01.被30以下质数整除的数

小学五年级奥数题——数的整除问题（一）

小学五年级奥数题——数的整除问题（二）

一、1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？

二、两位小数□.□1，每个数位上的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个？

三、两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1，2，3……,16这十六个数中，有好数多少对？

四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除，这样的两位数共有（）个，按照从大到小的顺序排列，中间一个是（）。

五、在724左边添上一个数字a，右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数，那么a×b的最大值是多少？

六、用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个。

七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，将这两个四位数相加，甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）。

八、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。这两个4位数的和是（）。

九、六位数3ABABAB是6的倍数，这样的六位数共有多少个？

十、一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？

1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.

2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.

3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？

4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

5.求能被26整除的所有六位数(x1991y)。

数的整除参考答案：

1.提示：该数能被1001整除

2.略

3.8，8，0

4.865020

5.819910、119912、719914和619918

小学五年级奥数题——整除性质及应用

整除有几个性质。其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b 和c互质，那么b和c的积也能整除a。”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则2×3=6也能整除12。

整除的这一性质，应用较为广泛。请看：

例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。（安徽省1997年小学数学竞赛题）

解：逆向思考：因为225=25×9，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。我们来分别考察能被25和9整除的情形。

由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75。

再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝27，25＋7=32。

故知，修改后的六位数是970425。

例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）

解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。

由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。

再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。

故知，这个数是3825。

例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。

解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9

整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。

故这笔账应是367.92元。

例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

解：因为77=11×7，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。

由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。

由数字1～9的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。我们不妨设差为11，则有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。据此列举、试算，得

再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

故知，中间一段的数是56。

例5.有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛决赛试题）

解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。

要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30。即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。

故知，这三个自然数分别是29、30、31。