第4讲 数列
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提示：先考虑一位数1、2、3、4、…、9、 再考虑两位数10、11、12、…、99， 最后是三位数100、101、102、…。
解：123456789中有九个数字， 10111213……9899中有180个数字， 这两部分已经有189个数字了， 207–189=18， 18÷3=6， 所以再往下写为100101102103104105， 九个一位数的和为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
4．下面是一串有规律的数：1， 2 ， 5 ， 13 ， 34 ，……，
233
3 8 21 55
这串数的第 7 个数是 377 .
提示：观察各项的分子和分母， 排列起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55， 恰好是一个斐波那契数列，
解：观察各项的分子和分母， 排列起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55，
15升、18升
解：这是一个等差数列问题，公差是3，项 数为6，总和是63，
第一次六个人共喝了 63–5×3–4×3–3×3×2×3–3=18升， 所以A喝了18÷6=3升， 以此类推B喝了6升，C喝了9升，D喝了
12升，E喝了15升，F喝了18升。
9．将连续正整数依下列方式分组：（1）， （2，3），（4，5，6），（7，8，9，10）, …，其中第一组有1个数，第二组有2个数，第 三组有3个数，……，以此类推，请问在第30 组内，所有数的总和是多少？ 13515
7+8 －9，10+11 －12， 根据规律，判断这组数的规律。
解：按规律写一下： (1+2–3)，(4+5–6)，(7+8–9)， (10+11–12)，……，(2008+2009–2010)， 成为0， 3， 6， 9，……，2007 是一个等差数列，共有670项， 它们的和是 (0+2007)×670÷2=672345.
提示：等差数列中10是平均数，它前面有九个 数，后面有九个数，一共19个数。
解：如果平均分配， 每个小朋友刚好分到10块糖， 说明10是平均数， 小朋友拿的糖数成等差数列 1，2，3，4，5，……， 最中间一个拿到平均数10， 所以共有19个小朋友， 这堆糖共190块。
8．在啤酒节上，六个好朋友A、B、C、D、E 和F要比赛喝啤酒，比赛规则很简单，那就是 每一个人都必须不断地、尽量地喝，直到不省
正数第100位同学是倒数第1913位，应该报5， 第99位同学报的是7，但7加上任意自然数都 不是5， 所以第100位同学报的是15，把前一位同学报 的数加上了8.
下 课 了！
解：这个问题我们从中间往两边算，分别是两 个等差数列，
把它们都变成与中间那颗珠子相同的珠子， 则总价值将为 2012+(3+6+9+……+45)+(4+8+12+……+60)
=2852(元)， 所以中间一颗珠子的价值是
2852÷31=92（元）。
16．2012位同学排成一列依次报数。若某位同
学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2
提示：7公里为平均数， 而乙走路程的是一个等差数列， 1、2、3、……、公差为1.
解：甲每天走7公里，所以7是平均数， 乙所走的路程为等差数列，1、2、
3、…，13， 共有13项，恰好平均数为7. 所以经过13天，两人走的路程相等。
12．电子跳蚤在一条标有刻度（单位：毫米）
的尺子上某点K，向右跳所显示的刻度越来越
倍；若某位同学报的是两位数，后面同学就报
其个位数字与5的和。已知第一位同学报1，报
到了第100位同学，他却把前面那位同学报的
数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注
意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后
一位同学报的数是5。那么第100位同学所报的
数是把前一位同学报的数加上了
.
提示：按规则写出前几个人报的数， 1、2、4、8、16、11、6、12、7、14、9、
经尝试1+2+3+……+62=(1+62)×62÷2=1953， 1+2+3+……+63=(1+63)×63÷2=2016， 所以最多是62个数，它们的和是2006。 例如1，2，3，……，61，62+53=115，这
62个数的和为2006.
14．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺 序做加减法练习：先将两个数相加，再减去一 个数；再加上两个数，减去一个数，…，按这 样的规律计算下去，算到第2010个数为止，小 明计算的最后得到的结果是 672345 . 提示：先算1+2 －3，再算4+5 －6，
2．下面是一串有规律的数：9，22，39，60， 85，114，……，这串数的第30个数是 2010 .
提示：9=1×9，22=2×11， 39=3×13，60=4×15， 85=5×17，114=6×19，
解：9=1×9，22=2×11， 39=3×13，60=4×15， 85=5×17，114=6×19，……， 所以第30个数百度文库是30×67=2010.
人事为止，看看在倒下之前谁喝得最多。A首 先退出了这场比赛——他昏睡过去，成为另外 五个人的笑料，每个人又喝了3升后，B也倒在 了桌子下，每个人继续喝了3升，C终于无法站 立，……，直到F也昏睡过去。一旁的店主替 他们计算了一下：这六个人共喝光了63升啤酒。 那么每人各喝了几升？ 3升、6升、9升、12升、
提示：第一册需24元，第二册需23元，第三 册需22元，以此类推，第九册需16元，
解：第一册需24元，第二册需23元， 第三册需22元， 以此类推，第九册需16元， 所以这九册书共需 (24+16)×9÷2=180(元)， 所以老板应找他20元。
11．甲、乙两人同时从A地出发，其中甲每天 走7公里，乙第一天走1公里，第二天走2公里， 第三天走3公里，以后每天都比前一天多走1公 里。请问，二人经过 13 天走的路程相等。
大，第一步从K向左跳1毫米，第二步再向右
跳2毫米，第三步再向左跳3毫米，第四步再
向右跳4毫米，……，按以上规律跳了100步
时，电子跳蚤在尺子上的刻度所表示的数恰
好是205毫米。则电子跳蚤开始时落在尺子上
的点K的刻度是
毫米。
提示：把第一、第二步和在一起考虑， 则跳蚤向右跳了1毫米；
把第三、第四步和在一起考虑， 跳蚤也向右跳了1毫米； 依次类推，跳了100步后， 其中跳蚤向右跳了50毫米，
在10111213……9899中， 数字和为 10×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
+9×(1+2+3+4+5+6+7+8+9） =855， 最后的三位数100101102103104105中， 数字和为 6+16=21。 所以所有的数字和为45+855+21=921.
7．一群小朋友分一堆糖，第1个小朋友拿了1 块，第2个小朋友拿了2块，第3个小朋友拿了 3块，……，以此类推，后拿糖的小朋友都比 他前面的小朋友多拿一块。这群小朋友刚好 把这堆糖分光。如果平均分配，每个小朋友 刚好分到10块糖，这堆糖共有 190 块。
于 0 的自然数，而且它们的和为 2006，那么 k 的最大值是 62 .
提示：从1、2、3、开始， 尝试使得1+2+3+……+k刚好接近2006， 再多一个则大于2006的数k是多少。
解：这些数的值越小越好， 从1开始，1，2，3，……，k， 如果1+2+3+……+k≤2006， 而再加一个(k+1)时，总和大于2006， 这时的k的值最合适。
恰好是一个斐波那契数列， 接着往下写为89，144，233，377，……，
所以第七个数是 233 377
5．1+3=2×2；1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4.
请问：1+3+5+…+2011= 1006 × 1006 . 提示： 1+3=2×2；
1+3+5=3×3； 1+3+5+7=4×4. ………
答案：155毫米处
解：把第一、第二步和在一起考虑， 则向右跳了1毫米， 把第三、第四步和在一起考虑， 也向右跳了1毫米， 依次类推，跳了100步后， 其中跳蚤向右跳了50毫米， 此时刻度所表示的数恰好是205毫米， 则开始时落在尺子上的点K的刻度 205–50=155毫米处。
13．设 a1, a2 , a3, L ,ak 是 k 个互不相等、大
13，这10个数成为一个周期， 研究第99位同学的报数， 99–3=96，96=9×10+6， 即第99位同学应该报7，
根据最后一位同学报的是5，往前倒推，他 前面一位应该报10（不可能报一位数，因为一位 数的2倍不会得5；也不能是别的两位数，不然个 位数字加上5就超过5了），再往前一位又是5，
所以从后往前报数是5，10，5，10，5， 10，……，
15．一串珠子共31个，正中间一个最贵，从 一端算起，后一个比前一个贵3元，到中间那 个为止；从另一端算起，后一个比前一个贵4 元，到中间那个为止。这串珠子总价值为 2012元，那么中间的一颗珠子价值 92 元。 提示：把两边的珠子加一点钱，使它们与中间 的珠子的价钱相等，
需要加3、6、9、12、……、45元和 4、8、12、16，……、60元。
提示：前29组中共有1+2+3+……+29=435个数，
第30组内的第1个数是436.
解：前29组中共有1+2+3+……+29=435个数，
所以第30组中最小的一个数是436，
该组中有30个数，
得 436+437+438+……+465
= 436 465 30 2
=13515。
10．书店里有一套漫画书共9册，第一册需24 元，第二册需23元，第三册需22元，以此类推， 每一册的售价都比它前面的一册少1元。如果 哆啦A梦用200元去买这套漫画书，书店老板 应找他 20 元。
第四讲 数 列
1．下面是一串有规律的数：9，20，33，48， 65，84，……，这串数的第41个数是 2009 .
提示：9=1×9，20=2×10， 33=3×11，48=4×12， 65=5×13，84=6×14，
解：9=1×9，20=2×10， 33=3×11，48=4×12， 65=5×13，84=6×14，……， 所以第41个数应是41×49=2009.
3．2008年在中国北京举办奥运会，已知第一 届现代奥运会于1896年在雅典举行，其后每四 年举行一次，这样北京奥运会是第 29 届。
提示：这是一个等差数列，第一项是1896， 公差是4，最后一项是2008. 所以(最后一项－第一项) ÷公差+1=项数
解：按照等差数列的公式， 项数=(末项–首项)÷公差+1. 所以 (2008–1896)÷4+1=29. 即北京奥运会是第29届奥运会。
1+3+5+…+2011是第几个式子？
解：1+3=2×2； 1+3+5=3×3； 1+3+5+7=4×4. ……… 按照这个规律1+3+5+…+2011应该是
第1005个式子的左侧， 所以右侧应该是1006×1006。
6．有一列正整数1、2、3、4、…、9、10、11、 12、…，顺次排成123456789101112…，第11个 数字是0，第15个数字是2；从第1位到第207位 上所有数字的和是 921 .
18、13、8、16、……， 找出规律来（也就是什么成周期往复）， 同样从后向前倒数也找出规律来， 应该是5、10、5、10、5、10.
解：按正确的报数方法找规律为： 1，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，
18，13，8，16，11，6，12，7，14，9，18， 我们发现除了前三个数之外，从8开始到
解：123456789中有九个数字， 10111213……9899中有180个数字， 这两部分已经有189个数字了， 207–189=18， 18÷3=6， 所以再往下写为100101102103104105， 九个一位数的和为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
4．下面是一串有规律的数：1， 2 ， 5 ， 13 ， 34 ，……，
233
3 8 21 55
这串数的第 7 个数是 377 .
提示：观察各项的分子和分母， 排列起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55， 恰好是一个斐波那契数列，
解：观察各项的分子和分母， 排列起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55，
15升、18升
解：这是一个等差数列问题，公差是3，项 数为6，总和是63，
第一次六个人共喝了 63–5×3–4×3–3×3×2×3–3=18升， 所以A喝了18÷6=3升， 以此类推B喝了6升，C喝了9升，D喝了
12升，E喝了15升，F喝了18升。
9．将连续正整数依下列方式分组：（1）， （2，3），（4，5，6），（7，8，9，10）, …，其中第一组有1个数，第二组有2个数，第 三组有3个数，……，以此类推，请问在第30 组内，所有数的总和是多少？ 13515
7+8 －9，10+11 －12， 根据规律，判断这组数的规律。
解：按规律写一下： (1+2–3)，(4+5–6)，(7+8–9)， (10+11–12)，……，(2008+2009–2010)， 成为0， 3， 6， 9，……，2007 是一个等差数列，共有670项， 它们的和是 (0+2007)×670÷2=672345.
提示：等差数列中10是平均数，它前面有九个 数，后面有九个数，一共19个数。
解：如果平均分配， 每个小朋友刚好分到10块糖， 说明10是平均数， 小朋友拿的糖数成等差数列 1，2，3，4，5，……， 最中间一个拿到平均数10， 所以共有19个小朋友， 这堆糖共190块。
8．在啤酒节上，六个好朋友A、B、C、D、E 和F要比赛喝啤酒，比赛规则很简单，那就是 每一个人都必须不断地、尽量地喝，直到不省
正数第100位同学是倒数第1913位，应该报5， 第99位同学报的是7，但7加上任意自然数都 不是5， 所以第100位同学报的是15，把前一位同学报 的数加上了8.
下 课 了！
解：这个问题我们从中间往两边算，分别是两 个等差数列，
把它们都变成与中间那颗珠子相同的珠子， 则总价值将为 2012+(3+6+9+……+45)+(4+8+12+……+60)
=2852(元)， 所以中间一颗珠子的价值是
2852÷31=92（元）。
16．2012位同学排成一列依次报数。若某位同
学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2
提示：7公里为平均数， 而乙走路程的是一个等差数列， 1、2、3、……、公差为1.
解：甲每天走7公里，所以7是平均数， 乙所走的路程为等差数列，1、2、
3、…，13， 共有13项，恰好平均数为7. 所以经过13天，两人走的路程相等。
12．电子跳蚤在一条标有刻度（单位：毫米）
的尺子上某点K，向右跳所显示的刻度越来越
倍；若某位同学报的是两位数，后面同学就报
其个位数字与5的和。已知第一位同学报1，报
到了第100位同学，他却把前面那位同学报的
数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注
意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后
一位同学报的数是5。那么第100位同学所报的
数是把前一位同学报的数加上了
.
提示：按规则写出前几个人报的数， 1、2、4、8、16、11、6、12、7、14、9、
经尝试1+2+3+……+62=(1+62)×62÷2=1953， 1+2+3+……+63=(1+63)×63÷2=2016， 所以最多是62个数，它们的和是2006。 例如1，2，3，……，61，62+53=115，这
62个数的和为2006.
14．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺 序做加减法练习：先将两个数相加，再减去一 个数；再加上两个数，减去一个数，…，按这 样的规律计算下去，算到第2010个数为止，小 明计算的最后得到的结果是 672345 . 提示：先算1+2 －3，再算4+5 －6，
2．下面是一串有规律的数：9，22，39，60， 85，114，……，这串数的第30个数是 2010 .
提示：9=1×9，22=2×11， 39=3×13，60=4×15， 85=5×17，114=6×19，
解：9=1×9，22=2×11， 39=3×13，60=4×15， 85=5×17，114=6×19，……， 所以第30个数百度文库是30×67=2010.
人事为止，看看在倒下之前谁喝得最多。A首 先退出了这场比赛——他昏睡过去，成为另外 五个人的笑料，每个人又喝了3升后，B也倒在 了桌子下，每个人继续喝了3升，C终于无法站 立，……，直到F也昏睡过去。一旁的店主替 他们计算了一下：这六个人共喝光了63升啤酒。 那么每人各喝了几升？ 3升、6升、9升、12升、
提示：第一册需24元，第二册需23元，第三 册需22元，以此类推，第九册需16元，
解：第一册需24元，第二册需23元， 第三册需22元， 以此类推，第九册需16元， 所以这九册书共需 (24+16)×9÷2=180(元)， 所以老板应找他20元。
11．甲、乙两人同时从A地出发，其中甲每天 走7公里，乙第一天走1公里，第二天走2公里， 第三天走3公里，以后每天都比前一天多走1公 里。请问，二人经过 13 天走的路程相等。
大，第一步从K向左跳1毫米，第二步再向右
跳2毫米，第三步再向左跳3毫米，第四步再
向右跳4毫米，……，按以上规律跳了100步
时，电子跳蚤在尺子上的刻度所表示的数恰
好是205毫米。则电子跳蚤开始时落在尺子上
的点K的刻度是
毫米。
提示：把第一、第二步和在一起考虑， 则跳蚤向右跳了1毫米；
把第三、第四步和在一起考虑， 跳蚤也向右跳了1毫米； 依次类推，跳了100步后， 其中跳蚤向右跳了50毫米，
在10111213……9899中， 数字和为 10×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
+9×(1+2+3+4+5+6+7+8+9） =855， 最后的三位数100101102103104105中， 数字和为 6+16=21。 所以所有的数字和为45+855+21=921.
7．一群小朋友分一堆糖，第1个小朋友拿了1 块，第2个小朋友拿了2块，第3个小朋友拿了 3块，……，以此类推，后拿糖的小朋友都比 他前面的小朋友多拿一块。这群小朋友刚好 把这堆糖分光。如果平均分配，每个小朋友 刚好分到10块糖，这堆糖共有 190 块。
于 0 的自然数，而且它们的和为 2006，那么 k 的最大值是 62 .
提示：从1、2、3、开始， 尝试使得1+2+3+……+k刚好接近2006， 再多一个则大于2006的数k是多少。
解：这些数的值越小越好， 从1开始，1，2，3，……，k， 如果1+2+3+……+k≤2006， 而再加一个(k+1)时，总和大于2006， 这时的k的值最合适。
恰好是一个斐波那契数列， 接着往下写为89，144，233，377，……，
所以第七个数是 233 377
5．1+3=2×2；1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4.
请问：1+3+5+…+2011= 1006 × 1006 . 提示： 1+3=2×2；
1+3+5=3×3； 1+3+5+7=4×4. ………
答案：155毫米处
解：把第一、第二步和在一起考虑， 则向右跳了1毫米， 把第三、第四步和在一起考虑， 也向右跳了1毫米， 依次类推，跳了100步后， 其中跳蚤向右跳了50毫米， 此时刻度所表示的数恰好是205毫米， 则开始时落在尺子上的点K的刻度 205–50=155毫米处。
13．设 a1, a2 , a3, L ,ak 是 k 个互不相等、大
13，这10个数成为一个周期， 研究第99位同学的报数， 99–3=96，96=9×10+6， 即第99位同学应该报7，
根据最后一位同学报的是5，往前倒推，他 前面一位应该报10（不可能报一位数，因为一位 数的2倍不会得5；也不能是别的两位数，不然个 位数字加上5就超过5了），再往前一位又是5，
所以从后往前报数是5，10，5，10，5， 10，……，
15．一串珠子共31个，正中间一个最贵，从 一端算起，后一个比前一个贵3元，到中间那 个为止；从另一端算起，后一个比前一个贵4 元，到中间那个为止。这串珠子总价值为 2012元，那么中间的一颗珠子价值 92 元。 提示：把两边的珠子加一点钱，使它们与中间 的珠子的价钱相等，
需要加3、6、9、12、……、45元和 4、8、12、16，……、60元。
提示：前29组中共有1+2+3+……+29=435个数，
第30组内的第1个数是436.
解：前29组中共有1+2+3+……+29=435个数，
所以第30组中最小的一个数是436，
该组中有30个数，
得 436+437+438+……+465
= 436 465 30 2
=13515。
10．书店里有一套漫画书共9册，第一册需24 元，第二册需23元，第三册需22元，以此类推， 每一册的售价都比它前面的一册少1元。如果 哆啦A梦用200元去买这套漫画书，书店老板 应找他 20 元。
第四讲 数 列
1．下面是一串有规律的数：9，20，33，48， 65，84，……，这串数的第41个数是 2009 .
提示：9=1×9，20=2×10， 33=3×11，48=4×12， 65=5×13，84=6×14，
解：9=1×9，20=2×10， 33=3×11，48=4×12， 65=5×13，84=6×14，……， 所以第41个数应是41×49=2009.
3．2008年在中国北京举办奥运会，已知第一 届现代奥运会于1896年在雅典举行，其后每四 年举行一次，这样北京奥运会是第 29 届。
提示：这是一个等差数列，第一项是1896， 公差是4，最后一项是2008. 所以(最后一项－第一项) ÷公差+1=项数
解：按照等差数列的公式， 项数=(末项–首项)÷公差+1. 所以 (2008–1896)÷4+1=29. 即北京奥运会是第29届奥运会。
1+3+5+…+2011是第几个式子？
解：1+3=2×2； 1+3+5=3×3； 1+3+5+7=4×4. ……… 按照这个规律1+3+5+…+2011应该是
第1005个式子的左侧， 所以右侧应该是1006×1006。
6．有一列正整数1、2、3、4、…、9、10、11、 12、…，顺次排成123456789101112…，第11个 数字是0，第15个数字是2；从第1位到第207位 上所有数字的和是 921 .
18、13、8、16、……， 找出规律来（也就是什么成周期往复）， 同样从后向前倒数也找出规律来， 应该是5、10、5、10、5、10.
解：按正确的报数方法找规律为： 1，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，
18，13，8，16，11，6，12，7，14，9，18， 我们发现除了前三个数之外，从8开始到