第3章+X射线衍射线束的强度

1.分析可能出现的衍射线，对衍射花样进行指标化标 定。Fcc的消光规律为同奇同偶， 111,200,220,222,311,400,420 2.干涉面面间距的计算，Cu a=3.615埃,
• 使θ 在45度左右时
谱线的强度显著减弱
五. 吸收因数
1. 圆柱试样的吸收因数
μlr一定，吸收因子A
（θ）随θ值的增大而
增大
对于同一θ来说，μlr越
大，则A（θ）越小
吸收因数与θ及μlr的关系
平板状试样的吸收因数
1 A ( ) 2
与θ角无关，μ为吸收系数
六.
温度因子
有热振动影响时的衍射强度 2 M 温度因子＝ ＝e 无热振动影响时的衍射强度
h k l混杂时，Fhkl=0
7. AuCu3有序固溶体 （2）完全有序: Au(000) Cu(1/2 1/2 0) （1/2 0 1/2）（0 1/2 1/2） Fhkl=fAu+fCu[eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)] 当h、k、l全奇或全偶时，Fhkl=fAu+3 fCu
推导过程： 一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电 子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
其中Ae为一个电子散射的振幅。
（1）实际上，存在位相差，引入原子散射因子： 即Aa＝f Ae 。
Aa f Ae
其中f与有关、与λ有关。
个偶数：
结论 在底心点阵中，FHKL不受L的影响，只有当H、K 全为奇数或全为偶数时才能产生衍射
3. 体心立方晶胞的结构因子 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为000和
1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同。

分析
• 当H+K+L为偶数时，
• 当H+K+L为奇数时,
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时才能产生衍射
则该晶胞的散射合成波振幅为这n种原子叠加：
Ab Ae f j e
j 1
n
i j
引入结构参数 ：
FHKL
n Ab i j f j e Ae j 1
可知晶胞中（H K L）晶面的衍射强度
I a FHKL
2
Ie
2.对于hkl晶面的结构因子为：
(3-12）
3.F表征了晶胞内原子种类、原子个数、原子位置对衍 射强度的影响
4. 面心立方晶胞的结构因子
每个晶胞中有4个同类原子000, ½ ½ 0, ½ 0 ½,0 ½ ½

分析
• 当H、K、L全为奇数或偶数时(同性数)，则 （H+K）、（H+K）、（K+L）均为偶数，这时：
• 当H、K、L为异性数时，此时三个指数函数的 和为-1：
结论
• 在面心立方中，只有当H、K、L全为奇数或全 为偶数时才能产生衍射。如Al的衍射数据：
4.可得出hkl晶面的反射线强度（已知晶面上原子位置，
坐标（uvw）
第二节 结构因子的计算
1. 简单点阵的结构因子
在简单点阵中，每个阵胞中只包含一个原子， 其坐标为000，原子散射因子为fa

根据(3-12)式得：
结论：在简单点阵的情况下，FHKL与HKL无关， ，即HKL为任意整数时，都能产生衍射
（1）完全无序 每个晶胞含四个（0.75Cu+0.25Au）平 均原子，坐标（000）（1/2 1/2 0）（1/2 0 1/2） （0 1/2 1/2） Fhkl=f平均[1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)] 当h k l全奇或全偶时，Fhkl=4 f平均=(fAu+3 fCu);
响因子。
一、一个电子对X射线的散射 当X射线照射晶体时，可发生两种现象，一是X射线 被吸收，二是X射线被散射。 X射线在电子上产生了波长不变的散射，即相干散射
或弹性散射。
第三章 X射线的衍射强度
1.一个电子对X射线的散射
一束X射线沿OX方向传播，O点碰到电子发生散射，那么距O点距 离OP＝R、OX与OP夹2角的P点的散射强度为：
如:立方晶系{100}晶面族有6个等同面

将等同晶面个数对衍射强度的影响因子叫多重性因 子，P表示。（附录5）
三.
粉末多晶的反射几率：参加衍射的晶粒数目
德拜法
入射X射线 粉末样品 Ｄｅｂｙｅ环
单位长度衍射环的积分强度
返回
参加衍射的晶粒数目 衍射强度与参加衍射晶粒数目成正比 I cosθ
2. 底心斜方晶胞的结构因子

每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000
和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa
分析： • 当H+K为偶数时，即H，K全为奇数或全为偶
数：
FHKL f a 1 1 4 f a
2 2 2
2
FHKL 2 f a
• 当H+K为奇数时，即H、K中有一个奇数和一
振幅的简单相加，原子位置影响着衍射线的强度
与原子散射因子f、原子间位相差φ 、n有关
结构因子F，单胞中所有原子散射波叠加的波即为
结构因子 F
推导过程： 假设该晶胞由n种原子组成，各原子的散射 因子为：f1 、f2 、f3 ...fn；
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3 Ae ...fn Ae ； 各原子散射波与入射波之间光程差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
表3-1 反射线消光规律
布拉菲点阵 存在的谱线指数hkl 不存在的谱线指数 hkl 简单 全部 没有 底心 体心 面心 h+k 偶数 (h+k+l )偶数 h, k, l 同性数 h+k 奇数 (h+k+l ) 奇数 h, k, l 异性数
5. 金刚石结构
• 每个晶胞中有8个同类原子，坐标为000、
1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2，1/4 1/4 1/4，3/4 3/4 ¼，3/4 ¼ 3/4 ，1/4 3/4 3/4
前4项为面心点阵的结构因子，用FF表示，后4项 可提出公因子。得到：
• 用欧拉公式，写成三角形式：
• 分析：
–（1）当H、K、L为异性数（奇偶混杂）时，
1 cos 2 2 re Ie I0 2 R
2
汤姆逊公式
P
2Θ O X
1 cos 2 2 re Ie I0 2 R
2
第三章 X射线的衍射强度
1 cos 2 2
2
偏振因子（极化因子）
电子对X射线的散射特点： 散射线强度很弱 强度与到电子的距离的平方成反比 表明一束非偏振的入射X－ray经过电子散射后， 其散射强度在空间各个方向是不相同的，被偏 振化了
④ 2 θ＝0，散射强度最大为1，垂直方向为1/2; ⑤ 偏振化的程度取决于散射角2 θ的大小。
⑥ 将 1 cos 2
说明：一束非偏振的x 射线经过电子的散射后，散射线表现 为偏振状态。这将影响不同角度上散射线的强度，所以，偏 振因子（极化因子）是衍射强度要考虑的一个因素。 外层电子对入射X射线的散射为非相干散射，对衍射没有 贡献，是衍射结果的背底，不能完全消除，只能降低。
汤姆孙公式的分析：
2 1 cos 2 2 re Ie I0 2 R
一、衍射强度公式推导
• 假定圆环到试样的距离为R，则衍射圆环的半径为Rsin2θ，衍射圆
环的周长为2πRsin2θ，被照射物体V上产生的衍射线积分强度
e V 2 2 M I I0 2 2 P F A e 32R mc Vc
3 2 2
• 计算相对强度时可简化为：（衍射仪法）
反射晶面的面间距d越小，或衍射级数n越大，则 温度因数的影响越大； T一定时，θ 越大，M越大，
e
2 M
越小，I越
小，所以背反射时的衍射强度较小。
综合各因数，得多晶粉末试样衍射强度：
七、 积分强度计算举例
用CuKα 线照射铜的粉末试样，在粉末图形上 确定衍射线的位置和计算相对强度。
2
• 各项的物理意义为：
如图
1 cos2 2 －角因子或偏振因子 sin cos
2
二. 多重性因子 等同晶面: 晶面间距相同,晶面上原子排列规律相 同的晶面 在粉末或多晶体条件下,等同晶面中所有晶面都有 相同机会参与衍射,形成同一个衍射圆锥 等同晶面越多,对衍射强度的贡献越大。
－（2）当h、k、l全为奇数时
–（3）当H、K、L全为偶数时，并且H+K+L=4n时
Fhkl2=64fa2 Fhkl=8fa –（4）当H、K、L全为偶数且H+K+L≠4n时
金刚石结构
结论 金刚石结构属于面心立方点阵，凡是H、
K、L不为同性数的反射面都不能产生衍射
由于金刚石型结构有附加原子存在，有 上述另外的3种消光条件
2
称为偏振因子（极化因子）。
2
⑦ 任何物质的散射因子定义为相当于汤姆孙公式散射 的电子数（绝对单位），晶体中散射的基本单元是电 子。
二、一个原子对X射线的散射 讨论对象及结论： 一个电子对X射线散射后空间某点强 度可用Ie表示，那么一个原子对X射线散射后该 点的强度：
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子 推导过程
第三章 X射线衍射线束的强度
第一节 结构因子
一个电子对X射线的散射
一个原子对X射线的散射
一个晶胞对X射线的散射
第二节 结构因子的计算
第三节 粉末多晶体的HKL面的衍射强度
第一节
结构因子
布拉格方程是能够发生衍射的必要条件，但能否 观测到衍射线与衍射强度有关。 晶体结构分析：X射线衍射方向（Brag方程，晶胞 大小和形状因素）；衍射强度（原子种类和位置）
结构消光的实例
结构消光的实例
1. 底心晶胞:假如一束单色X
射线以θ角投射到底心晶 胞的（001）晶面上产生 衍射时，反射线1’和2’ 之间的光程差ABC为一个 波长，所以两反射线同位 相，于是在的所示方向上 产生衍射线。
（001）晶面的衍射
2.
体心斜方晶胞的两个（001）
面之间还有一个原子面，它
6. 密堆六方结构
• 每个平行六面体晶胞中有2个同类原子， 其坐标为000，1/3 2/3 1/2
结论：
密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的 两个原子，分别属于两类等同点。所以，它 属于简单六方结构，没有点阵消光。
密堆六方结构

不能出现 (h+2k)/3为整数 且l为奇数的晶面
衍射
7. AuCu3有序固溶体

四. 单位长度衍射环的积分强度 1
I 单位
2r sin 2

晶粒大小的影响，小晶体的积分衍射强度
I

Vc sin 2
粉末多晶体衍射的爱瓦尔德图解
罗仑兹极化因子（角因子）(附录6)
1 cos 2 Biblioteka Baidu
2
sin cos
2
• 洛伦兹因子是由具体的衍射几何而引入的， 所以各种不同衍射方法的角因子表达式也各 不相同 角因子与θ的关系
当h、k、l奇偶混杂时， Fhkl=fAu- fCu
结论 无序合金为fcc，有序合金为简单立方 指数全奇、全偶晶面的衍射线称为基本线条（无序 和有序都存在）
奇偶混杂指数晶面反射的线条，称超点阵线条（有
序存在）
第三节 多晶体的衍射强度 粉末法测衍射线强度时,影响X射线强度的因子有 五项: 1. 结构因子 2. 角因子(包括极化因子和罗仑兹因子) 3. 多重性因子 4. 吸收因子 5. 温度因子
的反射线与1‘的光程差恰好
是波长的一半，因此，1’和
3’的相位相反，互相抵消。
同理， 因晶面重复性，2’
和4’也是这样。 所以，在体心点阵点不会出 现（001）面的衍射线.
（001）面
系统消光：因原子在晶体中位置不同或原子种类不 同而引起的某些方向上的衍射线消失的现象。 结构因子：定量表征原子排布以及原子种类对衍射 强度影响规律的参数，即晶体结构对衍射强度的影
散射强度：
I a Aa f I e
2 2
（f总是小于Z）
•f反映了一个原子将X 射线向某个方向散射时 的散射效率 •f与sinθ 和 λ 有
关， sinθ/ λ越小，
f越大；
•sinθ＝0时，f＝Z 图3-5 原子散射因数曲线 •一般f≼Z
三、一个晶胞对X射线的散射 1、什么是结构因子 在含有n个原子的单胞中，各原子占据不同的坐标 位置，它们的散射波振幅和位相是各不相同的 单胞中所有原子散射的合成振幅不是各原子散射