高等数学 二重积分的概念与性质

2
y )dxdy
2
的符号.
解
当r x y 1时, 0 x 2 y 2 ( x y )2 1,
故
ln( x y ) 0 ;
2 2
又当 x y 1时,
ln( x y ) 0,
2 2
于是
r x y 1
2 2 ln( x y )dxdy 0 .
二、利用二重积分定义证明: kf ( x , y )d k f ( x , y )d .(其中k 为常数)
D D
三、比较下列积分的大小: 1 、 ( x 2 y 2 )d与 ( x y ) 3 d , 其中D 是由圆
( x 2) 2 ( y 1) 2 2 所围成 . 2 2 、 ln( x y )d 与 [ln( x y )] d ,其中D 是矩形
D
D D
2 [ln( x y )] d .
2 2 36 ( x 4 y 9 )d 100 . 四、
第八章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
<<工科数学分析>> 北京理工大学 2009-2010学年第二学期
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
源自文库
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．

( i ,i )
i
看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
o x n M lim ( i ,i ) i .
0
i 1
二、二重积分的概念
定义 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
设 f ( x , y )是有界闭区域 D 上的有界函数，
max i的直径
1 i n
i 1
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y )在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
d e ,
a2
a2
a2
由性质 6 知
e
D
( x 2 y2 )
ab e
D
( x 2 y2 )
d abe .
例2
x y 2 xy 16 的值， 其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
D 2 2
估计
I
d
1 , 区域面积 2 , 解 f ( x, y) 2 ( x y ) 16
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
y
D
o x
则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
三、二重积分的存在性及几何意义
二重积分存在的充分条件
D上连 续， １、若f ( x , y )在平 面有 界闭 区域 则f ( x , y )在区 域 D上可 积。
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域， 用若干个小平
z f ( x, y)
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
D
n

y
( i ,i )
i
顶柱体的体积，x
曲顶柱体的体积 V lim f ( i ,i ) i . 0
例4
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )] d
2 D D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0) (1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e ,
1
D
故 ln( x y ) 1,
D D1
设区域 D关于 x轴对称，函 数 f(x,y)在D 上可积可 如 果f(x,y)关于 y是奇函数， 即满足f(x,-y)= - f(x,y)， 则 f(x,y)d 0;
D
设区域 D关于 x轴对称，函 数 f(x,y)在D 上可积 ， f (x,y)关于 y是偶函数，即 满足 f(x,-y)= f(x,y)， 并 设D 2 是D的 上 边 一半区域， 则 f(x,y)d 2 f(x,y)d .
f ( x , y )d D
f ( , )
（二重积分中值定理）
性质 8 设区域 D关于 y轴对称，函 数 f(x,y)在D
上可积可 如 果f(x,y)关于 x是奇函数， 即满满 f(-x,y) = - f(x,y)， 则 f(x,y)d 0;
D
设区域 D关于 y轴对称，函 数 f(x,y)在D 上可积 ， f (x,y)关于 x是偶函数，即 满足 f(-x,y) = f(x,y)， 并 设D1 是D的 右 边 一半区域， 则 f(x,y)d 2 f(x,y)d .
D D2
例1 不作计算，估计 I e
D
( x2 y2 )
d
2
x y 的值，其中 D 是椭圆闭区域： 2 2 1 a b ( 0 b a ). 解 区域 D 的面积 ab
在D 上
2
0 x2 y2 a2 ,
1 e e
0
x2 y2
e ,
D1 D2
当 f ( x, y ) 0时, 则 f ( x , y )d __________ f ( x , y )d .
D1 D2
,其中 是圆域 4 、 sin( x 2 y 2 )d __________
D
x 2 y 2 4 2 的面积 , 16 .
D D
闭区域: 3 x 5,0 y 1 .
D
四、估计积分 I
2 2 ( x 4 y 9)d 的值,其中D 是圆 D 2
形区域: x 2 y 4 .
练习题答案
一、1、连续； D 为底的曲顶柱体体积 2、以 z f ( x , y ) 为曲顶,以 的代数和； . 3、>,<； 4、 2 3 三、1、 ( x y ) d ( x y ) d ； 2、 ln( x y )d
2 于是ln( x y ) ln( x y ) ,
o
1
2
x
因此
2 ln( x y ) d [ln( x y )] d . D D
五、小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的存在性
（曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义
二重积分的性质
作业
• P149 2， 3， 5 ， 6
2 , ， n，其中 i 表示第 i 个小闭区域，
作乘积 并作和
也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点( i ,i ) ，
f ( i ,i ) i ，
( i 1,2,, n) ，
f ( i , i ) i ，
i 1
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x , y )d ，
练习题
一、 填空题: 1、 当函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 . 2、 二 重 积 分 f ( x , y )d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________. 3、 若 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且 D D1 D2 ,当 f ( x, y ) 0 时, 则 f ( x , y )d __________ f ( x , y )d ;
D D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D D1 D2
1 d d . 性质４ 若 为D的面积，
D D
性质５ 若在D上 f ( x , y ) g( x , y ), 则有 f ( x , y )d g ( x , y )d .
D
即 f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
D
n
0 i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在.
D D
特殊地
f ( x, y )d f ( x, y ) d .
D D
性质６ 设M 、 m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式） 性质７ 设函数 f ( x , y )在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
播放
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
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２、 若f ( x , y )在 平 面 有 界 闭 区 域 D上 有 界 ， 并 且
分片连续（即可把 D分 成 有 限 个 子 区 域 ， 使 f ( x , y )在 每 个 子 区 域 上 都 连 ） 续， 则 f ( x, y) 在区域 D上 可 积 。
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体 的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体 的体积的负值．
四、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
D D
性质２
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
1 ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4 1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 0.4 I 0.5. 故 I 5 4
例3
判断
r x y 1
ln( x
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．