高三数学 正余弦函数的图象2

第三十教时

教材：正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课；

目的：复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、认

识更深刻。

过程：一、复习：1．y=sinx y=cosx 的图象 当x ∈R 时，当x ∈[0，2π]时

2．y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域（有界性）最值、

周期性、奇偶性、单调性 二、1．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2

π

]上的单调性。

解：f (x )=|sin2x|

f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x )

∴f (x )为偶函数 T=2

π 在[0,4

π]上f (x )单调递增；在[4π,

2

π

]上单调递减 注意：若无“区间[0,2

π

]”的条件，则增区间为[

4

2,2πππ+k k ] k ∈Z 减区间为[

2

)1(,42πππ++k k ] k ∈Z

2．设x ∈[0,2

π], f (x )=sin(cosx), g (x )=cos(sinx) 求f (x )和g (x )的最大值和最小值，并将它们按大小顺序排列起来。

解：∵在[0,2

π]上y=cosx 单调递减, 且cosx ∈[0,1] 在此区间内y=sinx 单

调递增且sinx ∈[0,1] ∴f (x )=sin(cosx)∈[0,sin1] 最小值为0, 最大

值为sin1

g (x )=cos(sinx)∈[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 ∵cos1=sin(

2π

-1)

2︒当∠C 变化时，求△AABC 面积的最大值。

如图：设AC 边上的高h=asinC

2︒当C=90︒时[sinC]max =1 ∴[S △ABC ]max =ab 2

1

2．求函数3

cos 3

cos +-=

x x y 的最大值和最小值。

π

-2

2

C D b

解：（部分分式） 3

cos 6

1+-

=x y 当cosx=1时 y max =21

当cosx=-1时 y min = -2 3．求函数)3

cos(2π

-=x y (6π

≤x ≤

3

2π

)的最大值和最小值。 解：∵x ∈[6π,

32π] ∴x-3π∈[-6π,3π

] ∴当x-3π=0 即x=3

π时 y max =2 当x-3

π=

3π 即x=3

2π

时 y min =1

四、补充（备用）

（P79例7）求函数f (x )=)4

3

1

cos(log 2

1π

+x 的单调递增区间。

解：∵f (x )=)4

3

1cos(log 2

1π

+x 令4

3

1π

+

=x t ∴y=t cos log 2

1

t 是x 的增函数 又∵0<2

1<1

∴当y=t cos log 2

1为单调递增时 cost 为单调递减 且cost>0

∴2k π≤t<2k π+2

π (k ∈Z) ∴2k π≤4

3

1π

+x <2k π+

2π (k ∈Z) 6k π-43π≤x<6k π+4

3π

(k ∈Z) ∴f (x )=)4

3

1cos(log 2

1π

+x 的单调递减区间是[6k π-4

3π

,6k π+

4

3π)

(k ∈Z)

五、作业：

P121 4-8 思考题