数学建模图论模型(1)

回
a4 (u4 , u5 ) ， a5 (u4 , u3 ) ， a6 (u3 , u4 ) ， a7 (u1, u3 ) . （见右图 3）
下
停
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
停 下 回
1) 图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中 : 1) V (G) {v1, v2 ,, v }是非空有限集，称为顶点集， 其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi , v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
回 定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 v 来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示.
用 G (V (G ), E (G )) 表示图，简记 G (V , E ). 下 也用 vi v j 来表示边 (vi , v j ).
停
例 设 G (V (G ), E (G )) ， 其 中 ： V (G) {v1, v2 , v3 , v4} ，
例 设 H (V ( H ), E ( H )) ，其中：
V ( H ) {u1, u2 , u3 , u4 , u5}，
E ( H ) {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 }， a1 (u1, u2 ) ， a2 (u2 , u2 ) ， a3 (u4 , u2 ) ，
3) 图的矩阵表示 (以下均假设图为简单图). 邻接矩阵: 1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中： 1, 若vi与v j 相邻, aij 0, 若vi与v j不相邻. v1 v2 v3 v4 v5
0 1 A 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
0 0 v1 0 0 v 2 回 1 1 v3 0 0 v4 0 下0 v5
停
2) 对有向图 G (V , E ) ,其邻接矩阵 A (aij ) ,其中：
1, 若(vi , v j ) E , aij 0, 若(vi , v j ) E.
G[{v1, v2 , v3}]
G[{e3 , e4 , e5 , e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 回 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E ，且 E ，以 E 为边集，以 E 的端点停 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 下 边导出的子图，记为 G[ E] .
回
停 下
问题3:四色问题
对任何一张地图进行着色，两个共同边界的 国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了。
德· 摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚 了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色，使任 回 何具有公共边界的部分颜色不同， 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 停 （图1）。 下 ……
e1 e2 M 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 e3 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 1 0 v4 0 1 v5
下
回
停
2) 对有向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中：
u1 u2 u3 u4 0 0 A 0 0 1 1 1 u1 0 0 0 u2 回 1 0 0 u3 0 1 0 u4
下
停
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) , 其中： wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
停 下 回
1. 几个引例
问题1:七桥问题
能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回 到出发点？
C
A
B
回
停
D
哥尼斯堡七桥示意图
下
七桥问题模拟图
C
A
B
D
回
欧拉指出：如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则 停 从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出 发地。 下
问题2:哈密顿圈（环球旅行游戏）
十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，能 否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
下
图的矩阵表示
⑴ 邻接矩阵 A = (aij )n×n ,
1, vi v j E aij 0, vi v j E
例 写出右图的邻接矩阵
0 0 A 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
回
解：
停 下
图的矩阵表示
⑵ 权矩阵A = (aij ) n×n
所有图都称为非平凡图.
定义若图G中的边均为有序偶对 (vi , v j ),称G为有向 图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j ，称 vi为e的尾，称 v j为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j，称G为无向图.称 边 e viv j 为无向边，称e连接 vi 和 v j，顶点 vi 和 v j 称 为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
下
一、涉及图论的历年数学建模题目
1、93B 足球队排名次(图论特征向量、整数规划 ） 2、94A 逢山开路 3、94B 锁具装箱问题（图论、组合数学） 4、95B 天车与冶炼炉的作业调度（图论动态规划 ） 5、97B 截断切割（最短路） 回 6、98B 灾情巡视（最小生成树、最短回路、 旅行商问题） 停 7、99B 钻井布局（最大完全子图） 下 8、00B 管道订购（最短路）
问题4(关键路径问题)
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心, 小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这 些工序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序 才能开始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般 认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序 所需要的时间. 回 这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间 才能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是 哪几个？ 停
有图有真相，有你更精彩
数学建模图论模型
2015/03
回
停 下
不积硅步，无以至千里 --荀子· 劝学
回
停 下
主要内容
图模型 图论的基本概念 最短路问题 最小生成树问题 旅行售货员问题 最大流问题
下 回
停
匹配问题
1. 基本概念
1. 几个引例 2. 基本概念 3. 最短路问题及算法 4. 简单应用
1, 若vi是e j的尾, mij 1, 若vi是e j的头, 0, 若v 不是e 的头与尾. i j
e1 e2
e3 e4
e5
1 0 1 1 0 u1 1 1 0 0 回 0 u2 M 0 1 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 u 停 4
u1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 0 u 2回 A 6 0 u3 4 0 u 4
对于无向赋权图的邻接矩阵可类似定义下 .
停
关联矩阵 1) 对无向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中： 1, 若vi与e j 相关联, mij 0, 若vi与e j不关联.
9、 01B公交车调度 10、02D赛程安排 11、04A奥运会临时超市网点设计 12、07乘公交，看奥运 13、08C地面搜索 14、08DNBA赛程的分析与评价 回 15、11B交巡警服务平台的设置与调度（最短路） 16、13B碎纸片的拼接复原 （最优Hamilton ）
停 下
2.图论的基本概念
停 下
A—R，A—C，A—T， R—P，P—S，S—T， T—B，B—D，D—C， R—S，R—B，P—D， T S—C，S—D. 每种药品作为一个顶 点，不能放在一起的 连边。相邻顶点用不 同颜色着色。
A B C
S D R P
回
这一问题就是图论中的顶点着色问题。
停
至少需用3个房间：A,S,B/D,T,R/C,P
下
问题5 药品存储问题
• 有8种化学药品A、B、C、D、P、R、S和T要放 进贮藏室保管,出于安全原因,下列各组药品不能 贮在同一室内:A—R，A—C，A—T，R—P， P—S，S—T，T—B，B—D，D—C，R—S， R—B，P—D，S—C，S—D，试为这8种药品设 计一个使用房间数最少的贮藏方案。 回
E (G ) {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3，
e4 v1v4 ， e5 v3v4 ， e6 v3v4 .
（见图 2）
回
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
停 其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的 下
F vi v j , aij 0, ,
vi v j E i j viห้องสมุดไป่ตู้v j E
回
例
写出右图的权矩阵： 0 6 8 解： 0 7 A 3 0 2 4 5 0
停 下
4) 图的顶点度
定义 1) 在无向图G中，与顶点v关联的边的数目(环 算两次),称为顶点v的度或次数，记为d(v)或 dG(v). 称度为奇数的顶点为奇点，度为偶数的顶点为偶点 . 2) 在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为顶点 v的出度，记为d+(v)，从顶点v引入的边的数目称为 v的入度，记为d -(v). 称d(v)= d+(v)+d -(v)为顶点v的 度或次数． 定理 d (v) 2 .
回
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边． 停
下 5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
常用术语 6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
X Y ，且X 中任意两顶点不 7) 若 V (G ) X Y， 相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为 Km,n (m=|X|,n=|Y|)． 8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
回
，
K6
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4 K3,4 二部图
下
K1,4
停
2) 赋权图与子图 定义 若图 G (V (G ), E (G )) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图. 定义 设 G (V , E )和 G (V , E) 是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G 是 G 的一个子图,记 G G. E E ，则称 G 是 G 的生成子图. 2) 若 V V， 3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 回 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E ，且 E ，以 E 为边集，以 E 的端点停 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 下 边导出的子图，记为 G[ E] .