一元一次方程专题复习
一元一次方程(复习课教案)
一元一次方程(单元复习课）【复习目标】１．系统了解一元一次方程的知识框架;２．知道解一元一次方程的步骤,熟练掌握一元一次方程的解法;３.知道列一元一次方程解应用题的步骤,会列方程解应用题；4.在小组合作交流的过程中培养学生学习数学的习惯和复习的方法．【复习重点】形成一元一次方程章节知识框架图．【活动设计】活动一、一元一次方程知识复习1．(１）已知关于x 的方程150k x -+=是一元一次方程,则k = .(2）已知关于x 的方程()250k x -+=是一元一次方程,则k .（３)已知关于x 的方程()1250k k x --+=是一元一次方程,则k ＝ .说明：本题引导学生回忆一元一次方程的概念．２.已知3x =是关于x 的方程8203x a -=的解,则a = ． 说明:本题引导学生回忆方程的解的概念.3.下列运用等式的性质进行的变形,不正确．．．的是( ） A.如果a b =,那么55a b +=+ B.如果a b =,那么ma mb =C.如果a b =,那么a b c c = Ｄ.如果a b c c=，那么a b = 说明:本题引导学生回忆等式的性质. 4．若2260x y --=,则2635y x --的值为 ．说明：本题引导学生回忆方程的解的概念.５.解方程：211135x x ++-=. 说明：本题引导学生回忆解一元一次方程的步骤,及每一步骤的注意点. ６.如果方程()()322212x x ---=-也是关于x 的方程203m x --=的解，求m 的值. 说明:本题引导学生回忆方程的解的概念.【课堂小结】(1）一元一次方程、方程的解的概念?等式的基本性质？（２)解一元一次方程的步骤有哪些?每一步骤变形的依据是什么?活动二、利用一元一次方程知识解决实际问题思考:我们在这一章中重点学习了哪几种类型的应用题?(１）引导学生回忆类型:调配问题、行程问题、工程问题、数字问题、方案问题、盈亏问题; (２)引导学生回忆典型问题中的数量关系:如行程问题中：速度、时间、路程的关系；工程问题中：工作效率、工作时间、工作总量的关系;工作效率、工作时间、工作人数、工作总量之间的关系．盈亏问题中:利润=售价—进价＝进价×利润率折数售价=标价×10……解决下列问题:１.某种长方体包装盒的表面展开图如图所示，如果该长方体包装盒的长比宽多4cm，求这种长方体包装盒的体积.2.小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：（１)当一次性购物标价总额是３０0元时,甲乙超市实际付款分别是多少？(2)当标价总额是多少时,甲、乙超市实付款一样？(３)小王两次到乙超市分别购物付款1９8元和４66元，若他只去一次该超市购买同样多的商品,可以节省多少元?【课堂小结】列方程解应用题的步骤?教师总结:审．题，设．未知数,列．方程，解．方程,检验．,写出答．案.“审”是关键,“验”是保证,“设、列、解、答”是过程．附:板书设计：。
2023-2024年人教版七年级上册数学期末专题复习：一元一次方程应用题(含简单答案)
2023-2024年人教版七年级上册数学期末专题复习：一元一次方程应用题1．某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．(1)后队追上前队需要多长时间？(2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？2．某开发公司生产出若干件新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，已知甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天加工费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天加工费用120元。
(1)求这批新产品共有多少件？(2)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导，并由公司为其提供每天10元的午餐补助，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．3．某中学将举行“歌唱祖国”主题歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同．(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？(2)如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张、小红旗1面，恰好全部分完，请问贴纸和小红旗各多少袋？某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元．(1)两班各有多少人？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？7．某中学举行校运会，初一（1）班同学准备用卡纸制成乒乓球拍和小旗作道具．若一张卡纸可以做3个球拍或6面小旗，用21张卡纸，刚好能够让每位同学拿一个球拍和一面小旗．(1)应用多少张卡纸做球拍，多少张卡纸做小旗？(2)若每个人的工作效率都相同，一个人完成道具制作要6个小时，先安排2个人做半小时，再增加几个人做1小时可以刚好完成？8．一段道路，甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成．(1)若两队自始至终合作铺设， 天可以完成；(2)实际由甲工程队先单独铺设几天后，为了加快进度，余下的部分由甲乙两个工程队合作完成，共用8天铺设完成了这段道路．甲工程队先铺设了几天道路？9． “双十二”期间，某个体商户在网上购进某品牌A 、B 两款羽绒服来销售，若购进3件A 和4件B 需支付2400元，若购进1件A 和1件B 则需支付700元．(1)求A 、B 两款羽绒服在网上的售价分别是每件多少元？(2)若个体商户把网上购买的A 、B 两款羽绒服各10件，均按每件600元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按6折销售完，若总获利为3800元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件？10．下雪了，学校七年级准备为同学们定制一批冬帽，现有甲、乙两个工厂都想加工这 批冬帽，已知甲工厂每天能加工这种冬帽20件，乙工厂每天能加工这种冬帽30件，且单独加工这批冬帽甲厂比乙厂要多用16天．(1)求这批冬帽共有多少件？(2)为了尽快完成这批冬帽，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，由乙工厂单独完成剩余部分，为此乙工厂每天的生产速度也提高20%．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少2天，求乙工厂共加工多少天？11．一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形．(1)设长方形的长为cm x ，请列出关于x 的方程．(2)说明8x =是（1）中所列方程的解，而10x =不是它的解．(3)设长方形的宽是cm y ，请列出关于y 的方程．(1)若小泮购买了25千克的柑橘，则他需要付多少元？(2)若小钱一次购买柑橘共付了200元，则小钱购买柑橘多少千克？(3)小王分两次共购买了柑橘90千克，第二次购买的数量要多于第一次购买的数量，共付出376元，请问小王第一次、第二次分别购买柑橘多少千克？14．某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有120人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的2倍．(1)求树苗保障组的人数；(2)已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有a人．①用含a的代数式表示种植组在乙处的人数；a ，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数②若46是乙处种植人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？15．甲、乙两地相距72km ，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以1km/h v 、2km/h v 的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h ，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．(1)1v =______，2=v ______；(2)求出发多长时间后，两车相遇？(3)求出发多长时间后，两车相距30km ？（直接写出答案）______16．某同学进入初中后，家长为他买了一个电话手表．现从某电信运营商那里了解到，有两种电话卡，A 类卡收费标准如下：无月租，每通话1分钟交费0.6元；B 类卡收费标准如下：月租费15元，每通话1分钟交费0.3元．(1)若每月平均通话时间为100分钟，他应该选择哪类卡？(2)如果这位同学这个月预交话费120元，按A 、B 两类卡收费标准分别可以通话多长时间？(3)根据一个月的通话时间，你认为选择哪种卡更实惠？17．用80m 的篱笆围成一个长方形场地.(1)如果长比宽多6m ，求这个长方形的面积；(2)如果一边靠墙，墙长为32m ，长比宽多11m （长边与墙平行），这样设计是否可行？请说明理由.18．请列一元一次方程解决下面的问题：某超市计划购进甲、乙两种型号的钢笔共900支，这两种钢笔的进价、售价如下表：(1)如果进货款恰好为28500元，那么可以购进甲、乙两种型号的钢笔各多少支？(2)售完这批钢笔一共可以获利多少元钱？参考答案：1．(1)2小时(2)20千米2．(1)这批新产品共有960件．(2)甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间，理由见解析．3．(1)每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元(2)购买贴纸40袋，购买小红旗50袋4．(1)买卡合算，小张能节省400元(2)这台冰箱的进价是2480元5．(1)第一批购进文具盒40个，则第二批购进文具盒30个．(2)第二批文具盒中按标价售出的有7个．6．(1)七年级（1）班47人，（2）班58人(2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元7．(1)用14张卡纸做球拍，7张卡纸做小旗；(2)再增加3个人做1小时可以刚好完成8．(1)6(2)5天9．(1)A、B两款羽绒服在网上的售价分别是每件400元，300元(2)个体商户打折销售的羽绒服是5件10．(1)这批冬帽共有960件(2)乙工厂共加工22天(2)售完这批钢笔一共可以获利7500元钱。
一元一次方程-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向09 一元一次方程【考点梳理】1．一元一次方程的一般式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是常数，且a ≠0）.2．一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… 得到方程的解.3．列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度·时间 时间距离速度= 速度距离时间=； （2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时工作量工效= 工效工作量工时=； （3）比率问题： 部分=全体·比率 全体部分比率= 比率部分全体=； （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率； （6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.【题型探究】题型一：一元一次方程定义1．（2021·全国·九年级专题练习）关于x 的一元一次方程2224a x m --+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．52．（2022·广东·九年级专题练习）已知关于x 的方程()()22426k x k x k -+-=+是一元一次方程，则方程的解为（ ）A ．-2B ．2C ．-6D ．-13．（2019·福建漳州·校联考中考模拟）若x =2是关于x 的一元一次方程ax －2=b 的解，则3b －6a +2的值是( ).A ．－8B ．－4C ．8D ．4题型二：一元一次方程方程的解法4．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程12123x x +--=的步骤如下：解：方程两边同乘6，得()()31122x x +-=-①去括号，得33122x x +-=-②移项，得32231x x -=--+③合并同类项，得4x =-④以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2023·河北·九年级专题练习）解方程221123x x --=-，嘉琪写出了以下过程：①去分母，得3(2)62(21)x x -=--；②去括号，得36642x x -=--；③移项、合并同类项，得710x =；④系数化为1，得107x =，开始出错的一步是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④6．（2022·重庆南岸·统考一模）解一元一次方程()()11151753x x +=--的过程如下． 解：去分母，得()()3151557x x +=--． ①去括号，得3451557x x +=-+． ②移项、合并同类项，得823x =-． ③化未知数系数为1，得823x =-． ④ 以上步骤中，开始出错的一步是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④题型三：配套 工程和销售问题7．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x 张彩纸制作圆柱侧面，则方程可列为（ ）A ．6020(200)x x =-B ．20260(200)x x =⨯-C ．26020(200)x x ⨯=-D ．22060(200)x x ⨯=-8．（2021·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考三模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（ ）A ．101012025x ++=B ．101012520x ++=C ．101012520x -+=D ．101012520x -+= 9．（2022·贵州遵义·统考二模）如图为某披萨店的公告．某会员购买一个榴莲披萨付款83.6元，则一个榴莲披萨调价前的原价为（）A ．72．2元B ．78元C ．80元D ．96．8元题型四：比赛 积分和数字问题10．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1711．（2022·福建·模拟预测）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有x 间客房，则所列方程为（ ）A ．7x-7＝9x+9B ．7x +9＝9x+7C ．7x +7＝9x ﹣9D ．7x-7＝9x ﹣912．（2022·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．则买鸡的人数和鸡的价钱各是（ ）A ．8人，61文B ．9人，70文C ．10人，79文D ．11人，110文题型五：几何 和差倍和水电问题13．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，4cm BC =，动点E 和F 同时从点A 出发，点E 以每秒2cm 的速度沿A D →的方向运动，到达点D 时停止，点F 以每秒4cm 的速度沿A B C D →→→的方向运动，到达点D 时停止．设点F 运动x （秒）时，AEF △的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2022·福建南平·统考模拟预测）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x ，则下面符合题意的方程是（ ）A ．9+11616x x =－B ．9+61611x x =+C ．9+11616x x =+D ．911616x x =+－15．（2018·四川绵阳·校联考中考模拟）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．19分钟题型六：行程 比例和行程问题16．（2022·重庆璧山·统考一模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到图书馆，小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店买水花费了5分钟，从商店出来后，爸爸的骑车速度比他之前的骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达图书馆．小明和爸爸两人离开家的路程s （米）与小明出发的时间t （分钟）之间的函数图像如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．17a =B ．小明的速度是150米/分钟C ．爸爸从家到商店的速度是200米/分钟D ．9t =时，爸爸追上小明17．（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）A ．7x - 4 = 9x +8B ．7x +4 = 9x -8C ．4879x x +-=D ．4879x x -+= 18．（2019·湖北荆州·统考一模）在如图所示的2018年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是( )A ．23B ．51C ．65D ．75题型七：一元一次方程的综合19．（2019·重庆·统考中考真题）若关于x 的一元一次不等式组11(42)423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程24111y a y y y ---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．6 20．（2020·江苏盐城·统考中考真题）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（ ）A ．1B ．3C ．4D ．621．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【必刷基础】一、 单选题22．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（ ）A ．9-B ．9C ．1-D ．123．（2022·辽宁营口·统考中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）A ．24015015012x x +=⨯B ．24015024012x x -=⨯C ．24015024012x x +=⨯D ．24015015012x x -=⨯24．（2022·江苏苏州·统考中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A．60100100x x=-B．60100100x x=+C．10010060x x=+D．10010060x x=-25．（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）若整数a使关于x的方程21x a+=的解为负数，且使关于的不等式组()122113x axx⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．6 B．7 C．9 D．1026．（2022·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（）A．15 B．14 C．13 D．1227．（2022·山东济宁·济宁市第十三中学校考一模）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：(1)若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本＋生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入－投入总成本）．28．（2022·宁夏吴忠·校考一模）2020年，一场突如其来的疫情席卷全国，给人民生命、财产造成巨大损失，但英勇的中国人民不畏艰难，众志成城，最终取得了抗击疫情的阶段性胜利，疫情防控初期，某药店库存医用外科口罩10000副，进价2元/副，由于市民疯狂抢购，量价齐升，5天销售一空，通过5天的销售情况进行统计，得到数据如下：(1)求该药店这5天销售口罩的平均利润．(2)通过对上面表格分析，发现销售量y （副）与单价x （元/副）存在函数关系，求y 与x 的函数关系式．(3)该药店购进第二批口罩20000副，进价2.5元/副，虽然畅销，但被物价部门限价，每副口罩销售价为m 元，销售一半后，该药店响应国家号召，将剩余口罩全部捐献给了抗疫定点医院，若在两批口罩销售中，药店不亏也不赚，则m 的值是多少？【必刷培优】一、单选题29．（2022·云南德宏·统考模拟预测）若关于x 的方程()6324x k -=-的解为非负整数，且关于x 的不等式组()23432x x k x x ⎧-+≤-⎪⎨-≤⎪⎩无解，则符合条件的整数k 的值可以为（ ） A ．0 B ．3 C ．4 D ．630．（2023·全国·九年级专题练习）解方程2233522x x x x x--+=--，以下去分母正确的是（ ） A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-31．（2022·广西钦州·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，此专著中有这样一道题：今有人共买鹅，人出九，盈十一；人出六，不足十六，人数、鹅价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只鹅，若每人出9文钱，则多出11文钱；若每人出6文钱，则相差16文钱，求买鹅的人数和这只鹅的价格．设买鹅的人数有x 人，可列方程为（ ）A ．911616x x -=-B ．911616x x -=+C ．911616x x +=+D ．911616x x +=-32．（2022·河北·统考二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a 和两张边长为()b a b >的正方形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD 内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为1l ，右上阴影矩形的周长为2l ．陈老师说，如果126l l -=，求a 或b 的值．下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（ ）A ．甲：6a =，4b =B ．乙：6a =，b 的值不确定C ．丙：a 的值不确定，3b =D ．丁：a ，b 的值都不确二、填空题33．（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）已知224x x +=，且224120ax ax +-=，则22a a +的值为______．34．（2022·江苏扬州·校考二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x 天相逢，则可列方程为_____．35．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）青团是清明节的一道极具特色的美食，据调查，广受消费者喜欢的口味分别是：红豆青团、肉松青团、水果青团，故批发商大量采购红豆青团、肉松青团、水果青团，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地进货．3月份批发商统计销量后发现，红豆青团、肉松青团、水果青团销量之比为2:3:4，随着市场的扩大，预计4月份青团总销量将在3月份基础上有所增加，其中水果青团增加的销量占总增加的销量的15，则水果青团销量将达到4月份总销量的13，为使红豆青团、肉松青团4月份的销量相等，则4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为_____________．36．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程1103x -=是关于x 的不等式组2220x n n x -≤⎧⎨-<⎩的关联方程，则n 的取值范围是 ___________．37．（2022·北京西城·校考模拟预测）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况(见表格)，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊______个和钥匙扣______个，才能筹集到600元资金(即获得600元利润)．38．（2022·广西·统考中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．三、解答题39．（2022·福建泉州·校考三模）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000(180%)60260⨯-+=（元）．(1)购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)若顾客在该商场购买一件标价x 元(1250)x >的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x 的代数式表示）(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x 元(1250)x >的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为______元．40．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b 是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a、c的值，；②求代数式222+-的值；a c ac(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是．41．（2022·江苏镇江·统考中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：车速（km/h）40 41 42 43 44 45频数 6 8 15 a 3 2其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．(1)求出表格中a的值；(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．42．（2022·广西玉林·统考二模）疫情期间，消毒液、口罩成为了咱们的生活必需品．淘宝某医用器械药房推出2种口罩进行销售，医用一次性口罩2.5元/个，医用外科口翠3元/个．(1)某地某学校购进两种口罩25000个，共花费70000元，请问学校购买医用外科口罩多少个？(2)因为4月份疫情逐渐过去，但口罩的市场需求盘依旧旺盛，该药房决定用320000元再次购进一批口罩进行销售．医用一次性口罩100个/盒，每盒120元，医用外科口罩50个/盒，每盒100元．要求购进的医用外科口罩个数不超过医用一次性口罩的2.6倍，但不低于医用一次性口罩的1.9倍．若这批口罩全部销售完毕，为使获利最大，该药房应如何进货？最大获利为多少元？43．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时．(2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)求货车出发多长时间两车相距90千米．参考答案：1．C【分析】先根据一元一次方程的定义可得出a 的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m 的值，然后代入求值即可． 【详解】方程2224a x m --+=是关于x 的一元一次方程，21a ∴-=，解得3a =，∴方程为224x m -+=，又1x =是方程224x m -+=的解，2124m ∴⨯-+=，解得4m =，则347a m +=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、以及解定义，掌握理解一元一次方程的定义是解题关键．2．D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k 的值，进而求出k 的值即可．【详解】解：∵方程()()22426k x k x k -+-=+是关于x 的一元一次方程，∴24020k k ⎧-=⎨-≠⎩， 解得：k =-2，方程为-4x =-2+6，解得：x =-1，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．3．B【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a- 2= b ，即可求出3b-6a 的值，整体代入求值即可．【详解】把x=2代入ax －2=b ，得2a- 2= b ．所以3b-6a=-6．所以，3b －6a +2=-6+2=-4.故选B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．4．A【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【详解】解：方程两边同乘6，得()()31622x x +-=-①∴开始出错的一步是①，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．5．B【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．【详解】在第②步，去括号得36642x x -=--，等式右边去括号时忘记变号，故选B ．【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；在移项时要注意符号的变化，此题是形式较简单的一元一次方程．6．B【分析】检查解一元一次方程的解题过程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数华为1，找出出错的步骤，以及出错的原因．【详解】第②步出现错误，3451557x x +=-+． ②错误的原因是去括号时出现错误，应该改为：34515535x x +=-+．故选：B【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去括号时，要注意不要漏乘括号里的每一项．7．D【分析】根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设把x 张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x ）张纸作圆柱底面，根据题意可得：22060(200)x x ⨯=-故选：D ．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．8．D【分析】设甲、乙一共用x 天完成，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设甲、乙一共用x 天完成，根据题意得：101012520x -+=． 故选：D【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．C【分析】根据原价和售价的关系，列方程计算即可．【详解】解：设原价为x 元，由题意，得（1+10%）×95%·x =83.6，解得：x =80．故选：C ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用—打折销售，解题的关键是确定等量关系列方程求解．10．B【分析】设小红答对的个数为x 个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x 个，由题意得()52070x x --=，解得15x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．11．C【分析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【详解】设该店有x 间客房，则7x+7=9x-9，故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．12．B【分析】买鸡的人数为x 人，根据“如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．”列出方程，即可求解．【详解】解：买鸡的人数为x 人，根据题意得：911616x x -=+ ，解得：9x = ，∴鸡的价钱为911991170x -=⨯-= ，答：买鸡的人数为9人，鸡的价钱为70文．故选：B【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．13．B【分析】由点的运动，可知点E 从点A 运动到点D ，用时2s ，点F 从点A 到点B ，用时2s ，从点B 运动到点C ，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C 运动到点D，用时2s，∴y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，AE＝2x，AF＝4x，•2x•4x＝4x2，∴y＝12这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，AE＝4，×4×8＝16，此时y＝12③当3＜x≤5时，×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．y＝12故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．14．D【分析】设买鸡的人数为x，根据鸡的价格不变，建立等量关系，列出相关方程即可．【详解】解：设买鸡的人数为x，则由题意有：－，=+x x911616故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．15．D【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.【详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.16．D【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A ，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B ，利用设爸爸开始时车速为x 米/分，列方程求解即可确定C ，利用小明和爸爸行走路程一样，设t 分爸爸追上小明，列方程求解可知D ．【详解】解：A ．12517a +=＝，故A 正确，不合题意；B ．小明的速度为330022150÷=米/分，故B 正确，不合题意；C ．设爸爸开始时车速为x 米/分，()()1225603300x x -++=，解得200x =米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；D ．设y 分爸爸追上小明，()1502200y y +=，解得：6y =，故9t =时，爸爸追上小明，选项不正确，符合题意故选：D ．【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键．17．B【分析】直接根据题中等量关系列方程即可．【详解】解：根据题意，7x +4 = 9x －8，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．18．B【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x ，则上面的数是x-7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x ，因而这三个数的和一定是3的倍数．【详解】设中间的数是x ，则上面的数是x-7，下面的数是x+7，则这三个数的和是（x-7）+x+（x+7）=3x ，因而这三个数的和一定是3的倍数，则，这三个数的和都为3的倍数，观察只有51与75是3的倍数，但75÷3=25，25+7=32不符合题意，所以这三个数的和可能为51，故选B ．。
专题17解一元一次方程(7个知识点3种题型2种中考考法)(原卷版)
专题17解一元一次方程（7个知识点3种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.方程的解与解方程的概念（重点）知识点2等式的基本性质（重点）知识点3.利用等式的基本性质解方程（重点）知识点4.利用移项、合并同类项解方程（难点）知识点5.利用去括号解方程（难点）知识点6.利用去分母解方程（重点）知识点7.解一元一次方程的一般步骤（重点）【方法二】实例探索法题型1.方程的解的应用题型2.解一元一次方程题型3.一元一次方程的解的情况【方法三】仿真实战法考法1.方程的解的应用考法2.解一元一次方程【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解方程的解与解方程的概念，会根据等式的基本性质解方程。
2.掌握解一元一次方程的方法，了解解一元一次方程的一般步骤，并能灵活运用，能判别解的合理性。
3.经历和体会解一元一次方程中“转化”的思想方法。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.方程的解与解方程的概念（重点）方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程【例1】如果关于x 的方程2x +k ﹣4＝0的解x ＝﹣3，那么k 的值是（ ） A ．﹣10B ．10C ．2D ．﹣2【变式】如果x ＝2是方程x ﹣2a ＝﹣2的解，那么a 的值是（ ） A ．﹣6B ．﹣2C ．0D ．2知识点2等式的基本性质（重点）1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=22x 3x+7+2x=22x+2x 3x+7+2x7=22x+2x7 5x=5 5x ÷5=5÷5 x=1 3）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
一元一次方程专题复习
一元一次方程专题复习专题一： 等式的概念和等式的性质 1.等式：表示相等关系的式子，叫做等式 2.等式的性质：解方程的依据。
（1）a=b a ±若 ，则 ==b ±（2）a=b ac=b 若 ，则 专题： 方程的概念1.方程： 含有未知数的等式叫做方程2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元一次方程的解，也叫做根。
3.解方程：求方程解的过程叫做解方程。
例题分析1、在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-12x=x+1 ④x+2y=3中方程有( )个.A.1B.2C.3D.4 2、x=2是下列方程( )的解.A.2x=6B.(x-3)(x+2)=0C.x 2=3D.3x-6=0 总结：练习：①2x －5＝1；②8－7＝1；③x ＋y ；④x －y ＝x 2；⑤3x ＋y ＝6；⑥5x ＋3y ＋4z ＝0；⑦＝8；⑧x ＝0。
其中方程的个数是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 专题:一元一次方程的解法1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。
2.一元一次方程的一般形式：3. 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）系数化为1 利用等式的性质解下列方程（1） x －5=6 （2）0.3x=45 （3）－y=0.6 （4）123y =-例题分析： 一元一次方程的概念1、已知下列方程：① x －2＝x2；② 0.3x =1；③2x = 5x －１；④243x x -=；⑤20x =；⑥20x y +=.其中一元一次方程的个数是（ ）()()a b =c 0c ≠或63=-x 45=+xA ．2B ．3C ．4D ．52、x 的7倍比x 的3倍大12，可列方程为 .3、写一个以2-=x 为解，系数为13的一元一次方程 .4、如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .5、如果方程2130m x -+=是一元一次方程，则m = .6、若代数式43x +与65互为倒数，则x = 7、解方程132x-=,则x= . 8、 当x =____时,代数式12x-与113x +-的差等于零.总结：1、已知x=2是方程2(x －3)＋1=－2x ＋3a 的解，则a=____________.2、当m ＝ 时,方程2x ＋m ＝x ＋1的解为x ＝－4.3、若︱a －1︱＋(b ＋2)2＝0,则a b ＝ .4、 求x 的值一元一次方程的解法 ○1去括号、合并同类项 5278x x +=- .7(2x －1)－3(4x －1)＝4(3x ＋2)－1 2(21)2(1)3(3)x x x -=+++.总结：()()()3175301x x x --+=+5(5)24x x -+=-023=--x练习：11)121(21=--x 2()()x x 2152831--=--○2去分母 21101136x x ++-=0.60.110.40.3x x x -++= 432.50.20.05x x ---=总结：练习： 23421=-++x x 1)23(2151=--x x121525x x x -+-=+0262921=---x x 38316.036.13.02+=--x x x挑战难度：。
一元一次方程解法复习
等式性质2
运算规则
在解一元一次方程时，需要遵循等式 的性质和运算规则，对方程进行变形 和化简，从而求出未知数的值。
等式两边同时乘（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
02 求解一元一次方程方法
合并同类项法
识别同类项
将方程中的同类项识别出来，即 具有相同字母和相同字母的指数
项。
合并同类项
将识别出的同类项进行合并，简化 方程。
利润率计算
利润率是利润与成本的比值，根据已知的利润或成本计算利润率。
打折销售问题
考虑商品打折后的售价和利润，结合折扣率和成本建立方程求解。
05 错误类型及纠正策略
常见计算错误类型
符号错误
在解方程过程中，未注意负号或 正号，导致计算错误。
括号处理不当
在处理含有括号的方程时，未按 照运算顺序正确去掉括号。
02
方程中未知数的最高次数为1。
是整式方程
03
方程是整式方程，即等号两边都是整式。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解。
方程的根
方程的根和解实际上是同一个概 念，都是指使方程成立的未知数 的值。
等式性质及运算规则
等式性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个 数或整式，等式仍然成立。
及时总结和反思
在解题后，要及时总结和反思 自己的错误类型和原因，避免
再次犯同样的错误。
06 复习总结与提高建议
关键知识点回顾
1 2 3
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的 整式方程。
等式的性质
等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍 然成立；等式两边同时乘以（或除以）同一个不 为零的数，等式仍然成立。
《一元一次方程》复习课件
$2(x + 3)^{2} = 16$
首先观察方程中的乘方符 号，然后对方程进行变形 ，将乘方方程转化为一般 的一元一次方程进行求解 。
$(x + 3)^{2} = 8$，开方 得$x + 3 = \pm 2\sqrt{2}$，解得$x = - 3 \pm 2\sqrt{2}$。
含开方的方程例题
总结词
合并同类项不彻底的错误
总结词
合并同类项不彻底导致错误
详细描述
在解一元一次方程时，合并同类项是常见的变形技巧。 然而，不少学生在合并同类项时忽略了彻底合并的要求 ，导致方程变形错误。例如，在方程 3x + 2x = 5 中， 学生们往往直接得到 x = 1，而忽略了合并同类项时需要 将所有同类项合并起来的要求，正确的解应为 x = 1/5。
02
重点知识解析
移项法则
总结词
移项是将方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，属于等式的变 形。
详细描述
移项的目的是为了将方程中的未知数系数变为相同，以便合并同类项，使方程变 得简单易解。移项时需要注意遵循等式的基本性质，保持等式的两边相等。
去括号法则
总结词
去括号是将方程中的括号去掉，将括号内 的各项按照运算顺序进行展开，属于等式 的变形。
$x + 2 = 16$，解得$x = 14$。
06
综合练习题
含绝对值、乘方、开方的综合练习题
总结词：熟练掌握绝对值、乘方、开方 的概念和性质，了解三者之间的联系和 区别。
3. $3(x - 2)^{3} = 12$ 2. $(2x + 3)^{2} = 16$
详细描述：通过以下题目，加深对一元 一次方程中涉及的绝对值、乘方、开方 等概念的理解和运用能力。
一元一次方程概念及求解专题复习(知识点+基础应用+能力提高+中考真题).doc
一元一次方程一.等式和方程1.等式：含有的式子2.等式的性质①等式两边都同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
②等式两边都同一个数（除数不能是0）,所得结果仍是等式。
3.方程：含有未知数的等式叫方程。
（1）能够使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。
要检验未知数的某一个值是不是方程的解，就把这个值代入方程，看左、右两边的值是否相等。
必须注意方程的解和解方程这两个概念的区别。
方程的解是演算的结果，即求出的适合方程的未知数的值；解方程是求方程的解的演算过程。
4.方程的解一--使得方程左右两边相等的未知数的值5.检验：把未知数的值分别代入方程的左右两边。
6.等式的性质等式的性质①等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。
即如果a = b,那么a±c = b±c等式的性质②等式两边乘同一个数，或除以同一不为0的数，结果仍相等。
即如果a=b,那么ac=bca _b如果a=b （cHO）那么c c二.一元一次方程的解法和应用（一）元一次方程的求解（1）一元一次方程：①只有一个未知数，②未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的最简形式2. （3）解一元一次方程的一般步骤。
一元一次方程的应用（二）一元一次方程的应用“1、类型：1.销售、利润问题2.工程问题3.行程问题4•比例问题5.其他问题（数字问题、等积变形、日历问题、人数问题、储蓄问题等）2、列方程解应用题的一般步骤：①审题，弄清题意找出题屮的等量关系②设未知数③列出方程④解方程⑤检验⑥答元一次方程常见题型类型一:利用方程的有关概念，等式性质等解决问题7. 如果Q 与一3互为相反数，那么Q 等于( )•c. 138. ___________________________________________________________ 求作一个一元一次方程使它的解为x=-2,这个一元一次方程为 ________________________________________【能力提高】1.己知方程(m+l)x lml 4-3-0.是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )A. ± 1B. 1C.-1D.O 或 12. 使(«-l)x-6 = 0为关于兀的一元一次方程的 ______________ (写出一个你喜欢的数即可).3. 若关于兀的方程U-2)/-,l +5^ = O 是一元一次方程，则“ _____________ .C. x=0 丄 二12x + 33. 下列方程小是一元一次方程的是( A. 2x = 3yB. 7% + 5 = 6(x-l)C ・ X 2= 1D. --2 = xX4•下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y 二9X 2—3x=l— = 1 x2x=l 3x - 5 3+7=10x 2+x=l5.根据下列条件列出方程(1)比x 大2的数等于7(2) x 比它的2倍小34 5(3) x 比它的上大丄5 166•只列方程，不解方程1) 3x + 5的值等于3, 求x 的值2) 当x 取何值时，3x + 5与4 —x 的值相等3) 当a 为何值量，式子2(3a-4)的值比2a + 7的值大34) 3x4-5与3-x 互为相反数，x 取何值A. 3B. —3 1. 【基础练习】 下列各式不是方程的是( )A. y2_y=4B. m - 2nC. p 2-2pq + q 2D. x = 02. 下列等式中是一元一次方程的是(A. S=Xab2B. x —y=04.若关于x的方程伙+ 2庆+4尬-5£ =()是一元一次方程，则方程的解x二___________・5.已知(2加一3庆一(2-3加)兀=1是关于x的一元一次方程，则加= _______ .6. 已知方程（ci - 2）丿"卜’ +4 = 0是一元一次方程，则a = ___ ； x = _______ .7. 若关于兀的方程伙-2）』刊+5" 0是一元一次方程，贝〃二 __________ .若关于x 的方程（k + 2）x 2 + 4kx-5k = 0是一元一次方程，则方程的解兀二 ______ . &如果@ + 1）』“珂_2 = 0是一元一次方程，那么。
2025年中考数学核心考点复习_一元一次方程核心考点专题练习(无答案)
一元一次方程核心考点专题练习专题一一元一次方程核心考点一一元一次方程的定义01. 指出下列各式中哪些是一元一次方程，把序号填在横线上： .①x+3=2x-3;②x²-2x=0;③2x-3x+7;④3x-2y=6;⑤2y+5=3y-4;02.若((a-1)x|a|=6是关于x的一元一次方程，则a的值为 ( )A. ±lB. -1C. 1D. 203. 若方程是关于x的一元一次方程，则代数式|m-1||的值为 ( )A. 0B. 2C. 0或2D. -2核心考点二一元一次方程的解、根04. 若关于x的方程2(x-1)-a=0的解是3, 则a的值是 .05. 已知方程及两数 1，6，下列说法正确的是 ( )A. 仅1是此方程的根B. 1, 6都是方程的根C. 1，6都不是方程的根D. 仅6是方程的根06. 若关于x的方程( 是一元一次方程，则k= ，方程的解x= .核心考点三等式的性质07. 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由.(1) 如果7x-9=12, 那么7x=12+ , 根据 ;(2) 如果-4x=16, 那么x= , 根据 ;(3) 如果那么x= ,根据 ;(4) 如果那么x= ,根据 .08.下列各式进行的变形中，不正确的是 ( )A. 若a=b, 则2a=a+bB. 若a=b, 则C. 若3a=2b, 则D. 若a=b, 则09.下列各式运用等式的性质变形，正确的是 ( )A. 若-m=-n, 则m=nB. 若b=c, 则C. 若ab= ac, 则b=cD. 若|x|m=|x|n, 则m=n10. 以下等式的变形：①如果那么②如果 ax+b= ay+b,那么x=y;③如果那么x=y; ④如果x=y, 那么正确的有 ( )个.A. 1B. 2C. 3D. 411. 利用等式的性质解下列一元一次方程：(1) 2+x=2x-7; (2)-3(x+2)=-12.核心考点四根据题意列方程12. 长江上有A，B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2h，从B到A(航线相同) 逆水航行要用时3.5h.已知水流的速度为 15km/h，求轮船在静水中的航行速度是多少? 若设轮船在静水中的航行速度为 xkm/h，则可列方程为 ( )A. (x-15)×3.5=(x+15)×2B. (x+15)×3.5=(x-15)×213. 有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m². 若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m²，设每个房间地面面积xm²，一名初级工人每天装修. 下列方程中正确的有 ( )①5x+43=7x-5+3;②5x-34-7x+6=3;③4(y+5)+3 =6y-/⁷;④4(y+3)-3=⁶A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③核心考点五一元一次方程的解小综合14. 下列命题: ①若a+b+c=0, 则②若a+b+c=0, 且则③若a+b+c=0,且a≠0,则x=1一定是关于x的方程( 的解；④若则 abc>0. 其中正确的是 ( )A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④专题二解一元一次方程核心考点一移项解方程01. 解方程:(1) 4a-7=6a+10; (2) 3x+7x=9x+8.核心考点二去括号解方程02. 解方程:(1) 4x-3(20-x)=6x-7(9-x); (2) 5x-3(2x+1)=6x-4(5-3x).核心考点三去分母解方程03. 解下列方程：核心考点四解含小数点的方程专题三解特殊方程与构造方程核心考点一解多层括号的一元一次方程01. 解方程:核心考点二裂项法解一元一次方程02. 方程的解是x= .核心考点三构造一元一次方程03. 在中，“…”代表按规律不断求和，设则有解得x=2, 故类似地的结果是= .04. 问题解决:0.9=1是小学大家都承认的事实，但你能推理说明其中的道理吗? 小明与小白有如下的探究：【小明的解答】解: ∵0.9=0.9999……, ∴可设0.9=x, 则10x=9.999……,∴10x-x=9, 解得x=1, ∴0.9=1.实践探究：请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程: ①0.7 3; ②0.432.拓展延伸：直接写出将0.432化成分数的结果为 .05把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.7为例，设0.7=x,由0.7=0.777…, 可知, 10x=7.777…, 所以10x-x=7, 解方程, 得于是仿照上述方法，无限循环小数0. i化成分数是 .专题四含参一元一次方程核心考点一等式的性质和参数01.小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的-1没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为( )A. 2, 2B. 2, 3C. 3, 2D. 3, 3核心考点二解含参数的一元一次方程02. 解关于x的方程：(1) 2a+5x=7x-2b (a, b为已知数); (2) 解关于x的方程：核心考点三同解一元一次方程与参数03. 已知关于x的方程与的解相同，则m的值是 .04. 如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是 ( )A. 1B. ±1C. 2D. ±205. 已知关于x的方程和有相同的解，求这个数.核心考点四换元法06.已知关于x的一元一次方程：的解为. ，则关于y的一元一次方程2023(5-y)-m=2028-y的解为y= ( )A. y=-11B. y=2C. y=10D. y=11核心考点五方程的解不变07. 如果a, b为常数, 关于x的方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值.核心考点六参数 (方程) 的应用08.一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥(从车头进入大桥到车离开大桥) 所用的时为 ( )秒 B. b/a秒 C. x;a秒秒核心考点七整数解问题09.下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7a b表格中a，b的值正确的是 ( )A. a=2, b=3B. a=3, b=2C. a=3, b=4D. a=2, b=2核心考点八参数与最值分析10.如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始. 月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字 (“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动)，设“U 型”覆盖的五个数字之和为S₁，“十字型”覆盖的五个数字之和为S₂.若则S₂-S₁的最大值为.日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728专题五一元一次方程的应用(1) ——配套、工程、数字与盈不足问题核心考点一配套问题01. 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉120个或螺母200个，两个螺母与一个螺钉配套，怎样安排工人使每天的产品刚好配套?核心考点二工程问题02. 一项工程，由一个人做要40小时完成. 现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时完成任务. 若这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作?核心考点三数字问题03. 有一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得的新的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数.核心考点四盈不足问题04. 有一些相同的房间需要粉刷墙面. 一天3名一级技工粉刷8个房间，结果还有50平方米没有刷完；同样时间5名二级技工粉刷完10个房间外，还多刷了另外的40 平方米. 已知每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的墙面面积.专题六一元一次方程的应用 (2)——利润与盈亏核心考点一盈亏问题01. 已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店 ( )A. 不盈不亏B. 亏损10元C. 盈利10元D. 盈利20元02. 某药厂对售价为m元的药品进行了降价，现在有三种方案. 方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%.三种方案哪种降价最多 ( )A. 方案一B. 方案二C. 方案三D. 不能确定03. 某药店在甲工厂以每包a元的价格买进了41盒口罩，又在乙工厂以每包b元(a<b) 的价格买进了同样的59盒口罩. 如果以每包元的价格全部卖出这种口罩，那么这家药店 ( )A. 亏损了B. 盈利了C. 不盈不亏D. 盈亏不能确定核心考点二利润问题04. 某商店开张，为吸引顾客，所有商品一律按8折优惠出售. 已知某种皮鞋进价60元一双，8折优惠出售后商家获利40%.问：这种皮鞋标价多少元?核心考点三利率问题05.“盛中”商场为了促销新上市的新款 A 牌汽车，决定2023年“国庆节”期间购买该车者可以分两期付款：在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息(年利率为8%)在2024年“国庆节”付清. 已知该汽车每辆售价为74074元，若购车者的两次付款恰好相同，则每次应付款多少元? (结果保留整数)专题七一元一次方程的应用(3) ——行程问题核心考点一顺水 (风) 逆水 (风)01.轮船在顺水中的速度为28千米/时，在逆水中的速度为24千米/时，则水流的速度是千米/时.02. 一艘轮船航行在A，B两个码头之间，已知水流的速度为3千米/时，轮船顺水航行需用5小时，逆水航行需用7小时，求轮船速度和A，B两地之间的距离.核心考点二过桥问题03. 一桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了1分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒. 求火车的长度及行驶速度.04.一列火车匀速行驶，完全通过一条长450米的隧道需要25秒的时间，隧道顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的速度为米/秒.核心考点三时钟问题 (转化为追及问题)05.某人在下午五点多离开家时看了一下时钟，发现时针和分针的夹角是110°，不到下午6点时回家发现时针和分针的夹角还是110°，则他外出的时间是分钟.核心考点四年龄问题——相差不变问题06. 今年父亲的年龄与兄妹两人年龄之和相等，且哥哥比妹妹大4岁. 已知24年前，父亲的年龄是兄妹年龄之和的5倍. 那么今年父亲、兄妹各多少岁?核心考点五环形运动07. 甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别为200米/分和160米/分. 两人同时从起点同向出发.当两人起跑后第一次并肩时经过了多少时间? 这时他们各跑了多少圈?核心考点六追及问题08. 甲、乙两人从A地同时出发去B地，速度为15千米/小时，走了3千米时，甲发现重要物品忘在A地，立即返回拿到物品并追赶乙，若返回和追赶速度都是原速的1.2倍，且两人同时到达B地，则A，B两地相距多少千米?核心考点七无长度相遇09. 甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米，如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，求A，B两市的距离.核心考点八有长度相遇10. 某校中学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时行4500米，一列火车以每小时 120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队伍首位学生相遇，到车尾与队伍末尾学生相遇共经历60秒，如果队伍长500米，那么火车长是多少米?01. 下表是某网约车公司的专车计价规则.计费项目起租价里程费时长费远途费单价15元 2.5元/公里 1.5 元/分1元/公里注：车费由起租价、里程费、时长费、远途费四部分构成，其中起租价15元含10分钟时长费和5公里里程费，远途费的收取方式为：行车里程10公里以内(含10公里) 不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收1元.(1) 若小李乘坐专车，行车里程为20公里，行车时间为30分，则需付车费元；(2)若小李乘坐专车，行车里程为x(7<x≤10)公里，平均时速为40km/h，则小李应付车费多少元? (用含x的代数式表示)(3)小李与小王各自乘坐专车，行车车费之和为76元，里程之和为15公里(其中小王的行车里程不超过5公里).如果行驶时间均为20分钟，那么这两辆专车此次的行驶路程各为多少公里?02. 某市居民使用自来水，每户每月水费按如下标准收费：月用水量不超过8立方米，按每立方米a元收取；月用水量超过8立方米但不超过14立方米的部分，按每立方米b元收取；月用水量超过14立方米的部分，按每立方米c元收取. 下表是某月部分居民的用水量及缴纳水费的数据.用水量(立方米) 2.51561210.3 4.791716水费 (元)533.41225.621.529.418.439.436.4(1) ①a= , b= , c= ;②若小明家七月份需缴水费31元，则小明家七月份用水米³；(2)该市某用户两个月共用水30立方米，设该用户在其中一个月用水x立方米，请列式表示这两个月该用户应缴纳的水费.01. 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000 元.该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：方案 1：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好四天完成，你认为选择哪种方案获利较多，为什么?02. 某超市开展“元旦”促销活动，出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：A B标价(单位：元)100110每件商品返利按标价的30%按标价的15%方案1例: 买一件A商品, 只需付款100(1-30%)元方案2若所购商品达到或超过101件(不同商品可累计)，则按标价的20%返利(同一种商品不可同时参与两种活动)(1) 某单位购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动方案划算? 能便宜多少钱?(2)若某单位购买A商品x件(x为正整数)，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠? 请说明理由.专题十一元一次方程的应用(6)——答题得分类应用题01. 12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况.参赛者答对题数答错题数得分A200100B17379(1) 参赛学生C得72分，他答对了几道题? 答错了几道题?(2) 参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗? 为什么?02. 某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2 名学生参赛后的得分情况.参赛者答对题数答错题数得分A18286B17379(1) 参赛学生C得72分，他答对了几道题? 答错了几道题? 为什么?(2) 参赛学生D说他可以得94分，你认为可能吗? 为什么?03. 某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中5名参赛者的得分情况，观察并完成下面的问题.(1) 由表可知，答对一题得分，答错一题得分(直接写出结果)；(2) 某参赛者说他答完20道题共得70分，你认为可能吗? 请说明理由.参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040专题十一一元一次方程的应用(7) ——球赛积分类应用题01. 下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分(篮球比赛没有平局).球队比赛场次胜场负场积分A1210222B129321C127519D116517E1113(1) 观察积分榜，请直接写出球队胜一场积分，负一场积分；(2) 根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场?(3)若此次篮球比赛共18轮(每个球队各有18场比赛)，D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗?请说明理由.02.下表是某赛季欧洲足球冠军杯第一阶段G组赛(G组共四个队，每个队分别与其它三个队进行主、客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛) 积分表的一部分.排名球队场次胜平负进球主场进球客场进球积分1切尔西6??11385132基辆迪纳摩6321835113波尔图63129x5104特拉维夫马卡比60061100备注积分=胜场积分+平场积分+负场积分(1)表格中波尔图队的主场进球数x的值为，本次足球小组赛胜一场积分，平一场积分，负一场积分；(2)欧洲冠军杯奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛每支球队可以获得参赛奖金1200万欧元，另外，小组赛中每获胜一场可以再获得150万欧元，平一场获得50万欧元. 请根据表格提供的信息，求出在第一阶段小组赛结束后，切尔西队一共能获得多少万欧元的奖金?01.下表是某校七、八年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中七、八年级同一兴趣小组每次活动时间相同.年级课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级18.667八年级1555(1) 文艺小组和科技小组各活动1次，共用时 h；(2) 求文艺小组每次活动多少h?02.下表是某校四~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数活动总次数四年级18.57310五年级165a六年级9七年级12.5437八年级10.5336九年级7b(1)文艺小组每次活动 h，科技小组每次活动 h，(2) 该校六年级文艺小组活动总时间能等于科技小组活动的总时间吗?(3) 该校计划在四年级不改变总时间的前提下，增加活动的总次数，试通过计算设计符合条件的所有方案.01.“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2500kg，含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点. A村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少5公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了5000kg.(1) 分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：种植面积(公顷)每公顷产量( kg)含油率总产油量( kg)去年x250040%今年2500+30040%+10%求出：A村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷?(2)去年和今年A村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后都以每千克 15元的价格卖给批发商，批发商将去年菜籽油按照每千克20元定价，且全部售出. 由于销售火爆，批发商今年比去年每千克提高了a元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利130000元，求a的值.02.某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点. 钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750t.(1) 设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表(结果需要化简)：开采天数(天)每天开采量(t)含铁率总产铁量(t)一期x192050%二期1920+33050%+10%并分别求出一期和二期的开采天数；(2)该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出.由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值.核心考点一追及问题01. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之. ”译文是：“跑得快的马每天走 240里，跑得慢的马每天走 150里. 慢马先走12天，快马几天可以追上慢马?”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为 ( )A. (240-150)x=150×12B. 150(x-12)=240xC. 240x+150×12=150xD. 12x=(240-150)核心考点二盈不足问题02.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问物价几何? 译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问这个物品的价格是多少? 设这个物品的价格是x元，则可列方程为( )A. 8x-3=7x+4B. 8x+3=7x+403. 我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?”意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车? 设有x个人，根据题意列方程正确的是 ( )04. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁”意思：有100个和尚分 100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人? 设大和尚有x人，依题意列方程得 ( )05.《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三.问人数、羊价各几何?”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3 元. 根据题意列一元一次方程可求出羊价为( )元.A. 211B. 195C. 189D. 171核心考点一行程问题与分类讨论01. 如图，某公司租用两种型号的货车各一辆，分别将产品运往甲市与乙市(运费收费标准如下表)，已知该公司到乙市的距离比到甲市的距离远30km，B车的总运费比A 车的总运费少1080元.货车 A 车 B 车运费(元/千米)2418(1) 求这家公司分别到甲、乙两市的距离；(2)若A，B两车同时从公司出发，其中B 车以60km/h的速度匀速驶向乙市，而A 车根据路况需要，先以45km/h的速度行驶了3 小时，再以75km/h的速度行驶到达甲市.①在行驶的途中，经过多少时间，A，B两车到各自目的地的距离正好相等?②若公司希望B车能与A车同时到达目的地，B车必须在以60km/h的速度行驶一段时间后提速，若提速后的速度为70km/h，则B车应该在行驶小时后提速.核心考点二利润问题与分类讨论02. 武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装每件售价1200元, 可盈利50%.(1) 每件甲种服装利润率为，乙种服装每件进价为元；(2) 若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价为27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少元?(3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”(比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元).到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动.张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱. 问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动?。
第五章一元一次方程及其解法专题复习(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元一次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程及其解法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次一元一次方程及其解法专题复习的教学中，我注意到几个关键点。首先，学生们在理解方程的概念和解法上普遍表现良好，他们能够迅速掌握基本的代入法、消元法等解法技巧。然而，我也发现，当涉及到将实际问题抽象成方程模型时，部分学生感到困惑。这让我意识到，我们需要在今后的教学中加强对这类问题的训练，帮助学生建立起实际情境与数学模型之间的联系。
在讲授重点难点时，我发现通过具体的案例分析和逐步解题过程，学生们的理解程度有所提高。但是，我也发现个别学生在面对复杂题目时，仍然难以独立解题。这提示我，可能需要在课后提供更多的辅导和练习机会，让学生有更多的机会巩固所学知识。
专题3.1 一元一次方程(基础)(解析版)
专题3.1 一元一次方程目录方程的概念 (1)方程的解求代数式 (3)污染与覆盖问题 (4)等式的基本性质 (7)天平中的等式 (9)一元一次方程的概念 (11)一元一次方程求参数 (12)一元一次方程求解 (14)方程同解问题 (18)错解问题....................................................................................................................................................20方程的概念【例1】下列各式中：①215x -=；②4812+=；③58y +；④230x y +=；⑤211a +=；⑥2251x x --．是方程的是( )A ．①④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤【解答】解：①215x -=符合方程的定义，故本小题符合题意；②4812+=不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；③58y +不是等式，故本小题不合题意；④230x y +=符合方程的定义，故本小题符合题意；⑤211a +=符合方程的定义，故本小题符合题意；⑥2251x x --不是等式，故本小题不合题意．故选：C ．【变式训练1】下列各式中是方程的是( )A ．23x -B ．246+=C ．21x ->D ．213x -=【解答】解：A ．23x -含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意；B ．246+=不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意；C ．21x ->不是等式，所以不是方程，故不符合题意；D ．213x -=符合方程的定义，故符合题意．故选：D ．【变式训练2】下列式子中是方程的是( )A ．54x +B ．357x -<C ．26x -=D ．3215´-=【解答】解：.54A x +，不是方程，故A 不符合题意；.357B x -<是一元一次不等式，故B 不符合题意，C ．26x -=，是方程，故C 符合题意；.3215D ´-=，不是方程，故D 不符合题意；故选：C ．在下列各式中：①341x -=-；②2523y y +=；③71x -；④20x -¹；⑤1x x <+；⑥3322pp´=；⑦320y x -=．【变式训练3】其中是方程的有( )个．A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：①341x -=-，是方程；②223y y +=，是方程；③71x -，是代数式，不是方程；④20x -¹，是不等式，不是方程；⑤1x x <+，是不等式，不是方程；⑥3322p p ´=，是等式，不是方程；⑦320y x-=，是方程；所以是方程的有①②⑦共3个．故选：A ．方程的解求代数式【例2】若12x y =ìí=-î是方程21ax y +=的解，则a 的值为( )A ．1B ．1-C ．3-D ．3【解答】解：把12x y =ìí=-î代入方程21ax y +=，得：21a -=，解得3a =，故选：D ．【变式训练1】如果关于x 的方程240x k +-=的解3x =-，那么k 的值是( )A ．10-B ．10C ．2D ．2-【解答】解：把3x =-代入方程240x k +-=，得：640k -+-=解得：10k =．故选：B ．【变式训练2】已知5x =是方程820ax a -=+的解，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．7D ．8【解答】解：把5x = 代入方程820ax a -=+，得：5820a a -=+，解得：7a =，故选：C ．【变式训练3】若1x =-是方程260x m +-=的解，则m 的值是( )A ．4-B ．4C ．8-D ．8【解答】解：把1x =-代入方程260x m +-=可得：2(1)60m ´-+-=，解得：8m =，故选：D ．污染与覆盖问题【例3】方程3(-★9)51x -=-，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是5x =，那么★处的数字是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：将5x =代入方程，得：3(-★9)251-=-，解得：★1=，即★处的数字是1，故选：A ．【变式训练1】小丽同学在做作业时，不小心将方程2(3)x --■1x =+中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是9x =，请问这个被污染的常数■是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：把9x =代入2(3)x --■1x =+，得2(93)´--■91=+，解得■2=；故选：C ．【变式训练2】有一方程1=-，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为1x =-，那么处的数字应是( )A ．5B ．5-C ．12D ．12-【解答】解：设处的数字是a ．\213a -=-．5a \=．故选：A ．【变式训练3】方程2x +▲3x =，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是2x =，那么▲处的常数是 2 ．【解答】解：把2x =代入方程，得4+▲6=，解得▲2=．故答案为：2【例4】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程” 211x +=的解也是关于x 的方程12()3x m --=的解，则m = 1 ；（2）若关于x 的方程2340x x +-=的解也是“立信方程” 26230x x n +--=的解，则n = ；（3）若关于x 的方程322354ax a a a =--+的解也是关于x 的方程9314x kx -=+的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a 和正整数k 的值．【解答】（1）211x +=Q ，解得0x =；把0x =代入12()3x m --=，得：12(0)3m --=，123m \+=，解得：1m =；（2）解方程2340x x +-=，(1)(4)0x x -+=，解得：11x =或24x =-，把11x =代入26230x x n +--=得：2612130n ´+´--=，解得：5n =；把24x =-代入26230x x n +--=得：26(4)2(4)30n ´-+´---=，解得：5n =；故满足条件的n 的值为5（3）因a 为正整数，则0a ¹，又322354ax a a a =--+Q ，\24235x a a a=--+，Q 两方程均为立信方程，x \的值为整数，\4a为整数，\此时a 可取1，4，2，1-，4-，2-，2x \=-，16，1-，4-，38，7，同理9314x kx -=+，(9)17k x \-=，显然，此时9k ¹，则179x k=-，9k \-可取8，810-，26，\此时17x =，1，17-，1-，\两方程相同的解为1x =-，此时对应的2a =，26k =，故符合要求的正整数a 的值为2，k 的值为26【变式训练1】阅读下列材料：关于x 的方程3311x x +=+的解是1x =；3322x x +=+的解是2x =；33(2)(2)x x +=-+-的解是2x =-；以上材料，解答下列问题：（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x 的方程3344x x +=+的解为 4x = ．（2）比较关于x 的方程33x x a a +=+与上面各式的关系，猜想它的解是 ．（3）请验证第（2）问猜想的结论，（4）利用第（2）问的结论，求解关于x 的方程33(1)(1)2x x a a -+=+++的解．【解答】解：（1）根据阅读材料可知：关于x 的方程3344x x +=+的解为4x =；故答案为：4x =；（2）关于x 的方程33x x a a +=+它的解是x a =；故答案为：x a =；（3）把x a =代入等式左边3a a =+=右边；（4）33(1)(1)2x x a a -+=+++整理，得33(1)1(1)1x x a a -+-=+++，所以11x a -=+，解得2x a =+．等式的基本性质【例5】下列根据等式的性质正确变形的是( )A ．由22x =，得1x =B ．由3(2)6x -=，得22x -=C ．由26x -=，得226x -+=D ．由231x x +=-，得213x x +=--【解答】解：A ．由22x =，得4x =，所以A 选项不符合题意；B ．由3(2)6x -=，得22x -=，所以B 选项符合题意；C ．由26x -=，得2262x -+=+，所以C 选项不符合题意；D ．由231x x +=-，得213x x -=--，所以D 选项不符合题意；故选：B ．【变式训练1】下列运用等式性质进行的变形中，正确的是( )A ．若a b =，则55a b +=-B ．若a b =，则23a b =C ．若2a b b +=，则a b=D ．若2a b =+，则222a b =+【解答】解：A ．a b =Q ，55a b \+=+，故本选项不符合题意；B ．a b =Q ，22a b \=，不一定等于3b ，故本选项不符合题意；C ．2a b b +=Q ，2a b b b b \+-=-，a b \=，故本选项符合题意；D ．2a b =+Q ，224a b \=+，故本选项不符合题意；故选：C ．【变式训练2】下列变形正确的是( )A ．452x x -=+得425x x -=-+B ．215332x x -=+得4533x x -=+C ．4(1)2(3)x x -=+得4126x x -=+D ．32x =得23x =【解答】解：A 、452x x -=+得452x x -=+，故A 不符合题意．B 、215332x x -=+得430318x x -=+，故B 不符合题意．C 、4(1)2(3)x x -=+得4426x x -=+，故C 不符合题意．D 、32x =得23x =，故D 符合题意．故选：D ．【变式训练3】如下是方程313142x x -+-=的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有( )解：4(31)2(3)x x --=+①43162x x -+=+②32641x x --=--③51x -=④15x =-⑤A ．①②③B ．①②④C ．①③⑤D ．①④⑤【解答】解：如上图是方程313142x x -+-=的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有：①③⑤，步骤②的依据是去括号法则，步骤④的依据是合并同类项法则，故选：C ．天平中的等式【例6】一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置( )A ．3个〇B ．4个〇C ．5个〇D ．6个〇【解答】解：设球的质量是x ，小正方形的质量是y ，小正三角形的质量是z ．根据题意得到：5233322x y x z x y y z +=+ìí+=+î，解得：2y x z x=ìí=î，第三图中左边是：25x y z x ++=，因而需在它的右盘中放置5个〇．故选：C ．【变式训练1】橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是( )A ．20B ．30C ．40D ．45【解答】解：设每个橘子重x ，可得不等式组220303202302x x >+ìí<´+´î，解得125333x <<，故选：B ．【变式训练2】设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：设■x =，▲y =，●z =，23x y y \+=，y x \=，又x y x z +=+Q ，y z \=，x y z \==，33x z \=，故选：C ．【变式训练3】在中央电视台“开心辞典“节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的( )A．43倍B．32倍C．2倍D．3倍【解答】解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，由题意得：1322y xz x-==，解得32x y =，故选：B．一元一次方程的概念【例7】下列方程为一元一次方程的是( )A．112x-=B．232x x+=+C．34x--=D．232y x-=【解答】解：A．112x-=是分式方程，故本选项不合题意；B．232x x+=+中含有未知数项的最高次数是2，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；C．34x--=符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；D．232y x-=中含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意．故选：C．【变式训练1】下列方程中，属于一元一次方程的是( )A．1x y=+B．11x=C．21x x=-D．21x+=【解答】解：A选项，这个方程有2个未知数，故该选项不符合题意；B选项，这个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；C选项，这个方程的最高次数是2，故该选项不符合题意；D选项，这个方程是一元一次方程，故该选项符合题意．故选：D．【变式训练2】下列方程为一元一次方程的是( )A．23x y+=B．30y+=C．210x-=D．11 x=【解答】解：A ．23x y +=中含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故选项A 不符合题意；B ．30y +=符合一元一次方程的定义，故选项B 符合题意；C ．210x -=中的未知数的次数是2，所以不是一元一次方程，故选项C 不符合题意；D ．11x=是分式方程，所以不是一元一次方程，故选项D 不符合题意．故选：B ．【变式训练3】下列方程0x =，21x y +=，13x x -=，243x x -=，13x=，29x -，其中是一元一次方程的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：0x =，是一元一次方程；21x y +=，含有两个未知数，故不是一元一次方程；13x x -=是一元一次方程；243x x -=，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程；13x=，不是整式方程，故不是一元一次方程；29x -不是方程，所以是一元一次方程的有2个．故选：B ．一元一次方程求参数【例8】已知|2|(3)58a a x---=是关于x 的一元一次方程，则(a = )A ．3或1B ．1C ．3D ．0【解答】解：根据题意得：|2|1a -=，解得3a =或1a =，因为30a -¹，所以3a ¹，综上可知：1a =．【变式训练1】若||1(2)40m m x -++=是一元一次方程，则m 的值为( )A ．2±B ．2C ．2-D ．任何实数【解答】解：||1(2)40m m x -++=Q 是一元一次方程，||11m \-=且20m +¹，解得2m =；故选：B ．【变式训练2】如果||2(3)20m m x -++=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )A ．2或2-B ．3-C ．3或3-D ．3【解答】解：||2(3)20m m x -++=Q 是关于x 的一元一次方程，\30||21m m +¹ìí-=î，解得3m =．故选：D ．【变式训练3】若方程|2|(1)80m m x ---=是关于x 的一元一次方程，则(m = )A ．1B ．2C ．3D ．1或3【解答】解：Q 方程|2|(1)80m m x ---=是关于x 的一元一次方程，|2|1m \-=且10m -¹，即3m =或1且1m ¹，3m \=，故选：C ．【例9】已知方程22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程．（1）求m 的值及方程的解．（2）求代数式22152(2)3(2)3x xm x xm -+-+的值．【解答】解：（1）Q 方程22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，210m \-=且(1)0m -+¹，原一元一次方程化为：280x -+=，解得4x =；（2）22152(2)3(2)3x xm x xm -+-+Q 225246x x x x =----236x x =--，当4x =时，原式244362=-´-=-，即代数式22152(2)3(2)3x xm x xm -+-+的值是2-．【变式训练1】若||(1)30a a x --=是关于x 的一元一次方程，求2242[(22)]a a a a ----+的值．【解答】解：2242[(22)]a a a a ----+2242[22]a a a a =---+-2242424a a a a =--+-+44a =-．根据题意得，10a -¹且||1a =，解得1a =-，把1a =-，代入化简后的代数式得，44a-44(1)=-´-44=+8=．一元一次方程求解【例10】解方程．（1）0.2:0.1:8x =；（2）1.5120x x-=；（3）50%22.5x x+=．【解答】解：（1）变形得：0.1 1.6x=，系数化为1得：16x=；（2）合并得：0.5120x=，系数化为1得：240x=；（3）合并得：1.522.5x=，系数化为1得：15x=．【变式训练1】解方程．（1）1204x x+=；（2）4638x-=；（3）2:716:x=．【解答】解：（1）1204x x+=，合并同类项，得5204x=．x的系数化为1，得16x=．（2）4638x-=，移项，得444x=．x的系数化为1，得11x=．（3）2:716:x=Q，2112x\=．56x\=．【变式训练2】解方程．（1）5312x x-=；（2）3437x+=；（3）11:10:43x=；（4）32(27x-=．【解答】解：（1）5312x x-=，212x=，6x=．（2）3437x+=，3734x=-，3x=．（3）11:10:43x=，111034x=´，152x=．（4）32(27x-=，317x-=，317x=+，107x=．【变式训练3】解方程：（1）972(34)x x-=+；（2）3157 46x x--=．【解答】解：（1）972(34)x x-=+，9768x x-=+，9687x x-=+，315x=，5x=；（2）3157 46x x--=，3(31)2(57)x x-=-，931014x x-=-，910143x x-=-+，11x-=-，11x=．【变式训练4】解下列方程：（1）5(2)3(21)7x x+--=；（2）1231 23x x+--=．【解答】解：（1）5(2)3(21)7x x+--=，510637x x+-+=，567103x x-=--，6x-=-，6x=；（2）1231 23x x+--=，3(1)2(23)6x x+--=，33466x x+-+=，36634x x+=-+，97x=，79x=．【变式训练5】解下列方程：（1）4(3)2(1)x x-+=-；（2）2543137x x+--=．【解答】解：（1）4(3)2(1)x x-+=-，4322x x--=-，2243x x--=--+，33x-=-，1x=；（2）2543137x x+--=，217(25)3(43)x x -+=-，211435129x x --=-，149122135x x -+=-+，526x -=，265x =-．方程同解问题【例11】已知关于x 的方程2(1)2(2)x m x +-=--与3(21)54x x +=-的解相同，则m 的值为( )A ．30-B ．30C ．7-D ．7【解答】解：3(21)54x x +=-，6354x x +=-，6543x x -=--，7x =-，把7x =-代入方程2(1)2(2)x m x +-=--得：2(71)2(72)m ´-+-=-´--，解得：30m =-，故选：A ．【变式训练1】若关于x 的方程234x m +=-和215x +=有相同的解，则m 的值是( )A ．45B ．45-C ．83D ．83-【解答】解：首先解方程215x +=，得：2x =；把2x =代入方程234x m +=-，得：434m +=-，解得：83m =-．故选：D ．【变式训练2】方程360x +=与关于x 的方程322x m =-的解相同，则m 的值为( )A ．2-B ．2C ．3D ．4【解答】解：360x +=，36x =-，2x =-，把2x =-代入方程322x m =-中可得：622m -=-，解得：4m =，故选：D ．【变式训练3】如果方程20x -+=与关于x 的方程724x k -=的解相同，则k 的值为( )A ．5-B ．5C ．15-D ．15【解答】解：20x -+=Q ．2x \=．Q 方程20x -+=与关于x 的方程724x k -=的解相同．7224k \´-=．5k \=．故选：B ．【例12】若关于x 的方程25x a +=的解和关于x 的方程与41232x a ---=的解相同，求字母a 的值，并写出方程的解．【解答】解：25x a +=，25x a =-，52a x -=，41232x a ---=，2(4)123(1)x a --=-，2317x a =+，3172a x +=，由题意得：531722a a -+=，解得：11a =-，11582x --\==-，\字母a 的值为11-，方程的解为8x =-．【变式训练1】如果方程737234x x +-=+的解与方程3(31)(21)x a x a -+=+-的解相同，求代数式1a a -的值．【解答】解：737234x x +-=+，4(7)243(37)x x +=+-，42824921x x +=+-，49242128x x -=--，525x -=-，5x =，把5x =代入方程3(31)(21)x a x a -+=+-得：15(31)5(21)a a -+=+-，解得：2a =，所以1112122a a -=-=．错解问题【例13】小南在解关于x 的一元一次方程134x m -=时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为43x m -=，并解得为1x =，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为( )A ．154x =B ．1x =C ．112x =D ．94x =-【解答】解：把1x =代入得：43m -=，解得：1m =，把1m =代入方程得：1134x -=，解得：154x =．故选：A ．【变式训练1】在数学课上，冰冰在解方程21152x x a -++=时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为6x =-，试求a 的值，并解出原方程正确的解．【解答】解：Q 去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，2(21)15()x x a \-+=+，把6x =-代入上式，解得1a =．原方程可化为：211152x x -++=，去分母，得2(21)105(1)x x -+=+，去括号，得421055x x -+=+，移项、合并同类项，得3x -=-，系数化为1，得3x =，故1a =，3x =．【变式训练2】某同学在对方程215124x x a ++-=去分母时，方程右边的1没有乘4，这时方程的解为2x =，试求a 的值，并求出原方程正确的解．【解答】解：根据题意得，2x =是方程2(21)(5)1x x a +-+=的解，\把2x =代入2(221)(52)1a ´´+-´+=，解得1a =-．把1a =-代入到原方程中得2151124x x +--=，整理得，2(21)(51)4x x +--=，解得1x =-．【变式训练3】小马虎亮亮在解方程21134x x a -+=-时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的1-没有乘以12，由此求得解为3x =，请解决以下问题：（1）求a 的值；（2）求出原方程的正确解．【解答】解：（1）把3x =代入方程4(21)3()1x x a -=+-得：4(231)3(3)1a ´´-=+-，即20931a =+-，解得：4a =；（2）原方程为214134x x -+=-，4(21)3(4)12x x -=+-，8431212x x -=+-，8312124x x -=-+，54x =，45x =．1．若使方程(2)1m x +=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）A ．2m ¹-B ．0m ¹C ．2m ¹D ．2m >-【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．【详解】解：∵方程()21m x +=是关于x 的一元一次方程，∴20m +¹即2m ¹-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．2．符合条件|a ＋5|＋|a －3|＝8的整数a 的值有（ ）．A ．4个B ．5个C ．7个D ．9个【答案】D【分析】此方程可理解为a 到−5和3的距离的和，由此可得出a 的值，继而可得出答案．【详解】解：|a ＋5|表示a 到−5点的距离，|a −3|表示a 到3点的距离，由−5到3点的距离为8，故−5到3之间的所有点均满足条件，即−5≤a ≤3，又由a 为整数，故满足条件的a 有：−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3共9个，故选：D ．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，关键是利用数轴进行解答．3．在下列方程：①32x y -=，②2230x x --=，③211x =-，④312x -=，⑤253m m -=中，一元一次方程的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．【详解】解：在下列方程：①32x y -=，②2230x x --=，③211x =-，④312x -=，⑤253m m -=中，④312x -=，⑤253m m -=是一元一次方程，共2个,故选B【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．4．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x 为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）A ．绝对值B ．有理数C ．代数式D ．方程【答案】D【分析】根据数学发展常识作答．【详解】解：中国古代列方程的方法被称为天元术，故选：D ．【点睛】本题主要考查了方程，代数式，数学常识，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的数学模型．5．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式，下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）解：原方程可化为203104153x x -+-=（ ① ）去分母，得()()3203510415x x --+=（ ② ）去括号，得609502015x x ---=（ ③ ）移项，得605015920x x -=++（ ④ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则）系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）A ．①分数的基本性质B ．②等式的基本性质2C ．③乘法对加法的分配律D ．④加法交换律【答案】D【分析】方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：原方程可化为203104153x x -+-=（ ① ）去分母，得()()3203510415x x --+=（ ② ）去括号，得609502015x x ---=（ ③ ）移项，得605015920x x -=++（等式的基本性质1 ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则）系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．下列解方程去分母正确的是( )A ．由1132x x --=，得2x ﹣1＝3﹣3x B ．由2124x x --=-，得2x ﹣2﹣x ＝﹣4C ．由135y y -=，得2y-15=3y D ．由1123y y +=+，得3(y+1)＝2y+6【答案】D【分析】根据等式的性质2，A 方程的两边都乘以6，B 方程的两边都乘以4，C 方程的两边都乘以15，D 方程的两边都乘以6，去分母后判断即可．【详解】A ．由1132x x --=，得：2x ﹣6＝3﹣3x ，此选项错误；B ．由2124x x --=-，得：2x ﹣4﹣x ＝﹣4，此选项错误；C ．由135y y -=，得：5y ﹣15＝3y ，此选项错误；D ．由1123y y +=+，得：3（ y +1）＝2y +6，此选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．7．已知下列方程：①22x x -=；②0.31x =；③512x x =+；④243x x -=；⑤6x =；⑥20.x y +=其中一元一次方程的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①22x x -=是分式方程，故①不符合题意；②0.31x =，即0.310x -=，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；③512x x =+，即920x +=，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；④243x x -=的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意；⑤6x =，即60x -=，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；⑥20x y +=中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．综上所述，一元一次方程的个数是3个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）A ．若()()2211a x b x +=+，则a b =B ．若a b =，则ac bc=C ．若a b =，则22a b c c =D ．若x y =，则33x y -=-【答案】C 【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：A 、根据等式性质2，a （x 2+1）=b （x 2+1）两边同时除以（x 2+1）得a=b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；B 、根据等式性质2，a=b 两边都乘c ，即可得到ac=bc ，原变形正确，故这个选项不符合题意；C 、根据等式性质2，c 可能为0，等式两边同时除以c 2，原变形错误，故这个选项符合题意；D 、根据等式性质1，x=y 两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．二、填空题9．关于x 的一元一次方程230x kx --=的解是正整数，整数k 的值是____________．【答案】1或-1【分析】把含x 的项合并，化系数为1求x ，再根据x 为正整数求整数k 的值．【详解】解：移项合并得：(2)3k x -=，系数化为1得：32x k=-，∵x 为正整数，∴2-k =1或2-k =3，解得k =1或-1，故答案为：1或-1．【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k 的值．10．如果关于x 的方程（m 2﹣1）x ＝1无实数解，那么m 满足的条件是________．【答案】±1【分析】令未知数的系数为0，即可得出结论．【解答】解：当m 2﹣1＝0时，方程无实数解，∴m ＝±1．故答案为：±1．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的关键．11．3x =是方程27x m +=的解，那么m 的值等于_____________．【答案】1【分析】根据方程解的定义可得，把x =3代入方程27x m +=，即可得出答案．【详解】把x =3代入方程得：67m +=，解得：1m =．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．12．已知m 为非负整数，若关于x 的方程mx =2-x 的解为整数，则m 的值为________．【答案】0或1##1或0【分析】把方程移项合并同类项， x 系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m 的非负整数值即可．【详解】解∶mx =2-x(m +1 ) x =2，当m +1≠0，即m ≠-1时，解得∶21x m =+，由x 为整数，得到m +1=1±或m +1=2±，解得∶ m =0或m =-2或m = l 或m =-3，∴m 的非负整数值为0和1，故答案为∶ 0和1．【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键．三、解答题13．解方程：(1)91487x x-=+(2)121323x x x --+=-【答案】(1)x =11(2)2313x =【分析】（1）解一元一次方程，先移项，然后合并同类项，最后系数化1求解；（2）解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化1求解．(1)解：9x −14=8+7x移项，得：9x −7x =14+8合并同类项，得：2x =22系数化1，得：x =11(2)121323x x x --+=- 去分母，得：6x +3(x −1)=18−2(2x −1)去括号，得：6x +3x −3=18−4x +2移项，得：6x +3x +4x =18+2+3合并同类项，得：13x =23系数化1，得：2313x =【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．14．解方程(1)332(1)x x =-+(2)3153126x x +--=-【答案】(1)15x =(2)3x =-【解析】（1）解：332(1)x x =-+去括号：3322x x =--移项合并同类项得：51x =系数化为1得：x=15（2）213+x −536x -=−1去分母得：3（3x+1）-（5x -3）=−6去括号得：9x +3−5x +3=−6移项，合并同类项得：4x =−12系数化为1得：x =−3【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．15．小明同学在解方程21133x x a -+=-去分母时，方程右边的1-没有乘3，因而求得方程的解为3x =，试求a 的值，并正确地解方程．【答案】3a =，1x =【分析】根据题意得出方程，将x ＝3代入求出a 的值，即可求出正确的解．【详解】解：把3x =代入方程()211x x a -=+-，得()6131a -=+-，解得3a =．把3a =代入21133x x a -+=-，得213133x x -+=-．去分母，得2133x x -=+-，移项，得2331x x -=-+，合并同类项，得1x =．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，同时考查了一元一次方程的解法，正确求出a 的值是解题的关键．。
专题04一元一次方程的概念和解法复习(原卷版)
专题04 一元一次方程的概念和解法复习（原卷版）第一部分典例剖析+变式训练知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的整式方程.)1．（2022春•淅川县期中）下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2−y4=y−15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（）A．3B．4C．5D．6变式训练1．（2022春•安溪县期中）若x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0B．7C．8D．103．（2022春•仁寿县期中）已知（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．﹣2B．±2C．2D．0知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根)典例2检验下列各数是不是方程4x﹣3＝2x+3的解：（1）x＝3；（2）x＝﹣3．变式训练1．（2021秋•兴庆区校级期末）如果关于x的方程a﹣x=x2+3a的解是x＝4，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣5D．52．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（）A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数3．（2022春•丰泽区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣b＝5的解，则6a﹣2b﹣2的值为（）A．2B．8C．﹣3D．﹣84．（2021秋•肥西县月考）已知x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．35．（2022秋•市南区期末）方程2x ﹣1＝3与方程1−3a−x3=0的解相同，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．536．（2021春•杨浦区期末）关于x 的一元一次方程ax ＝3，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（ ） A ．该方程一定有实数解 B ．该方程一定没有实数解C ．该方程不一定有实数解D ．上述说法都不对知识点3:等式的性质：1.等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式．）典例3用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的： （1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣ ＝7； （2）若2a ＝1.5，则6a ＝ ； （3）若﹣3y ＝18，则y ＝ ； （4）若a +8＝b +8，则a ＝ ； （5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝ ． 变式训练1．（2021秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（ ） A ．如果a ＝2，那么a +2＝4 B ．如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6C ．如果3a ＝5，那么a =35D ．如果a ＝﹣2，那么a 2＝42．（2021秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ） A ．由x2=2，得x ＝1 B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x +x ＝﹣1﹣3知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1） 典例4（2022春•郸城县校级月考）解下列方程：（1）4x ﹣3（20﹣x ）＝3； （2）12(x −1)=2−15(x +2)；（3）x+24−2x−36=1； （4）0.3x−0.50.2−0.12−0.05x0.03=x ．变式训练1．（2021秋•南关区校级期末）解下列方程：（1）10x +9＝12x ﹣1； （2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4；（3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1）； （4）2x+13−5x−16=1．2．（2021秋•新民市期末）当x 取什么值时，代数式2x+32的值与1−x−13的值相等？知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程b ax =，⑴若0≠a ，则方程只有惟一解abx =；⑴若0,0≠=b a ，则原方程无解；⑴若0,0==b a ，则原方程有无数个解．） 典例5 已知关于x 的方程x−23−mx2+3=113． （1）当m 取何值时，方程有解？ （2）当m 取何整数时，方程的解是整数？（3）在（2）的条件下，a ，b 在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，求（a +b +m ）2013． 变式训练1．（2022秋•石景山区期末）设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m ﹣5）x +m ﹣3＝0． （1）当m ＝2时，求方程的解； （2）若该方程有整数解，求m 的值．第二部分 一元一次方程的概念和解法复习配套作业1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2a +1与a ﹣2的值相等，则a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021秋•滕州市期末）如果关于x 的方程6n +4x ＝7x ﹣3m 的解是x ＝1，则m 和n 满足的关系式是（ ） A ．m +2n ＝﹣1B ．m +2n ＝1C ．m ﹣2n ＝1D ．3m +6n ＝113．（2021秋•开县期末）关于x 的方程2x +m ＝1的解是方程3x ﹣2＝2x ﹣1的解的3倍，则m 的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣17C ．1D ．34．（2022春•唐河县月考）若﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，则方程nx ﹣m ＝5的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝3C ．x ＝2D ．x ＝15．（2021秋•朝阳区校级期中）写出一个满足“未知数的系数是﹣2，方程的解为3”的一元一次方程： ． 6．（2021秋•阜新县校级期末）当x ＝ 时，单项式5a 2x +1b 2与8a x +3b 2是同类项．7．（2021秋•银川校级期末）已知：x ＝4是关于x 的一元一次方程3a ﹣x =x2+3的解，则a ＝ ． 8．（2021秋•兴庆区校级期末）若12a +1与2a−73互为相反数，则a 的值为 ．8．（2021秋•罗源县期末）已知2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝ ．9．（2021秋•巩义市期末）关于x 的一元一次方程2x +m ＝6，其中m 是正整数．若方程有正整数解，则m 的值为 ．10．（2021秋•西宁期末）已知x ＝1是关于x 的方程ax +3x ＝2的解，则a ＝ ． 11．（2022春•朝阳区期中）若x ＝4是关于x 的方程2x ﹣3a ＝2的解，则a ＝ ． 12．（2022秋•宣州区校级月考）关于x 的方程x−43=−1的解是x ＝ ．13．（2022•南京模拟）若关于x 的方程ax +2x ＝1的解为1，则a ＝ ． 14．（2022•南京模拟）已知关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，那么关于y 的一元一次方程12020（2y +1）+3＝2（2y +1）+b 的解y ＝ ．15．（2022春•沙坪坝区期末）若2x n ﹣1＝3是关于x 的一元一次方程，则n ＝ ． 16．（2021秋•河西区期末）已知关于x 的方程a （a ﹣2）x ﹣4（a ﹣2）＝0． 当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是 ． 当此方程无解时，a 的取值范围是 ． 当次方程有无数多解时，a 的取值范围是 ．17．（2021秋•溧阳市期末）解下列方程：（1）2x ﹣5＝x +4； （2）32x =7+13x ；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2； （4）x −x+26=x2−1．18．（2021春•奉贤区期中）解关于x 的方程：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）．19．（2021秋•海城区校级月考）已知y ＝1是方程2−13（m ﹣y ）＝2y 的解，求关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝m （2x +5）的解．20．（2022春•封丘县月考）已知代数式x4与代数式2−x 3．（1）当x 为何值时，这两个代数式的值相等？ （2）当x 为何值时，代数式x4的值比代数式2−x 3的值大2？（3）是否存在x ，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由，21．（2020秋•白云区月考）当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx −53=12（x −43）的解是整数？22．（2021秋•鹿邑县期末）在有理数范围内定义运算“※”，其规则为a ※b =a−b2． （1）求2021※2022的值；（2）求方程x ※3＝2的解．。
一元一次方程总复习
一元一次方程复习专题一、一元一次方程的定义判断一元一次方程要点：一个未知数，未知数的最高次数是1，整式方程。
1. 判断下列各式哪些是方程？哪些不是方程？①7-8y ；②3t 2+4t-4;③4+6=10;④2y+1=x-2;⑤y=4;⑥2z ＞3；⑦s4=7 2.下列式子中①3x ﹣4,②2xy ﹣1=0,③2x=1,④一元一次方程的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.若方程2x 2m-3+m=5是一元一次方程，则m= ，此时方程的解是 . 二、一元一次方程的解法等式的性质：1、等式两边同加或同减，等式成立；2、等式两边同乘或同除(非0)，等式成立； 解方程的一般步骤：1.去分母（整体思想和防止漏乘）；2.去括号(注意符号和防止漏乘)；3.移项(方向：未知数向左，常数向右；标志：跨过等号；结果：改变符号)；4. 化简(即合并同类项)；5.未知数系数化为1(方程两边同除以未知数的系数)。
1.下列变形符合等式性质的是 （ ）（A ）如果732=-x ，那么372-=x （B ）如果123+=-x x ，那么213-=-x x（C ）如果52=-x ，那么25+=x （D ）如果131=-x ，那么3-=x2．下列说法中，正确的个数是 （ ）①若my mx =，则0=-my mx ；②若my mx =，则y x =； ③ 若my mx =，则my my mx 2=+；④若y x =，则my mx = （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 3.方程131212=+--x x 去分母，正确的是（ ） （A ）2x-1-x+1=6 （B ）3(2x-1)-2(x+1)=6 （C ）2(2x-1)-3(x+1)=6 （D ）3x-3-2x-2=1 4．如果a+1与互为相反数，那么a 等于 .5．已知x=3是方程2x-m=1的解，则m= . 6．解方程 (1)4x+3=10x-5 (2)12-4(x-4)=-2(x+2) (3)351612--=-+x x x (4)103.001.002.04.02.01.0=+-+x x x (5) 55.012.01=+--x x7. 已知方程+1=7与关于x 的方程3x ﹣8=﹣a 同解，试求代数式a 2﹣的值．8. 小虎在解方程13312-+=-ax x 去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求的方程的解为x=2，试求a 的值，并正确解这个方程。
一元一次方程章节复习
一元一次方程复习知识点专题一：等式的概念和等式的性质1.等式：表示的式子，叫做等式2.等式的性质：性质1.等式两边同时加（或减）（），结果仍相等。
数学语言：如果a=b, 那么。
性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个的数，结果仍相等数学语言：如果a=b,那么 ; 如果a=b(c≠0),那么。
专题二：方程的概念1.方程：含有的等式叫做方程2.方程的解：使方程左右两边的值相等的叫做方程的解，也叫做根。
只含有未知数，未知数的次数都是，等号两边都是，这样的方程叫做一元一次方程。
步骤：审，，列，解，检验结果是否符合。
一、填空题1．已知方程()121=--a x a 是关于x 的一元一次方程，则a ＝．2．三个连续偶数的和是66．若设中间一个偶数为x ，则另外两个偶数可表示为 ， ，根据题意可列出方程 .3．王亮参加了一场知识竞赛，共得了82分．这次竞赛一共50道题，答对一道记2分，答错一道或不答均扣1分．王亮答对了 道题．4．在有理数集合里定义一种新运算“*”，规定*a b a b =+，则4*(*3)1x =中x 的值为 .二、选择题5．下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．32x y -=B ．210x -=C ．23x = D ．32x= 6．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ） A ．如果2x ＝3，那么23x a a= B ．如果x ＝y ，那么x ﹣5＝5﹣y C ．如果x ＝y ，那么﹣2x ＝﹣2yD ．如果12x ＝6，那么x ＝3 7．下列方程中，解是x=4的方程是（ ） A ．3x=-2-10B ．x+5=2x+1C ．3x-8=5xD ．3(x+2)=3x+28． 下列方程变形中，正确的是（ ）A ．方程1125x x --=，去分母得()51210x x --= C ．方程2332t =，系数化为1得1t = B ．方程()3251x x -=--，去括号得3251x x -=-- D ．方程3221x x -=+，移项得3212x x -=-+9．一项工程，甲独做3天完成，乙独做7天完成，两人共同合作，需x 天完成，可列方程（ ） A ．3x+7x=1 B ．37x x +=1 C ．(1137-)x=1 D ．x=(1137-)-1 三、计算题（1）10673x x +=+ （2）21341510x x +-+= 四、综合题11．随着5G 时代的来临，张老师换了新发布的5G 手机并且需要新办一种5G 套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每50元月租费，流量资费0.4/GB 元；第二种是没有月租费，但流量资费0.6/GB 元．设张老师每月使用流量xGB ．（1）张老师按第一种套餐每月需花费 元，按第二种套餐每月需花费 元；（用含x 的代数式表示）（2）若张老师这个月使用流量200GB ，通过计算说明哪种套餐比较合算： （3）张老师每月使用多少流量时，选择哪种套餐更合算?。
一元一次方程知识点复习
数学学科辅导讲义关于一元一次方程所涉及的各种问题的公式列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题: 弄清题意. （2）找出等量关系: 找出能够表示本题含义的相等关系. （3）设出未知数, 列出方程: 设出未知数后, 表示出有关的含字母的式子, 然后利用已找出的等量关系列出方程. （4）解方程: 解所列的方程, 求出未知数的值. （5）检验, 写答案: 检验所求出的未知数的值是否是方程的解, 是否符合实际, 检验后写出答案.2.和差倍分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式, 依据形虽变, 但体积不变.①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S•h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc4. 数字问题一般可设个位数字为a, 十位数字为b, 百位数字为c.十位数可表示为10b+a, 百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.5. 市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售, 就是按原标价的百分之几十出售, 如商品打8折出售, 即按原标价的80%出售.6. 行程问题: 路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题: 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题: 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题: 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变, 水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.7. 工程问题: 工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18. 储蓄问题利润＝本金×利润率利息＝本金×利率×期数一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式, 依据形虽变, 但体积不变.①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc1. 把一段铁丝围成长方形, 发现长比宽多2cm；围成正方形时, 边长刚好为4cm. 求所围成的长方形的长和宽各是多少？2. 用一个底面半径为40mm, 高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm 的大圆柱形玻璃杯中倒水, 倒了满满10杯水后, 大玻璃杯的液面离杯口还有10mm, 大玻璃杯的高度是多少？3. 一个长方形养鸡场的长边靠墙, 墙长14米, 其他三边用竹篱笆围成. 现有长为35米的竹篱笆, 小王打算用它围成一个鸡场, 其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场, 其中长比宽多2米. 你认为谁的设计符合实际？按照他的设计, 鸡场的面积是多少？4. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米, 300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水, 倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中, 正好倒满, 求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米, ≈3.14）.5. 在一个底面直径为5cm, 高为18cm的圆柱形瓶内装满水, 再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm、高是10cm的圆柱形玻璃杯中, 能否完全装下？若装不下, 那么瓶内水还剩多高？若未能装满, 求杯内水面离杯口的距离.二、打折销售问题×100% （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量(4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售, 就是按原标价的百分之几十出售, 如打8折出售, 即按原标价的80%出售.1．随着计算机技术的迅猛发展, 电脑价格大幅度下降, 某品牌电脑今年每台售出价格为4200元, 比去年降低了30%, 问去年该品牌电脑每台售出价为多少元？2.东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售, 仍获利10%, 则该商品的标价为多少？3.某种商品的进价是1000元, 售价为1500元, 由于销售情况不好, 商店决定降价出售, 但又要保证利润不低于5%, 那么商店最多降多少元出售此商品。
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一元一次方程复习知识梳理一、等式的概念和性质1．等式的概念，用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程,也可以是用式子表示的运算律、运算法则．楷体五号2．等式的类型楷体五号（1)矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=．（2)条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母,等式才能成立．方程56x+=需要1x=才成立．(3）矛盾等式:无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x+=-．注意:等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．楷体五号3．等式的性质楷体五号等式的性质1：等式两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式．若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠．注意：（1）在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边．（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性,即：如果a b=，那么b a=．②等式具有传递性,即：如果a b=，b c=，那么a c=．黑体小四二、方程的相关概念黑体小四1．方程，含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．楷体五号2．方程的次和元楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．楷体五号3．方程的已知数和未知数楷体五号已知数:一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示．如：关于x、y的方程2ax by c-=中,a、2b-、c是已知数，x、y是未知数．楷体五号4．方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 楷体五号5．解方程 楷体五号求得方程的解的过程．注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 6．方程解的检验 楷体五号要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等,那么这个数就是方程的解,否则就不是． 黑体小四三、一元一次方程的定义 黑体小四1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程,这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 楷体五号2．一元一次方程的形式 楷体五号标准形式:0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式． 最简形式:方程ax b =（0a ≠，a ,b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式． 注意：（1)任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．(2)方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成． 黑体小四四、一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤 楷体五号（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． (2)去括号:一般地，先去小括号,再去中括号，最后去大括号． 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边． 注意：①移项要变号;②不要丢项．(4）合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠）,得到方程的解b x a=． 注意：不要把分子、分母搞颠倒． 楷体五号2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等． 3．关于x 的方程 ax b 解的情况 ⑴当a 0时，x⑵当a ,b 0时，方程有无数多个解 ⑶当a 0，b 0时，方程无解知识点1、等式的概念和性质【例1】 下列说法不正确的是（ ）A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式． 【例2】 根据等式的性质填空．（1）4a b =-，则 a b =+； （2）359x -=，则39x =+ ；（3)683x y =+，则x = ；（4）122x y =+，则x = ．知识点2、方程的相关概念【例3】 列各式中，哪些是等式？哪些是代数式,哪些是方程？①34a +；②28x y +=;③532-=;④1x y ->；⑤61x x --;⑥83x-=； ⑦230y y +=；⑧2223a a -；⑨32a a <-．【例4】 判断题．（1）所有的方程一定是等式． （ ） （2）所有的等式一定是方程． （ ） （3）241x x -+是方程． （ ) （4）51x -不是方程． ( ) （5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系． （ ） (6）55=是等式，也是方程． （ ） （7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -,它是一个代数式，而不是方程． （ ）知识点3、一元一次方程的定义【例5】 在下列方程中哪些是一元一次方程？哪些不是？说明理由：（1）3x+5=12； （2）31+x +2x=5; （3）2x+y=3； (4）y 2+5y －6=0；（5）x3-x =2.【例6】 已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值．【例7】 已知方程()7421=+--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m=_________【例8】 已知方程1(2)40a a x--+=是一元一次方程，则a = ；x = ．知识点4、一元一次方程的解与解法1、 一元一次方程的解题型一、根据方程解的具体数值来确定【例9】 若关于x 的方程a x x -=+332的解是2x =-,则代数式21aa -的值是_________。
中考数学专题复习《一元一次方程》测试卷(附参考答案)
中考数学专题复习《一元一次方程》测试卷(附参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题（每题3分，共18分）1. (2023·温州中考)解方程－2(2x ＋1)＝x,以下去括号正确的是( )A.－4x ＋1＝－xB.－4x ＋2＝－xC.－4x －1＝xD.－4x －2＝x 2. (2023·河北唐山·三模)已知2×m=1,则m 表示数( ) A.12B.-12C.2D.－23. (2023·河北廊坊)已知2a=3b,且a ≠0,则ba=( ) A.23 B.32 C.-23 D.-324. (2023七上·盐都月考)在方程①3x+y ＝4,②2x-x1＝5,③3y+2＝2-y,④2x 2-5x+6＝2(x 2+3x)中,是一元一次方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. (2023·南充)端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,设每个肉粽x 元,则可列方程为( )A.10x ＋5(x －1)＝70B.10x ＋5(x ＋1)＝70C.10(x －1)＋5x ＝70D.10(x ＋1)＋5x ＝70 6. (2023湖南长沙模拟)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母,1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x 名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是( )A.2×1000(26﹣x)=800x;B.1000(13﹣x)=800x;C.1000(26﹣x)=2×800x;D.1000(26﹣x)=800x7. (2023•永康市模拟)明代程大位的《算法统宗》记载这样一首打油诗: 《李白沽酒》无事街上走,提壶去买酒.遇店加一倍,见花喝一斗. 三遇花和店,喝光壶中酒.就问此壶中,原有多少酒？李白出门遇到花和店各三次,且花、店交替遇到,则此打油诗答案为( ) A.34斗 B.78斗 C.98斗 D.118斗 8. (2023·杭州)某景点今年四月接待游客25万人次,五月接待游客60.5万人次.设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x ＞0),则( )A.60.5(1－x)＝25B.25(1－x)＝60.5C.60.5(1＋x)＝25D.25(1＋x)＝60.5 9. (2023七上·乐清)如图,在11月的日历表中用框数器框出3,5,11,17,19五个数,它们的和为55,若将在图中换个位置框出五个数,则它们的和可能是( )A.40B.88C.107D.11010. (2023七上·东莞)下列说法中,不正确的个数是( ) ①若a+b ＝0,则有a,b 互为相反数,且ba＝-1;②若|a|＞|b|,则有(a+b)(a-b)是正数;③三个五次多项式的和也是五次多项式;④a+b+c ＜0,abc ＞0,则|abc |abc|ac |ac |bc |bc |ab |ab -+-的结果有三个;⑤方程ax+b ＝0(a,b 为常数)是关于x 的一元一次方程. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每题3分，共30分）11. (2023·重庆中考B 卷)方程2(x －3)＝6的解是____. 12. (2023·贵州贵阳)已知方程2x-4=0,则x=______. 13. (2023·贵州铜仁)方程3x-6=-6的解是_______.14. (2023七上·温州)若|△-3|=1,则“△”所表示的数为 .15. (2023·枣庄)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.将数字1～9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15,则m 的值为 . 16. (2023•绍兴)有两种消费券：A 券,满60元减20元,B 券,满90元减30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有一张A 券,小聪有一张B 券,他们都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是 元.17. (2023·陕西)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价. 18. (2023•牡丹江)某种商品每件的进价为120元,标价为180元.为了拓展销路,商店准备打折销售.若使利润率为20%,则商店应打 折.三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分） 19. (2023秋•金安区校级期中)如果关于x 的方程8的解与方程4x ﹣(3a+1)＝6x+2a ﹣1的解相同,求a 的值.20. (2023春•碑林区校级月考)已知关于y 的方程的解比关于x 的方程3a-x3的解小3,求a 的值.21. (2023·台州)小华输液前发现瓶中药液共250毫升,输液器包装袋上标有“15滴/毫升”.输液开始时,药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适,输液10分钟时调整了药液流速,输液20分钟时,瓶中的药液余量为160毫升.(1)求输液10分钟时瓶中的药液余量;(2)求小华从输液开始到结束所需的时间.22. (2023秋•九龙县期末)一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是60千米/小时,卡车的行驶速度是40千米/小时,客车比卡车早2小时经过B 地,A、B两地间的路程是多少千米？23. (2023•泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每件30元,乙种奖品每件20元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元,那么这两种奖品分别购买了多少件？(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍.如何购买甲、乙两种奖品,使得总花费最少？24. (2023秋•吉林期末)《孙子算经》是我国古代重要的数学著作.书中记载这样一个问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?这个问题的意思是:今有若干人乘车,每三人乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问有多少人,多少辆车?答案一、选择题（每题3分，共18分）1. D2. A3. A4. B5. A6. C【解析】题目已经设出安排x 名工人生产螺钉,则(26﹣x)人生产螺母,由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系,就可以列出方程.由题意得 1000(26﹣x)=2×800x,故C 答案正确。
一元一次方程(复习)
= 3 ������ − 2 .
2
1Байду номын сангаас
总结：对于含有多重括号的方程，关键是去括号，去括号时可以由里向外，也可 以由外向里. 4、列一元一次方程解应用题的方法与题型： （1）列方程解决实际问题的一般步骤： ①找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系. ②设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个 未知数. ③列——列出方程， 用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找 准的等量关系，列出方程. ④解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值. ⑤答——作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位. （2）列方程解应用题的三种常用分析方法： ①等量分析法： 找出题中的等量关系， 分析相等关系的左、 右两边是否相符. ②图示法：根据题意画出示意图，利用图形来分析数量间的关系，从而列出 方程.（以线段示意图为主）
当������ ≠ 0 时，方程的解为������ =
当������ = 0，������ = 0 时，方程������������ = ������有无数多个解； 当������ = 0，������ ≠ 0 时，方程������������ = ������无解. （5）列方程解应用题的一般思路 实际问题 审题 找出等量关系 设未知数( 分直接设法和间接 设法) 列方程 解方程 检验解的合理性. （6）一般方法步骤(简单概括为“审、找、设、列、解、验、答”七个字) 即：①审清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知 数； ②找出能够表示应用题含义的一个相等关系； ③根据这个相等关系设出需要的未知数，从而列出方程； ④解这个方程，求出未知数的值；
③列表法： 对于较复杂的应用题， 可以将题中的各个量列在表格中进行分析， 从而找出等量关系列方程. （3）题型 ①等体积问题 例 1 一个圆柱形水桶，底面半径为 11cm，高 25cm，将满桶的水倒入底面长 30cm， 宽 20cm 的长方体容器， 问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水 （ 取 3.14，结果精确到 0.1cm）? ②打折销售问题 例 2 某商场对一家店商品进行调价，按原价的 8 折出售，仍可获利 10%， 此商品的原价是 2200 元，问商品的进价是多少? ③行程问题 例 3 甲、乙两人相距 40km，甲先出发 1.5h 后乙出发，两人同向而行，甲 在后，乙在前，甲的速度是 8km/h，乙的速度是 6km/h，问：甲出发几小时后追 上乙？（思考：如果甲乙两人相向而行，几小时后两人相遇？） ④工程量问题 例 4 甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用 20 小时可注满一池水， 乙管单独打开用 40 小时可注满一池水.现在甲管单独打开 8 小时后， 乙管才开始 工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？ 三、课后练习 1、解方程：3 ������ + 1 − 2 ������ − 1 = 2 ������ − 1 − 2 ������ + 1 . 2、解关于������的方程：3 ������ − ������ + 2 ������������ − 3 = 4(2������ ≠ 3). 3、某商品的进货单价为 280 元，按 25%的利润率确定售价.后因市场发生变化， 决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？ 4、用内径 18 毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为 22 毫米的正方 形，高是 15 毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少 毫米？ 5、两人在环形跑道上同向急走，一圈为 400 米，甲的速度为平均每分钟 80 米， 乙的速度是甲的 1.25 倍，如果乙在甲的前面 100 米，多少分钟后两人相遇？ 6、一个蓄水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开放甲管， 45 分钟可注满水池；如果单独开放乙管，90 分钟可注满水池；如果单独开放 丙管，60 分钟可把满池水放完，问：三个水管一起开放，多少分钟可以注满 水池？
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一元一次方程的专题复习一、知识梳理1. 有关方程的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。
方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。
二者缺一不可。
（2）使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
注意：一元方程的解又叫做方程的根。
（3）一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程必须满足三个条件：一是只有一个未知数；二是未知数的次数是1；三是未知数的系数不为零，三者缺一不可。
（4）一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a ≠0） 2.等式的基本性质等式的基本性质1. 等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。
等式的基本性质2. 等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。
3. 利用等式的基本性质解一元一次方程利用等式的基本性质解一元一次方程就是利用等式的性质把方程的ax=b （错误!未找到引用源。
0）进行变形，最后化为错误!未找到引用源。
的形式。
一元一次方程ax=b 的解的情况讨论： （1）当a ≠0时，方程有唯一解，即 x=ab错误!未找到引用源。
（2）当a=0，b=0时，方程无数解（3）当a=0，b ≠0错误!未找到引用源。
时，方程无解二、典型例题专题一、一元一次方程的相关概念题型一、方程及一元一次方程的定义例1.下列各式中， 方程； 一元一次方程（只填番号）。
①0=x ；②23-a ；③527=-；④x x 92=；⑤012>-x ；⑥311=+x；⑦125=-x 。
变式练习：下列式子是方程的是 ；是一元一次方程的是 。
①x x ≠-12；②xx 12+；③1=x ；④22=-x x ； ⑤12->+y x ；⑥325=-；⑦x 74-；⑧y x =+1。
例2.如果0532=+mx是关于x 的一元一次方程，则m= ；若4)(2=-+b x b a 是关于x 的一元一次方程，则b= ，a ≠ 。
变式练习：变式练习1.关于x 的方程(2-a)x |a-1|-21=3是一元一次方程，求a 的值。
变式练习2. 已知（k -1）2x +（k-1）x+3是关于x 的一元一次方程，则k= 。
题型二、等式的基本性质例1.下列变形中不正确的是（ ）A 若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
B 若x ya a=，则x=y C 若-3x=-3y ，则x=y D 若x=y ，则x y a a= 变式练习1-1.判断下列说法是否正确： （1）若a=b ，则1-a=1-b.( ) （2）若a=b ，则-2a=-2b.( ) （3）若a=c ，则ab=bc.（ ） （4）若ab=ac ，则a=c.（ ）（5）若a=b,则22a bm m =.（ ） （6）若a=b,则22a =-11bm m ---.（ ）题型三、一元一次方程的解法 例1.解下列方程 （1）23)5(312=--+x x ； （2）103.02.017.07.0=--xx变式练习1-1.解下列方程：（1）0.60.30.90.2x x +=- （2）2(0.34)5(0.27)9x x +--=（3）3321215252x x x x -=-+ （4）42132[()]3324x x x --=（5）31322322105x x x +-+-=- （6）52672253446m m m m m --+--=++（7）0.730.310.80.4x x x +-=- （8）102.018.027.004.001.0=+-x x题型四、一元一次方程解的定义及应用例1.m 为何值时，方程23)12(+-=-m x x m 的解是2-=x 。
变式练习：1.已知5-=x 是方程0332=--xm 的解，求m 的值。
2.已知方程372-=+x 与方程0332=--xm 有共同解，求m 的值。
题型五、一元一次方程解的三种情况例1.求关于x 的方程153+=+-bx a x 的解。
变式练习：求关于x 的方程84-=+x b ax 的解。
拓展：较复杂方程的巧解1.巧乘因数:例1.解下列方程2122 0.250.5x x+--=变式1：解方程：0.10.2130.020.5x x-+-=10.10.220.30.05x xx++-=变式2：解方程：1.720.5210.20.30.6x x x-+-=-10.50.410.20.33x x+--=2.巧去括号：例2.解下列方程：1111{[(1)6]4}1 2345x--+=变式1：34172 [(1)8]43433xx-+=+变式2：32112 [(1)2]2 23423xx++-=3.整体思想例3.解下列方程：12 (5)3(5) 33x x-=--变式1：解方程：52712(6)(6)1111x x --=-变式2：解方程：5(7)7(7)6123(9)z z z ---+=--4.巧分组通分 例4.解方程：12107929921201514x x x x ----+=+变式1：解方程： 错误!未找到引用源。
5.巧用公式 例5.解下列方程：2011122320112012x x x+++=⨯⨯⨯变式练习1：若22|1|(2)0a ab -+-=，则求方程2002(1)(1)(2)(2)(2001)(2001)x x x xab a b a b a b ++++=++++++的解。
6.带绝对值的方程例6.解下列方程：3|2|1x -+=变式1：133|3||3|12 44x x-+=+-变式2：34|25||25|12 77x x-=-+专题二、一元一次方程的应用题型一、日历中的方程表格中的等量关系：借助表格和图形可以帮助审题，并能帮助准确地分析题意，探索已知量和未知量之间的数量关系，最终找出一个、两个或更多个等量关系。
注：借助表格来分析复杂问题中的数量关系，表格一般有横、竖两个栏目，一般横栏表示问题中所涉及的具体事件，用纵向栏目表示与具体事物相关的量及其变化情况。
例1、如图所示是某年某月的日历，现用一矩形在日历中任意框出四个数：（1）请用一个等式表示a b c d、、、之间的关系；（2）设由任意九个数形成的阴影方框中，中间一个数为x，这九个数的和为y，试用的代数式表示；（3）你能发现这九个数之间的哪些关系？变式练习：1、（1）观察某月的日历，一个横行上相邻3个数的和是36，这三个数分别是几号？（2）你能在日历中圈出一个竖列上相邻的3个数，使它们的和是50吗？为什么？例2、（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是。
（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用个正方形框出16个数（如图）。
①图中框出的这16个数的和是；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000,2004，是否可能？若不可能，是说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。
变式练习：1、将连续的奇数1,3,5,7,9，…排列如图所示数表：（1）十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；（3）若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？（4）十字框的五个数之和能等于2010吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由。
2、下列数阵由50个奇数排列而成，如图所示：（1）图中框内的4个数有什么关系？（2）在数阵图中任意做一类似（1）中的框，设其中的一个数为，那么其他三个数怎样表示？（3）如果四个数的和是168，能否求出这四个数？（4）如果四个数的和是322，能否求出这四个数？题型二、形积变化问题学法指导：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出不变的量，也就是找出等量关系，列出方程。
此类问题常见的有以下几种情况： （1）形状发生了变化，而体积不变，相等关系：变化前后体积相等；（2）形状、面积发生了变化，而周长不变，相等关系：变化前后周长相等；（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系。
相关公式：①周长公式：=4=2()2C a C a b C r d ππ+==正方形圆长方形，，； ②面积公式：2211===()=22S ah S a S ab S a b h S r π=+正方形圆三角形长方形梯形，，，，； ③体积公式：32231433V abc V a V r h V r h V R πππ=====正方形长方形圆柱圆锥球，，，，。
例1、一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围城，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围城一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？变式练习：1、用8块相同的长方形地砖拼成一块长方形的地面，地面周长为150cm ，地砖的拼成方式如图所示，试求地砖的长和宽。
2、按学校规划要求，现要将校园区域内的一块用篱笆围成的直径为50米的圆形植物园改建成长方形的形状，使得它的长比宽多5米，并恰好能用原来的篱笆围起来。
请问长方形的长和宽各是多少？（结果精确到0.1米）试比较改建后的植物园的面积与原来的面积相比有何变化？例2、将一个长、宽、高分别为15128cm cm cm 、、的长方体钢块锻造成一个底面是正方形且底面边长为12cm 的长方形零件钢坯。
（1）求锻造后的长方形零件钢坯的高；（用一元一次方程解决问题）（2）锻造前的长方形钢块的表面积大还是锻造后的长方形零件钢坯的表面积大？大多少？变式练习：1、在一个底面直径为5厘米，高18厘米的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6厘米，高13为厘米的圆柱形瓶中，问能否完全装下？若装不下，那么杯内的水还有多高？若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？2、一个底面边长分别为2025cm cm 、，高为60cm 的长方形铁桶内装有深的水，现把一个底面为30cm 正方形，边长为10cm ，高为40cm 的长方形铁块放入铁桶中，铁桶内的水将升高多少？题型三、打折销售问题学法指导：打折销售中的几个常用概念：（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）（2）售价：在销售商品时的售出价（有时也叫成交价，卖出价） （3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价） （4）利润：在销售商品的过程式中的纯收入。
（5）利润率：利润占进价的百分率，即利润率=利润÷进价100%⨯（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称将标价进行了几折。