等差数列的性质
等差数列的性质
教学内容【知识结构】1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=[或=n a d m n a m )(-+]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn --4.等差中项：定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+【例题精讲】例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，判断数列{a n }是否是等差数列？ 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数∴{a n }是等差数列解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结1. 等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d a d nd n N =+-=-+∈； 首项:1a ；公差: d ；末项:n a .推广：d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中,A B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为21n +的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5. 等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）中项公式法：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）通项公式法：数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）前n 项和公式法：数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中,A B 是常数）。
6. 等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7. 考点提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列常用性质
合作探究：问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2ba A +=反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n的数列的图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n ma a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )例1在等差数列{na }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n是不是一个与n 无关的常数。
等差数列掌握等差数列的概念与性质
等差数列掌握等差数列的概念与性质等差数列是数学中的重要概念，它在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
本文将介绍等差数列的概念与性质，并探讨其在数学和实际应用中的重要性。
一、等差数列的概念等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。
换句话说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则根据等差数列的定义，可得该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列中的第n个数。
二、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列的公差d是常数，它决定了数列中每两个相邻项之间的差值。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的数值。
通项公式可以通过观察数列中的规律来得到，也可以通过公式推导得到。
3. 首项与末项：等差数列的首项和末项可以利用通项公式求解。
首项即为数列中的第一个数，末项即为数列中的最后一个数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式进行计算。
求和公式可以用来计算数列中任意一段连续项的和。
5. 数列的性质：等差数列具有数学性质，比如对称性、递推性等。
这些性质在解决实际问题时常常起到重要的作用。
三、等差数列的重要性等差数列在数学中有着广泛的应用，尤其是在代数学和数学分析中。
它不仅是数学理论的重要基础，也是其他数学分支的重要工具。
同时，等差数列也有广泛的实际应用。
在自然科学、工程技术、经济管理等领域中，等差数列常常被用来描述一些周期性的变化规律。
比如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体在等时间间隔内的位移变化；在经济学中，等差数列可以用来描述某种资源的消耗或增长规律。
此外，等差数列还可以在求解一些实际问题时起到重要的作用。
比如，在工程规划过程中，通过分析等差数列可得到一些有用的结论，从而为决策提供科学依据。
综上所述，等差数列的概念与性质在数学和实际问题中都具有重要的作用。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
等差数列的性质
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
a1 an a2 an1 a3 an2 ak ank1
例1.
已知数列{an}是等差数列，且a1 2,它的前五项和为20， 求a3
S2n1 2n 1 an
例题分析 例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
等差数列的性质三 1) 等差数列{an}的子数列也成等差数列。
K1,k2,k3,…,kn成等差数列
ak1 ,ak2 ,ak3 ,L ,akn 成等差数列
等差数列的下标成等差数列，则下标所对的 项也成等差数列。
如 a1、a4、a7 L ;a2、a5、a8 L ;a3、a6、a9 L ;
成等差数列。
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数列,若m n p q(m, n, p, q N *),
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质二
“若下标和相等，则对应项的和相等”
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
(4)a 3 a 4 a5 3a 4
a8＝a1＋7d＝5
⇒a1＝19， ⇒ d＝－2 an＝19＋(n－1)×(－2)，
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
等差数列的性质与求和
等差数列的性质与求和等差数列是数学中的重要概念之一，它的性质和求和公式在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，探讨其求和公式的推导，并结合实例进行说明。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n为项数根据等差数列的性质，我们可以得出以下几个重要的结论：1. 第n项与首项的关系第n项可以通过首项与公差相乘再加上n-1乘以公差来求得。
2. 公差与项数的关系项数n可以通过首项与第n项的差值再除以公差加1来求得。
3. 项数与和的关系项数n与等差数列的和Sn之间存在如下关系：Sn = (a + an) × n / 2这个公式是等差数列求和的基本公式，可以通过将首项与尾项相加再乘以项数的一半得到。
通过以上性质，我们可以更好地理解等差数列的规律，并在解决问题时运用这些性质。
二、等差数列求和公式的推导为了得到等差数列求和的公式，我们可以利用数列的性质和一些数学推导。
设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，数列的和为Sn。
首先，我们可以通过数列的性质得到：Sn = (a + an) × n / 2将an替换为a + (n-1)d得到：Sn = (a + (a + (n-1)d)) × n / 2化简后得：Sn = (2a + (n-1)d) × n / 2进一步化简可得：Sn = (2a + (n-1)d) × (n/2)Sn = (2a × n + (n-1)d × n) / 2Sn = (2an + dn^2 - dn) / 2Sn = an + dn^2/2 - dn/2注意到等差数列的首项为a，最后一项为an，将其替换进去得：Sn = a + (n-1)d + dn^2/2 - dn/2Sn = a + dn(n-1)/2这就是等差数列求和的公式。
等差数列的性质
2．在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则 a2＋a10＝( )
A．12
B．16
C．20
D．24
解析：因为数列{an}是等差数列，所以 a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由等差数列的性质，得 a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即 2a5＝10，∴a5＝5.
[名师点津] 等差数列{an}，其通项公式为 an＝dn＋b.那么数列{an}上任一 有序数对(n，an)对应的点都在直线 y＝dx＋b 上，且数列{an} 的公差 d 等于该直线的斜率．
【题型探究】
题型一 等差数列的性质应用
[例 1] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
[规律方法] 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为： a－d，a＋d，公差为 2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公 差为 d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 公差为 2d.
答案：A
4．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中 a1＝3，b1＝－3，
且 a20－b20＝6，那么 a10－b10 的值为 ( )
A．－6
B．6
C．0
D．10
解析：由于{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an－bn}也是等差数列，而 a1－b1＝6，a20－b20＝6，
所以{an－bn}是常数列，故 a10－b10＝6.故选 B.
初三等差数列的概念及性质
初三等差数列的概念及性质等差数列是初中数学中比较常见的数列形式之一，也是初三数学中非常重要的基础知识点。
本文将对初三等差数列的概念及性质进行详细探讨。
概念：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
通俗来说，等差数列就是每一项与它的前一项的差都是相同的。
比如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中相邻两项的差为2。
性质：等差数列具有一些独特的性质，下面我们来逐一介绍：1. 公差：等差数列中，相邻两项之差称为公差，通常用字母d表示。
公差d可以通过任意两项之差求得。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来求解数列中的某一项，使得我们不需要一个一个地去计算。
通项公式如下所示：第n项an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来求解数列前n项的和，常用字母Sn表示。
前n项和公式如下所示：前n项和Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项的和，a1表示首项，an表示第n项。
4. 等差中项：等差数列中的等差中项是指位于首项和末项中间的数。
对于一个等差数列而言，等差中项可以通过以下公式求得：等差中项M = (a1 + an) / 2其中，M表示等差中项，a1表示首项，an表示末项。
5. 等差数列的性质：等差数列有许多重要的性质，包括以下几点：- 对于等差数列中的任意一项，它等于它前面的项与它后面的项的平均值。
- 等差数列的前n项和与首末项的乘积之和等于2倍的首项与公差的乘积。
- 在等差数列中，任意三项对应的差值相等。
通过对以上性质的理解，我们可以更好地掌握等差数列的基本概念，并能够灵活应用于解决实际问题。
总结：初三等差数列的概念及性质是数学学习的基础，通过对等差数列的学习，我们可以提高数学思维能力，培养逻辑思维能力，更好地理解数学知识。
希望本文能够帮助你更好地掌握初三等差数列的概念及性质。
等差数列通项公式与性质
等差数列是指在数列中，任意两项的差都是一个常数的数列。
等差数列通项公式是指可以用来计算等差数列中任意一项的公式。
等差数列通项公式为：
a(n) = a1 + (n-1)d
其中，a(n) 表示数列的第n 项，a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差。
例如，对于数列2, 5, 8, 11, …，a1 = 2，d = 3，则第5 项为a(5) = 2 + (5-1)3 = 11。
等差数列具有以下性质：
等差数列的公差d 是所有项之差的常数。
等差数列的和可以用公式Sn = (n/2)(a1+an) 求得。
等差数列的平方和可以用公式S(n) = (n/3)(a1^2 + an^2 + (n-1)d^2) 求得。
等差数列的等比数列是指对于每一项a(n)，都有a(n+1) / a(n) = q (q 为常数)。
等差数列的等比数列的通项公式为a(n) = a1 * q^(n-1)。
希望这些信息对你有帮助。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列，又被称为等差数列，是数学中重要且常见的数列之一。
在学习等差数列时，了解其性质和应用是必不可少的。
本文将详细介绍等差数列的性质以及其在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
其一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
下面将介绍等差数列的一些重要性质。
1. 公差等差数列的公差指的是相邻两项之间的差值。
公差可以用来判断数列的性质以及求解数列中的元素。
在等差数列中，任意两项之差都等于公差。
2. 通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项、公差和项数来表示第n项的公式。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
利用通项公式，我们可以直接计算出等差数列的任意一项。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指计算前n项和的公式。
对于等差数列而言，其前n项和公式为Sn = (n/2)*(a1+an)。
通过前n项和公式，我们可以快速求解等差数列的前n项和。
二、等差数列的应用等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数字排列在许多游戏和密码学中，等差数列常被用来进行数字的排列。
通过等差数列的规律，我们可以更加方便地进行数字的组合和排列。
2. 财务投资在财务投资领域，等差数列的概念常被用来计算复利和投资收益。
通过对等差数列的分析和计算，我们可以更好地规划和管理自己的财务投资。
3. 经济增长在宏观经济学中，等差数列的概念被用来描述经济的增长趋势。
通过对等差数列的分析，我们可以了解经济增长的速度和趋势，从而制定更有效的经济政策。
4. 进度安排在项目管理和日常生活中，等差数列可以被用来进行进度安排。
通过对等差数列的应用，我们可以更好地规划和安排时间，提高工作和生活的效率。
综上所述，等差数列是一种重要的数学概念，在学习数学和应用数学的过程中具有重要的地位。
通过了解等差数列的性质和应用，我们可以更好地理解和应用数列，同时也能够更好地解决实际生活中遇到的问题。
等差数列的性质
等差数列的性质
1.首尾项性质: 有穷等差数列中, 与首末两项距离相等的两项和相等, 即:a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2= … .
特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的两倍, 即:
a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2= … =2a 中.
2.若 p+q=r+s(p 、q 、r 、s
N*), 则 a p +a q =a r +a s . 3.等差中项
如果在两个数 a 、b 中间插入一个数 A, 使 a 、A 、b 成等差差数列, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
2b a A += 4.顺次 n 项和性质
若 {a n} 是公差为 d 的等差数列, 则
∑∑∑+=+==n n k k n n k k n k k a a a 312211,,也成等差数列, 且公差为 n 2d.
5.已知 {an} 是公差为 d 的等差数列
(1)若 n 为奇数, 则 S n =na 中 且 S 奇-S 偶= a 中,
11-+=n n S S 偶奇。
(2)2)若 n 为偶数, 则
2nd S S =-偶奇。
6.若 {a n }, {b n } 均为等差数列, 则 {ma n }, {ma n +(-)kb n } 也为等差数列, 其中 m, k 均为常数.
7.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S 2n-1, 等差数列 {b n } 的前
2n-1 项和为 T 2n-1, 则 n n n n b a T S =
--1212。
等差数列的概念与性质
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见的一种数列类型，它具有一定的规律和性质。
在本文中，将介绍等差数列的概念、公式以及一些重要的性质。
1. 概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数。
例如，一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。
2. 公式等差数列有两种常见的表示形式：一般形式和通项公式。
(1) 一般形式：等差数列的一般形式可以用递推关系式来表示，即：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
(2) 通项公式：等差数列的通项公式用来表示第n项的值，通常表示为：an = a1 + (n-1)d。
这个公式可以直接求得等差数列的任意一项的值。
3. 性质等差数列具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个。
(1) 公差性质：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，这个差值称为公差。
公差可以用来确定等差数列的特征。
(2) 通项性质：通过等差数列的通项公式，可以快速计算出数列的任意一项的值。
这个性质在数学问题的求解中非常有用。
(3) 首项与末项性质：等差数列的首项和末项可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
当已知首项、公差和项数时，可以快速计算出末项的值。
(4) 项数性质：等差数列的项数n可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d 来求解。
这个性质在确定等差数列的有效区间时非常有用。
4. 应用等差数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数学、物理、经济等领域中，等差数列常被用来描述一些随时间变化的规律。
通过对等差数列的分析，可以求解一些复杂的数学问题，帮助理解和解决实际应用中的相关问题。
综上所述，等差数列是数学中常见的一种数列类型，具有一定的规律和性质。
理解等差数列的概念、公式以及性质，对于解决实际问题和推导数学知识都有重要的意义。
通过运用等差数列的知识，我们可以更好地理解和应用数学中的相关概念。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用于几乎所有数学分支，包括代数、统计、优化等。
本文将介绍等差数列的基本概念、定义、性质及应用，以此对此知识点进行归纳总结。
一、等差数列的定义
等差数列是一种特殊的的数列，它的元素保持一定的差值相等，例如： 1,4,7,10...，元素之间的差值都为3.
二、等差数列的性质
（1）等差数列的前n项和
若等差数列的前n项和为Sn,公差为d，则Sn = n(a1 + an) / 2 = n(a1 + a1 + (n 1)d) / 2 = n(2a1 + (n 1)d) / 2
（2）等差数列的等比数列
如果一个数列所有元素都是正数，且满足等比数列的性质，则称这个数列为等比数列。
例如：2 ,4 ,8, 16...，元素之间的比值都为
2.
三、等差数列的应用
（1）数学问题
等差数列在解决数学问题时很有用，可以用来计算总和、平均数和对数等。
（2）统计分析
等差数列也可以用于统计分析，可以用来判断数据的变化趋势，并进行回归分析。
（3）其他
等差数列也可以在其它领域有用。
例如，它可以用来帮助用户在购物时进行折扣，并可以帮助用户在预测股票价格变化时做出正确的决策。
综上所述，等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用在几乎所有数学分支，具有明显的规律性，可以被用来解决各种数学问题，并可以用于统计分析和其他应用。
因此，掌握等差数列的相关知识是数学学习中必不可少的一部分。
高中数学讲义：等差数列性质
等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
2、等差数列及等差数列的性质
一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示. 二、等差数列的性质1. 通项公式：()()d m n a d n a a m n -+=-+=11（关于n 的一次函数）2. 等差中项：如果三个数b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2b a A +=.反之，若2ba A +=，则b A a ,,三个数成等差数列. 3. 下标和性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+.4. 若{}n a 为等差数列，则{}n a λ，{}b a n +λ也是等差数列，公差为d λ.5. 若{}n a ,{}n b 均为等差数列,则{}n n qb pa +也是等差数列.6. 从等差数列{}n a 中，每隔k 项拿出来一项，按照原来的顺序排列，得到的新数列依然是一个等差数列，公差为()d k 1+.7. 连续等长的片段之和也构成等差数列；例如321a a a ++，654a a a ++，987a a a ++，…构成等差数列.8. 等差数列的设项方法：如果题目说有三个数成等差数列，则可以将这三个数设为：d a -，a ，d a +.如果题目说有四个数成等差数列，则可以将这四个数设为：d a 3-，d a -，d a +，d a 3+，注意这里公差为d 2.三、等差数列前n 项和 1. ()()n d a n d d n n na a a n S n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+=2212121211（关于n 的无常数项的二次函数）. 2. n S ,n n S S -2，n n S S 23-，…成等差数列，公差为d n 2. 3. 若()p m S S p m ≠=，则0=+p m S . 4. 若m S p S p ==,m ，则()p m S p m +-=+.5. 若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，则1212--=n n n n T S b a . 6. 在等差数列{}n a 中，若01>a ，0<d ，则n S 存在最大值；若01<a ，0>d ，则n S 存在最小值.例题1：（2006·江西）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a a 2001+=,且C B A ,,三点共线（直线不过原点O ），则=200S ( ). A .100 B .101 C .200 D .201例题2：（2006·全国Ⅱ理） 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则=++131211a a a （ ）.A .120B .105C .90D .75例题3：（2010·全国Ⅱ理科4，5分） 如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=++++7321a a a a （ ）.A .14B .21C .28D .35例题4：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a .例题5：设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若711=+b a ，2133=+b a ，则=+55b a .例题6：有三个数成递增等差数列，它们的和是15，它们的平方和为83，求这三个数.例题7：已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两项之积比中间两数之积少18，求这四个数.例题8：有两个等差数列{}n a ，{}n b ，满足327321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，求55b a.例题9：已知等差数列{}n a 的前9项和为27，810=a ，则=100a （ ）. A .100 B .99 C .98 D .97例题10：已知{}n a 是等差数列，前n 项和为n S .若10,35221=-=+S a a ,则9a 的值是 .例题11：设等差数列的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则m 等于（ ）. A .3 B .4 C .5 D .6例题12：已知{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若163=a ，2020=S ,则=n S ,并求出当=n 时，n S 取得最大值.例题13：数列{}n a 满足11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a .(1) 设=n b n n a a -+1,证明数列{}n b 为等差数列. (2) 求{}n a 的通项公式.。
等差数列的定义及性质
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即（8）仍为等差数列，公差为对等差数列定义的理解：①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．。
数学知识点：等差数列的定义及性质_知识点总结
数学知识点：等差数列的定义及性质_知识点总结一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap；（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k 均为常数。
（6）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即对等差数列定义的理解：①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．。
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等差数列的性质
AA
m
例题分析
5、已知：数列的通项公式为 an=6n-1 问这个数列是等 差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
分析：由等差数列定义只需判断an-an-1(n≥2，n∈N) 的结果是否为常数。 解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数) ∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,1, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2 (3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， a4= 17 a4= 11 a7= 11
练习：已知数列的通项公式为 an=pn+q.其中p、q 是常 数且p≠0，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列， 其首项与公差分别是多少？
练习
1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
或
3
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
a7= 17
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
提示1:
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an= -4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q