△ DEF 等于（ ）
A． 3：2
B． 9：4
C． 16：81
D．81：16
考点：相似三角形的性质． 菁优网版权所有
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 解答：解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=9：4，
∴S△ ABC：S△ DEF=81：16． 故选 D．
考点：比例的性质． 菁优网版权所有
专题：计算题． 分析：根据合分比定理[如果 a：b=c：d 那么（a+b）：（a﹣b）=（c+d）：（c﹣d））（b、d、a
﹣b、c﹣d≠0）]来解答即可． 解答：解：由已知，得
，
即 =﹣ ． 点评：本题主要考查的是合分比定理：一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等
故答案为：7 ﹣3 ． 点评：此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题
的关键．
9．（4 分）（2015•金山区一模）将抛物线 y=2（x﹣1）2+1 向上平移 3 个单位，那么平移后 得到的抛物线的解析式是 y=2（x﹣1）2+4 ．
考点：二次函数图象与几何变换． 菁优网版权所有
点评：此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加 下减．
10．（4 分）（2015•金山区一模）如图，已知△ ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC， 若 AD=4，BD=2，DE=3，那么 BC= 4.5 ．
考点：相似三角形的判定与性质． 菁优网版权所有
的值为
．
12．（4 分）（2015•金山区一模）已知⊙O 的半径为 5，点 A 在⊙O 外，那么线段 OA 的取
值范围是
．
13．（4 分）（2015•金山区一模）如图，斜坡 AB 的坡度 i=1：3，该斜坡的水平距离 AC=6
米，那么斜坡 AB 的长等于
米．
14．（4 分）（2015•金山区一模）如图，已知直线 AB 与⊙O 相交于 A、B 两点，∠OAB=30°，
得到的抛物线的解析式是
．
10．（4 分）（2015•金山区一模）如图，已知△ ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，
若 AD=4，BD=2，DE=3，那么 BC=
．
11．（4 分）（2015•金山区一模）在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，如果 AC：BC=3：4，那么 cosA
分析：如图，证明△ ADE∽△ABC，得到
，即可解决问题．
解答：解：如图，∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，
23．（12 分）（2015•金山区一模）已知⊙O 与⊙O1 相离，OC 与 O1D 分别是⊙O 与⊙O1 的 半径，OC∥O1D，直线 CD 交 OO1 于点 P，交⊙O 于点 A，交⊙O1 于点 B． 求证： （1）OA∥O1B； （2） = ．
24．（12 分）（2015•金山区一模）如图，已知直线 y=2x+6 与 x 轴、y 轴分别交于 A、D 两 点，抛物线 y=ax2+bx+2（a≠0）经过点 A 和点 B（1，0）．
解答：解：∵反比例函数 y= （a≠0），当 x＞0 时，它的图象 y 随 x 的增大而减小， ∴a＞0， ∴二次函数 y=ax2﹣ax 图象开口向上， 对称轴为直线 x=﹣ = ． 故选 B．
点评：本题考查了二次函数的图象，反比例函数的性质，熟记性质并判断出 a＞0 是解题的 关键．
二、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 7．（4 分）（2015•金山区一模）已知 ，则 = ﹣ ．
25．（14 分）（2015•金山区一模）如图，在△ ABC 中，AB=AC=10，BC=12，点 E，F 分别 在边 BC、AC 上（点 F 不与点 A、C 重合）EF∥AB．把△ ABC 沿直线 EF 翻折，点 C 与点 D 重合，设 FC=x． （1）求∠B 的余切值； （2）当点 D 在△ ABC 的外部时，DE、DF 分别交 AB 于 M、N，若 MN=y，求 y 关于 x 的 函数关系式并写出定义域； （3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以 E 为圆心、BE 长为半径的⊙E 与边 AC． ①没有公共点时，求 x 的取值范围； ②一个公共点时，求 x 的取值范围； ③两个公共点时，求 x 的取值范围．
A． 4
B． 6
C．4 或 5
D．4 或 6
考点：圆与圆的位置关系． 菁优网版权所有
分析：外切时，圆心距为 1+5=6；内切时，圆心距 5﹣1=4． 解答：解：∵两圆相切，
∴两圆可能外切和内切， ∴外切时，圆心距为 1+5=6； 内切时，圆心距为 5﹣1=4． ∴圆心距为 6 或 4． 故选 D． 点评：考查了圆与圆的位置关系，本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距=两圆半径之和．两 圆内切，圆心距=两圆半径之差．
分析：根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物 线的解析式．
解答：解：抛物线 y=2（x﹣1）2+1 的顶点坐标是（1，1）， 则抛物线 y=2（x﹣1）2+1 向上平移 3 个单位后的顶点坐标是（1，4）， 所以，平移后得到的抛物线的解析式是 y=2（x﹣1）2+A=2，那么弦 AB=
．
15．（4 分）（2015•金山区一模）已知⊙A 与⊙B 的半径分别为 3 和 2，若两圆相交，那么这
两圆的圆心距 AB 的取值范围是
．
16．（4 分）（2015•金山区一模）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CD=4，cosA= ，
那么 BC=
∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（0，1）， 故选 B． 点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程 y=a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为（h， k）是解题的关键．
2．（4 分）（2013•温州）如图，在△ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是（ ）
22．（10 分）（2015•金山区一模）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移 2 个单位得到抛物线 y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点 A（2，1）． （1）求平移后抛物线的解析式； （2）设原抛物线与 y 轴的交点为 B，顶点为 P，平移后抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M， 求△ BPM 的面积．
的增大而减小，那么二次函数 y=ax2﹣ax 的图象只可能是（
A．
B．
C．
） D．
二、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）
7．（4 分）（2015•金山区一模）已知 ，则 =
．
8．（4 分）（2015•金山区一模）计算：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）=
．
9．（4 分）（2015•金山区一模）将抛物线 y=2（x﹣1）2+1 向上平移 3 个单位，那么平移后
21．（10 分）（2015•金山区一模）如图，小明在广场上的 C 处用测角仪正面测量一座楼房墙 上的广告屏幕 AB 的长度，测得屏幕下端 B 处的仰角为 30°，然后他正对大楼方向前进 10 米到达 D 处，又测得该屏幕上端 A 处的仰角为 45°，已知该楼高 18.7 米，测角仪 MC、ND 的高度为 1.7 米，求广告屏幕 AB 的长．
于第二个比的前后项的和与它们的差的比．这叫做比例中的合分比定理．
8．（4 分）（2015•金山区一模）计算：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）= 7 ﹣3 ．
考点：*平面向量．菁优网版权所有 分析：直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时符号的变化． 解答：解：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）=4 ﹣2 +3 ﹣ =7 ﹣3 ．
（1）求抛物线的解析式； （2）在线段 AD 上取一点 F（点 F 不与点 A 重合）．过点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于点 G、 交 x 轴于点 H．当 FG=GH 时，求点 H 的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线 AD 交于点 E，抛物线与 y 轴的交点为 C，点 M 在线段 AB 上，当△ AEM 与△ BCM 相似时，求点 M 的坐标．
∵正多边形的中心角是 36°，
∴
=36°，解得 n=10．
故选 A． 点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心
角是解答此题的关键．
5．（4 分）（2015•金山区一模）已知⊙M 与⊙N 的半径分别为 1 和 5，若两圆相切，那么这
两圆的圆心距 MN 的长等于（ ）
2015 年上海市金山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1．（4 分）（2015•唐山二模）抛物线 y=2x2+1 的顶点坐标是（
A． （2，1）
B． （0，1）
C． （1，0）
） D．（1，2）
考点：二次函数的性质． 菁优网版权所有
分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标． 解答：解：
．
17．（4 分）（2015•金山区一模）如图，在△ ABC 中，AD、BE 分别是边 BC、AC 上的中线，
AD、BE 相交于 G．设 = ， = ，那么 =
（用 、 的式子表示）．
18．（4 分）（2015•金山区一模）如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ ABC
6．（4 分）（2015•金山区一模）已知反比例函数 y= （a≠0），当 x＞0 时，它的图象 y 随 x
的增大而减小，那么二次函数 y=ax2﹣ax 的图象只可能是（
A．
B．
C．
） D．
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