08年高考数学江西卷(理)最后一题研究

（二）、再证 f x 2 ；由①、②式中关于 x, a, b 的对称性，不妨设 x a b ．则 0 b 2
（ⅰ）、当 a b 7，则 a 5 ，所以 x a 5，因为 1 1， 1b
1 1x
1 1a
2 1，此时 f x 15
1 1x
1 1a
1
2．
1b
（ⅱ）、当 a b 7…③，由①得 , x
8 ，
ax
求证 :
上式不等式 (1) 与 2004 年西部奥林匹克 最后一题：
设 a,b,c 是正数，求证： 1
a a2 b2
b b2 c2
c
32
c2 a2
2
类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。 而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证 出。
另外， 2003 年中国数学奥林匹克第三题：
给定正数 n, 求最小正数λ , 使得对于任何 i (0, )( i 1,2,...n), 只要 tan 1 tan 2 ... tan n 2 2 , 2
即 f ( x) 在 (0,1] 中单调递增，而在 [1, ) 中单调递减．
2003 年中
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精心整理 （2）. 对任意给定的 a 0 ， x 0 ，由 f ( x)
1 1x
1 1a
1
，
18
ax
若令 b
8 ，则 abx 8 …①，而 f x
ax
1 1x
1 1a
1 …② 1b
（一）、先证 f x 1 ；因为 1
平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。
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精心整理 2008-07-1221:03scpajmb 的发言： 确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道 2005 年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。
当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。
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就有 cos 1 cos 2 ... cos n 不大于λ
答案 : 当 n≥ 3, λ=n-1
当 n=3 时, 令 a tan 2 1 ,b tan 2 2, c tan2 3即得 (1) 右边的等式。
江西的宋庆老师说 : 今天阅卷结束。该题第 2 小题无人挨边； 14 分的题全省 9 分一人， 8 分二 人。由此可知，（ 2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（ 2）小题不 宜作高考题。
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精心整理 此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中
命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的 国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。
22．解： 1 、当 a 8 时， f x 1 x 1 ，求得 f x
1x，
1x 3
3
2 x1 x
于是当 x (0,1] 时， f x 0 ；而当 x [1, ) 时， f x 0 ．
1， 1
1， 1
1，
1 x 1 x 1 a 1a 1b 1b
又由 2 a b x 2 2a 2 bx 4 4 2abx 8 ，得 a b x 6．所以
9 ( a b x) (ab ax bx) 1 (a b x) (ab ax bx) abx 1．
(1 x)(1 a)(1 b)
(1 x)(1 a)(1 b)
ab 8
1 a 1 b (1 a)(1 b)
只要证
ab
ab ，即 ab 8 (1 a)(1 b) ，即 a b 7 ，据③，此为显然．
(1 a)(1 b) ab 8
因此⑦得证．故由⑥得 f ( x) 2 ．综上所述，对任何正数 a, x ，皆有 1 f x 2 ．
说句实在话， 该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。 问题只是这道好题在不恰当的时 间出现在不恰当的地方。
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08 年高考数学江西卷（理）最后一题有点难
Baidu Nhomakorabea
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f ( x) ＝ 1 ＋ 1 ＋ ax ，x∈(0 ，＋∞ ) ． 1 x 1 a ax 8
（1）当 a＝8 时，求 f ( x) 的单调区间； （2）对任意正数 a，证明： l ＜f ( x) ＜2． 令 b x, c 8 , 则第 (2) 等价于 : 若 a,b,c>0,abc=8
1
ab 1 x
ab ， ab 8
因为 1 1 b 1b 1b
b2 4(1 b) 2
[1
b ]2 所以 1
2(1 b)
1b
1
b …④
2(1 b)
同理得 1 1
a
…⑤，于是 f x
1 2
a
b 2 ab …⑥
1a
2(1 a)
2 1 a 1 b ab 8
今证明 a
b 2 ab …⑦ , 因为 a
b2
ab
，
1a 1b