二次函数与二次方程、二次不等式的关系(推荐文档)

合集下载

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=，当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。

二次函数与二元方程、二次不等式的关系

y＝x2－x－3 y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 消元，整理，－（3 整理，得x2－2x －（3 ＋ b）＝0 ∵有唯一交点（－2 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b）＝0 解之得，＝－4 解之得，b ＝－4
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况判断下列二次函数图象与x ＝－2x 3x－（1）y＝－2x2＋3x－9；＝－ax ＋（a （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常 a≠0）数，a≠0）解：（1）∵ b2－4ac ＝02 －4×1×（－1）＞0 函数与x ∴函数与x轴有两个交点
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y 函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为 2x－的图象与x （－1 （－1，0）（ 3， 0）方程x 2x－方程x2－2x－3 ＝0的两根是 x 1＝－ 1 , x2 ＝ 3 函数图象与x 函数图象与x轴交点坐标和方程的两根有什么关系你发现了什么？你发现了什么？（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标二次函数y bx＋就是当y 时一元二次方程ax bx＋就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。

初中数学知识归纳二次函数与二次方程的关系

初中数学知识归纳二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程是数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。

在初中数学的学习中，掌握二次函数与二次方程的关系对于解题和理解数学概念都是至关重要的。

本文将从不同角度归纳分析二次函数与二次方程之间的关系。

一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a≠0。

而二次方程是指具有形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

可以看出，二次函数与二次方程都包含了二次项。

二、图象特点1. 对称性：二次函数的图象是关于抛物线的对称轴对称的。

对于二次方程，其图象是经过顶点的抛物线，也是关于对称轴对称的。

2. 开口方向：若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

对于二次方程来说，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

3. 零点：二次函数的零点即为二次方程的解。

三、求解方法1. 根的性质：二次函数的零点对应二次方程的解。

通过二次方程求解，可以得到函数的零点。

2. 相关性质：由二次函数的图象特点可知，若抛物线与x轴有两个交点，则二次方程有两个解；若抛物线与x轴有一个交点，则二次方程有一个解（重根）；若抛物线与x轴无交点，则二次方程无解。

四、应用示例1. 已知二次函数f(x)=2x^2+3x+1，求解f(x)的零点（即求解二次方程）。

解：将f(x)设为0，得2x^2+3x+1=0，通过求解二次方程可以得到x 的值。

2. 已知二次方程x^2-4x+3=0，求解方程的解，并将解代入二次函数y=x^2-4x+7中求函数值。

解：通过求解二次方程可得到x的解为x=1和x=3，将这两个解代入二次函数中可得到对应的函数值。

通过以上归纳分析可以看出，二次函数与二次方程之间有着密切的关系。

通过解析几何和代数解方程两个角度来分析二次函数与二次方程的关系，可以帮助学生更好地理解这两个概念，并且在解题时也能够灵活运用相关性质和求解方法。

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

返回
双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
返回
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
0
有两不相等实根 .设为x、x，且x x
计算判别式
求根
画图
写出不等式解集
ax bx c 的解集 , x x , ax2 bx c 0的解集 x1 , x2
一元二次方程二次函数一元=0
的解当Δ ＞0 时，有两个不相等的实数根
y =ax +bx+c
的图像
2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
y x1 o y x2 x
x1， x2
当Δ =0 时，有两个相等的实数根 b
x1=x2=
o x1=x2
返回
示范例题
例4 解 (1) 图像如下图所示：
返回
示范例题
例5 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
返回
示范例题
例6
二次项系数为负
对应的二次函数 y=x²-2x+2
对应的一元二次方程 x²-2x+2=0
返回
示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
返回
新课导入
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
任意一个一元二次不等式，都可以找到与它对应的二次函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0 （或＜0）对应的二次函数为 y= ax²+bx+c；对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0 例如：一元二次不等式 x²-2x-3＞0 对应的二次函数 y=x²-2x-3 对应的一元二次方程 x²-2x-3=0

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。

本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。

二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。

二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。

要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。

在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。

解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。

1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。

而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。

一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系

一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。

他们之
间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。

首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解
它们之间的关系。

一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为
ax²+bx+c=0 (a≠0)。

二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程
组合出的不等式表达式。

而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐
标系上表示成曲线。

接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间
的联系。

一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。

二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。

就如，
y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，
前者生成的关系图像就是后者的解的图象。

综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。

它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。

只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。

二次函数与一元二次方程和不等式的关系

二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。

(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。

5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。

二次函数与二次方程二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。

二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析

二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析一、二次函数的定义和特点二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 均为常数且a ≠ 0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线，具有以下特点：1. 对称轴：过抛物线顶点，且与 x 轴垂直的直线，方程为 x = -b / 2a。

2. 特殊点：抛物线的顶点为 (-b / 2a, c - b^2 / 4a)。

3. 开口方向：如果 a > 0，则抛物线开口向上，否则开口向下。

4. 零点：若抛物线与 x 轴交于两点，则这些点称为抛物线的零点，它们的 x 坐标解方程 ax^2 + bx + c = 0 所得到的实数根。

5. 正负性：如果a > 0，则函数在抛物线上方为正，在抛物线下方为负；如果 a < 0，则情况相反。

二、一元二次方程一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 均为常数且a ≠ 0。

它的根公式为：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a根据根公式可以得到以下结论：1. 当 b^2 - 4ac > 0 且 a > 0 时，方程有两个不等实数解。

2. 当 b^2 - 4ac = 0 时，方程有一个重根。

3. 当 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实数解，但有两个共轭复根。

三、二次不等式二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 均为常数且a ≠ 0。

对于二次不等式，可以通过以下步骤来解决：1. 求出二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标和开口方向。

2. 将 y = ax^2 + bx + c 转化为 y - k = a(x - h)^2 的形式，其中 (h, k) 为顶点坐标。

3. 根据二次函数图像的正负性，确定二次函数曲线和x 轴交点的情况，即确定不等式解的情况。

二次函数与二次不等式的关系1-6

二次函数与二次不等式的关系考纲要求：理解二次函数、二次方程与二次不等式的关系，并能利用它们的关系解决相关问题知识梳理：1、二次函数的解析式一般式: y=ax 2+bx+c(a ≠0);顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);两根式: y=a(x -x 1)(x -x 2)(其中x 1, x 2为抛物线与 x 轴两交点的横坐标);2、二次函数的图象有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.诊断练习： 1、解不等式：(1) x 2-7x+12>0 (2)x 2-2x+1<0 (3) -x 2-2x+3≥02、求函数 86)(2+-=x x x f 的定义域。

3、已知不等式ax 2+bx+6>0的解集是{x|-2<x<3}，求a.b 的值4、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.易错点透析：1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.2、函数()86)(2++-=k kx kx x f （K ＞0）的定义域为R ，求K 的取值范围3、m 是什么实数时，关于x 的方程mx 2-（1-m ）x+m=0没有实数根？巩固练习：1、x 2-3x-4≥0的解集是 (x-1)(2-x) ≥0的解集是 x 2<9的解集是2、求函数()23223log 32)(x x x x x f -++-+=的定义域3、*已知A=｛x │－1≤x ≤1｝ B=｛x │x 2+(a+1)x+a ≤0｝若A ∩B=B ，求a 的取值范围小结：作业：1、已知集合M={x|3x-x 2>0}, N={x|x 2-4x+3>0},求 M ∩N MUN2、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.3、求函数y=x 2+ax －3 ， x ∈［0,2］的最小值。

二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y ≠0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：二、典型例题例1、已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是________2、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．3．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？△=b 2﹣4ac△＞0△=0△＜0二次函数y=ax2+bx+c(a ＞0)的图像 xy OxyOxy O一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ＞0)的根 ab x 22,1∆±-=abx 2-=无实数根一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞0(a ＞0)的解集x ＜ 1x 或x ＞2x（1x ＜2x ）abx 2-≠ x 为全体实数一元二次不等ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集1x ＜x ＜2x（1x ＜2x ）无解无解DQ 图图1x y OA BC C B A O y x DQ 图2x yOA B C5．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．例2、(本题满分12分) 二次函数26(0)y ax bx a =++≠的图像交y 轴于C 点，交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程24120x x --=的两个根.（1）求出点A 、点B 的坐标及该二次函数表达式.（2）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点Q 作QD ∥AC 交于BC 点D ，设Q 点坐标（m ，0），当CDQ ∆面积S 最大时，求m 的值.（3）如图3，线段MN 是直线y =x 上的动线段（点M 在点N 左侧），且2MN =M 点的横坐标为n ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q .以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n 的值；若不能，请说明理由．变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是（）A ．1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜﹣1且x ＞5D ．x ＜﹣1或x ＞5例3、已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b =2∶3，且1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝2b 4ac=a-。

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式关系

课题二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系教课知识目标理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集 .目标能力目标培育学生的识图、画图、用图能力，领会数形联合思想 .感情目标培育学生的勇于研究的精神，体验事物广泛联系的辩证观.教课正确理解三个二次之间的关教课研究三个二次之间关系的过程 .系.要点难点教法讲解法、议论法 .学法课后反应教课环节及内容设计思路一、知识回首复习一元二次不等一般地，我们把含有一个未知数，而且未知数的最高次式的定义，教师发问，学数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．生回想口答 .其一般形式为ax2 bx c 0 或 ax 2 bx c 0此中 a, b,c 为实数，且 a 0.能使一元二次不等式成立的未知数x 值的会合叫作一元二次不等式的解集．二、研究新知1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系察看二次函数 y x22x 3 的图像(如图).当x 1或 x 3 时，函数图像在x轴上方， y 0 ；当x1 或 x 3 时，函数图像在x轴上， y 0；从一个详细的二次函数下手，用“五点法”画出二次函数的草图，经过察看图像，成立相应的一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，进而解决相应的一元二次方程的根和一元二次不等式的解集 .师生合作，以问题串的方式层层解决 .当 1 x 3 时，函数的图像都在x 轴下方，y0.(1)方程x22x 3 0 的解是二次函数y x22x 3 的图像与 x 轴交点的横坐标，即x1 1 ， x2 3 .(2)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3的图像位于x 轴上方部分的点的横坐标x 值的范围，即, 1 U 3,.(3)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3 的图像位于x 轴下方部分的点的横坐标x 值的范围，即1,3 .一般地，当 a 0 时，函数 y ax 2bx c ，方程ax 2bx c 0 ，不等式 ax2bx c 0 ， ax2bx c0 之间的关系如表所示 .000学生经过小组合作剖析、沟通，以表格的形式梳理概括三个两次之间的关系，有助于学生的理解 .二次函数y ax2 bx c 的图像( a 0 )一元二次方程ax2bx c0 的根( a 0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c ⋯0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c , 0的解的会合有两个实根有两个相等x x1或 x x2实根无实根( x1x2)x x1x2( , x1 ) U ( , x1) U ( , )( x2 , ) (x1, )(x1, x2 )例 1 是依据一元二次不等式的定义判断一元( , x1 ] U ( , ) 二次不等式 .教师采纳抢[ x2 , ) ( , ) 答的形式来调换学生学习的踊跃性 .[ x1, x2 ] x1( a0 )若a 0 ，将一元二次不等式两边同时乘以 1，进而转变成a 0 的状况解决，但注意不等号要改变方向 .2.例题剖析例 1判断以下式子哪些是一元二次不等式：(1) 2x2 3x 4 0 ；(2) x 3 2 ；x(3) x2 5x 0 ；(4) 2x 2 3x 2 ；(5)x22x 5 0 ；(6) 2x2x 10 .解(1)不是 .(2)不是 .(3)是 .(4)是 .(5)是 .(6)不是 .例 2 写出以下一元二次不等式对应的一元二次方程和二次函数，作出对应二次函数的图像，察看二次函数图像，例 2 和例 3 是在研究写出一元二次不等式的解集．三个二次之间关系的基(1) x2 3x 0 ；(2) x2 2x 1 0 .础上，对详细问题的应用 .解 (1)对应的一元二次方程为x2 3x 0 . 教师指引对二次函数图对应的二次函数为 y x2 3x . 像的察看，要点是依据图像解决不等式的解集，学函数 y x2 3x 的图像如图(1)所示.生议论操作，师生一同总能够看出，二次函数图像在x 轴下方的点的横坐标的范结解题的思路和书写格围为 0 x 3 ，因此一元二次不等式 x2 3x 0 解集为0,3 .式.(1) (2)(2)对应的一元二次方程为x2 2x 1 0 .对应的二次函数为y x2 2x 1.(2)所示．函数y x2 2x 1的图像如图能够看出，二次函数的图像在x 轴上方的点的横坐标的1 ，因此一元二次不等式x2 2x 1 0 的解范围为x 1或x集为,1 U 1, .例 3 写出不等式x2 13x 30 ,0 对应的一元二次方程，作出对应的二次函数的图像，并写出不等式的解集．解对应的一元二次方程为x213x 300 .2对应的二次函数y x 13x30 .函数 y x213x 30 图像如下图.察看图像知不等式的解集为3,10 .三、稳固练习1.判断题(1)二次函数就是一元二次不等式.()(2)假如二次函数y3x22x 5 的图像与x轴没有交点，那么方程 3x22x 5 0 无解.()(3) 如果方程3x2 2x 5 0 无解，那么不等式3x2 2x 5 0 无解. ()(4)不等式x2 4x 5 0 能够转变为 x2 4x 5 0 .()2.写出以下不等式对应的二次函数，作出对应函数的图像，察看函数图像，并写出不等式的解集．(1)x2 2x 3 ⋯0 ；(2)x2 3x 4 0 .练习由学生自行达成，判断由学生口答，解答题请学生板演解题过程，请其余学生增补评论 .经过概括本节所学知识，帮助学生梳理三个二次之间的关系 .学生总结，教师增补 .四、概括小结二次函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带” ，是“数形联合”数学思想方法的重要“载体” .经过本节课能掌握用二次函数的图像解决一元二次方程及一元二次不等式问题 .五、课后作业1.阅读教材章节练习册。

二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系

二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系作者：吕旭川来源：《读写算·教研版》2015年第08期摘要：二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。

关键词：二次函数；二次不等式；一元二次方程；关系中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-117-01二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。

下面，我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。

一、二次函数与二次不等式有如下的关系：①、使得二次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。

（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）②用图像法求一元二次不等式的解集步骤：、设：设，则求，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。

、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像。

、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围即可。

例1：已知y=x2-2x-3，当y分析：因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是，，有图像可知，当时，自变量x的取值范围是解：根据五点作图法，作出二次函数y=x2-2x-3的图像根据直角坐标系特点，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围即可。

所以自变量x的取值范围是二、二次函数与一元二次方程的关系因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

所以抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=分析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

二次函数专题(二次函数与方程、不等式的关系)

二次函数专题二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？问题2：请你画出函数223y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数223y x x =-+的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？归纳：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x轴没有交点（抛物线全部在x 轴上方或全部在x 轴下方）.（2）当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·a c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆= 例1 如图，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .例2 二次函数y=c bx ax ++2 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根（2）写出不等式c bx ax ++2＞0的解集（3）若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.例3 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．例4 已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12 x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32例5 已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足k （x 1+x 2）＝2x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．例6 直线y=2x+3与抛物线y=x 2交于A 、B 两点，求AB 的长。