垂径定理综合练习题

垂径定理综合练习题
1. 如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD=2√2，求BN的长．
2. 已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC^的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．
(1)求AO的长；
(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．
3. 如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O 分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
4. 如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
5. 如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC^的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．
（1）求证：△BHE∽△BCO．
（2）若OC＝4，BH＝1，求EH的长．
6. 如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF⌢的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．
(1)求证：△HBE∼△ABC；
(2)若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．
7. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是BD^的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．
8. 如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于
点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果OA＝3，求AE⋅AB的值．
9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．
10. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
参考答案与试题解析
垂径定理综合练习题
一、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）
1.
【答案】
(1)证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，BC^=BD^，
∴∠BOD=2∠2．
∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90∘，
∴∠ODE+∠1+∠2=90∘，
∴∠ODF=90∘，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠FDO=90∘，
∴∠ADB−∠BDO=∠FDO−∠BDO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠C，
∴△ADM∼△CDN；
∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，
在Rt△DOE中，tan∠BOD=2√2，cos∠BOD=1
3
，
∴OE=DO⋅cos∠BOD=3×1
3
=1，
由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：
DE=√OD2−OE2=2√2，
AD=√DE2+AE2=2√6，
BD=√DE2+BE2=2√3，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2DE=4√2，
∵△ADM∼△CDN，
∴DM
DN =AD
CD
，
∵点M是DO的中点，DM=1
2DO=1
2
×3=3
2
，
∴DN=DM×CD
AD =
3
2
×4√2
2√6
=√3，
∴BN=BD−DN=2√3−√3=√3．
【解答】
(1)证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，BC^=BD^，
∴∠BOD=2∠2．
∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90∘，
∴∠ODE+∠1+∠2=90∘，
∴∠ODF=90∘，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠FDO=90∘，
∴∠ADB−∠BDO=∠FDO−∠BDO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠C，
∴△ADM∼△CDN；
∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，
在Rt△DOE中，tan∠BOD=2√2，cos∠BOD=1
3
，
∴OE=DO⋅cos∠BOD=3×1
3
=1，
由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：DE=√OD2−OE2=2√2，
AD=√DE2+AE2=2√6，
BD=√DE2+BE2=2√3，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2DE=4√2，
∵△ADM∼△CDN，
∴DM
DN =AD
CD
，
∵点M是DO的中点，DM=1
2DO=1
2
×3=3
2
，
∴DN=DM×CD
AD =
3
2
×4√2
2√6
=√3，
∴BN=BD−DN=2√3−√3=√3．2.
【答案】
解：(1)∵O是圆心，且点F为AC^的中点，∴OF⊥AC，
设圆的半径为r，即OA=OF=r，
则OE=OF−EF=r−2，
由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；
(2)如图，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90∘，∴∠AOE=∠ACD，
则sin∠ACD=sin∠AOE=AE
AO =4
5
．
【解答】
解：(1)∵O是圆心，且点F为AC^的中点，∴OF⊥AC，
∵AC=8，
∴AE=4，
设圆的半径为r，即OA=OF=r，
则OE=OF−EF=r−2，
由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；
(2)如图，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90∘，∴∠AOE=∠ACD，
则sin∠ACD=sin∠AOE=AE
AO =4
5
．
3.
【答案】
∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，
同理：CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
2
AB，
过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH＝BH=1
2
AB，
∵AB＝8，
∴AH＝4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，
∴AO＝5，即圆O的半径为5．
【解答】
∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD＝DC，
同理：CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
2
AB，
∵AB＝8，
∴DE＝4．
过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH＝BH=1
2
AB，
∵AB＝8，
∴AH＝4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，
∴AO＝5，即圆O的半径为5．
4.
【答案】
如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，∴AB=√BC2−AC2=√5，
∵1
2⋅AB⋅AC=1
2
⋅BC⋅AH，
∴AH=√5×2√5
5
=2，
∴BH=√AB2−AH2=1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴1
2×√5×2√5=1
2
×2×2+1
2
×2√5×DM，
∴DM=3√5
5
，
∴sin∠DAC=DM
AD =
3√5
5
√5
=3
5
．
【解答】
如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，∴AB=√BC2−AC2=√5，
∵1
2⋅AB⋅AC=1
2
⋅BC⋅AH，
∴AH=√5×2√5
5
=2，
∴BH=√AB2−AH2=1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴1
2×√5×2√5=1
2
×2×2+1
2
×2√5×DM，
∴DM=3√5
5
，
∴sin∠DAC=DM
AD =
3√5
5
√5
=3
5
．
5.
【答案】
证明：∵OD为圆的半径，D是BC^的中点，∴OD⊥BC，BE＝CE=1
2
BC，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝90∘，
∴HE=1
2
BC＝BE，
∴∠B＝∠EHB，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠EHB＝∠OCB，
又∵∠B＝∠B
∴△BHE∽△BCO．
∵△BHE∽△BCO，
∴BH
BC =BE
OB
，
∵OC＝4，BH＝1，
∴OB＝4，得1
2BE =BE
4
，
解得BE=√2，
∴EH＝BE=√2．
【解答】
证明：∵OD为圆的半径，D是BC^的中点，∴OD⊥BC，BE＝CE=1
2
BC，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝90∘，
∴HE=1
2
BC＝BE，
∴∠B＝∠EHB，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠EHB＝∠OCB，
又∵∠B＝∠B
∴△BHE∽△BCO．
∵△BHE∽△BCO，
∴BH
BC =BE
OB
，
∵OC＝4，BH＝1，
∴OB＝4，得1
2BE =BE
4
，
解得BE=√2，
∴EH＝BE=√2．
6.
【答案】
(1)证明∵AC是⊙O的切线，
∴CA⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴∠EHB=∠CAB，
∵∠EBH=∠CBA，
∴△HBE∼△ABC．
(2)解：连接AF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90∘，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，
∴△CAF∼△CBA，
∴CA2=CF⋅CB=36，
∴CA=6，
AB=√BC2−AC2=3√5，
AF=√AB2−BF2=2√5，
∵DF⌢=BD⌢，
∴∠EAF=∠EAH，
∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△AEF≅Rt△AEH，
∴AF=AH=2√5，
设EF=EH=x，
在Rt△EHB中，(5−x)2=x2+(√5)2，∴x=2，
∴EH=2．
【解答】
(1)证明∵AC是⊙O的切线，
∴CA⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴∠EHB=∠CAB，
∵∠EBH=∠CBA，
∴△HBE∼△ABC．
(2)解：连接AF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90∘，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，
∴△CAF∼△CBA，
∴CA2=CF⋅CB=36，
∴CA=6，
AB=√BC2−AC2=3√5，
AF=√AB2−BF2=2√5，
∵DF⌢=BD⌢，
∴∠EAF=∠EAH，
∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△AEF≅Rt△AEH，
∴AF=AH=2√5，
设EF=EH=x，
在Rt△EHB中，(5−x)2=x2+(√5)2，∴x=2，
∴EH=2．
7.
【答案】
证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是BD^的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC // AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90∘，
∴AC=√AB2−BC2=4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90∘，∴△AEC∽△ACB，
∴AE
AC =AC
AB
，
∴AE=AC2
AB =16
5
．
【解答】
证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是BD^的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC // AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90∘，
∴AC=√AB2−BC2=4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90∘，∴△AEC∽△ACB，
∴AE
AC =AC
AB
，
∴AE=AC2
AB =16
5
．
8.
【答案】
证明：连接OB．
∵CD⊥OA，
∴∠ADE＝90∘，
∴∠DAE+∠AED＝90∘，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，
∴∠ABO+∠CBE＝90∘，
∴∠OBC＝90∘，
∴OB⊥BC．
连接OF．
∵AD＝OD，FD⊥OA，
∴FA＝FO＝AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60∘，
∴∠ABF=1
2
∠AOF＝30∘．
延长AO交⊙O于H，连接BH．
∵AH是直径，
∴∠ABH＝∠ADE＝90∘，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，
∴AD
AB =AE
AH
，
∴AE⋅AB＝AD⋅AH=3
2
×6＝9．【解答】
证明：连接OB．
∵CD⊥OA，
∴∠ADE＝90∘，
∴∠DAE+∠AED＝90∘，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，
∴∠ABO+∠CBE＝90∘，
∴∠OBC＝90∘，
∴OB⊥BC．
连接OF．
∵AD＝OD，FD⊥OA，
∴FA＝FO＝AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60∘，
∴∠ABF=1
2
∠AOF＝30∘．
延长AO交⊙O于H，连接BH．
∵AH是直径，
∴∠ABH＝∠ADE＝90∘，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，
∴AD
AB =AE
AH
，
∴AE⋅AB＝AD⋅AH=3
2
×6＝9．9.
【答案】
解：如图，
作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF＝0.8−0.2＝0.6m，
∴CF=√OC2−OF2=0.8m，
∴CD＝1.6m．
答：此时排水管水面的宽CD为1.6m. 【解答】
解：如图，
作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，
∴OE＝0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF＝0.8−0.2＝0.6m，
∴CF=√OC2−OF2=0.8m，
∴CD＝1.6m．
答：此时排水管水面的宽CD为1.6m.
10.
【答案】
连接AO，OB，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝(R−cm，
∴R2＝82+(R−(1)2，
cm，
解得：R=25
3
∴圆片的半径R为25
cm
3
【解答】
（1）。