01.被30以下质数整除的数

小学五年级奥数题——数的整除问题（一）小学五年级奥数题——数的整除问题（二）一、1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？二、两位小数□.□1，每个数位上的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个？三、两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1，2，3……,16这十六个数中，有好数多少对？四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除，这样的两位数共有（）个，按照从大到小的顺序排列，中间一个是（）。

五、在724左边添上一个数字a，右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数，那么a×b的最大值是多少？六、用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。

在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个。

七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，将这两个四位数相加，甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。

其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）。

八、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。

这两个4位数的和是（）。

九、六位数3ABABAB是6的倍数，这样的六位数共有多少个？十、一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

5.求能被26整除的所有六位数(x1991y)。

数的整除参考答案：1.提示：该数能被1001整除2.略3.8，8，04.8650205.819910、119912、719914和619918小学五年级奥数题——整除性质及应用整除有几个性质。

其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b 和c互质，那么b和c的积也能整除a。

”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则2×3=6也能整除12。

整除的这一性质，应用较为广泛。

请看：例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。

（安徽省1997年小学数学竞赛题）解：逆向思考：因为225=25×9，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。

我们来分别考察能被25和9整除的情形。

由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75。

再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝27，25＋7=32。

故知，修改后的六位数是970425。

例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）解：因为15=3×5，且3和5互质。

所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。

由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。

再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。

可推知，百位上最大可填入8。

即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。

可推知，百位上最大可填入7。

即组成的四位数是3720。

故知，这个数是3825。

例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。

由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。

账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。

应是____元。

（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。

解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。

72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。

故这笔账应是367.92元。

例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。

（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）解：因为77=11×7，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。

由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。

由数字1～9的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。

我们不妨设差为11，则有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。

据此列举、试算，得再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

故知，中间一段的数是56。

例5.有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。

要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛决赛试题）解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。

要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。

要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。

我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。

能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30。

即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。

故知，这三个自然数分别是29、30、31。

练一练：1.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数至少有_____个。

（答：15个）2.要使四位数□7□2能被24整除，且最小，方框中各应填上什么数字？（答：1、5）3.修改693205中的一个数字，使修改后的数能被275整除。

修改后的数是_____。

（答：693275）一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.数的整除问题基本概念和知识二数的整除性（A）年级班姓名得分一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13. ———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除, B=0或5.当B=0时,6910因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。