十一章多元函数积分学讲解材料

合集下载

高等数学B1课程教学大纲

《高等数学B1》课程教学大纲课程名称：高等数学（B1）课程代码：,课程类型：公共基础课学分： 5学分总学时：80 理论学时：80 实验（上机）学时：0先修课程：无适用专业：统招理工专类一、课程性质、目的和任务《高等数学》课程是针对我校理工类各专业专科层次学生讲授微积分的基础知识及其应用的一门重要的公共基础课。

它内容丰富，既为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，又为学生进一步学好其它相关数学课程奠定基础，同时还具有培养学生应用数学的逻辑思维方法，分析并解决专业课相关问题的能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

根据南山学院培养应用型人才的宗旨及专业特点，为使学生所学知识具有一定的可持续发展性，教学中应贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念，强化应用，培养能力，提高素质”上，通过教学实现传授知识和发展能力的教学目的，而且要将能力培养贯穿到教学全过程。

教学过程中还要注意不同层次学生的不同要求，积极为学生终身学习搭建平台、拓展空间。

因此高等数学课程不仅是重要的基础课和工具课，更是一门素质课。

教学中要结合教学内容及学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段，突出重点、化解难点，有意识、有目的、有重点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维的拓展，促进学生能力的提高。

二、教学基本要求1、知识、能力、素质的基本要求：本课程要使学生获得的知识包括：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用、常微分方程、向量与空间解析几何、多元函数微积分学及其应用等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

从严格意义上讲，通过本课程的学习，逐步培养学生以下几方面的能力：比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。

使学生在掌握数学知识的同时，能够理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。

对不同专业的学生应有不同的要求。

实验2 多元函数积分学(基础实验)

项目三多元函数微积分实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.基本命令1. 计算重积分的命令lntegrate 和NIntegrate 例如,计算dydx xy x ⎰⎰102, 输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]则输出 151又如,计算dydx xy )sin(10102⎰⎰的近似值, 输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839注: Integrate 命令先对后边的变量积分.计算三重积分时,命令Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D 时,一定要把z 表示成r ,θ的函数. 例如,在直角坐标系中方程22y x z +=是一旋转抛物面, 在柱坐标系中它的方程为2r z =. 因此,输入 CylindricalPlot3D[r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}] 则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形.3. 球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.命令SphericalPlot3D 的基本格式为SphericalPlot3D[r[],θϕ, {}],,{},,,2121θθθϕϕϕ其中r[],θϕ是曲面的球面坐标方程, 使用时一定要把球面坐标中的r 表示成ϕ、θ的函数. 例如,在球面坐标系中作出球面,22222=++z y x 输入Sphericalplot3D[2,{u,0,pi},|v,0,2,pi|,plotpoints->40]则在球面坐标系中作出了该球面的图形. 4. 向量的内积用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入 vecl={al,bl,cl} vec2={a2,b2,c2}则定义了两个三维向量, 再输入 vec1. vec2 则得到它们的内积a1a2+b1b2+c1c2实验举例计算重积分例2.1 (教材例2.1) 计算,2dxdy xy D⎰⎰其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.先作出区域D 的草图, 易直接确定积分限,且应先对x 积分, 因此, 输入 Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}] 则输出所求二重积分的计算结果.120193例2.2 (教材例2.2) 计算,)(22dxdy e Dy x⎰⎰+- 其中D 为.122≤+y x如果用直角坐标计算, 输入Clear[f,r];f[x,y]=Exp [-(x^2+y^2)];Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]则输出为dx x 1Erf e 211x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⎰--其中Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难.如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出所求二重积分的计算结果eπ-π 如果输入NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出积分的近似值1.98587例2.3 (教材例2.3) 计算dxdydz z y x)(22++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω由曲面222y x z --=与22y=围成.xz+先作出区域Ω的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th], Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}]g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}]Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]则分别输出三个图形（图2.1(a), (b), (c)）.考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}] 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r,{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-15281252 如果用球面坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-321662551这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用例2.4 求由曲面()y x y x f --=1,与()222,y x y x g --=所围成的空间区域Ω的体积.输入Clear[f,g];f[x_,y_]=1-x -y;g[x_,y_]=2-x^2-y^2;Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Show[%,%%]一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.首先观察到Ω的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到Oxy 平面上输入 jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y] 得到输出 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→22445121,445121x x y x x y为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx[[1,1,2]] y2=jx[[2,1,2]] 输出为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2445121x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2445121x x再输入tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity]; Show[tu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction-> $DisplayFunction]输出为图2.2, 由此可见,1y 是下半圆(虚线),2y 是上半圆,因此投影区域是一个圆.设21y y =的解为1x 与2x ,则21,x x 为x 的积分限. 输入 xvals=Solve[y1==y2,x]输出为 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→6121,6121x x 为了取出21,x x , 输入x1=xvals[[1,1,2]]x2=xvals[[2,1,2]]输出为()6121- ()6121+ 这时可以作最后的计算了. 输入V olume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]//Simplify 输出结果为 89π例2.5 (教材例2.4) 求旋转抛物面224y x z --=在Oxy 平面上部的面积.S 先调用软件包, 输入<<Graphics`ParametricPlot3D` 再输入CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2 Pi}] 则输出图2.3.利用计算曲面面积的公式⎰⎰++=xyD y z dxdy z z S 221, 输入Clear[z,z1];z=4-x^2-y^2;z=Sqrt[D[z,x]^2+D[z,y]^2+1]输出为22441y x ++, 因此,利用极坐标计算. 再输入z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}]; Integrate[z1*r,{t,0,2 Pi},{r,0,2}]//Simplify则输出所求曲面的面积()π1717161+-例2.6 在Oxz 平面内有一个半径为2的圆, 它与z 轴在原点O 相切, 求它绕z 轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是,422x z x =+它绕z 轴旋转所得的圆环面的方程为)(16)(222222y x z y x +=++,所以圆环面的球坐标方程是.sin 4φ=r 输入SphericalPlot3D[4 Sin[t],{t,0,Pi},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,ViewPoint->{4.0,0.54,2.0}]输出为图2.4.图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入 Integrate[r^2*Sin[t],{s,0,2 Pi},{t,0,Pi},{r,0,4 Sin[t]}] 得到这个旋转体的体积为216π计算曲线积分例2.7 (教材例2.5) 求⎰Lds z y x f ),,(, 其中(),10301,,2y x z y x f ++=积分路径为L :,3,,22t z t y t x ===.20≤≤y注意到,弧长微元dt z y x ds t t t 222++=, 将曲线积分化为定积分,输入 Clear[x,y,z];luj={t,t^2,3t^2}; D[luj,t]则输出z y x ,,对t 的导数 }6,2,1{t t再输入ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];Integrate[(Sqrt[1+30 x^2+10y]/.{x->t, y->t^2,z->3t^2})*ds,{t,0,2}]则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材例2.6) 求dr F L.⎰, 其中.20,sin cos 2)(,)2(356π≤≤+=++=t tj ti t r j xy x i xy F输入vecf={x*y^6,3x*(x*y^5+2)};vecr={2*Cos[t],Sin[t]};Integrate[(vecf.D[vecr,t])/.{x->2Cos[t],y->Sin[t]}, {t,0,2 Pi}]则输出所求积分的结果12π例2.9 求锥面0,222≥=+z z y x 与柱面x y x =+22的交线的长度.先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v], Sin[u]*Sin[v], Sin[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],z}, {t,0,2Pi},{z,0,1.2}, DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,ViewPoint->{1,-1,2},DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.5.输入直接作曲线的命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],Cos[t]},{t,-Pi/2,Pi/2}, ViewPoint->{1,-1,2},Ticks->False]输出为图2.6.为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为x y x =+22, 它可以化成t x 2cos =,,sin cos t t y =再代入锥面方程222z y x =+, 得[]().2/,2/cos ππ=∈=t t z因为空间曲线的弧长的计算公式是()()()⎰'+'+'=21222t t dt t z t y t x s ,因此输入Clear[x,y,z]; x=Cos[t]^2; y=Cos[t]*Sin[t]; z=Cos[t]; qx={x,y,z};Integrate[Sqrt[D[qx,t]. D[qx,t]]//Simplify, {t,-Pi/2,Pi/2}]输出为 2Elliptice[-1]这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %//N 输出为3.8202计算曲面积分例2.10 (教材例2.7) 计算曲面积分⎰⎰∑++dS zx yz xy )(, 其中∑为锥面22y x z +=被柱面x y x 222=+所截得的有限部分.注意到,面积微元dxdy z z dS y x 221++=, 投影曲线x y x 222=+的极坐标方程为,22,cos 2ππ≤≤-=t t r将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入Clear[f,g,r,t];f[x_,y_,z_]=x*y+y*z+z*x; g[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2];mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify; Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{x->r*Cos[t],y->r* Sin[t]})*r,{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]则输出所求曲面积分的计算结果15264例2.11 计算曲面积分,333dxdy z dzdx y dydz x ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a x y x =++的外侧.可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分⎰⎰∑nds A .. 这里{}{}a z y x n z y x A /,,,,,333==. 因为球坐标的体积元素,sin 2θϕϕd drd r dv =注意到在球面∑上a r =, 取1=dr 后得到面积元素的表示式:().20,0sin 2πθπϕθϕθ≤≤≤≤=d d a ds把对面积的曲面即直接化作对θϕ,的二重积分. 输入Clear[A,fa,ds]; A={x^3,y^3,z^3}; fa={x,y,z}/a; ds=a^2*Sin[u];Integrate[(A.fa/.{x->a*Sin[u]*Cos[v],y->a*Sin[u]*Sin[v], z->a*Cos[u]})*ds//Simplify,{u,0,Pi}, {v,0,2Pi}]输出为855122πa如果用高斯公式计算, 则化为三重积分()d v z y x ⎰⎰⎰Ω++2223, 其中Ω为2222a z y x ≤++.采用球坐标计算, 输入<<Calculus`VectorAnalysis` 执行后再输入SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]; (*设定坐标系*) diva=Div[A]; (*求向量场的散度*)Integrate[(diva/.{x->r*Sin[u]*Cos[v],y->r*Sin [u]*Sin[v],z->r*Cos[u]})*r^2Sin[u],{v,0,2Pi}, {u,0,Pi},{r,0,a}]输出结果相同.实验习题 1. 计算⎰⎰-6/02/0.sin sin ππydydx x x y2. 计算下列积分的近似值: (1)();cos 022dydx y x ⎰⎰-ππ(2)().sin 1010dydx e xy ⎰⎰3. 计算下列积分 (1)();23012dydzdx z y e x x z xz x -⎰⎰⎰+- (2)⎰⎰1010.)arctan(dydx xy4. 交换积分次序并计算下列积分 (1)()d ydx y x x⎰⎰30922cos . (2) .20422dxdy e yx ⎰⎰5. 用极坐标计算下列积分: (1) ;10122dydx y x yx ⎰⎰+ (2) .13/3/22dxdy yx y y y ⎰⎰-+6. 用适当方法计算下列积分:(1)(),2/3222dv zy x z⎰⎰⎰Ω++ 其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成;(2),)(224dv z y x++⎰⎰⎰Ω其中Ω是.1222≤++z y x7. 求()ds z y x f L⎰,,的近似值. 其中(),51,,33y x z y x f ++=,路径L :3/,2t y t x ==,.20,≤≤=t t z8. 求⎰L dr F ., 其中().0,sin cos ,121322π≤≤+=+++=t tj ti t r j y i x F 9. 用柱面坐标作图命令作出xy z =被柱面122=+y x 所围部分的图形,并求出其面积.86 10. 求曲面积分,22zdxdy y x⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的下半部分的下侧.11. 求曲面积分⎰⎰∑++zdS y x ,其中∑为球面2222a z y x=++上)0(a h z <<≥的部分.。

第一轮复习之多元函数积分学

D
f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
设 f ( x, y ) 在 D 上连续，若在 D 内的任意子区域 D0 ，有 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 ，则 f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
D0
三、
两类曲线积分之间的联系： 1) 设 L ∩ 是分段光滑的曲线，两类曲线积分的关系为：
切不可大意失荆州！具体计算方法：取 x 轴上一点 x0 ，做平行于 YOZ 的平面 x = x0 ，这个截面是以区间
[ϕ1 ( x), ϕ2 ( x)] 为底，曲线 z = f ( x, y)
ϕ2 ( x )
为曲边的曲边梯形，这个截面的面积
f ( x0 , y ) dy
AB
L∩
Qdy ∫ ( P cos α + Q cos β ) ds ∫ Pdx +=
AB
L∩
AB
cos α cos β
为曲线弧 AB 从 A 到 B 方向的切线的方
AB
∩
向余弦，P Q 是在 L ∩ 上的连续函数。可推广到空间的情形。 2) 两类曲面积分之间的关系：设 ∑ 为光滑的曲面，则两类曲面积分之间的关系为：
S
∫∫ Rdxdy = 0 （若 S 在垂直于 OXY 平面）
S
四、
多元积分的运算：
6
细节决定成败！
切不可大意失荆州！ 1) 曲线积分化成定积分：根据：曲线由参数方程给出：
= ds
φ ′2 (t ) + ϕ ′2 (t )dt
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
曲线由极坐标方程给出：
= ∫ f ( x, y, z )ds

华中科技大学微积分下复习笔记—多元函数微分学

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关多元函数微分学的复习笔记，包含三部分——反例总结（基于自己的做题经验）、基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

反例总结1.在（0,0）不连续，但fx和fy都存在且为0，所以用它可以组很多反例。

，在（0,0）。

满足以下命题：1）一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但f(x,y)在(x0,y0)不连续。

2）偏导数存在但原函数不连续。

3）偏导数存在但不可微。

4）偏导数存在，但除了沿坐标轴的正负方向，其余方向导数均不存在。

2.f(x,y)=|x+y|在（0,0）连续，但是偏导数不存在。

可以满足以下命题：1）原函数连续但偏导不存在。

2）沿任意方向的方向导数均存在，但偏导数不存在。

3.其他反例：1）f(x,y)在(x0,y0)连续，则一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但反过来不成立。

，在(0,0)点不成立。

2）可微推不出偏导数连续。

复杂式子比较记1.在f(x0,y0)连续f(x0,y0)- f(x0,y0)=02.偏导数f x(x0,y0)===3.验证在定点可微, - f(x0,y0)4.复合函数相关公式1）求导链式法则：全导数；比如z=(x,y),y=(x),2）微分的链规则：df(u1,u2 … u n)=…;比如z=f(u1(x,y),u2(x,y))，dz=z x dx+z y dy=z u1du1+z u2du25.方向导数和梯度1）方向导数a.几何意义：指的是函数在n方向上切线的斜率，即描述了在n方向上函数的增长速度。

b.条件：f在P。

点可微c.公式：其中，此事梯度指向函数值增长最快的方向，也指向法矢的方向。

d.定义公式：e.特殊地，梯度方向的方向导数是2）梯度a.几何意义：本质是一个向量，在这个方向上方向导数取最大，即梯度指向函数增长最快的方向，也即法矢。

12_第11讲二重积分及其计算

D D
性质 2
若D = D1 + D2 ( D1与D2除边界点外无公共部分 )，则
∫∫ f ( x, y) d x d y =∫∫ f ( x, y) d x d y + ∫∫ f ( x, y) d x d y 。
D D1 D2
性质 3
若 f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ( x, y ) ∈ D，则
dσ = d x d y 相应地，直角坐标系下，二重积分写为
∫∫ f ( x, y) d x d y 。
D
(3) 有界闭区域上的连续函数可积。
( 4) 若函数 f ( x, y ) 在区域 D 上有界，且仅在 D 内有限条
曲线（面积为零）上不连续，则 f ( x, y ) 在 D 上可积。
(5) 二重积分是一个数，它取决于被积函数和积分区域，而与积分变量的记号（字母）无关：
将 D 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 Di ( i = 1, 2, L , n ) ，
则 D＝ Di ，并记 Di 的面积为 ∆σ i。 U
i =1
n
若 ∀(ξ i ,ηi ) ∈ Di，极限
λ →0
lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i
i =1
n
存在，则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分，其
λ→0
i=1 D n
能不能用定积分来求曲顶柱体的体积？
利用平行截面面积为已知的几何体体积计算方法.
曲顶柱体的体积
z
z = f ( x, y ) > 0
z = f ( x, y )
. b
x
x
a O
x = x S(x) = y f (x, y) d y ∫ϕ (x)

04高数——多元函数积分学知识点速记

多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。

若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。

2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。

若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。

高数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。

(完整版)《高等数学》课程教学大纲

《高等数学》课程教学大纲授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期适用对象：通信工程专业学生一、课程性质与任务本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。

掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。

能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。

三、课程教学内容高等数学（上）第一章函数、极限与连续（10学时）第二章导数和微分（12学时）第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）第四章函数的积分（16学时）第五章定积分的应用（8学时）第六章无穷级数（10学时）高等数学（下）第七章向量与空间解析几何（6学时）第八章多元函数微分学（14学时）第九章多元函数微分学的应用（10学时）第十章多元函数积分学（I）（16学时）第十一章多元函数积分学（II）（10学时）第十二章常微分方程（12学时）四、教学重点、难点重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。

难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。

多元函数微分学

第11章多元函数微分学1 本章概述1.1 本章主要教学内容本章知识主要为：多元函数概念及其重极限、连续性；多元函数的偏导数、微分的概念及计算；连续、偏导数存在及可微三者之间的关系；链式规则；偏导数的几何应用，切平面与法向量；方向导数、梯度；隐函数存在性、可微性定理；多元函数最值求法，条件极值与Lagrange 乘数法.本章的较多篇幅是讲述偏导数的计算法，尤其是抽象复合函数的一阶、二阶偏导数的计算法，以及由方程确定的隐函数的偏导数的计算法.1.2 本章知识逻辑结构在以下图表中揭示出本章知识的逻辑关系.箭头前的是必须先学习的知识.1.3 在学习本章之前的必修知识学习本章——多元函数微分学应该具备一元函数微分学基本知识，空间解析几何基础知识，具有线性代数基础知识更好.一元函数微分学基本知识具体为：一元函数概念性质、极限概念及其性质、连续；闭区间上连续函数的性质；导数定义, 导数意义；微分、导数的四则运算、复合运算、高阶导数；微分中值定理；泰勒公式；极值与最值.空间解析几何基础知识具体为：空间直线方程、平面方程和常见的二次曲面等知识.线性代数基础知识具体为：线性方程组解法；行列式及其运算；二次型概念及正定与负定二次型的判别法.( 线性代数不是学习本章的必要条件).1.4 本章对后继章节的影响在学习重积分、曲线积分、曲面积分时都必须先学本章知识. 本章知识与全微分方程有一定的相关性.1.5 本章的重点本章的关键点是: 偏导数的计算法本章的重点是：多元函数的连续性、偏导数、微分的概念, 连续、偏导数存在及可微三者隐函数求导法则多元函数极限连续有界闭区域上连续函数的性质偏导数全微分全微分形式不变性极值泰勒公式最值无条件极值区域方向导数梯度多元复合求导法则偏导数几何应用条件极值Lagrange 乘数法之间的关系;多元复合函数求导方法；偏导数的几何应用；极值及最值的求法.1.6 本章的难点区域有关概念, 二元函数极限, 全微分概念以及一阶微分形式不变性, 含有抽象函数的复合函数的一阶、二阶偏导数运算, 方程（组）确定的隐函数的一阶、二阶偏导数运算, 方向导数与偏导数间的关系，梯度的意义，无条件极值的充分条件的证明.2 .教学内容提要及教学建议（评注）2.1 多元函数的基本概念以二元函数为例叙述，可以平行推广到n 元函数的内容不再叙述. 2.1.1平面点集有关概念平面点集概念中最常说到的是邻域、区域. 其他的概念在初学时可以不讲. 某点的邻域是一个以该点为圆心的开圆盘，即一个开圆盘称为圆心的邻域.类似于一元函数时的区间，讨论二元函数时常常用到区域. 形象地说，区域就是连成一块的一个平面图形. 不含边界的区域叫开区域，含有全部边界在内的区域叫闭区域. 开区域或闭区域、半开半闭区域我们统称为区域.区域的严格数学定义为：区域是连通的开集.所谓连通集，即该集中任意两点都可以用含在该集中的连续曲线连接起来. 所谓开集，即该集中的每一点都有一个邻域含在此集中.能被一个圆盘包含的区域称为有界区域，否则称为无界区域.平面区域相关概念如内点、界点、聚点等建议不要在讲解二元函数概念之前先介绍, 因为对于非数学专业学生来说，学习内点,界点,聚点等这些是很难理解的，容易让学生感到抽象.可以先讲解二元函数的概念,然后几何意义,接着介绍二元函数定义域的求法与表示法,让学生从具体的定义域中感性的认识区域的有关概念,然后接着严格或者通俗的介绍这些概念.2.1.2 二元函数概念我们把二元函数定义为是从平面点集到实数集的映射. 注意使学生熟悉函数的记号，如函数与自变量的记号无关，f (x , y )既表示函数也表示函数值，函数记为z = f (x ,y )时，函数值,可记作00(,)f x y 或00(,)|x y z 等等.二元函数与一元函数类似，也只与定义域和对应法则有关,而与自变量,因变量用什么字母表示无关.一元函数可以看成是特殊的二元函数，而把二元函数的一个自变量固定，就得到一元函数. 二元函数z = f (x ,y )，其图形为空间一张曲面，该曲面在oxy 平面上的投影区域就是该函数的定义域. 也可以说该区面的方程是z = f (x ,y ).如函数z z =.注：三元及更多元函数的图形不是直观的图形..2.2 二元函数的极限与连续 2.2.1二重极限定义设函数()z f P =在区域D 上有定义,点000(,)P x y 是D 的点或边界点.若当动点(,)P x y 在D 内无限趋向000(,)P x y 时, ()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=, 或(,)f x y A → (00(,)(,)x y x y →).或 0lim ()P P f P A →=, 或()f P A → (0P P →).上面定义的极限叫二重极限. 二元函数还有一种极限叫二次极限，二者不同.二重极限仍有四则运算、无穷小乘有界量还是无穷小等性质，但没有洛比达法则.二重极限主要先从描述定义出发讲解,这样容易理解二元函数极限的本质,然后再向精确定义过度;要特别强调二元函数若当点(,)P x y 在D 内以任意方式任意方向趋向000(,)P x y 时,()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=或0lim ()P P f P A →=.其次介绍二元极限与一元函数极限的不同点,让学生理解二元函数极限比一元要复杂,主要是体现的动点趋于的方向与方式上的多样性上.这个其实也是导致多元函数微分学会产生与一元不同的结果的根源所在.一元与二元函数极限的区别最后介绍二元函数极限的一些常规的求法及其证明二元函数极限不存在的一些作法. 如证明0lim ()P P f P →不存在: 一般寻找两条趋于P 0的不同的路径(首先考虑直线，其次是其他特殊的曲线)C 1;C 2若1C f A −−−→沿;2Cf B −−−→沿;而A B ≠,或,A B 中有一个不存在,则0lim ()P P f P →不存在, 例如考虑在原点O(0，0)的极限时，选直线 y kx =，假如有(,)(0,0)lim (,)x y f x kx A →=.① 若A 中含有k ,或A 不存在,则lim ()P Of P →不存在.②若A 中不含有k ,则lim ()P Of P →存在与否不能判断,此时需要选择其它曲线去考虑.因为这些是后面要讨论连续与可偏导,可偏导与可微分之间关系常用的方法.2.2.2二元连续函数二元函数连续性的定义与一元函数类似.定义若()z f P =在区域D 上有定义且000(,)P x y D ∈,若有0lim ()()P P f P f P →= 或0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=则称函数()f P 在0P 处连续,或称点0P 是函数()f P 的连续点.否则称为0P 为函数的间断点.若()f P 在区域D 上每一点都连续,则称()f P 在D 上连续.或称()f P 为D 上的连续函数. 二元连续函数性的性质也与一元函数类似，如：二元连续函数的四则运算及复合运算后仍是连续函数. 二元初等函数在其定义区域内都是连续的.最值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则存在12,P P D ∈,使得P D ∀∈,有12()()()f P f P f P ≤≤ 4.介值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则()f P 必取介于最大值与最小值之间的任一值.注：更一般的介值定理是：区域上的连续函数的值域是区间.2.3 偏导数2.3.1 偏导数的定义偏导数本质上是一元函数的导数.定义设函数 (,)z f x y =在点),(00y x 的某邻域内有定义,当y 固定在0y ,考虑一元函数0(,)z f x y =,若它在0x x =处的导数存在,即00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数,记作00|x x y y z x ==∂∂,00|x x y y z x ==∂∂ ,00|x x x y y z =='或00(,)x f x y '. 类似地，如果极限00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆存在, 则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数, 记作0|x x y y z y==∂∂,00|x x y y z y==∂∂,00y y x x yz ==' 或00(,)y f x y '注1：00|x x y y z x ==∂∂=0),(0x x y x f dxd=. 或写0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''= 用此式求一些分段函数在分段点处的偏导数很方便.注2： 000000(,)(,)|[(,)]x x x x x y y f x y f x y f x y =='''=≠注3：二元函数在某点的连续性与偏导数存在之间没有因果关系．如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对自变量x 或y 的偏导数(,)x f x y '、(,)y f x y ' 都存在,则这两个偏导数仍是y x 、的函数,称它们为函数),(y x f 对自变量x 或y 的偏导函数,简称偏导数,分别记作x z ',(,)x f x y ',x z ∂∂,xf ∂∂或y z ', (,)y f x y ', yz ∂∂,yf ∂∂．一元函数的变化率就是导数,对于二元函数由于自变量多,研究变化率就显得复杂,为了方便起见,我们仅限于讨论当点沿着平行于坐标轴方向变化时函数的变化率,即固定一个自变量,研究函数对另一个自变量的变化率即偏导数.其本质就是把二元函数当做一元函数去研究变化率. 即 0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''=例设(,)f x y =arctan22ln()y xex y ⋅+，求x f ')0,1(.解如果先求出偏导函数x f '),(y x ，再求x f ')0,1(，可以发现求x f '运算比较繁杂.但若按偏导数定义即把y 固定在y =0,则有(,0)f x =2ln ||x 从而2(,0)x f x x'=，于是x f ')0,1(=2 .2.3.2 偏导数的计算方法由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的导数，故求偏导数并不需要什么新的方法.对于给出具体表达式的显函数来说，在求它对某一自变量的偏导数时,只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行求导．2.3.3. 偏导数的几何意义),(00y x f x '就是曲线C x ：⎩⎨⎧==0),,(y y y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处切线x T M 0对x 轴的斜率, 即αtan ),('00=y x f x .同理，偏导数),(00y x f y '的几何意义是曲面S 与平面0x x =的交线C y 在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率,即),(00y x f y '= tan b .2.4 全微分可微、全微分紧接着偏导数之后讲的优点是：便于给出链式规则；便于给出求抽象函数、隐函数的偏导数的各种方法；便于讲述切平面.2.4.1全微分的概念(1)函数在一点处可微及全微分定义.定义设函数(,)z f x y =在点0P 的某邻域0()U P 内有定义,若函数(,)f x y 在点000(,)P x y处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为(),z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中,A B 是仅与点0P 有关,而与,x y ∆∆无关的常数,ρ则称函数(,)z f x y =在点0P 处可微分;并称线性函数A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点0P 处的全微分,记作00(,)|x y dz , 即(,)||x yx x y y dz df A x B y ====∆+∆. 对于二元函数，规定自变量的增量为自变量的微分:x dx ∆=,y dy ∆=.于是00(,)|x y dz Adx Bdy =+.注微分d z 是自变量增量,x y ∆∆的线性函数, 容易计算；当||,||x y ∆∆很小时，有z dz ∆≈的误差较小，故d z 是函数增量z ∆的容易计算又精确的近似值.(2) 函数的微分定义若),(y x f z =在区域D 内每一点都可微,则称),(y x f z =在D 内可微或称此函数是区域D 内的可微函数.此时全微分记作dz . 即(,)x dz f x y dx '=+(,)y f x y dy '．一般的，dx y x f y x df dz x ),(),('==dy y x f y ),('+注函数的微分是一个形式符号，有时用它较为方便.2.4.2 可微与连续、偏导数存在之间的关系定理（可微的必要条件）若函数),(y x f z =在点00(,)x y 可微,则 ①函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；②函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数00(,)x f x y ',00(,)y f x y '都存在,且有00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y ',(,)y f x y '在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微．这两个定理的逆命题都不成立.学习微分概念与可微分的必要条件后,建议结合定义补充如下与可微等价的结论.用此定理判定一个函数的可微性时较方便，初学者易于理解掌握. 有了这个结论后对于学习理解可微有积极的帮助.定理: 若),(y x f z =在点000(,)P x y 处的两个偏导数,x y f f ''都存在，在点0P 处满足000[()()]lim0x y z f P x f P y ρρ→''∆-∆+∆=则),(y x f z =在000(,)P x y 处可微. 且00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．可微的充分条件可以弱化为:两个偏导数之一连续,函数就可微.定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y '与(,)y f x y '二者中至少有一个在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微．证我们只需证明函数的全增量z ∆满足可微的定义.证明思想就是通过插项方法把二元函数化为一元函数处理. ),(y x f z =在点000(,)P x y 的邻域0()U P 内改变量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-0000[(,)(,)]f x x y y f x y y =+∆+∆-+∆0000[(,)(,)]f x y y f x y ++∆-因且(,)x f x y ',(,)y f x y '在0()U P 内存在,于是一元函数0(,)z f x y y =+∆关于x 在点0x 可导,即可微. 0000001(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x y y x x ε'+∆+∆-+∆=+∆∆+⋅∆ (1) 同理可得 0000002(,)(,)(,)y f x y y f x y f x y y y ε'+∆-=∆+⋅∆ (2)再由(,)x f x y '在000(,)P x y 点连续知 00003(,)(,)x x f x y y f x y y ε''+∆=+⋅∆ (3)(1)+(2)并将(3)带入,即得0000123(,)(,)x y z f x y x f x y y x y x y εεε''∆=∆+∆+⋅∆+⋅∆+∆∆而 123123||||||||x y x y εεεεεερρ⋅∆+⋅∆+∆∆≤++由于 123lim[||||||]0x y εεερ∆→∆→++=. 所以0000(,)(,)()x y z f x y x f x y y o ρ''∆=∆+∆+,故(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微.此定理的逆命题也不成立.学习完偏导数,可微概念后,及时对它们之间的关系对照一元函数画出关系图,以便学生理解一元函数与二元函数微分学的不同点.二元函数几个概念间的关系下面常见的函数可以成为表述上述关系的重要的例子.可微例1函数22221()sin ,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)O 处可微, 但偏导数在(0,0)O 处不连续.例2函数,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩在原点(0,0)连续, 可偏; 但不可微性. 例3 函数22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点(0,0)O 存在偏导数;但却不连续．例4 函数),(y x f 22y x +=在点(0, 0)处连续但偏导数不存在．注全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知,若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分,且00(,),x f x y '00(,)y f x y '不全为零, 当||,||x y ∆∆都很小时,有近似公式z ∆≈00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆ (*)或写为 0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆≈+00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆. (**)这表示在点00(,)x y 邻域内,可以把(,)f x y 近似地线性化.右侧就是一次线性逼近,这种逼近可以用来解决复杂近似计算.学习完微分后,务必要讲解微分的近似计算,因为这才能让学生明白和理解,微分的真正意义是当自变量的改变量很小时,可以用微分近似逼近函数的改变量.2.5 多元复合函数的微分法 2.5.1.链式法则链式法则大体上有两种叙述，条件有所不同，结论也相应不同，但计算偏导数的公式是一样的.差别仅在于如果要求内函数是可微的，则复合函数也可微，如果要求内函数仅是可偏导的，则复合函数也仅是可偏导的.定理 1 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=在点),(y x 处对x 、y 的偏导数均存在,函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处对,x y 的偏导数存在,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭定理 2 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 处可微，函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处可微,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭注① 定理中的条件并非必要条件.注② 特别地,当),(v u f z =,而)(x u φ=,)(x v ψ=时, 上述两个定理就是一样的，由于复合函数)](),([x x f z ψφ=为x 的一元函数，这时z 对x 的导数称为全导数，应写为dz f du f dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂.链式法则对多层复合的函数依然成立，对多元函数也依然成立.以三个中间变量为例，定理1是：若(,)u x y ϕ=,),(y x v ψ=及),(y x w ω=都在),(y x 具有对x 及对y 的偏导数,函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 处可微,则[(,),(,),(,)]z f x y x y x y φψω=在点),(y x 处的偏导数都存在,且有z f u f v f w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ z f u f v f w yu yv yw y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂求抽象复合函数的偏导数，是重点，也是难点，需多作讲解和练习.因为学习了偏导数后,学生会知道偏导数计算与一元函数求导本质上相同.似乎偏导数计算问题我们完满的解决了.其实对于复杂点的函数,或者含有抽象函数时复合函数我们还是很难计算或表达他们的偏导数.如:设空间曲线(),(),()x g t y h t z k t ===其上一点(,,)x y x 的温度为(,,)w f x y z =,对t 的每个值,在点(,,)x y x 处的温度是复合函数[(),(),()]w f g t h t k t =,现在我们想研究f 沿着路径随时间t 的变化率.即要求复合函数(,,)w f x y z =对t 的导数.若上述曲线,温度的表达式很复杂,或者干脆这些表达式都不能具体的表达出来,就是一个抽象的式子,那么如何求f 对t 的导数?这就需要学习的复合函数的链式法则.这个也就是为什么还要学习这个法则的原因.由于多元复合求导法则是微分学的基础,所以要加强这个地方的训练.要求学生要掌握该法则.记忆可以通过与一元复合求导法则对比,介绍记忆方法;即一般所谓的树形图形法. 然后通过习题介绍应该注意的事项.其次要提醒学生, 多元复合求导法则主要用在含有抽象函数求偏导时.可以用该法则把复合函数求导问题表示出来.当不含有抽象函数时,一般采用直接求偏导数就可以,若此时使用复合函数求导法则,有时反而复杂化.2.5.2 一阶全微分形式的不变性若(,)z f u v =可微，(,),(,)u x y v x y ϕψ==也可微，则函数(,)z f u v =与复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的微分相等，即不论,u v 作为(,)z f u v =的自变量; 还是作为复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的中间变量,均有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=．这一性质称为一阶全微分形式的不变性．利用一阶全微分形式不变性,可以证明不论,u v 是自变量,还是中间变量下列全微分的四则运算法则都成立.定理设,u v 可微分,则,,(0)uu v uv v v±≠亦可微分,且有 (1) ();d u v du dv ±=± (2) ();d uv vdu udv =+ 特别有(),d ku kdu k =∈.(3) 2().u vdu udvd v v-=我们常常是在不知不觉中就用到了一阶全微分形式不变性.2.6 隐函数微分法2.6.1. 一个方程的情形 ( 1) 由方程(,)0F x y =所确定的一元隐函数的存在性、可微性定理 (隐函数存在定理)设函数),(y x F 在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有连续的偏导数,且0),(00=y x F ,0),(00≠'y x F y ，则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续导数的函数)(x f y =,它满足)(00x f y =及在0()U x 的恒等式(,())0F x f x ≡,且有y x F F dx dy ''-=.常称函数)(x f y =为由方程0),(00=y x F 确定的隐函数.此定理本身不易理解. 定理条件中应强调0),(00≠'y x F y ，可结合定理结论中的导数公式yx F F dx dy''-=来理解、记忆此条件.(2) 由方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数的的存在性、可微性定理若函数(,,)F x y z 在点0000(,,)P x y z 的某一邻域0()U P 内具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0z F P '≠,则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续偏导数的二元隐函数),(y x f z =,它满足),(000y x f z =及在0()U x 的恒等式，(,,(,))0F x y f x y ≡且有 x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.常称函数),(y x f z =为由方程(,,)0F x y z =确定的隐函数. 2.6.2. 方程组的情形定理设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 均在点00000(,,,)P x y u v 的某一邻域0()U P 内对各个变量具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0G P =;且偏导数构成的行列式0(,)0(,)u v u v P PF F FG J G G u v ''∂==≠''∂,则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩在点0P 的某一邻域0()U P 内能唯一确定一组具有连续偏导数的函数(,),(,)u u x y v v x y ==,它们满足000000(,),(,)u u x y v v x y ==及恒等式[,,(,),(,)]0F x y u x y v x y ≡,[,,(,),(,)]0G x y u x y v x y ≡且有1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂2.6.3 隐函数求导法方法1 利用隐函数导数公式 y x F F dx dy ''-=，或x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.或1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂方法2 方程(组)两边同时求(偏)导，再解出所求(偏)导数.方法3方程(组)两边同时求微分，解出隐函数的微分，再解出所求(偏)导数.隐函数求导其实是复合函数求导的应用,隐函数求导在关于微分学在几何方面有一些重要的应用. 如曲线Γ由一般方程(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 给出时,就可以方便的求出其切线与法平面.以及曲面的切平面与法线求法.对于隐函数求导法，要强调方法1（直接套用隐函数求(偏)导数公式）与另两种方法的区别，即作为隐函数的那个变量在求导时是自变量还是中间变量. 要特别注意它们的求导树形图的区别.例如三元方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数),(y x f z =公式求导法（方法1）关系为直接求导法（方法2）关系为即: 用公式法求偏导数时,(,,)F x y z 中的所有变量都是独立的自变量.而对于用直接法求偏导数时,即对方程(,,)0F x y z =两边求偏导时,(,,)0F x y z =中的,x y 是独立自变量,但z 须看成,x y 的函数.采用方法3（两边同时求微分）时，实际上用到了一阶全微分形式不变性，即使对于复合结构比较复杂的函数，以及出比较难以分清变量之间的关系时，是很有用的，出错的可能性较小一些. 对于方程组确定的隐函数情形，也是如此.对于涉及含有抽象复合函数与隐函数求导问题,建议用方程组模式处理,或者微分形式不变性的方法处理,这样可以避免出现计算错误, 避免学生难以区分自变量与中间变量问题.避免中间变量的关错综复杂的关联关系. 这两种方法是处理这种问题比较有效的方法.例如,四元方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩满足以函数存在定理,可以确定(,),(,)u u x y v v x y == 一般采用直接对方程组两端分别对自变量x ;y 求偏导数,只需把其中的,u v 看作,x y的隐函数.最后解所得线性方程组.将方程组两边分别关于x 求偏导,由复合函数求导的链式法则有0,0.x u x v x xu x v x F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎨'''''+⋅+⋅≡⎩ 解该方程组就可得到,x x u v ''.同理将方程组两边分别关于y 求偏导, 由复合函数求导的链式法则有0,0.y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎪⎨'''''+⋅+⋅≡⎪⎩ xFyz公式法多元隐函数树形图yxFxyz解该方程组就可得到,y y u v ''的表达式.如上的这种求偏导数的方法也就方程组求导法.注: 使用方程组求导法求方程组确定隐函数的导数时,隐函数中自变量个数=方程组中所含变量个数-方程组中所含方程的个数.2.7 切平面、法线和切线、法平面在曲面的一个点处求出切平面、法线，可以用切平面和法线构成该点处的一个直角坐标系，该点附近的小片曲面就可以近似看成切面上的一片. 切线、法平面同理.2.7.1 曲面的切平面与法线求法设曲面S 的一般方程为 :(,,)0S F x y z =. 其中0000(,,)M x y z S ∈,函数(,,)F x y z 在该点可微，且偏导数不同时为零.定理设曲面S 的方程为:(,,)0S F x y z =,0000(,,)M x y z S ∈.函数(,,)F x y z 在0M 处可微且偏导数不同时为零. 则曲面S 上任意一条通过0000(,,)M x y z 且在0000(,,)M x y z 处光滑曲线，其在0000(,,)M x y z 的切线都在下述平面上000000))()(()(()()0x y z F x F F M x M y y M z z '''++---= 此平面称为曲面S 在0000(,,)M x y z 出的切平面.过切点且与切平面垂直的直线称为法线，曲面S 在0000(,,)M x y z 处的法线方程为000000.()()()x y z x x y y z z F M F M M F ---=='''注 ①定理仅适用于曲面方程由一般方程给出情况.② 曲面S 由显函数(,)z f x y =方程给出时,在点00000(,,()),M x y f x S y ∈处的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--法线方程为000000.()()1,,x y x x y y z z x f x f y y ---=='-'③ 对于(,)z f x y =而言,在点0M S ∈的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--,即 000000000(,)))|(,)((,)(x y x y x f df z z f x y x x y y y '+='-=-- 由此给出微分的几何解释.2.7.2 空间曲线一般方程下其切线与法平面求法若曲线Γ由一般方程表处(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 可以将其看作参数方程，比如以x 为参数，上述方程组确定两个隐函数)(),(x z z x y y ==，Γ的参数方程为：x x =，)(),(x z z x y y ==.Γ上与参数0x x =相对应的点处的切线方程是00000.1()()x x y y z z y x z x ---=='' 法平面方程为00000:()()()()0x x y x y y z x z z π''-+-+-=还有另一个求法：求出曲面0),,(:1=z y x F S 和曲面0),,(:2=z y x G S 在某点的切平面，这两个切平面的交线就是该点处的切线.2.8 高阶偏导数定义如果),(y x f z =在区域D 内的偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '仍可求偏导,则称它们的偏导数为函数(,)f x y 的二阶偏导数,按照对变量求偏导次序的不同,二阶偏导数共有以下四个：),()(22y x f z x z x z x xx xx ''=''=∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z yx z x z y xy xy ''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z x y z y z x yx yx''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f z yz y z y yy yy ''=''=∂∂=∂∂∂∂，其中偏导数yx xy z z '''',通常称为二阶混合偏导数.类似地可以定义更高阶的偏导数,例如混合偏导数(,)xyf x y '',再对y 求偏导数是 232()(,)xyyxyy z zz f x y y x y x y∂∂∂''''''===∂∂∂∂∂ 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理 (求高阶偏导数与次序无关定理)若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数xy z ''和yx z ''在区域D 内连续,,则在该区域D 内必有xy yx z z ''''= .即连续的二阶混合偏导数与其求导次序无关．对于含有抽象函数求高阶偏导数,学生容易对复合结构产生一些偏差,再此要特别强调含有抽象函数计算高阶偏导数时与计算一阶偏导数时函数的复合结构关系（树形图）是完全一致的，或者多元函数求偏导后其复合结构不变.即若设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=u vx y 12f ''x yuv x x yy uv x x yy f '在对一阶偏导数求二、三阶偏导数时,112()()u uv f f f f ''''''==、仍是以,u v 为中间变量,,x y 为自变量的复合函数,即复合关系或复合树形图不变.2.9方向导数与梯度2.9.1.方向导数方向导数的定义有两种，有微小差别.定义1 设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.在以0P 为始点沿着l 方向的射线上任取一点00(cos ,cos )P x h y h αβ++ (h 足够小使0()P U P ∈)，若极限00000000()()(cos ,cos )(,)lim lim ||h h f P f P f x h y h f x y P P hαβ+→→-++-= 存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P f l∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)lim h f x h y h f x y hαβ+→++-=.定义2设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.过0P 作与l 平行的直线(有向直线)l 00(cos ,cos )P x h y h αβ++()h ∈且0()P U P ∈.若极限00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P fl ∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-=.方向导数与偏导数的关系为：按定义1，函数在某点沿指定方向的方向导数本质是函数在该点沿着指定方向的单侧变化率，而偏导数是函数沿着平行于坐标轴正向的变化率,即双侧变化率.故在某点M 沿平行于坐标轴的方向导数都存在也不能推断出偏导数存在;但反之，偏导数存在时，在点M 沿坐标轴正负向的方向导数都存在，且满足()f f l l∂∂=-∂-∂=-l f∂∂(M )，其中l 表示坐标轴正向，即P 0lP 0P 0ll 是x 或y .总之，按定义1，函数在点M 处偏导数存在,则在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等，反之不真.即有（按定义1）：只有在()f fl l∂∂=-∂-∂时,偏导数才存在.按定义2，函数在点M 处偏导数存在等价于在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等. 即这时可以认为偏导数是方向导数的特殊情况，或者方向导数是偏导数的推广. 这时总有0|()|P P f l fl∂∂-∂=-∂. 两个定义的比较：有相同的计算公式（见下）；但方向导数存在的范围前者大于后者；前者是沿射线的变化率，后者是沿直线的变化率；前者与偏导数不一致，后者不一致；前者适应实际情况，便于应用，后者以偏导数为特例，可以将偏导数和方向导数统一解释为沿直线的变化率，有利于初学者的理解学习.方向导数的计算定理1 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则函数(,)f x y 在该点沿着任一方向l 的方向导数都存在,且有000|()cos ()cos P x y f fP f Plαβ'=∂'+∂ 其中0{cos ,cos }l αβ=是方向l 的单位向量.注三元函数(,,)u f x y z =的方向导数可类似定义和计算.如类似于定义1，(,,)u f x y z =在空间一点0000(,,)P x y z 处沿着方向0{cos ,cos ,cos }l αβγ=的方向导数为0000000(cos ,cos ,cos )(,,)|lim P h f x h y h z h f x y z f hlαβγ+→+++-∂=∂.2.9.2 梯度(1)定义若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则称向量00{(),()}x y f P f P ''为(,)f x y 在点0P 处的梯度向量,简称为梯度,记作0()gradf P 或0()f P ∇,即0000()(){(),()}x y gradf P f P f P f P ''=∇=.偏导数存在.。

经济数学微积分多元函数的基本概念

y f x（在 D 上）的图形（或图像）
。
在 n等于 2与 3时，习惯上将点 x1,x2与 x1,x2,x3
分别写成x,y与 x,y,z.这时若用字母表示 R2
或 R3中的点，则通常写成 Px,y或 Mx,y,z等 .
(x ,y) (0 ,0 )
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在(0,0)的连续性．
解取 ykx
lim
x0
x
xy 2
y2
y0

lxim0 x2
kx2 k2x2
ykx

1
k k
2
其值随k的不同而变化，极限不存在．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
证 (x2y2)sinx2 1y20 x2y2sinx2 1y2 x2 y2
0, ,
当 0 (x 0 )2 (y 0 )2时，
(x2y2)six n2 1y20 原结论成立．
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
z
如右图，为球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
za2x2y2.
与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．
经济数学微积分多元函数的基本概念
一、区域 (region)

多元函数微分学(1)

微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
9
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
10
题型 1 求二元函数的极限
解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元
函数的极限 (如例 1); 如例 (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为求一元函数极限的问题 (如例 2); 如例 (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); 如例 (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 如例
多元函数微分学
21
例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 − z = ϕ( x + y + z) 所确定的函数, 所确定的函数其中 ϕ 具有二阶导数且 ϕ′ ≠ −1 , (1) 求 dz ;
∂u 1 ∂z ∂z ( − ), 求 (2) 记 u( x, y) = . ∂x x − y ∂x ∂y
第八章
多元函数微分学
1
多元函数微分学】【多元函数微分学】习题课一、主要内容二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
3
1、区域、 (1) 邻域
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 | < δ }
= {( x , y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }.
F ( x , y , u, v ) = 0 (1)F ( x , y ) = 0; (2)F ( x , y , z ) = 0; (3) . G ( x , y , u, v ) = 0

考研资料数学高数真题分类—多元函数积分学.doc

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。

中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数积分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。

多元函数积分学综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右.本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意：1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的.2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围.3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点.4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.本章常考的题型有：1.二重积分的计算，2.三重积分的计算；3.对弧长的曲线积分的计算；4.极对坐标的曲线积分的计算，5.格林公式的应用，6.对积分与路径无关的条件的考查，7.二元函数的全微分，8.对面积的曲面积分的计算，9.对坐标的曲面积分的计算，10.高斯公式的应用，11.斯托克斯公式的应用，12.综合应用，13.场论初步.常考题型一：二重积分的定义与性质常考题型一：二重积分的性质1.【2005—3 4分】设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（）()A 123I I I >>. ()B 321I I I >>. ()C 312I I I >>. ()D 213I I I >>.常考题型二：二重积分的计算1．交换积分次序2.【2004-1 4分】设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（）()A11()dx f xy dy -⎰⎰()B 22()dy f xy dx ⎰⎰()C 2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰()D 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰3.【2007-2 4分】设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（）()A 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()B 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰()C 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()D 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰4.【2009-1 4分】设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰5.【2004-1 4分】设()f x 为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于（）()A ()22f ()B ()2f ()C ()2f -()D 06.【2001-1 3分】交换二次积分的积分次序：()0112,ydy f x y dx --=⎰⎰.7.【2002—3 4分】交换积分次序：()()111422104,,yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰8.【2014—3 4分】二次积分2211()________.x y yedy e dx x-=⎰⎰ 【小结】：交换积分次序的一般步骤：根据现有的积分次序画出积分区域；选择另一种次序确定上下限、写出新的累次积分，如果有必要，可以分类讨论.2.直接利用直角坐标计算二重积分9．【1999-3】设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，则(,)f x y 等于 ( )(A)xy (B)2xy (C)18xy +(D)1xy + 10.【2003-4】设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.11.【2005-1 9分】计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .12.【2008-1 11分】求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤13.【2011-1 11分】已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰14.【1998—3 7分】计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==以及曲线x =.15.【2001—3 6分】求二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰的值，其中D 是由直线,1y x y ==-，1x =围成的平面区域.16.【2006—3 7分】计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.17.【2012—3 10分】计算二重积分x De xydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与y =所围区域。

第十一章多元函数积分学

第十一章多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3．二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质）设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=x y y x f x x b a d d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+B Ay Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的起点，积分上限一定要对应积分路径的终点.二、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰Dy x y x d d 2=⎰⎰1dd 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x =y yx x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x=⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x =7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解画出积分区域D 的图形，观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110xx y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(10⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形，改变为先对y 积分后对x 积分，此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 01⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2．在极坐标系下二重积分的计算例4 计算⎰⎰σDxyd arctan，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解画出积分区域D 的图形，由于积分区域的边界曲线有圆周，所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r 2x故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为y P ∂∂=xy 2-=xQ∂∂ ，所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段. 解显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式，加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Ax x y y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x，y p ∂∂= 1cos e -y x ，xQ ∂∂= y x cos e . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L xx y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Ax xy y x y y 0d )1cos e (d )sin e(=⎰-a y y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1cos e (d )sin e (=--22a （a a -sin ）. 小结计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1）若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。