最新二阶变系数线性微分方程的一些解法

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二阶微分方程求解方法总结

二阶微分方程求解方法总结
嘿，朋友们！今天咱来唠唠二阶微分方程求解方法。

这玩意儿啊，就像是一道有点难啃的骨头，但别怕，咱慢慢嚼。

你想想看，这二阶微分方程就像是个调皮的小怪兽，你得找到合适的办法来降住它。

那怎么降呢？
一种常见的办法就是特征方程法，这就好比是找到小怪兽的弱点。

通过解这个特征方程，咱就能得到一些关键的信息，然后顺藤摸瓜把解给找出来。

比如说，特征根是实数，那这解就有了大致的模样；要是特征根是复数呢，也别慌，咱照样有办法对付它。

还有一种方法叫常数变易法，这就好像是跟小怪兽斗智斗勇。

咱先假设一个大概的解，然后根据具体情况去调整、去变化，让这个解越来越接近正确答案。

这过程就像是在黑暗中摸索，一点点找到光明。

有时候，咱还得结合一些其他的知识和技巧，这就像是给降伏小怪兽加上了各种法宝。

比如和一些函数的性质结合起来，或者利用一些特殊的定理。

咱再打个比方，求解二阶微分方程就像是搭积木，每一块积木都有它的位置和作用。

你得小心翼翼地把它们放好，才能搭出漂亮的城堡。

这过程中可能会遇到一些难题，比如积木放不上去啦，或者位置不对啦，但咱不能气馁，得耐心调整。

那有人可能会问了，这二阶微分方程求解方法难不难呢？当然难啦！但咱不能因为难就退缩呀，是不是？就像爬山一样，虽然累，但爬到山顶看到的风景那可太美啦！
总之，面对二阶微分方程，咱得有勇气，有耐心，还得有智慧。

别怕犯错，错了咱就改，就当是积累经验。

相信自己，一定能把这个小怪兽给收服！这就是我对二阶微分方程求解方法的一点小总结，希望能对大家有帮助呀！。

二阶变系数齐次微分方程通解的求法

假设 2 （ * %） &" ( （ + %） & (（ , %）5 $ ，，即 " %& . " （ % ( !） & ( ( 5 $，（ & . "）（ &% . " ）5 $ 6 因为 & 为常数，所以 & # " ，由此得方程的一个特解 !! # #"% ，
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参考文献
+ 张清芳，库在强0 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解［ ,］，高等数学研究， "’’- ， . （&）： /0 —/. ［!］
-----------------------------------------（上接第 !. 页） + 所以原方程组的通解为： " & 2 0 & $ ! $ &20 $ " - 2 0 $ " "20 (!! ("! (&! (!! ("! (&! 1 %（ !! !" ） # ’ # ’ ’ % ! ’ (!" ("" (&" (!" ("" (&" ’ % 2 0 ’ ! -20 ’ ’ ’ ’ ! " % & ("! $ ("" & 2 0 % & (&! $ (&" $ & 2 0 % & (!! $ (!" " 2 0 $ - (!! % " (!" $ " $ - ("! % " ("" - 2 0 $ -& (&! % " (&" (!! ("! (&! - 2 0 % (!" ("" % 2 0 % (&" (!" ("" (&"

二阶线性微分方程及其解法

n 阶微分方程的一般形式为：F(x,y, y',y",L ,y(n)) 0，一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程y'' F(x,y,y')的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为y'' p(x)y' q(x)y f (x). ()如果f (x) 0 ，则方程()成为y'' p(x)y' q(x)y 0. ()方程()称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程()称为二阶非齐次线性微分方程.定理齐次线性微分方程解的叠加性定理•设y1和y2是二阶齐次线性微分方程()的两个解，则y c1y1 c2 y2也是微分方程()的解，其中c1,c2为任意常数•证：将y qy i C2『2代入方程()的左端，可得(c1y1 c2y2)'' p(x)(c1y1 c2y2)' q(x)(c1y1 c2y2)(C1y1'' C2y2'') p(x)(C1y1' C2y2') q(x)(C1y1 C2y2)=C1(y1'' p(x)y1' q(x)y1) C2(y2'' p(x)y2' q(x)y2)=0，所以，y c1y1c2 y2也是微分方程()的解• 口定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加• 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y，很容易得到含有任意常数C i, C2的解，y c i y i 5^2.如果解y i和y有一定关系，那么，解y C i y i C2『2中的任意常数C i,C2可以合并成一个任意常数•因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解• 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y2要满足哪些条件才能使解y C i y i C2y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念定义设函数y i和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数C1 ,C2，使cy C2 y2 0在区间上恒成立，则称函数y1和y2在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数y1和y2在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比0是y2否为常数.如果业等于常数，则y i与y线性相关；如果上等于函数，则y i与y线性无y2 y2关.例如,匹3,则y i与y2线性相关.出 x,则y i与y线性无关•y2 y2定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y i和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则y c i y i C2 y2是微分方程（）的通解，其中c i,c2为任意常数•例如，y i e x, y2 2e x, y a e x y°2e x都是二阶齐次线性微分方程y i 0的解,C i,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程y i 0的通解：A.c i y i C2y2B. c i y i C2y4C.C i y i C2D.C i y a C2y4E.c i y i y aF.y i c i y4G.C i(y i y2)C2W3y4)由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理，可知：选项B,G为该方程的通解• 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程•定理非齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则y Y y*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解•证：将y Y y*代入方程（）的左端，可得(Y y*)'' P(X)(Y y*)' q(x)(Y y*)(Y'' y*' ') p(x)(Y' y*' ) q(x)(Y y*)=(Y'' p(x)Y' q(x)Y) (y*' ' p(x)y*' q(x)y*) = f (x) ，所以，y Y y*是微分方程()的解，又 Y 是二阶齐次线性微分方程()的通解，它含有两个任意常数，即解中 y Y y* 含有两个任意常数，因此 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程()的通解 . □上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础 . 根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为： (1)求对应的二阶齐次线性微分方程()的两个线性无关的特解 y 1和y 2，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数 Y c 1y 1 c 2y 2；(2)求二阶非齐次线性微分方程()的一个特解 y* ；则，二阶非齐次线性微分方程() 的通解为 y Y y*.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解 .二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy 0.()其中p ，q 为常数•根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程()的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解y 1和y 2即可•注意到方程()的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数 y ，其导数 y'' ， y' 和 y则有q)e x 0 ，即 q0为二阶常系数齐次线性微分方程()的特征多项式，特征方程的根之间只相差一个常数，该函数就可能是方程()的特解 . 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此，设方程()的解为 y，其中为待定常数，将 yx、ye x 和 y" 2ex x代入微分方程 ()，我们称方程 ()为二阶常系数齐次线性微分方程)的特征方程，而称 F( )2p q称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根•因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解 .2（1）当p 4q 0时，特征方程有两个相异的实根i 和2，因此，微分方程有两个特解y i e ix,y 2 e 2X由于上 e（ 1 2）x，所以y i , y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微y 2分方程（）的通解为y c 1e ix c 2e 2X（ G ,C 2为任意常数）（）（2）当p 2 4q 0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解XXy 1 e .设 y h （x ）y 1 h （x ）e 是微分方程（）另一个特解，求导得：y\ h'（x ）e X h （x ）e X ， y= h"（x ）e x 2 h'（x ）e x 2h （x ）e x . 将2Py 2, y'2, y"2代入微分方程（），注意到方程 p q 0和，化简后得：2h"（x ） 0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个 h （x ） x ，则微分方程（）另一个特解为y 2 xe x ，且y 1, y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为找两个线性无关的实数解ix.由欧拉公式e cosx i sin x 可得XXy 1 e (cos x i sin x), y 2e (cos x isin x),根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有1 x1X2(% y 2)e X cosx2(y 1y ?) e x sin x.1,2P . P 2 4q"2(3)其中因为 yy 2xy (C 1 C 2x)e（C 1, C 2为任意常数）()2p 4q 0时，特征方程有一对共轭复根1丄也—.因此，微分方程有两个特解2y 1e ()x,y 2e ( i )xe 2i x ，所以y 「y 2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式xxe cos x e cos x 和e sin x 均为微分方程（）的解•而 xcot x .故二阶常系数齐e sin x次线性微分方程（）的通解为Xy （C i cos x C 2 sin x ）e（为任意常数）• （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：(1) 写出的特征方程； (2)求出特征根；(3) 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解解: 特征方程为234 0,特征根i 4，21,所求通解为解：特征方程为2 ,1 0,B f 特征根1 . 1,2,所求通解为22例4求方程y" 4y' 4y 0的满足定解条件y （0） 1，y'（0） 4的特解.例1求方程y" 3y' 4y 0的通解•y C i ec ?e（C i ,C 2为任意常数）例2 求方程 y" 2y' y 0的通解•解：特征方程为221 0,特征根121,所求通解为y (C 1 c 2x)e x（c 1, c 2为任意常数）例3 求方程 y"y' y 0的通解•(C i cos 空x2c ? sinx)e 2（C 1, c 2为任意常数）4xx4 0,特征根 1 2 2, 所求通解为y (c 1 c 2 x)e 2x对上式求导，得由定解条件 y(0) 1， y'(0) 4代入： c 1 1， c 2 2, 因此，所求特解为2xy (1 2x)e 2x .三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy f (x). ( p , q 为常数)由定理可知，如果 y* 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为yY y*其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得•当f (x)为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解y*，代入公式()即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解•现就 f (x) 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解 y* 的方法 . 1、当f (x) m (x)e x ，其中为常数，m (x)为m 次多项式：m(x) b 0x m b 1x m 1 b m 1x b m ， m 0 .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程()的一个特解为y* z(x)e x ， z(x)x k m (x)其中 m (x) 为 m 次待定多项式 .2 例如,(x) 3,则设 0(x) B 0; 1(x) x, 1(x) B 0x B 1; 2(x) x 21,则设2(x) B o x 2 B i X B 2.以 y*" [z"(x) 2 z'(x)2z(x)]e x ，代入微分方程()，整解：特征方程为y' 2xc 2e2x2(c 1 c 2 x)e ,理后可得待定系数平衡公式( 2 p q)z(x) (2 p)z'(x) z''(x) m (x)或F( )z(x) F '( )z'(x) z''(x) m (x). ()m 1 个联立方程：( 2 p ( 2pq)B 0q)B 1b 0,2( p)mB 0 b 1,确定 B i (i 0,1,2,,m) ，就可以确定待定多项式z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* xz(x)e .(2)当 F( )2pq 0 ，即是特征方程的单根时， F'( )0.要使平衡公式() 的两端恒等，z'(x)与m( x )为同次多项式，设z(x) x m (x)x(B 0x m B 1x m1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* z(x)e x .(3) 当 F( )2pq 0 ， F'( ) 2 p 0 ，即是特征方程的重根时，要使平衡公式()的两端恒等，z''(x)与m (x)为同次多项式，设z(x) x 2 m (x)x 2(B 0x m B 1x m 1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解 y* z(x)e由此，通过比较两端 x 的同次幂的系数确定待定多项式 kz(x) x k m (x) 中的待定系数 . 因为特征方程的根不同，z(x) 的次数也不同，分别讨论之 1) 当 F( ) 2p q 0 ，即不是特征方程的根时，要使平衡公式()的两端恒等， z(x) 与m(x) 应为同次多项式，即z(x)x 0 m (x) B 0 x mB 1x m 1B m 1x B m代入平衡公式()，比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数B 0,B 1, ,B m 的上述讨论可归纳如下：当f(x)m(x)e x ，其中常数，m 次多项式m(x)已知，微分方程的特解形式为y* z(x)e x x k m (x)e x ，即 z(x) x k m (x)，其中：m(x)与m (x)为同次多项式；k 0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定2、当f(x) e x (acos x bsin x)，其中a,b,,为常数时，可得复数分方程的特解形式为y* x k (A 1 cos x A 2 sin x)e x ，对共轭复根而确定•以y*, y*' ,y*"代入原方程，比较同类项的系数，解得 A 1, A 2.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y y*其中Y 为余函数， 2,，1(x) 7x 2可用待定系数平衡公式确定7B °x (5B Q 7B I ) 7x 2.比较系数，7B Q 7, 5B Q 7B I2,得 B Q 1,B I1,即y (x 1)e 2x .其特征根为1 3i ，余函数为1,22Y (C 1 3 cos- x 23 -xc 2 sin x)e 2 c 1, c 2为任意常数特征多项式为F( )21，且 F ( ) 2 1,解：特征方程为21 0,2不是特征方程的根i .设微其中：A ?为待定常数；k 0,1,分别根据i 不是特征方程的根或是特征方程的一例5 求方程y" y' y(7x 2)e 2x 的通解.设 y* z(x)e 2x , z(x)B o x B.根据待定系数平衡公式F(2)z(x) F (2)z(x)z (x) 7(B o X B) 5B Q2x ,比较等式两端x 同次幕的系数，可得B 。

二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座

二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：令()()()()y x p x y q x y f x '''++=【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。

解：22111x y xy y x y y y x x x''''''-+=⇒-+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111y y y x x x'''-+=，求得()1212212ln 11ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1ln ln 2y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx xxxxx xxxc x c x x x x =++⋅⋅=+-+++=++⎰⎰ 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。

【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。

【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。

二阶微分方程解法总结

二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。

本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。

一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。

具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。

对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。

二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。

具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。

以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。

将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。

三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。

对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。

解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。

需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。

因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。

四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。

具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。

以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。

然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。

将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。

二阶变系数线性微分方程的一些解法

2
积分得 x2 ＋ y2 ＝C2 42
即抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线是一个椭圆族，如
图 6-4。
三、追迹问题
例 3. 开始时，甲、乙水平
距离为 1 单位，乙从 A 点沿垂
直于 OA 的直线以等速 v0 向正
比行走；甲从乙的左侧 O 点出
发，始终对准乙以 nv0(n＞1)
的速度追赶，求追迹曲线方程，
就是所要求的正交轨线。例 2 求抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线。解对 y＝Cx2 关于 x 求导，得
y′＝2Cx 与原方程联列
y Cx 2
消去 C
y' 2Cx
图 6-4
得微分方程
y′＝ 2y x
将－ 1 代入 y′得所求抛物线的正交轨线微分方程 y'
－ 1 ＝2y y' x
即
ydy＝－ x dx
第九节二阶变系数线性微分方程
的一些解法
常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法
§9.1 降阶法
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而
求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方
线族。例如 y＝Cx2为一抛物线族。
图 6-3 如果存在另一族曲线 G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族 F(x,y,C)＝0 的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称 G(x,y,C)＝0 为 F(x,y，C)＝0 的正交轨线。将曲线族方程 F(x,y,C)＝0 对 x 求导与 F(x,y,C) ＝0 联列并消去常数 C，得曲线族上任一点的坐标(x,y) 和曲线在该点的斜率 y′所满足的微分方程

二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法

１８４１年，法国数学家刘维尔证明了著名的Ｒｉｃｃａｔｉ方程
ｙ一ｐ（ｘ）ｙ。＋ｑ（ｘ）ｙ＋ｒ（）
一
（４）
般是不可积的，即不能用我们熟知的初等积分法来求解．
引理１［ｓ３１４］对方程（４），若系数满足（＼今芒）一们 ‘ Ｊ，一ｒ（ｚ），则是可积的，且通积分是：
在理论较充分、应用较广泛的线性变系数微分方程却没有通用的求解方法，于是二阶变系数齐次线
性微分方程的解的问题是人们比较感兴趣的课题．文章对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程，通
过常数变易法，化为恰当方程，化为Ｒｉｃｃａｔｉ方程来求解．
分离变量得：
（３）
方程（３）可降阶，故令 “ （ｚ）一ｃ（ｚ），方程（３）化为：
（ｚ）Ｙ（ｚ）＋（２ｙ（）＋ｐ（ｘ）ｙ（）） “ （）一０，
＋
“ ＼ｚ，
三 ±
一
！：：一一．一旦兰＿）
ｃ— Ｉｐ（ｘ）ｅ－Ｉｑ（ｘ）ｄｘｄｘｐ（ｚ）
、
其中Ｃ为任意常数．
２．２定理及其证明
定理１ｃ பைடு நூலகம்
若方程（１）的系数满足Ｐ（ｚ）一ｑ（．ｚ）时，则方程（４）是可积的，且通积分是：Ｙ：Ｃ２ｅ叫ｊ酉 ¨

二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文

目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013 ）摘要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。

关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。

对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。

如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。

二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法

二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。

1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。

该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。

例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。

2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。

它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。

迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。

二阶微分方程解法

二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。

特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。

两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。

两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。

2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。

先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。

则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。

求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。

②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。

令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。

二阶变系数线性微分方程的积分因子解法

若存在二阶非零可微函数ｆｘ，方程（（）３）两端同乘ｆｘ后可化为（）
（（）Ｊ＝（）（），），ｇ，
则称ｆｘ为方程（）的积分因子．（）３定理１二阶非零可微函数ｆ（）方程（）的积分因子的充分必要条件是ｘ是４
一＝一２，一＝， ∽ ｌＪ● ．ｘ，（）厂一一（）
＝
（）４
、】（，５）
此时可取，：』（）ｅ
，
方程（）的通解为ｙ一３：
Ｉｆ）ｘｘｘＣ＋２｛（（）＋，Ｃ￣ｘ）ｄｘｇｄ
．
Ｊ）
证明必要性．若方程（）３存在积分因子＇，则有（（ｙ，ｇ）厂）（ｆｘ）＝（（，即ｙ（＋ｙ）））ｙｘ２ｙ（＋）
证毕．
例１解方程ｙ十２。，＋２）ｅ＿．一ｘｙ＋（ｘｙ：一＾
解ｐｐ（＾２ ’ ｇ加（ｅ一
取
，
』ｄ＝ｘｘｅ２
因为
＝
，
：ｅ，：：Ｘ＋ＸＰ（２２＝２）所以，（）１’是原方程的积分因子
第２卷第６８期
２００８正
高师理科学刊
ＪｕａｆＳｉｎｅｏｅｃｅｓＣｒｇｎｎｖｒｉｏｒｌｏｃｅｃｆＴａｈｒｏｅｅａｄＵｉｅｓｙｎｔｔ
Ｖ０．８Ｎｏ６１２．
ｌ１月
Ｎｏ．ｖ
类似引理，定理１的讨论可得出定理２．

二阶变系数线性微分方程求解法探究

Ｙ＋ｐ（）ｙ＋ｑ（ｘ）ｙ＝厂＿（）的通解公式
【关键词】二阶变系数线性微分方程；二阶线性常系数
微分方程；通解；特解
二阶变系数线性微分方程的求解法
此外通过方程（２）能够得到
ｙ＝ｅ
十［Ｃ㈤圳ｄ＋Ｃ：］，
（９）
就能通过方程（２）、（３）使方程（１）转变为方程（４）．
（）＋Ｕ（）＝Ｐ（），（２）
Ｙ＝：ｅ — Ｊｐ ‘ 一ｕ ‘ ［Ｃ。ｆｅｘ）－２ｕ（ｘ）ｄｘ］ｄ＋Ｃ］，（１ｏ）
（）＝ｐ（）一 “ （）或是 “ （）＝Ｐ（）一＂（）．
一
、
将其带至方程（６）能够得出二阶变系数的非齐次方程
（１）通解的其他两种形式，分别是
Ｙ＝ｅ ” ㈤㈤＋Ｃ
ｌ
现行的高数微分方程理论中，仅仅对常系数类型的微分方程展开研究，即使是在《常微分方程》中也没有对二阶变系数这一类型的微分方程求解进行深入探讨．
（３）
方程（Ｉ）转变为方程（４）Ｙ＋［（）＋ｕ（）］Ｙ＋［（）＋（） “ （）］ｙ＝／ｌ），
（４）
即
本文分析的二阶变系数线性微分方程的解法主要是通

二阶变系数线性微分方程的解

二阶变系数线性微分方程的解作者：昌浩田霍隆兴来源：《亚太教育》2015年第07期摘要：本文给出了一类二阶线性微分方程的解法，并举例说明。

关键词：变系数;微分方程;通解中图分类号：O175.1文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）03-0112-011、预备知识考虑二阶非齐次线性微分方程[1-4]y”+p（x）y+q（x）y=f（x）（1）（其中p（x），q（x），f（x）是关于x的未知函数）的解;若f（x）=0，则该方程为齐次微分方程y”+p（x）y+q（x）y=0。

（2）特解：若y0满足方程y”+p（x）y+q（x）y=0，则称y0是该方程的一个特解。

通解：对于方程y”+p（x）y+q（x）y=0，若y1（x），y2（x）是该方程的两个线性无关的解，则称y=c1y1+c2y2（这里c1，c2为任意常数）为该方程的通解。

若知道（2）的通解为y=c1y1（x）+c2y2（x）（这里c1，c2为常数）通过常数变易法，设方程（1）的通解为y=c1（x）y1（x）+c2（x）y2（x）（其中c1，c2是待定的未知函数）由变系数二元线性方程组c1（x）y1（x）+c2（x）y2（x）=0c1（x）y1（x）+c2（x）y2（x）=f（x）解出c1（x），c2（x），再对其积分，即可求出c1（x），c2（x），从而可以求出方程（1）的通解。

这里在知道方程（2）的一个非零特解的情况下，直接用常数变易法求方程（1）的通解。

2.主要定理及结论若知道方程（2）的一个非零特解，则可以通过换元法化二阶方程为一阶方程，进而求出原方程的通解。

定理若y1是方程（2）的一个非零解，则方程（1）的通解为y=c1y1（x）+c2y1∫1y21e-∫p（x）dxdx+y1∫1y21e-∫p（x）dx[∫y1f（x）e-∫p（x）dxdx]dx这里c1，c2为任意常数。

证明因为函数y1是方程（2）的特解，则y1”+p（x）y1+q（x）y1=0（3）由线性微分方程的性质知，函数cy1一定是方程（2）的解（c为任意的常数）。

二阶线性微分方程的解法之欧阳化创编

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++nn y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如,=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=(21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为≠rx e , 所以只有 02=++q pr r(3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422qp p r ---= xr x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解xr e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得整理,得由于01≠xr e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ixsin cos +=把21,y y 改写为21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+,方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x xe x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程 (2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解. 解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例2 求方程0222=++S dt dSdtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法 1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y =)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数. 把 x e x Q y λ)(=* 代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程2=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解. 解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=*所给方程的通解为x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

二阶微分方程解法与应用

二阶微分方程解法与应用对于二阶微分方程的解法与应用，我们需要先了解什么是二阶微分方程，以及其解法和应用的基本原理。

本文将介绍二阶微分方程的概念和常见类型，探讨其解法和实际应用。

一、二阶微分方程的概念二阶微分方程是指具有以下形式的方程：d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)其中，y 是自变量 x 的函数，P(x)、Q(x) 和 R(x) 是已知的函数。

二阶微分方程是微积分中常见的方程形式，它描述了函数 y 在自变量 x 上的变化规律。

二、二阶微分方程的解法1.特解与齐次方程解对于非齐次性二阶微分方程，我们首先需要找到其对应的齐次方程的通解，再寻找特解。

齐次方程的通解可以通过特征方程解法求得。

特征方程解法：假设齐次方程的解为 y = e^(rx) ，则将其带入齐次方程中得到特征方程：r² + P(x)r + Q(x) = 0解特征方程得到 r1 和 r2，根据特解形式 y = C₁e^(r₁x) +C₂e^(r₂x)，其中 C₁和 C₂为常数，即可得到齐次方程的通解。

2.倍角公式与特解求解对于常见的二阶微分方程，可以利用倍角公式求得特解。

例如，当非齐次方程为：d²y/dx² + 4y = 2cos(2x)我们知道，cos(2x) = (e^(2ix) + e^(-2ix))/2，代入方程得：d²y/dx² + 4y = e^(2ix) + e^(-2ix)此时我们可以假设特解为 y = C₁e^(2ix) + C₂e^(-2ix)，其中 C₁和C₂为常数。

通过求导后代入方程，可以求得特解的具体形式。

3.拉普拉斯变换与解的转化拉普拉斯变换是一种常用的求解二阶微分方程的工具。

通过将方程转化为代数方程，我们可以利用拉普拉斯变换进行求解。

例如，对于方程 d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = x，我们可以进行拉普拉斯变换：s²Y - sy(0) - y'(0) + 3sY - y(0) + 2Y = 1/s²其中，Y 和 y 为拉普拉斯变换后的函数，y'(0) 和 y(0) 分别为函数 y 在初始点的导数和值。

二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法

二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法对于Riccati 微分方程()()()2'y P x y Q x y R x =++ （1）称系数关系：()()()()()12,'I P x R x I P x P x Q x ==+ 为方程（1）的不变量. 引理 []11 R 氏方程（1）经'()u y P x u=-变换，化为二阶线性方程21'''0.u I u I u -+= 定理二阶线性方程()2''''0y bG G G y cG y +-+= （b,c 为常数）经Gudxy e -⎰=变换，化为分离变量方程 2.duGdx u bu c =-+⎰⎰（2）证明在方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=中，取()(),P x G Q x bG ==-(),R x,cG =则不变量满足关系：()()()()212,'I P x R x cG I P x P x ===()Q x +='G.bG -于是，方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为Riccati 方程： 2'.u Gu bGu cG =-+ （3）显然，方程（3）为分离变量方程（2）.推论 ()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为分离变量方程 212,duf u Pu P =-+⎰其中u 满足（2）.此时，方程()2''''0y bG G y cG y +-+=中，取',G f =1b P =, 2,c P =则方程20r br c ++=可化为分离变量方程 212'.duf dx f u Pu P ==-+⎰⎰ （4）例解方程()()()23''21'30.xInx y xIn x y x In x y +--=解将方程化为()()1''2'30.y Inx y Inx y xInx ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭此时，取,2,G Inx b == 3,c =-则方程化为1213,,2341xdu u x Inxdx In C u u u e --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰1u =-+414,1xx C e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1441211Inx Inx dx x xxC e x x y eC C e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎪-⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦312x x x x K K e e -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭引理 []22 对于R 氏方程（1），若存在常数,,αβγ及可微()D x （不等于0）和()0y x ，满足拓广不变量关系：()[]()()2102,'I P x L y D I P x P x αγ===()()02Q x y x ++()2P x D D β=+.则方程（1）可化为可积形式2,duDdx u u αβγ=++⎰⎰ 其中[]()()()200000,'.Dy u y L y y P x y Q x y R x Pα=+=-+++定理二阶线性方程 ()[]00'''/2'0y P P Q y P y PL y y -+++= （5）经()P x udxy e -⎰=变换，化为Riccati 方程()()()2'.u P x u Q x u R x =++推论二阶线性方程22''''''2''''''''''0''f f y F f y F F F F f wf y f f λλ⎛⎫⎛⎫-++++-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）经'f udxy e -⎰=变换，化为可积形式 2.duf u u wλ=++⎰（7）例讨论方程''sin 2'cos 2sin 0V x V x V x +-=的周期性.解将方程变形为cos ''2'20sin x V V V x +-=.在方程（6）中，取cos 1','sin x F f x c-==（常数0c ≠），20,,w c λ==-则本例方程化为积分形式122,du xc u u c c=+=-⎰ 2/121x ccc c e --+，则2/12112/21()x c dx c e x x c c y ec e c e -⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎰==+ .显然，其解非周期解.参考文献：【1】张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of RiccatiDifferential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 1999,14(3):67-70.。

二阶变系数线性微分方程的解法

二阶变系数线性微分方程的解法王莉【摘要】探讨微分方程解法,明确方程解法技巧,提出3种新的解决方案,拓展二阶变系数线性微分方程的处理方法.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(025)003【总页数】2页(P71-72)【关键词】二阶变系数;线性;微分方程;变量交换【作者】王莉【作者单位】湖南汽车工程职业学院,湖南长沙 410000【正文语种】中文微分方程来源于生产实践，建立在客观事物发展规律基础之上，能够全面、具体反映各类现象，帮助人们更好地了解事物发展规律，预测未来，其发展是社会实践的结果，二者互相作用，相互促进。

微分方程是自然学科及偏微分方程发展的重要基础，也是相关领域发展的主要驱动力。

自发展以来，受到了多位学者的关注，且相关理论研究成果较为丰富，在一定程度上完善了微分方程理论体系。

根据微分方程基本理论来看，任何非线性微分方程的解都能够纳入到相应的解组当中。

不仅如此，高阶微分方程能够通过降阶法，简化其繁琐的内容，将其转化为一阶或者二阶方程进行求解。

可见，低阶微分方程求解在整个微分方程求解中占据十分重要的地位，也是求解的开始。

在数学领域中，任何一个一阶或者二阶微分方程都具有可解性特点，而变系数二阶线性微分方程难度较大[1]。

目前为止，仅有一个近似解法，还没有一个较好的方法能够解决该问题，加之幂级数解法计算量较大，且难以求得结果，在理论上难以达到求解目标。

因此加强对二阶变系数线性微分方程解法的研究十分必要，不仅能够丰富微分方程理论体系，还能够帮助我们寻找到一种较为简单的计算方法。

现阶段，该类方程在物理学等领域中应用范围较广。

如在散射理论中，常见的Riccati等方程均属于该类方程。

不可否认，很多实践应用问题都需要该类方程求解，才能够挖掘领域内的知识，进而将知识回归到实践中，指导实践工作。

同时该类方程是求解数学、物理等方程的重要基础，在推进上述学科发展中具有深刻意义。