量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移

42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即 自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理 由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函 数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ） 中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即
垂直 B 空间的球面，所以
m (C)
m ds
s(C)
nˆ s B02
m(C)
其中 (C) 就是回路 C 对着简并态处的 （ B 0 ）立体角。
B0
第十一章 量子散射的近似方法
Ⅰ. 一些描述散射的物理量 在束缚态问题中，我们是解本征值问
n(t)
e
i
n
(
t
)e
i
0t
En
(
t
)dt
un (t)
n (t) i0t un (t) u n (t) dt
也就是说，在绝热演化过程中，体系的状 态被扰动而跃迁到态 um(t) (m n) 的概 率是可忽略的。
第 二十 八 讲
Ⅴ. 贝利相位和贝利相位因子
第十一章 量子散射的近似方法
Ⅰ. 一些描述散射的物理量
Vn(R)
所以，
nNew(C) n(C)
这类似于‘‘矢势‘V‘n (，R )
，经规范变
换后n (C)
n (C)
， 保持不变，即 是规范不变的。
例：B考(t)虑在磁场中自B旋0 的问题。 kˆ 当 保持其长度 不变但缓慢地绕
轴转动。自旋也随之改变其方向。体系
的哈密顿量Hˆ可写为gsˆ Bˆ (t) /
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
如果因哈密顿量 Hˆ (t) 的变化而引起
am(t) un (t) u m(t)
非常光滑又缓慢地变化，而且
e
i
tti
[En
(
t
)
Em
(t
)]dt
又是一个振荡很快的函数，则有绝热近似
解
an (t) an (0)ein (t)
的条件为
un (t) u m (t) 1 En(t) Em(t)
有
R(ti ) R(tf )
Hˆ (r,R(ti )) Hˆ (r,R(tf ))
态矢量
n (r, R(tf
))
ein (tf
e )
i
tf ti
En (t)dt
un (r, R(tf
)
与
n(r, R(ti )) un(r, R(ti )
之间能够发生干涉。所以，态矢量在参数 空间中经封闭路径后，相位
Im Run(r, R) um(r, R) um(r, R) Run(r, R)
mn
根据公式
um (t) un(t) (En(t) Em(t)) um(t) Hˆ (t) un(t)
um(t) Run(t) (En(t) Em(t)) um(t) (RHˆ (t)) un(t)
得
Vn (R) Im( Run (r, R) um(r, R) um(r, R) Run(r, R) )
mn
Im
mn
un (r, R) (RH(R)) um (r, R) um(r, R) RH(R) un(r, R)
En (R) Em (R)2
n(C) 变化仅与封闭路径 C 相关 ( 这 一点我们将在下面的例子看到 ) ，所以它 又被称为贝利几何相位以与动力学相位
A．散射截面定义
B．散射振幅
Ⅴ. 贝利相位和贝利相位因子
在1984年以前，人们常将演化波函数 表为
n (t)
e
i
t
0 En (t)dt
un (t)
或者认为，瞬时本征矢是由瞬时本征方程 所定义，所以可自由选择相位因子以使上 式成立。
但到1984年，贝利指出，不是所有过 程的本征函数都可以简化为上式。这一论 证不仅指出，相位因子并不总是可以任意 选择的，而且开辟了量子力学应用的新领 域。
t
其中 n(t) i 0 un(t) un(t) dt
绝热近似条件可表为
un (t) Hˆ (t) um(t) En (t) Em(t) En(t) Em(t)
即体系的特征频率
En(t) Em(t)
远大于微扰作用的相对变化率。这就是哈 密顿量 Hˆ (t) 变化是否非常缓慢的判据。
应当注意，判断物理过程是否满足绝 热近似条件时，不仅要判断某时刻的绝热 近似条件是否满足，还要求体系在演化过 程中能级 Em(t) 不发生交叉。
题，以期与实验的能量测量值比较。而在 散射问题中，能量是连续的，初始能量是 我们给定的（ 还有极化 ）。这时有兴趣 的问题是粒子分布（ 即散射到各个方向上 的强度）。所以散射问题（特别是弹性散
射 ），主要关心的是散射强度，即关心远 处的波函数。 A．散射截面定义：
用散射截面来描述粒子被一力场或靶 散射作用是很方便的。反之，知道散射截 面的性质，可以推出力场的许多性质。而 我们对原子核和基本粒子性质，很多是这 样推出的。这也是量子力学中的逆问题。
En(R(t))dt
相区别。 显然，贝利相位不会因为瞬时本征态
的相因子的另外选择而改变。 证：设新的瞬时本征态为
un (r, R(t) new ei(R) un (r, R(t)
则
VnNew(R)
Im[
R
( new
un(r,R) R
un (r, R)
)]
new
Im[R ( un(r,R) R un(r,R) ) iR (R(R)) un(r,R) un(r,R) ]
随时间的变化率很小的问题。
A. 绝热近似的条件 当哈密顿量 Hˆ (t) 随时间变化非常缓慢
时，则可定义瞬时本征方程
Hˆ (t) um (t) Em (t) um (t)
并有 un (t) um(t) nm 对于 t 时刻，薛定谔方程
i (t) Hˆ (t) (t) t
的解可表为
(t)
am(t)
0 1
则 t 时刻，
t
2i
eit / 2 sin
K2
42
t
K2 42
2
eit / 2
iK sin
K2
42
t
K2 42 cos
K2 42
2
K2
42
t
2
处于 Hˆ 0 本征值为 BB0 的本征态，
其表示为
1 0
所以， t 时刻，电子处于自旋向上态的概
率为
PBB0
cos t
sin
t
0
sin t cos t
0
0 B0 sin ) 0
0
0
0
1 B0 cos B0
在 Rz (t)Ry ()B(t)
cos t sin t 0 cos 0 sin 0
sin
t
cos t
0
0
1
0
0
0
0
1 sin 0 cos B0
B(t) (B0 sin cos t,B0 sin sin t,B0 cos )
Ry ()Rz (t)B(t)
cos 0 sin cos t sin t 0 B0 sin cos t
0
1
0
sin
t
cos t
0
B
0
sin
sin
t
sin 0 cos 0
0 1 B0 cos
n (C) [Im un (r, R) R un (r, R) ] dR
C
ds Vn(R)
s(C)
是一个可观测量。它被称为 Berry 相位。
ein (C)
被称为 Berry 相位因子。而
Vn (R) Im[R ( un (r, R) R un (r, R) )]
Im( Run (r, R) Run(r, R) )
考虑一个体系，其哈密顿量随时间在 一多维参量空间中演化。它的瞬时本征方 程为
Hˆ (r,R(t)) un(r,R(t)) En(R(t)) un(r,R(t))
体系的薛定谔方程是
i
d dt
n
(r
,
R(t))
Hˆ (r,
R(t))
n
(r,
R(t
))
体系的绝热演化波函数为
n (r, R(t ))
e e in (t)
B0
由
Vm(B) Im
nm
um(r,B) BH(B) un(r,B) un(r,B) BH(B) um(r,B)
(En(R) Em(R))2
Im um(B) sˆ /
nm
再根据
un(B) un(B) sˆ / B02(m n)2
um(B)
s,m 1 sˆx / s,m
1 2
其中 B e 2me
当电子吸收一光子 ，则将电子激
发到较高能级，即自旋向上的态。 A. 跃迁概率和跃迁率 设：有一垂直于静场的磁场。于是，
总振荡磁场为 Bx b cos t By b sin t
Bz B0
0
V
Bbeit
Bbe it
0
若 t 0 时刻，电子自旋态的本征值为
2 。在一级近似下，从本征值为 2的
一束不宽的（与散射区域比。当然与 散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简 单起见，达到散射中心时，可用一平面波 描述
ei kr it
相对通量 ， ，单位时间通过与靶 相对静止的垂直于传播方向上的单位面积 的入射粒子数（对于单个粒子，显然即为 概率通量）
这时，单位时间，经散射而到达
(, ) 方向 d 中的粒子数为
(s m)(s m 1)
s,m 1 sˆy / s,m
i 2
(s m)(s m 1)
由于 m n ，所以
s,n sˆz / s,m 0
因此 (Vm (B))x 0, (Vm (B))y 0
而
(Vm(B))z Im
sx /
nm
mn sy /
nm
sy /
B02(m n)2
自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的概率
为
P
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2
0
0 )t
t
2
其中 0 2BB0
B. 严格求解—Rabi 振荡 电子的总哈密顿量在 H0 表象，即在 Sz 表象中为
Hˆ
BB0 Bbeit
Bbeit BB0
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0 本征值为 BB0 的本征态，其表示即为
随时间在这两个态之间发生共振
1 0
10
C. 一级近似公式的精确性
由图可见，当 t 1 时，精确解和
一级近似解差别较大。
当 t 0.25 时，精确解和一级近似
解差别就较小。
所以，由这个例子，我们能直接理解
到：在
t 1
时，精确解和一级近似解才符合。
10.1 10.2 10.4
Ⅳ. 绝热近似 我们也讨论了在微扰期间里，微扰势
cos t
sin
t
0
sin t cos t
0
0 B0 sin B0 sin cos t
0
0
B0
sin
sin
t
1 B0 cos B0 cos
将场的方向取为 z 轴，
Hˆ gsˆzB0 /
则能量本征值
Em gmB0 sz m(m s,s)
当 Bˆ (t) 保持其长度，B0 ，不变，而绕 kˆ 轴缓慢地转动最后回到初始方向，则矢 量 B(t) 的顶端在半径为 B0 的球面上画出一 个封闭的回路。
mn sx /
nm
由于 m 和 n 差是 1 ，所以
m n2 1
于是
sx /
(Vm(B))z Im
nm
mn sy /
nm
sy /
B02
mn sx /
nm
sx /
Im
n
mn sy /
nm
sy /
B02
mn sx /
nm
Im
sˆxsˆy /
2 sˆysˆx / B02
i
t
ti En (t)dt
un (r, R(t )
其中
n
(t
)
i
t
ti
un(R(t) u n(R(t)
dt
i
t ti
un (R(t)
d un(R(t) dt
dt
R(t)
i R(ti ) un (r, R(t')) R un (r, R(t')) dR(t')
贝利指出，当时间演化经一回路后，