一致连续与柯西收敛准则
谈谈数学分析中的几类柯西准则
谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。
一致连续性的判定及运用
一致连续性的判定及运用本文摘要：本文讨论函数一致连续性的几种常用的判定方法及其运用。
主要讨论用定义判定、用康托定理判定、用导函数有界来判定、用一致连续的一些性质判定等等。
关键词：函数 连续 一致连续 判定1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
它是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的函数()f x 在某区间内连续，是指函数()f x 在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x 在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x 在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x 的变化趋势及性质。
因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。
一致连续是数学分析中较难的一个概念，因为它只有εσ-语言定义，所以要判定一个函数的一致连续性相对来说不容易。
所以讨论一致连续函数的判定及运用有运用有一定的应用价值。
2 一致连续性判定2.1 利用定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I'''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续。
直观地说，f 在I 上一致连续意味着：无论x '与x ''二点与在I 处于什么位置，只要他们的距离小于δ，就可使()()f x f x ε'''-<这样就可以证明一致连续性。
例1 证明()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
证明：任给0ε>，由于()()f x f x a x x ''''''-=-故可选取aεδ=，则对任何x '，x ''∈(,)-∞+∞，只要x x '''-<δ,就有()()f x f x '''-<ε这就证得()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则函数极限柯西收敛准则是数学分析中的一个重要概念，就像一把神秘的钥匙，能开启很多数学难题的大门呢。
咱先来讲讲这个柯西收敛准则的大概意思吧。
想象一下，你在一个很拥挤的集市上，每个人就像一个函数值。
柯西收敛准则就像是在说，如果不管你从哪个小角落开始看，只要走得足够近，周围的人（函数值）之间的距离都能变得超级小，那这个集市（函数）就是有一个收敛的趋势的。
在函数极限里呀，柯西收敛准则是这样的。
对于一个函数，如果在某个点的附近，不管你取哪两个足够靠近这个点的值，它们对应的函数值之差可以任意小，那这个函数在这个点的极限就存在。
比如说，有个函数就像一列行驶的火车，火车上的每节车厢就代表不同的自变量对应的函数值。
如果在靠近某个车站（极限点）的时候，不管你看哪两节车厢（两个自变量对应的函数值），它们之间的距离都越来越小，那这列火车（函数）就稳稳地朝着一个目的地（极限）前进。
再深入一点，这个准则在证明函数极限存在的时候非常有用。
它不像有些方法那么直白，但却很强大。
就好比是一个低调的武林高手，看似不起眼，但是一出手就能解决很多别人解决不了的问题。
很多时候，当其他方法在复杂的函数面前束手无策的时候，柯西收敛准则就像一道光照进来。
从自身学习经历来说，刚接触这个准则的时候，真的感觉像是在迷宫里找路。
那些数学符号和概念就像迷宫里的墙壁，让人眼花缭乱。
但是一旦慢慢理解了它的内涵，就像是突然找到了迷宫的出口，那种豁然开朗的感觉特别棒。
就像爬山，在山脚下的时候看着云雾缭绕的山顶（柯西收敛准则的全面理解），觉得遥不可及，但是一步一步攀登，最终站在山顶看到的风景（完全理解后的清晰感）是无比美妙的。
柯西收敛准则也和我们的生活有很多相似之处。
在我们追求目标的过程中，不管是学习一门新的技能，还是完成一个大的项目，我们也要像函数满足柯西收敛准则一样。
在接近目标的过程中，每一个小的阶段之间的差距（类似于函数值的差）要越来越小，这样才能稳稳地达到目标。
级数的柯西收敛准则
级数的柯西收敛准则我们首先需要了解什么是级数。
在数学中，级数就是一列数的和。
我们可以写成：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3...an等表示级数的项，而...表示无限多个项的和。
接下来，我们需要了解什么是柯西收敛准则。
柯西收敛准则是判断一列数或者一列函数是否收敛的准则。
柯西收敛准则的表述如下：对于一个无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，如果对于任何一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε，则级数收敛；否则，级数发散。
可以看出，柯西收敛准则的核心在于判断级数的收敛性。
若满足柯西收敛准则，则这个级数收敛；反之这个级数就是发散的。
这个公式或者准则可以帮助我们来判断级数收敛的情况。
例如，假设我们有级数：S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n+ ...我们可以使用柯西收敛准则来判断这个级数是否收敛。
对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，我们有|an+ ... + am| < ε。
我们需要证明的是，对于任何的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε成立。
首先，我们假设n > m，那么有：|an + ... + am| = 1/2^m + 1/2^(m+1) + ... + 1/2^n通过等比数列求和公式可以证明，上述式子的结果为：|an + ... + am| = (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1))当n、m都大于N时，我们有 1/2^(n-m+1) < ε/(1/2^m) = 2^m ε。
因此，我们可以得到：|an + ... + am| < (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1)) < (1/2^m)(1 -ε/2^m) < ε因此，我们可以得到当柯西收敛准则成立时，这个级数是收敛的。
一致连续与柯西收敛准则
2. 一致连续性
设函数f ( x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的 正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、 x2，当 x1 − x2 < δ时，就有 f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε , 那么称函数f ( x)在区间I上是一致连续的。
2 n
其中 0 < q < 1,
证明： 证明： n > m时，
ai ≤ M（常数） .
xn − xm = am +1q m +1 + am + 2 q m + 2 + L + an q n
1− qm M m m +1 ≤ Mq < q , 1− q 1− q
M m ∀ε > 0, 欲使 xn − xm < ε , 只要 q < ε, 1− q
1− q ln ε M , 或只要 m > ln q
1− q ln M ε , 则当n, m > N时，恒有 故取正整数N ≥ ln q
xn − xm < ε ,
所以，由柯西收敛准则知，数列{xn }收敛。
例2. 写出极限 lim f ( x)存在的柯西收敛准则及其否定描述。
∴ f ( x)在区间[a,+∞)上一致连续。
1 例10. 证明 : 若函数f ( x) = e cos 在区间(0,1)上非一致连续。 x
x
证明： 证明： 给定正数ε（< 1 , 对任意的正数δ，总有 ） 0
1 1 x1 = , x2 = ,∈ (0,1), π 2nπ 2nπ + 2 x1 − x2 < δ , (n充分大时总可成立）
函数的连续性和函数级数的收敛性(1)
函数2010级数学与应用数学四班 徐邦摘 要 ：函数的连续性和函数级数的收敛性是数学分析中一块重要的内容。
因此，理解连续性和收敛性之间的关系至关重要，包括连续与一致连续，收敛与一致收敛，绝对收敛与一致收敛，收敛与绝对收敛等等之间的关系。
本文针对它们的关系，给出了相应的证明和反例来理清他们之间的必然与非必然的联系。
最后还给出猜想，给出一定的条件，并利用常微分学中的知识，给出了相应的证明，证明猜想是成立并存在的。
关键字：连续 一致连续 收敛 一致收敛 绝对收敛 条件收敛引言：函数的连续性和函数级数的一致收敛性在数学学习中起着重要的作用。
本文较详细地介绍了他们之间所有的关系，并给出相应的证明和反例，使读者在巩固这类知识点中，达到事半功倍的效果。
一 连续与一致连续首先给出函数()f x 在点 0x 处连续的定义[1]：对任给的ε>0, ,0>∃∂,当∂<-||o x x 时，有|)()(|0x f x f -<ε函数f(x)在区间I 上一致连续的定义[1]：任给ε>0, 0∃∂>,对,,,x x ∀，当∣,,,x x -∣<∂时，有 |)()(|0x f x f -<ε可看出函数f(x)的连续性和一致连续性最根本的区别是在于连续是针对某个点而研究的，而一致连续是定义在区间上的。
1） 若()f x 在区间I 上一致连续，则对任意0x ∈I ，f （x ）在点0x 处连续。
证明：对任给的ε>0, 0∃∂>,对∀x ’,x ”，当∣,,,x x -∣<∂时，有<-|)"(x f |'x f ）（ε 取x ’=x,x ” =0x 则对上述的ε>0 当∣,,,x x -∣<∂时，有|)()(|0x f x f -<ε.即f(x)在点0x 连续。
2） 但f （x ）在任给x ∈ I 上连续，f(x)不一定在I 上一致连续。
A 1数列的柯西准则与函数的一致连续性
y = f (x)
{ 2ε f ( x0 )
O
δ ( x0 ) x0
δ ( x1 )
x1
x
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 17
设函数f (x)在区间I上连续, 当给定ε 后, 相应于无穷多个x0, 有无穷多个δ ( x0 ) > 0, 在这无穷多个δ ( x0 ) 中是否存在一个公共的δ > 0 , 使得对任意的x0, x ∈ I , 只要| x − x0 |< δ , 就有
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε ,
则称函数f (x)在区间Ｉ上一致连续. 在一致连续定义中, δ = δ (ε ) 与 x1, x2 ∈ I 无关.
由一致连续定义 可知: 函数f (x)在区间Ｉ上一致连续 函数f (x)在区间Ｉ上连续
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 19
一致连续的否定就是 非一致连续. 两者对比如下：
定理3(柯西准则) 设函数f (x)在 [a,+∞)上有定义.
极限 lim f ( x) 存在的充要条件是: ∀ε > 0, 存在正数 x→+∞
X (> a), 使得对∀x1, x2 ∈( X ,+∞), 都有
证明从略.
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
定理1（柯西收敛准则）数列{an} 收敛的充分必要条件
证明 (1) 对∀ε > 0, ∀x1, x2 ∈[a,1], 要使
1−1 x1 x2
= x1 − x2 x1 x2
≤
1 a2
x1 − x2
<ε,
只要 x1 − x2 < a2ε , 取 δ = a2ε , 于是
最新一致连续与柯西收敛准则
极限limf (x)不存在的柯西收敛：准则 x
lim f (x)不存在的充分必要条为件
x
0 0 ,对 X 0 ,总 x 1 ,x 2 X 有 ,使 f( x 1 ) 得 f( x 2 ) 0 .
x 1 x 2 2 sx i1 2 n x 2 x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
0, 20,对任x1,意 x2( 的 , ) , 当 x1x2时，恒 f(x1) 有 f(x2),
函f数 (x)xsixn在 ( , )上一致连续
___________________________ _______________________
x 2 n x n 2 1 n 2 n 1 1 n 1 1 2 n n 1 2 0 ,
故由柯西收敛 数准 列 x则 n发知 散， 。
___________________________ _______________________
2. 一致连续性
设函数 f (x)在区间 I上有定义，如果意 对给 于定 任的
c n 1 c n 2 c m 1 c n c n 1 c n 2 c m 1
snsmsnsm,
由柯_西 ______收 ______敛 ______准 ____列 ___则 _xn 收 知敛 ，。 数
_______________________
例6. 设 xn11 2 1 n,利用柯西收数 敛列 x准 n发则 散证 证明： 给定 0 正 1 3,对 数 任何 N ,总 正 n有 N 整 ,使数 得
数列收敛的柯西准则
数列收敛的柯西准则柯西准则是判断数列收敛性的一个重要方法。
柯西准则的核心思想是，如果一个数列中的任意两项之差可以任意小，那么这个数列就是收敛的。
具体来说，对于一个数列{an}来说，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列中任意两项之差|an - am|都小于ε，那么这个数列就是收敛的。
柯西准则的证明可以通过数学方法进行推导。
假设数列{an}是收敛的，设其极限为L。
那么对于任意给定的正数ε，我们可以找到一个正整数N，使得当n>N时，|an - L| < ε/2成立。
同理，对于同一个正数ε，我们可以找到另一个正整数M，使得当m>M时，|am - L| < ε/2成立。
那么对于任意给定的正整数n和m，当n>N且m>M 时，我们有：|an - am| = |(an - L) + (L - am)| ≤ |an - L| + |L - am| < ε/2 + ε/2 = ε由此可见，数列{an}中的任意两项之差都小于ε，符合柯西准则的要求，因此数列{an}是收敛的。
柯西准则不仅可以用于判断数列的收敛性，还可以用于证明数列的收敛性。
如果我们想证明一个数列是收敛的，就可以利用柯西准则来进行证明。
具体做法是，首先根据数列的定义，找到一个表达式，使得数列中任意两项之差可以表示为该表达式的形式。
然后，通过数学推导，证明该表达式可以任意小。
最后，根据柯西准则的定义，得出结论：该数列是收敛的。
柯西准则的应用范围非常广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到一些数列，比如数学建模中的数值逼近问题、物理学中的运动问题等等。
而柯西准则可以帮助我们判断数列的收敛性，从而解决这些实际问题。
除了柯西准则，数列的收敛性还可以通过其他准则进行判断。
比如，我们可以利用数列的有界性来判断数列的收敛性。
如果一个数列是有界的，即存在一个实数M，使得数列中的任意一项都小于等于M，那么这个数列就是收敛的。
浅谈各种收敛中的柯西收敛原理及应用
217在数学知识中，有关收敛的方法有很多，比如，牛顿收敛法，Flotherm软件收敛方法，柯西收敛方法，比较法，蒙特卡罗收敛方法等。
各种收敛方法都有不同的使用范围，而柯西收敛方法是这些方法中最常用，且使用范围比较广泛的收敛方法。
柯西收敛原理实际是有关求极限的理论知识。
在数学分析中，柯西收敛原理是学生必须要学习并熟练掌握的一个重要的数学知识。
尤其是柯西收敛理论在讨论函数上下界中的应用，在级数中的应用，在反常积分中的应用，在证明数列的收敛性问题中的应用，以及在求函数极限和函数一致性中的应用，最为重要。
柯西收敛原理是解决这些问题的一个实用性比较强的工具，为这些问题的解决提供了一个新的思考方向[1]。
１ 柯西收敛原理概念1.1 柯西收敛原理的定义柯西收敛定义应用在不同知识方面有不同的界定，本文重点介绍在函数方面和在数列方面对柯西收敛的相关界定。
在函数方面对柯西收敛的界定：给定一个函数g(a)，当a趋于某一个数b时，这个函数能够存在极限值的充分必要条件是对于任意的一个数M，M大于零，至少存在一个N，使得对于任何的、，当时，。
柯西收敛原则(数列方面)：“数列收敛，充分必要条件是对任意的一个数M，M大于零，至少存在一个N，且N大于零，当x、y都大于N时，有。
1.2 柯西收敛原理充分必要性的证明下面证明数列方面对柯西收敛界定的充分必要性。
必要性：即“给定一个数列，对于任意的一个数M，且M大于零，至少存在一个正整数N，当x、y都大于等于N时，有从而推出数列是收敛的”。
首先，证明数列是个有界限的数列。
当M=1时，那么必然存在，使得时，都有.所以当时，有，设，，B是数列的界限，所以是有界限的。
维尔斯特拉定理(致密性定理)：“对于给定的一个有界限的数列，这个数列必然收敛于某个子数列”．根据维尔斯特拉定理可知，所以收敛于一个子数列的。
假设趋近于一个值ｂ(1趋近于无穷)，即：对任何的Ｍ，都存在，当时，则有，令为，Ｎ＋１中的较大的那个值，则，因此，当时，有则有M，所以趋近于b，因此数列是收敛的。
一致连续与柯西收敛准则
一致连续与柯西收敛准则一致连续是指对于一个函数序列，如果该序列中的每一个函数都是连续的，并且这些函数的极限函数仍然是连续的，则称该函数序列在该区间上一致连续。
一致连续通常用来描述函数序列的整体性质。
具体地说，一个函数序列{f_n(x)}一致连续于区间[a,b]上，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在一个常数δ>0，使得当，x-y，<δ时，f_n(x)-f_n(y），<ε对于所有的n都成立。
柯西收敛准则是数学分析中描述函数序列收敛性质的一种方法，它表明当一个函数序列{f_n(x)}在区间[a,b]上满足以下条件时，该函数序列一定收敛。
设对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，对于区间[a,b]中的任意给定的x都有，f_n(x)-f_m（x），<ε成立。
为了更好地理解一致连续与柯西收敛准则的概念，我们可以通过一些例子进行说明。
首先考虑一个函数序列{f_n(x)=x^n}在区间[0,1]上的一致连续性。
我们知道函数序列{f_n(x)}的极限函数在区间[0,1]上是不连续的。
例如，当n趋近于无穷大时，f_n(x)的极限函数为f(x)=0对于0<=x<1，f(x)=1对于x=1、然而，尽管极限函数不连续，函数序列{f_n(x)}在区间[0,1]上仍然是一致连续的。
这是因为对于任意给定的ε>0，我们可以选择δ=ε，并且对于任意的n和m，当，x-y，<δ时，有，f_n(x)-f_n(y)，=，x^n-y^n，<=，x-y，<=δ=ε。
接下来考虑一个函数序列{f_n(x)=x^n}的柯西收敛性。
我们知道这个函数序列是不满足柯西收敛准则的。
例如，当取x=0和1/n时，对于任意的ε>0，无论取多大的正整数N，总存在一个n>N和m>N，使得，f_n(x)-f_m(x)，=，1-1，=0<ε成立。
这说明函数序列{f_n(x)}不满足柯西收敛准则，因此也不能保证它在区间[0,1]上收敛。
柯西准则
2n+ + 1
2n+p +..+
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性13
1 (1 1 )
2n 2p = . . 1
2n <
ε >0, N ε1 ,
=.. ..
. .
1 . <n
对任意取当n > N时, 对任意正整数
p, 有
. n p n x x ε + . <
→+∞
= .
总有
1 2 当x , x > X时，
0
lim ( )
x x
f x A
→
= .
总有
1 0 当0 < x . x <δ ,
2 0 0 < x . x <δ时，
0
lim ( )
x x
f x A
→
= .
总有
1 0 当0 < x . x <δ ,
n p n x x + . 1 2
1 2
2 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
n n n p
n n n p
+ + +
= + + + +..+ +
1
1
2n+ ≤ ( ) 1 2 1
1 1 1 1 1
2n+ 2 2 2p. 2 = + + +..+
故数列{ } n x 收敛.
3
例4 若xn+1.xn <cn, 且sn=c1+c2+..+cn,
函数的一致连续性
在区间X上一致连续 注3:f(x)在区间 上一致连续，区间 ⊂X,则f(x)在区间 在区间 上一致连续，区间E⊂ 则 在区间 E上一致连续 上一致连续. 上一致连续
数学分析选讲
多媒体教学课件
函数f(x)=x2在区间 在区间[0,b]上一致连续，其中 是一 上一致连续， 例1 函数 上一致连续 其中b是一 个正常数,而在区间 上非一致连续. 个正常数 而在区间[0,+∞)上非一致连续 而在区间 ∞ 上非一致连续 证明：对任意ε 对任意x 证明：对任意ε>0 ,对任意 ′,x″∈[0,b] ,由于 对任意 由于
因此
| f ( xn ) − f ( xm ) |< ε
是基本列,由柯西准则 收敛.由归结原则 故{f(xn)}是基本列 由柯西准则 是基本列 由柯西准则,{f(xn)}收敛 由归结原则 收敛 由归结原则, f(a+0)存在且有限 同理可证 存在且有限.同理可证 存在且有限. 存在且有限 同理可证f(b-0)存在且有限 存在且有限
f ( a + 0), f ( b − 0)
存在且有限. 存在且有限 证明：[充分性 设 充分性]设 证明： 充分性
x=a f (a + 0), F ( x ) = f ( x ), a< x<b f (b − 0), x=b
数学分析选讲
多媒体教学课件
在闭区间[a,b]上连续 从而一致连续 因此 上连续,从而一致连续 因此F(x)在开区 则F(x)在闭区间 在闭区间 上连续 从而一致连续.因此 在开区 上一致连续， 在开区间(a,b)上一致连续 上一致连续. 间(a,b)上一致连续，即f(x)在开区间 上一致连续 在开区间 上一致连续 [必要性 即f(x)在开区间 必要性] 在开区间(a,b)上一致连续 则对任意 上一致连续,则对任意 必要性 在开区间 上一致连续 ε>0,存在δ>0,对任意 ′,x″∈(a,b ),当|x′-x″ |< δ时,有 存在δ 对任意 对任意x 存在 当 有
函数一致连续的判别方法及其应用.
函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。
本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。
关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。
一致连续与柯西收敛准则
证明：
sin
x12
sin
x22
2 cos
x12
2
x22
sin
x12
2
x22
,
取正数x1, x2 , 满足
x12
x22 2
2n
,
4
x12
x22 2
,
4
则
x12 2n ,
x22
2n
2
,
即
x1
2n ,
x2
2n ,
2
给定正数
，对任意的正数
0
，总有 x1
2n , x2
2n ,
2
使得
那么称函数f (x)在区间I上是一致连续的。
0, 0,x1, x2 I , x1 x2 , f (x1) f (x2 )
用定义证明函数 f (x) x sin x在(,)上一致连续。
证明： f (x1) f (x2) x1 x2 (sin x1 sin x2)
f
( x1 )
g(x1)
f
(x2 )
g(x2 )
2
2
,
故函数f (x) g(x)在区间I上一致连续。
证明: 若函数f (x) ex cos 1 在区间(0,1)上非一致连续。 x
证明： 给定正数 （0 1）, 对任意的正数 ，总有
x1
1
2n
,
x2
1
2n
, (0,1),
2
x1 x2 , (n充分大时总可成立）
2n
2
,
x1, x2 X ,
(取n充分大）
使得 sin x1 sin x2 1 0,
由柯西收敛准则知，极限 lim sin x不存在。 x
第十讲 柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−<注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II ）定理10.1的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{}n x 极限不存在的充要条件是: 00ε∃>，使得对 +N ∀∈ , 均存在n N >时, 存在p +∈ ，使得0||n p n x x ε+−≥例子10.1设sin 2n n x n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
证明：注意到sin 2()sin 2sin 2()sin 2||=112n p n n p n n p n x x n p n n p nn p n n +++−−≤+++≤+≤+于是，对0ε∀>，取正数 2=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有2||n p n x x n ε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知sin 2lim n n n →∞存在。
证毕。
例子10.2.设222111123n x n =++++ ，证明数列{}n x 收敛。
证明：注意到222111||=(1)(2)()111(1)(1)(2)(1)()1111111121111n p n x x n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n p n+−++++++≤+++++++−+ =−+−++− ++++−+=−<+ 于是，对0ε∀>，取正数 1=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有1||n p n x x nε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知222111lim 123n n →∞ ++++ 存在。
浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
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2
2
.
综上讨论，对任意的x1 , x2 [a,),当 x1 x2 时，
f ( x1 ) f ( x2 ) .
f ( x)在区间[a,)上一致连续。
证明 : 若函数f ( x) sin x 2 在区间(,)上非一致连续。 例11.
2 2 x12 x2 x12 x2 2 证明： sin x12 sin x2 2 cos sin , 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 取正数x1 , x2 , 满足 2n , ,
2 2 而 sin x sin x 2 1 0. 2 2
2 1 2 2
利用柯西收敛准则，证明极限 lim sin x不存在。
x
证明： 给定 0 1 ，对任意的X 0, 2
总有点x1 2n , x2 2n
2
, x1 , x2 X , (取n充分大）
使得
sin x1 sin x2 1 0 ,
x
由柯西收敛准则知，极限 lim sin x不存在。
f ( x1 ) f ( x2 )
2
,
g ( x1 ) g ( x2 )
2
,
f ( x1 ) g ( x1 ) f ( x2 ) g ( x2 )
2
2
,
故函数f ( x) g ( x)在区间I上一致连续。
1 证明 : 若函数f ( x) e cos 在区间(0,1)上非一致连续。 x
函数f ( x) x sin x在(,)上一致连续。
证明 : 函数f ( x), g ( x)在区间I上一致连续, 则函数f ( x) g ( x)
在区间I上一致连续。
证明： 函数f ( x), g ( x)在区间I上一致连续,
0, 0, 对任意的x1 , x2 I ,当 x1 x2 时，
x
证明： 给定正数（ 1 , 对任意的正数，总有 ） 0
1 1 x1 , x2 , (0,1), 2n 2n 2 x1 x2 , (n充分大时总可成立）
1 1 而 f ( x1 ) f ( x2 ) e x1 cos e x2 cos e 2 n 1 0 . x1 x2
在局部范围内：（显然，可以用有限覆盖推广） 函数满足柯西准则的条件，并限定 x1 x2 2 ， 则该函数一定会满足一致收敛的条件！
证明 : 若函数f ( x)[ a,)上连续, 且 lim f ( x) b, 则函数
x
f ( x)在[a,)上一致连续。
证明：
x
2
2
.
(3) x1 [a, X ], x2 [ X ,), 对上述的与， 当 x1 x2 时，必有 x1 X 与 x2 X ,
故由（）与（）得 1 2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( X ) f ( x2 ) f ( X )
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) b b f ( x2 ) f ( x1 ) b f ( x2 ) b
故对上述的，存在 0, 对任意的x1 , x2 [a, X ]， 当 x1 x2 时， ( x1 ) f ( x2 ) ; f
lim f ( x) b,
0, X 0,当x X时， ( x) b . f 2
将区间[,)分为区间[a, X ]与[ X ,),
(1) 在闭区间[a, X ]上，因为f ( x)连续，所以一致连续。
4 (2) x1 , x2 [ X ,), 对上述的与，当 x1 x2 时，
一致连续性
设函数f ( x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的 正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1、 x2，当 x1 x2 时，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 那么称函数f ( x)在区间I上是一致连续的。
0, 0, x1 , x2 I , x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 )
cos x 利用柯西收敛准则，证明极限 lim 存在。 x x cos x 证明： 令f ( x) , x
则 f ( x) f ( x)
cos x cos x 1 1 , x x x x
x , 不妨设x, x 0,
2 令x0 min x, x, 则 f ( x) f ( x) , x0 2 于是，对 0, 欲使 f ( x) f ( x) , 只要 , x0 2 2 或只要x0 , 故取X , 则当x, x X时，恒有 cos x cos x f ( x) f ( x) , x x cos x 由柯西收敛准则知，极限 lim 存在。 x x
2
2 则 x12 2n , x2 2n
4
2
4
2
,
,
即 x1 2n , x2 2n
2
给定正数 0，对任意的正数，总有x1 2n , x2 2n
使得 x1 x2
2( 2n 2n
2
2 , (只要n充分大）
,
)
函数f ( x) sin x 2 在区间(,)上非一致连续。
柯西准则
设函数f ( x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的 正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1、 x2，当0 x1 a ,0 x2 a 时，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
0, 0, x1 , x2 I ,0 x1 a ,0 x2 a , f ( x1 ) f ( x2 )
用定义证明函数f ( x) x sin x在(,)上一致连续。
证明：
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 (sin x1 sin x2 )
x1 x2 x1 x2 x1 x2 sin x1 sin x2 x1 x2 2 cos sin 2 2
1
1 f ( x) e cos 在区间(0,1)上非一致连续。 x
x
柯西准则与一致收敛关系
0, 0, x1 , x2 I ,0 x1 a ,0 x2 a , f ( x1 ) f ( x2 )
0, 0, x1 , x2 I , x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 sin x1 x2 2 2 x1 x2 2 2
0,
2 当 x1 x2 时，恒有
0, 对任意的x1 , x2 (,), f ( x1 ) f ( x2 ) ,