第十二章 结构力学极限荷载
结构力学结构极限

§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
图a所示梁的横截面有一对称轴,承受位于对称平面内的 竖向荷载作用。随荷载的增大,梁截面应力变化为
图(b):荷载较小时,弹性阶段,截面应力σ<σS。
图(c):荷载加大到一定值,最外边缘应力达到屈服极限σS,
第12章 结构的极限荷载
§12-1 概述
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计
算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
§12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁,塑性铰出现 在|M|max处。
图a所示截面简支梁,跨中截面弯 矩最大,该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作M图如c。
由
Ful 4
Mu
求得极限荷载为
Fu
Mu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁:具有多余联系,只有出现足够多的塑性铰,才能 使其成为破坏机构。
当截面为bh的矩形时
WS
bh 2 4
故
Mu
bh2 4
S
弹性截面系数为 W bh 2 6
屈服弯矩为
MS
bh2 6
S
M u 1.5 MS
对矩形截面梁来说,按塑性计算比按 弹性计算截面的承载能力提高50%。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
结构力学极限荷载PPT课件

i 1
上式中,n是塑性铰数目。
取任一可接受荷载 FP,相应的弯矩图称为 M 图。令
此荷载及内力在上述机构位移上作虚功,虚功方程为:
由实验可知理想刚塑性材料模型能较为准确反映结构极限状态的变形。
第9页/共63页
理想弹性状态下的变形(弹性变形)
强梁弱柱
理想刚塑性状态下的变形(塑性变形)
第10页/共63页
极限荷载
塑性铰
弯矩图
极限弯矩(P266)
杆件截面所能承受的最大弯矩。
塑性铰(P267)
当截面弯矩达到极限弯矩时,两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相 对转角,产生局部弯曲变形,这种情况与带铰的截面相似,称为塑性铰。
对称截面的形心轴 与等面积轴重合, 皆为对称中心线。
矩形截面:
1.5
Mu Wu
M s Ws
圆形截面:
16 3
薄腹工字截面: 1.1
M
M
M
弹塑性变形发展阶段
Mu Ms
M s 屈服弯矩 M u 极限弯矩
弯矩与转角的关系曲线
第17页/共63页
弯矩M与曲率r的关系曲线例
h b
h strain
例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu(P269)
1)静力法(作弯矩图):
FP
解: 结构在A、C截面出现塑性铰。 A
l/2 C
l/2
B
FPu
6M u l
Mu
FP
A
C
B
Mu
极限状态弯矩图
第29页/共63页
2)虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件,兰点为塑性铰
A
C
Mu
Mu Wu s
第十二章结构的极限荷载5PPT课件

图(b)表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的
标志是最外纤维处的应力达到屈服极限 σs ,图(c)
所示,此时的弯矩: ---屈服弯矩Ms
Ms
bh2 6
s
也称为:弹性极限弯矩Ms
b)弹塑性阶段
b ho z
σs
yo yo
y
(a)
σs (d)
图(d)表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠
外部分形成塑性区,其应力为 σs
矩形截面:
A
C
Mu
y1 y2
A1 y
•
h
b A2 y
A1 y
•
A2 y
Mu A1 s y1 A2 s y2
2(b
h 2
h4)s
bh2 4
s
二、塑性铰
1、塑性铰的概念
qu
A
C
Mu
C
当截面达到塑性流动阶段时,在 极限弯矩保持不变的情况下,两个无 B 限靠近的截面可以产生有限的相对转 角,这种情况与带铰的截面相似。因 此这时的截面可以称为 塑性铰。
§12-2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构、静定梁的计算
一、屈服弯矩与极限弯矩
以理想弹塑性材料的矩形截面梁受纯弯曲情况为例,说 明梁由弹性阶段到弹塑性阶段以及最后达到塑性阶段的过程 及一些基本概念。
M
M
h
b
随着M的增大,梁的变形情况经历了以下几个阶段:
a)弹性阶段
b
σ
σs
ho z
y
(a)
σ (b)
σs (c)
结构力学
道路与桥梁工程系
§12-1 概 述
1、弹性计算
——在计算中假设应力与应变为线性关系,荷载 全部卸除后结构没有残余变形。
土木工程结构力学教学大纲(重大教材)

结构力学教学大纲英文名称:Structure Mechanics课程编号:课程类型:学科基础必修课总学时:90 学分:5.5适用对象:土木工程专业本科先修课程:高等数学、线性代数、理论力学、材料力学、计算机程序语言使用教材:《结构力学》(第一版),文国治,重庆大学出版社,2011.10,高等学校土木工程本科指导性专业规范配套系列教材。
参考书:1)《结构力学》(第四版上、下册),李廉锟,高教出版社,2004.07,全国优秀教材2)《结构力学》(上、下册),朱慈勉,高教出版社,2004,全国优秀教材3)《结构力学》,胡兴国,武汉工业大学出版社,2002。
4)《结构力学》(第二版上、下册),罗固源,重关大学出版社,2003.09,21世纪高等学校本科系列教材一、课程性质、目的和任务本课程是土木工程专业必修的一门主要的专业基础课。
本课程的教学目的是使学生在理论力学和材料力学的基础上进一步掌握分析计算杆件体系的基本原理和方法,了解各类结构的受力性能,培养结构分析与计算(包括手算与电算)方面的能力,为学习有关专业课程及进行结构设计和科学研究打下基础。
二、教学基本要求1)绪论了解结构计算简图及简化要点,荷载分类,约束和结点的类型和力学特性。
2)几何组成分析掌握平面几何不变体系的基本组成规律及其应用。
3)静定结构的受力分析灵活运用截面平衡法,熟练掌握梁和刚架内力图的作法以及桁架内力的计算方法,掌握静定组合结构和拱的内力的计算方法。
了解静定结构的力学特性。
4)虚功原理与结构的位移计算理解变形体虚功原理的内容及其应用,熟练掌握静定结构位移的计算方法,了解互等定理。
5)影响线理解影响线的概念,掌握作静定梁和桁架内力影响线的静力法,了解机动法。
会用影响线求移动荷载下结构的最大内力。
6)力法掌握力法的基本原理和用力法典型方程计算超静定结构在荷载、支座移动、温变作用下的内力。
会计算超静定结构的位移。
了解超静定结构的力学特性。
《结构力学》教学大纲

《结构力学》教学大纲大纲说明课程代码:5125015总学时:80学时(讲课76学时,上机4学时)总学分:5学分课程类别:必修适用专业:土木工程专业(本科)预修要求:高等数学、理论力学、材料力学课程的性质、目的、任务:结构力学是土木工程专业的一门主要的技术基础课。
它的任务是在学习理论力学和材料力学的基础上,了解和掌握杆件结构的计算原理和方法,熟悉各类结构的受力特点和性能,培养结构分析和计算的能力,为学习有关专业课程和解决生产实践中的结构力学问题打好基础。
通过学习,使学生掌握平面杆件结构的组成分析、静定结构和超静定结构的内力和位移的计算分析方法。
课程教学的基本要求:本课程的学习中,要密切联系实际,培养学生正确的分析问题的方法,注意正确理解掌握基本概念和基本方法。
考虑到课程性质,建议采用多媒体教学手段。
计算机应用是本课程的重要组成部分,在教学中应予以充分重视。
大纲的使用说明:本大纲适用于土木工程本科专业80课时的结构力学课程使用,可根据具体的课时情况作适当的增删。
大纲正文第一章绪论学时:2学时(讲课2学时)本章讲授要点:结构力学的研究对象和任务;平面杆件结构和荷载的分类;结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
重点:结构力学的研究对象和任务;结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
难点:确定计算简图第一节结构力学的研究对象和任务第二节结构的计算简图第三节平面杆件结构和荷载的分类第四节结构力学的学习方法习题:3题第二章平面体系的几何组成分析学时:4学时(讲课3学时,习题1学时)本章讲授要点:几何不变体系的基本组成规律;对体系几何组成的分析和判定;静定结构和超静定结构的几何组成特征。
重点:运用无多余约束的几何不变体系的三个简单组成规则分析一般体系的几何组成。
难点:三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况。
第一节概述第二节几何不变体系组成规则及体系分析举例习题:6题第三章静定结构的内力计算学时:10学时(讲课8学时,习题2学时)本章讲授要点:梁、刚架的内力计算及内力图的绘制;多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、受弯杆件与桁架杆件组合结构的内力计算;结点法和截面法计算静定平面架内力;三铰拱的受力特点,内力图特征,合理拱轴概念及静定结构的基本特征。
结构力学课件 第十二章 结构的极限荷载

Mu
× 2δθ
=
0
Pu
A
δθ B
δθ
C Mu
2δθ
Pu/2
本例中,截面上有剪力,剪力 会使极限弯矩值降低,但一般 影响较小,可略去不计。
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束,出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰,这时 M A = 3Pl /16 = M u P = 16M u / 3l
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
上节定理的应用:
极小定理的应用
穷举法:列出所有可能的破坏机构,用平衡条件求出这些破坏 机构对应的可破坏荷载,其中最小者既是极限荷载。
试算法:每次任选一种破坏机构,由平衡条件求出相应的可破 坏荷载,再检验是否满足内力局限性条件;若满足,该可破坏 荷载既为极限荷载;若不满足,另选一个破坏机构继续运算。
Pu1 ≥ Pu2 若把 Pu2看成可破坏荷载,Pu1 看成可接受荷载。
故有
Pu1 ≤ Pu2 Pu1 = Pu2
3.极小定理:极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明:由于极限荷载 Pu 是可接受荷载,由基本定理 Pu ≤ P+ 4.极大定理:极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明:由于极限荷载 Pu 是可破坏荷载,由基本定理 Pu ≥ P−
令 M max = M u ,得
Pu
=
4Mu
/
l
=
4 4000
× 26.79×106
=
26.79
kN
l/2
l/2
12结构的极限荷载

第12章 结构的极限荷载12.1 概述结构分析方法 弹性分析 塑性分析结构设计方法 弹性设计 塑性设计结构的弹性分析和设计:基本假定:第一,结构的材料服从虎克定律,应力与应变成正比; 第二,结构的变形和位移都是微小的。
内力计算和位移计算都可以应用叠加原理弹性设计时的强度条件:σ max≤ [σ ]=σyky材料屈服极限偏于保守!容许应力安全系数12.1 概述结构的弹性分析和设计:弹性设计时的强度条件:σ max≤ [σ ]=σyky材料屈服极限偏于保守!容许应力安全系数结构的塑性分析和设计:塑性设计时的强度条件:FP≤ [FP ]=FP u ku结构极限荷载更合理、经济容许荷载安全系数充分估计由弹塑性材料组成的超静定结构在超越材料屈服极限 以后的承载能力。
12.1 概述结构的塑性分析和设计:结构塑性分析 的主要任务塑性设计时的强度条件:FP≤ [FP ]=FP u ku结构极限荷载更合理、经济容许荷载安全系数极限状态与极限荷载: 结构变形随荷载增加而增大。
当荷载达到某一临界值时,不再增加荷载变形也会继续增大,这时结构丧失了进一步的承载能 力,这种状态称为结构的极限状态,此时的荷载称为极限荷载。
12.1 概述 弹性阶段:OA段应力与应变成本章塑性分析假定:正比,σ=Eε;变形和位移都是微小的; 塑性阶段:AB段,应力达到屈材料为理想弹塑性材料。
服极限σy,应变达εy=σy/E时;AB平行于ε轴,应力σ=σy为常量而应变ε可无限增长。
卸载规律:塑性阶段的某一点C卸载,相应的路径如图中平行于AO的虚线CD所示,即卸载的规律与弹性阶段相同。
残余应变:当应力减至零时,注:材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同材料有残余应变,如图中OD。
12.1 概述本章塑性分析假定: 变形和位移都是微小的; 材料为理想弹塑性材料。
可见,对于弹塑性材料: 应力和应变并非一一对应; 必须了解加、卸载的全部“历史”,才能确定应力应变注:材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同为进一步简化分析:本章还采用比例加载的假定: 所有的荷载均为单调增加,不出现卸载现象; 在加载过程中,所有的荷载均保持固定的比例,因而可以用 同一个参数(荷载因子)的倍数 来表示。
结构力学 极限荷载讲解

qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构,只要材料、截面积、截面形状相同,塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构,qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数:极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 : 1.5 16 圆形截面: 3 工 字 形 截 面 : 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时,无论截面形状如何,中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构(一)A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况(1)
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构(二)A
M u2
情况(2)
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构(三)A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现,为什么? 情况(3)
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 : 1.1 p
A D B E
C
试取机构( 2) p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 ( 2) 相应的 M图 , p2 3
极限荷载的名词解释

极限荷载的名词解释极限荷载,简称为极限载荷,是指结构在允许的极限条件下所能承受的最大力量或压力。
它是设计师在建筑、航空航天、汽车工程、桥梁和机械工程等领域中必须考虑的关键因素之一。
1. 极限荷载概述极限荷载在工程设计中具有重要意义。
无论是建筑物、桥梁、飞机还是汽车,都必须能够在特定的工作负荷下运行,而这些工作负荷不能超过其极限荷载的承载能力。
极限荷载研究的目的是确保工程或设备在正常工作条件下的安全可靠性,以及在异常负荷情况下的抗击压力和破坏的能力。
2. 极限荷载与结构安全极限荷载的考虑对于确保结构的安全性至关重要。
在设计阶段,工程师需要评估预期荷载以及结构所能承载的极限荷载。
这样的评估通常基于复杂的计算和经验公式,包括静力学、动力学、材料力学和结构力学等知识。
通过对各种力学条件的实际测试和模拟分析,设计团队可以确定结构的极限荷载,并相应地进行结构的加强和改进。
3. 极限荷载的影响因素极限荷载受许多因素的影响。
其中最重要的因素之一是物体的重量和形状。
不同形状的结构将受到不同程度的应力和压力。
其他因素包括运动速度、温度、湿度、材料的强度和刚度,以及使用环境的条件等。
在设计过程中,这些因素必须全面考虑,以确保结构具有足够的强度和稳定性。
4. 极限荷载的实践应用极限荷载的研究和应用广泛应用于各个工程领域。
在建筑设计中,极限荷载的考虑可以确保建筑物在各种自然灾害和外部冲击下的抵御能力。
在航空航天领域,极限荷载的研究应用于飞行器和航天器的设计和制造。
在汽车工程中,极限荷载的概念用来研究汽车零部件的强度和耐久性,确保其在各种驾驶条件下的安全性。
5. 极限荷载的意义和挑战极限荷载的考虑对于工程设计师和研究者而言至关重要。
一个可靠的结构需要经过良好的分析和合理的设计,以保证其在各种情况下的安全和稳定性。
然而,预测和计算极限荷载并非易事,它需要专业知识、经验和计算能力的共同运用。
此外,随着科技的进步和工程技术的发展,我们对于极限荷载的认识还在不断演进和完善中。
结构力学李廉锟 第12章_结构极限

Fu l Mu 4
求得极限荷载为
Mu Fu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁:具有多余联系,只有出现足够多的塑性铰,才能 使其成为破坏机构。 图(a)所示等截面梁,梁在弹性阶 段的弯矩图如图b,截面A的弯矩最大。 荷载增大到一定值时,A先出现塑 性铰。如图c,A端弯矩为Mu,变成静 定的问题。此时梁未破坏,承载能力未 达到极限。 荷载继续增大,跨中截面C的弯矩 达到Mu,C截面变成塑性铰。如图d, 此时梁成为几何可变的机构,达到极限 状态。
§12-7 刚架的极限荷载
刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
穷举法
图a所示刚架,各杆分别为等截面 杆,由弯矩图的形状可知,塑性铰只可 能在A、B、C(下侧)、E(下侧)、 D五个截面出现。 此刚架为3次超静定,只要出现4个 塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成 为破坏机构。可能的机构形式有 机构1(图b):横梁上出现3个塑性铰, 又称“梁机构” Mu F 3 2Fa M u 2M u 2 M u a
§12-2 极限弯矩和塑性铰· 破坏机构· 静定 梁的计算
由图(e)可推得 M u SWS WS—塑性截面系数,受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
bh2 当截面为bh的矩形时 WS 4
2 bh 弹性截面系数为 W 6
bh2 故 Mu S 4
bh2 屈服弯矩为 M S S 6
Mu MC 2 F 2a 2M u Fa 2.29 M u 2 4 M C 0.42M u M u
满足内力局限条件,此机构即为 极限状态,极限荷载为
Mu Fu 2.29 a
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
结构力学 第12章结构的极限荷载

§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
1、穷举法:也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构, 、穷举法:也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构, 求出相应的荷载,取其最小者即为极限荷载。 最小者即为极限荷载 求出相应的荷载,取其最小者即为极限荷载。 2、试算法:任选一种破坏机构,求出相应荷载,并作弯矩图, 、试算法:任选一种破坏机构,求出相应荷载,并作弯矩图, 若满足内力局限条件,则该荷载即为极限荷载; 若满足内力局限条件,则该荷载即为极限荷载; 如 不满足,则另选一机构再试算……,直至满足。 不满足,则另选一机构再试算 ,直至满足。 试求图a所示变截面梁的极限荷载 所示变截面梁的极限荷载。 例12-3 试求图 所示变截面梁的极限荷载。 解:此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。 机构。除最大负弯矩和最大正弯 截面外, 矩所在的A、 截面外 矩所在的 、C截面外,截面突 变处D右侧也可能出现塑性铰 右侧也可能出现塑性铰。 变处 右侧也可能出现塑性铰。
静定结构出现一个塑性铰即成为 静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁,塑性铰出现 破坏机构。对等截面梁, 在|M|max处。 所示截面简支梁, 图a所示截面简支梁,跨中截面弯 所示截面简支梁 矩最大, 矩最大,该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。 构如图 。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作 图如 。 由平衡条件作M图如 图如c。 由
qu = 11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载:作用于结构上的各个荷载增加时, 比例加载:作用于结构上的各个荷载增加时,始终保持它们 之间原有的固定比例关系,且不出现卸载现象。 之间原有的固定比例关系,且不出现卸载现象。 荷载参数F:所有荷载都包含的一个公共参数。 荷载参数 :所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷 载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。 实际上就是确定极限状态时的荷载参数 结构处于极限状态时应同时满足: 结构处于极限状态时应同时满足: (1)机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 )机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 (2)内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值 )内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 (3)平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。 )平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
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s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离, 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
max [ ]
s
k
Pu 塑性设计时的强度条件: P W [ P] k
计算假定: 材料为理想弹塑性材料。
s
s
§2. 极限弯矩、塑性铰和破坏机构
M M
h b
1.弹性阶段
max s
E yk Eyk
---应力应变关系
---应变与曲率关系
P P
2.唯一性定理:极限荷载是唯一的。 证明:设同一结构有两个极限荷载 Pu1 和 Pu 2 。
Pu 2 看成可接受荷载。 若把 Pu1看成可破坏荷载,
Pu1 看成可接受荷载。 若把 Pu 2看成可破坏荷载,
故有
Pu1 Pu 2
Pu1 Pu 2 Pu1 Pu 2
P P
或列虚功方程
A
B
RB
B
A
C
Mu
2
P
C
l/2
3Pl / 16
A
l/2
P
C
B
l Pu M u 2 M u 0 2 6 Pu M u l
极限平衡法
5Pl / 32
A
C
P
B
P l / 4
P u P P 6M u / l
逐渐加载法(增量法)
2.唯一性定理:极限荷载是唯一的。 证明:设同一结构有两个极限荷载 Pu1 和 Pu 2 。
Pu 2 看成可接受荷载。 若把 Pu1看成可破坏荷载,
Pu1 看成可接受荷载。 若把 Pu 2看成可破坏荷载,
故有
Pu1 Pu 2
Pu1 Pu 2 Pu1 Pu 2
3.上限定理(极小定理):极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
3Pl / 16 M u
A
P
C
P 16M u / 3l
再增加荷载
B
l/2
3Pl / 16
A
l/2
P
C
B
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令
MC Mu
M u 5Pl / 32 Pl / 4
5Pl / 32
A
C
将P代入,得
P
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
证明: 由于极限荷载 P u 是可接受荷载,由基本定理
P P u
4.下限定理(极大定理):极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明: 由于极限荷载 P u 是可破坏荷载,由基本定理
P P u
定理的应用:
极小定理的应用
穷举法: 列出所有可能的破坏机构,用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载,其中最小者既是极限荷载。 试算法: 每次任选一种破坏机构,由平衡条件求出相应的可破坏 荷载,再检验是否满足内力局限性条件;若满足,该可 破坏荷载既为极限荷载;若不满足,另选一个破坏机构 继续运算。 例:求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解:1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构
y
由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置,由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等 因素无关。
§5. 比例加载时判定极限荷载的定理
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加,且不出现 卸载的加载方式。
P 1 1 P
P2 2 P
1.基本定理:可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明: 取任一可破坏荷载 P ,给与其相应的破坏机构虚位移,列虚功方程
P M ui i
i 1 n
n
取任一可接受荷载 P ,在与上面相同虚位移上列虚功方程
P M i i
i 1
Mi Mui
80 mm
A 0.0036m 2 A1 A2 A / 2 0.0018 m2
A1形心距下端0.045m, A2形心距上端0.01167m, A1与A2的形心距为0.0633m.
M u s (S1 S2 ) A s 0.0633 27.36 kN.m 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
例:已知材料的屈服极限 解:
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离, 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
s 240MPa ,求图示截面的极限弯矩。
M u 19.646kM.m
梁中最大弯矩为
A
P
80 mm
B
M max Pl / 4
令 M max M u ,得
l/2
l/2
20 mm
4 Pu 4M u / l 19.646 19.646 kN 4
§4. 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束,出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A截面先出现塑性铰,这时 M A
1.基本定理:可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
证明: 取任一可破坏荷载 P ,给与其相应的破坏机构虚位移,列虚功方程
P M ui i
i 1 n
n
取任一可接受荷载 P ,在与上面相同虚位移上列虚功方程
P M i i
i 1
Mi Mui
P P
P 2M u / 3l
例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。 解: 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构,根据弹性 A 分析,一个在A截面,设另一个在C截面。
q
B
l 1 l M A 0 RB l (qu l 2 M u ) qu Mu 1 A 2 M R x q x M 0 C B u C 2 ql M 1 ( u u ) x qu x 2 2 l 2 dM C M 0 因为 C 是最大弯矩, dx qu l M u x ( 2 1)l 0.4142 l qu x 0 2 l 11 .66 2M u qu Mu qu 2 l l (l 2 x)
l/3
l/3 l/3
Mu Mu
D
C
A
2l l y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
P uy 2M u A M u D 0 3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
A
唯一性定理的应用
P
B
P
C
D
l/3
l/3
l/3
例:求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解:1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构:
A
P
B
P
C
D
(1)A、B出现塑性铰
l l P 2 P M u 2 M u 3 0 2 3 3 5 P Mu l 2l / 3
P1
q1
q2
P2
q1 1P q2 2 P
求极限荷载相当于求P的极限值。
结构处于极限状态时,应同时满足下面三个条件: 1.单向机构条件; 2.内力局限条件; 3.平衡条件。 可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 P 可接受荷载--- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。 比例加载时关于极限荷载的定理:
x 2 2lx l 2 0
C
B
Mu
x
RB
x (1 2 )l
例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu 。 P 解: 确定塑性铰的位置:
A B
若B、D出现塑性铰,则B、D两截面的弯矩 为Mu,M A 3M u 这种情况不会出现。 若A出现塑性铰,再加荷载时,B截面弯矩 减少D截面弯矩增加,故另一塑性铰出现于 3M u D截面。
---应力与曲率关系
线性关系
max s
M ydA EIk ---弯矩与曲率关系 A
bh2 Ms s 6
---弹性极限弯矩(屈服弯矩)
M
M
s
h
bh2 Ms s 6
b
s2.弹塑性阶段 中性轴附近处于性状态.处于弹性的部分称为弹性核.
Ms ks 2 M [3 ( ) ] 2 k
ks M 3 2 或 k Ms
3.塑性流动阶段
---弯矩与曲率关系
非线性关系
M
bh2 Mu s 4
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M
s
h
s
y0 y0
s s
bh2 Ms s 6
b
s
s
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ,当截面上无轴力作用时
P l / 4
逐渐加载法(增量法)
P 2M u / 3l
P u P P 6M u / l